Problemas tema4

EJERCICIOS
TEMA 4
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS TEMA 4 3
TOPOLOGÍA
Ejercicio 1 Sea el conjunto A = (0; 1) [ f2g. Hallar A, A, A0
y fr(A).
Solución: A = (0; 1); A = [0; 1] [ f2g; A0
= [0; 1]; fr(A) = f0; 1; 2g :
Ejercicio 2 Sean los subconjuntos de R : A = [0; 1] Q, B = (0; 1) (R Q). Estudiar si son abiertos o
cerrados. Hallar el interior, la adherencia, el conjunto derivado y frontera de ambos.
Solución: No son abiertos ni cerrados. A = ; = B; A = [0; 1] = B; fr(A) = [0; 1] = fr(B); A0
= [0; 1] = B0
:
Ejercicio 3 Sean los conjuntos
A = x 2 R = x =
3n 1
2n
; n 2 N ; n 2 N
B = x 2 R = x =
n2
+ 2
n2
; n 2 N
a) A y B ¿son cerrados?, ¿son abiertos?. b)Determinar si A [ B es un conjunto cerrado. c) Calcular
A0
; A; B0
; B; (A [ B) y (A [ B)0
.
Solución: a) A y B no son abiertos ni cerrados. b) A [ B es cerrado. c) A = A [ f3=2g ; A0
= f3=2g,
B = B [ f1g ; B0
= f1g ; A [ B = A [ B; (A [ B)0
= f1; 3=2g :
Ejercicio 4 Determinar: A; ext(A); fr(A); A; A0
siendo A el conjunto
A = f(x; y)= jxj < 1; jyj < 1; x; y 2 Qg
Solución: A = ;; ext(A) = R2
(x; y) 2 R2
= jxj 1; jyj 1; x; y 2 R ;
A0
= A = fr(A) = (x; y) 2 R2
= jxj 1; jyj 1; x; y 2 R :
Ejercicio 5 Dado el conjunto:
C = (x; y) 2 R2
=1 x2
+ y2
2 [
1
n
= n 2 N
Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de C.
Solución: C = (x; y) 2 R2
=1 < x2
+ y2
< 2 ; C = (x; y) 2 R2
=1 x2
+ y2
2 [ 1
n ; n 2 N [f0g ; C0
=
f0g [ (x; y) 2 R2
=1 x2
+ y2
2 ; fr(C) = (x; y) 2 R2
=x2
+ y2
= 1 _ x2
+ y2
= 2 [ 1
n ; n 2 N [ f0g :
Ejercicio 6 En R2
se consideran los siguientes conjuntos
A = (x; y) 2 R2
=1 < x2
+ y2
< 2 ; B = (x; y) 2 R2
=x 0 ^ y = 0 ; C =
n
(x; y) 2 R2
=1 < x <
p
2
o
a) ¿Es A C cerrado?. Si no lo es, dar su adherencia. b) ¿Es A B abierto?. Si no lo es dar su interior.
c) ¿Es A compacto? ¿Es A compacto? ¿Es C compacto? d) ¿Es C A cerrado?. Si no lo es, dar C A.
Solución: a) A C no es cerrado, A C = (x; y) 2 R2
=1 x2
+ y2
2 ^ x 1 . b) A B es un con-
junto abierto. c) A no es compacto, A es compacto, C no es compacto. d) C A no es cerrado, C A =
(x; y) 2 R2
=1 x
p
2 ^ x2
+ y2
2 :
Ejercicio 7 Sea en R2
, el conjunto X de puntos (x; y) tales que 0 < x a, b < y < b, excluyendo los
puntos de la diagonal AB siendo A(a; b) y B(0; b) e incluyendo los puntos
Qi 2a;
b
i
; i = 1; 2; 3; :::; n; :::; con (a > 0; b > 0)
Calcular su conjunto derivado, interior, adherencia y cali…car el conjunto dado.
Solución: X = (x; y) 2 R2
=0 < x < a; b < y < b AB; X = (x; y) 2 R2
=0 x a; b y b [
f(2a; b=i); i = 1; 2; 3:::g [ f(2a; 0)g ; X0
= (x; y) 2 R2
=0 x a; b y b [ f(2a; 0)g. El conjunto X
no es cerrado, tampoco es abierto. No es compacto ni conexo.

4 EJERCICIOS TEMA 4
GRÁFICAS, LÍMITES Y CONTINUIDAD
Ejercicio 8 Hallar y representar el dominio natural de de…nición de las funciones:
a) z =
x2
+ y2
x
2x x2 y2
1=2
; b) z =
p
1 (x2 + y)2
Solución: a) el dominio natural de de…nición es la lúnula x x2
+ y2
< 2x; b) 1 x2
+ y 1:
Ejercicio 9 Hallar y representar el dominio natural de de…nición de las funciones:
a) arcsen
x
x + y
; b) z =
p
sen(x2 + y2)
Solución: a) (2x y ^ y 0)[(2x y ^ y 0) f(0; 0)g; b) 2k x2
+y2
(2k+1), con k = 0; 1; 2; :::
(familia de anillos concéntricos).
Ejercicio 10 Calcular y representar las curvas de nivel de las funciones
a) z = e2x=(x2
+y2
)
; b) z = exy
Solución: a) haz de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas (sin incluir éste) y que tienen el
centro (1= ln k; 0) sobre el eje OX y radio 1= ln k, más la recta x = 0. b) familia de hipérbolas equiláteras
situadas en los cuatro cuadrantes, más los ejes de coordenadas.
Ejercicio 11 Calcular y representar las curvas de nivel de la función
z = jxj + y
Solución: (y = x + k) [ (y = x + k) ; k = 0, 1, 2; :::(familia de semirectas).
Ejercicio 12 Comprobar que la función f no tiene límite en el punto (0; 0)
f(x; y) =
x2
+ 2y2
x2 3y2
Solución: Los límites radiales dependen de m.
Ejercicio 13 Comprobar que f(x; y) no tiene límite en el punto (0; 0)
f(x; y) =
x2
y
x5 + y2
Solución: El límite radial es cero 8m, pero el límite según la trayectoria y = x3
es 1.
Ejercicio 14 Comprobar que f(x; y) no tiene límite en el punto (0; 0)
f(x; y) =
xy
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: Los límites radiales dependen de m.
Ejercicio 15 Estudiar el límite de la función f(x; y) cuando (x; y) ! (0; 0)
f(x; y) =
(
x2
y2
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: Existen los límites reiterados, pero son distintos y por lo tanto no existe el límite.
Ejercicio 16 Calcular el límite y los límites reiterados de la función f(x; y) cuando (x; y) ! (0; 0)
f(x; y) =
y si x > 0
y si x 0
Solución: l mx!0 f1(x) = 0 y no existe el límite reiterado l my!0 f2(y):

EJERCICIOS TEMA 4 5
Ejercicio 17 Calcular los límites reiterados de las siguientes funciones cuando (x; y) ! (0; 0) y explicar la
información que proporcionan acerca del límite doble.
a) f(x; y) =
(
x2
x2+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
; b) f(x; y) =
y sen x si x 6= 0
0 si x = 0
Solución: a) Como los límites reiterados existen y son distintos ( l m
x!0
f1(x) = 1, l m
y!0
f2(y) = 0), podemos
asegurar que no existe el límite de la función; b) l m
x!0
f1(x) = 0, @l m
y!0
f2(y), por tanto puede existir el límite
de la función, que deberá ser cero.
Ejercicio 18 Calcular los límites reiterados de las siguientes funciones cuando (x; y) ! (0; 0) y explicar la
información que proporcionan acerca del límite doble.
a) f(x; y) =
xy
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
; b) f(x; y) = x sen
1
y
+ y sen
1
x
Solución: a) Los límites reiterados existen y son iguales a cero, por lo tanto el límite doble, en caso de existir,
será igual a cero; b) Dado que el (0; 0) no es punto interior del dominio X de la función f(x; y), no podemos
calcular los límites reiterados.
Ejercicio 19 Dada la función f calcular su límite si (x; y) ! (0; 0)
f(x; y) =
(
x2
y
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: l = 0:
Ejercicio 20 Estudiar el límite en el origen de la siguiente función
f(x; y) =
(
x2
y3
x4+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: l = 0:
Ejercicio 21 Calcular el siguiente límite
l m
(x;y)!(1;1)
x + y
2x2 + 3y2
Solución: l = 0:
Ejercicio 22 Calcular el límite en el origen de la función
f(x; y) =
x2
+ y2
+ ln(1 + x2
y)
sen(x2 + y2)
Solución: l = 1:
Ejercicio 23 Probar la no existencia del límite
l m
(x;y)!(0;0)
2xy
x2 + y2
Solución: El límite radial depende de m.
Ejercicio 24 Probar la no existencia del límite
l m
(x;y)!(0;0)
x2
y2
x2y2 + (x y)2
Solución: El límite radial es 1 si m = 1 y 0 si m 6= 1.
l m
(x;y)!(0;0)
xy sen
xy

6 EJERCICIOS TEMA 4
Solución: l = 0:
l m
(x;y)!(0;0)
(x2
+ y2
) ln(1 + xy)
sen [xy(x2 + y2)]
Solución: l = 1:
l m
(x;y)!(0;0)
(x + y)
p
x2 + y2 sen
1
p
x2 + y2
Solución: l = 0:
l m
(x;y)!(1;1)
1 +
y
x
x
Solución: l = e.
l m
(x;y)!(0;0)
e
x
3
2 y
2
3
x2+y2
Solución: l = e0
= 1:
l m
(x;y)!(0;0)
p
x ln 1 +
p
x2 y2 +
y
x
Solución: l = 0.
Ejercicio 31 Estudiar la continuidad en el origen de la función f de…nida por
f(x; y) =
(
x2
y2
x2y2+(x y)2 si (x; y) 6= (0; 0)
1 si (x; y) = (0; 0)
Solución: no es continua en el origen.
Ejercicio 32 Comprobar la discontinuidad en el origen de la función f de…nida por
f(x; y) =
(
xy2
x2+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: es discontinua en el origen.
Ejercicio 33 Estudiar la continuidad en el origen de la función
f(x; y) =
(
x3
+y3
x2+y2+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: la función es continua.
Ejercicio 34 Estudiar la continuidad en el origen de la función
f(x; y) =
y
x sen(x2
+ y2
) si x 6= 0
0 si x = 0
Solución: la función es discontinua en el origen.

EJERCICIOS TEMA 4 7
Ejercicio 35 Estudiar en el origen la continuidad de la función
f(x; y) =
(
x3
x2 y2 si x2
y2
6= 0
0 si x2
y2
= 0
Solución: la función es discontinua en el origen.
Ejercicio 36 Hallar el conjunto de los puntos de discontinuidad de la función
f(x; y) =
x
4x2+y2 1 si 4x2
+ y2
6= 1 y (x; y) 6= (0; 0)
1 si 4x2
+ y2
= 1 ó (x; y) = (0; 0)
Solución: el conjunto de los puntos de discontinuidad de f es C = (x; y) 2 R2
=4x2
+ y2
= 1 [ f(0; 0)g :
Ejercicio 37 Hallar el conjunto de los puntos de discontinuidad de la función
f(x; y) =
1
x2 y si y 6= x2
0 si y = x2
Solución: f es dicontinua en todos los puntos de la parábola y = x2
.
Ejercicio 38 Estudiar la continuidad de la función
f(x; y) =
xy
x2+y3 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: Es continua en todo punto, salvo en (0; 0).
f(x; y) =
(
y x2
y2
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: Es continua en todo punto.
f(x; y) =
xy
x2+y2 1 si x2
+ y2
6= 1
0 si x2
+ y2
= 1
Solución: La función es continua en todo punto, salvo en los puntos de la circunferencia: x2
+ y2
= 1.
f(x; y) =
1 si jxj jyj
0 si jxj > jyj
Solución: la función f(x; y) es discontinua en cada punto del conjunto C = (x; y) 2 R2
= jxj = jyj :

8 EJERCICIOS TEMA 4
DERIVADA Y DIFERENCIAL
Derivadas Parciales
Ejercicio 42 Calcular las derivadas parciales de las funciones siguientes
f(x; y) =
x2
y2
x2 + y2
; g(x; y) = yx
Solución: @f
@x (x; y) = 4xy2
(x2+y2)2 ; @f
@y (x; y) = 4x2
y
(x2+y2)2 ; @g
@x (x; y) = yx
ln y; @g
@y (x; y) = xyx 1
:
Ejercicio 43 Calcular las derivadas parciales de las funciones siguientes:
a) f(x; y) =
p
x +
p
y
x + y
; b) f(x; y) = y ln
x3
y
x2 + y2
Solución: a) @f
@x (x; y) =
y 2
p
xy
2
p
x(x+y)2 ; @f
@y (x; y) =
x 2
p
xy
2
p
y(x+y)2 ; b) @f
@x (x; y) = y(x2
+3y2
)
x(x2+y2) ; @f
@y (x; y) = ln x3
y
(x2+y2) +
x2
y2
x2+y2 :
Ejercicio 44 Estudiar la derivabilidad en el origen de la función f : R2
! R, de…nida por
f(x; y) =
(
xy2
x2+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: @f
@x (0; 0) = 0; @f
@y (0; 0) = 0:
Ejercicio 45 Calcular las derivadas parciales, si existen, de la función
f(x; y) =
x y
x + y
en el punto (0; 1). Si f(0; 0) = 1, ¿existen las derivadas parciales en (0; 0)?.
Solución: @f
@x (0; 1) = 2; @f
@y (0; 1) = 0: @f
@x (0; 0) = 0; @f
@y (0; 0) = 0:
Ejercicio 46 Dada la función
f(x; y) =
xy
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
estudiar la continuidad y la existencia de las derivadas parciales en el origen.
Solución: discontinua; @f
@x (0; 0) = 0; @f
@y (0; 0) = 0.
Ejercicio 47 Sea
f(x; y) =
xy tg y
x si x 6= 0
0 si x = 0
Estudiar en qué puntos f satisface la ecuación
x
@f
@x
(x; y) + y
@f
@y
(x; y) = 2f(x; y)
Solución: f satisface la ecuación dada en los puntos del conjunto: R2
f(0; y)=y 6= 0g :
Diferencial
Ejercicio 48 Estudiar la diferencialidad en (0; 0) de la función
f (x; y) =
(
y x2
y2
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: f no es diferenciable en (0; 0).

EJERCICIOS TEMA 4 9
Ejercicio 49 Estudiar la diferenciabilidad en (0; 0) de la función f : R2
! R de…nida por
f(x; y) =
xy sen 1
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: la función es diferenciable y su diferencial es df(0; 0) = 0.
Ejercicio 50 Estudiar la diferenciabilidad, en el punto (0; 0), de la función
f(x; y) =
2xy
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: la función no es diferenciable en el origen.
Ejercicio 51 Sea la función f : R2
! R de…nida por
f(x; y) =
x2
y2
sen 1
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Estudiar la continuidad de las derivadas parciales en el (0; 0) y la diferenciabilidad de la función en el origen.
Solución: la función es diferenciable.
Ejercicio 52 Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen de las funciones siguientes
a) f(x; y) =
p
x2 + y2; b) f(x; y) =
(
x3
+4y3
2x2 y2 si 2x2
6= y2
0 si 2x2
= y2
Solución: a) f es continua y no es diferenciable en (0; 0). b) f es discontinua y no es diferenciable en (0; 0).
Ejercicio 53 Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen de las funciones siguientes
a) f(x; y) =
(jxj jyj)e 1=x2
si x 6= 0
0 si x = 0
; b) f(x; y) =
x
y si y 6= 0
0 si y = 0
Solución: a) f es continua y es diferenciable en el origen. b) f no es continua y no es diferenciable en el
origen.
Ejercicio 54 Demostrar que la función f(x; y) =
p
jxyj es continua en (0; 0) pero no es diferenciable en
dicho punto.
Ejercicio 55 Utilizando el concepto de diferencial hallar el valor aproximado de
a) m =
p
1;023 + 1;973; b) M = sen 28 cos 61
Derivada direccional y gradiente
Ejercicio 56 Sea f : R2
! R la función de…nida por
f(x; y) =
(
xy2
x2+y4 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Calcular la derivada Dvf(0; 0) en la dirección de todo vector v = (a; b) distinto del vector nulo.
Solución: Dvf(0; 0) = 0 si a = 0 y Dvf(0; 0) = b2
a si a 6= 0.
Ejercicio 57 Dada la función
f(x; y) =
(
4x3
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) ¿Es f diferenciable en (0; 0)?. b) Calcular las derivadas direccionales en (0; 0).
Solución: a) la función no es diferenciable en el origen. b) Dvf(0; 0) = 4 cos3
:

10 EJERCICIOS TEMA 4
Ejercicio 58 Estudiar la existencia de las derivadas direccionales en el punto (0; 0) de las siguientes fun-
ciones
a) f(x; y) =
x
y si y 6= 0
0 si y = 0
; b) f(x; y) =
(
xy2
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Solución: a) Dvf(0; 0) = 0 si cos = 0; b) Dvf(0; 0) = cos sen2
.
Ejercicio 59 Hallar la derivada direccional de la función
f(x; y) = 2x2
3y2
en el punto de coordenadas (1; 0) y en la dirección que forma con el semieje positivo de abscisas un ángulo
de 120 .
Solución: D f(1; 0) = 2:
Ejercicio 60 Calcular la derivada direccional de la función
f(x; y) = 1 x2 y2
4
en el punto de la curva 4x2
+y2
= 4 de abscisa: x0 = 1=
p
2 y ordenada positiva, en la dirección de la normal
interior a la curva en ese punto.
Solución: D f 1p
2
;
p
2 =
p
5p
2
:
Ejercicio 61 Demostrar que la derivada direccional de la función
f(x; y) = y2
=x
evaluada en cualquier punto de la elipse 2x2
+ y2
= c2
, a lo largo de la normal exterior a la misma, es igual
a cero.
f(x; y; z) = 2xy z2
en el punto P(2; 1; 1) en la dirección hacia Q(3; 1; 1). ¿En qué dirección, a partir de P, es máxima la
derivada direccional?. ¿Cuál es el valor de ese máximo?.
Solución: La derivada direccional es máxima en la dirección del gradiente. Su máximo valor es 2
p
6:
Ejercicio 63 Calcular la derivada direccional de la fución
f(x; y; z) = x2
8xy + z2
en la dirección de la normal exterior a la super…cie x2
+ y2
+ z2
= 17 en el punto (4; 0; 1).
Solución: D f(4; 0; 1) = 2
p
17:
z = ln(x2
+ y2
)
en el punto (x0; y0), en la dirección de la normal exterior a la curva de nivel de z que pasa por ese punto.
Solución: Dvz(x0; y0) = jrz(x0; y0)j = 2p
x2
0+y2
0
:
Ejercicio 65 El potencial eléctrico en un punto (x; y) viene dado por
V = ln
p
x2 + y2
Hallar la variación unitaria de V en el punto (3; 6) en la dirección que va desde este punto al punto (2; 4).
Demostrar que esta variación del potencial es máxima a lo largo de rectas que pasan por el origen.

EJERCICIOS TEMA 4 11
Solución: la derivada direccional es D V (3; 6) = 11
p
5
125 :
Ejercicio 66 Una función diferenciable tiene en el punto (1; 2) derivadas direccionales de valores: 2 en la
dirección al punto (2; 2) y 2 en la dirección al punto (1; 1). Hallar el vector gradiente en (1; 2) y calcular el
valor de la derivada direccional en este punto en la dirección del punto (4; 6).
Solución: rf(1; 2) = 2i + 2j: D f(1; 2) = 14
5 :
Ejercicio 67 Determinar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de
f(x; y; z) = axy2
+ byz + cz2
x3
en el punto (1; 2; 1) tenga un valor máximo 64 en la dirección del semieje positivo OZ.
Solución: a = 6; b = 24 y c = 8.
Diferencial de una función vectorial de variable vectorial
Ejercicio 68 Dada la función f : R3
! R dada por
f(x; y; z) = x2
y + z + 2
estudiar la diferencialidad de f en R3
y calcular la diferencial en aquellos puntos en los que exista.
Solución: df = 2xyh1 + x2
h2 + h3:
! R2
f (x; y; z) = x2
+ y + z; 2xy + yz
estudiar la diferencialidad de esta función en R3
y calcular la diferencial en el punto (1; 2; 3).
Solución: df (1; 2; 3) = h1+h2+h3
4h1+5h2+2h3
:
Derivada de la función compuesta. Cambios de variables
Ejercicio 70 Demostrar que la función
z = y g(x2
y2
)
siendo g : R ! R derivable, satisface la ecuación
1
x
@z
@x
+
1
y
@z
@y
=
z
y2
Ejercicio 71 Comprobar que la función
z = x y + f(x2
+ y2
)
donde f es derivable dos veces, satisface las ecuaciones
a) y
@z
@x
x
@z
@y
= x + y; b) y
@2
z
@x2
x
@2
z
@x@y
= 1 +
@z
@y
Ejercicio 72 Tomando como nuevas variables independientes u = x, v = y=x, transformar la ecuación
x
@z
@x
+ y
@z
@y
= z
Solución: u @z
@u = 0:
Ejercicio 73 Transformar la expresión
x
@z
@y
+ y
@z
@x
mediante el cambio de las variables independientes, de…nido por las fórmulas
x = u cos v
y = u sen v

Solución: u @z
@u :
Ejercicio 74 Efectuar el cambio de variables a coordenadas polares (r; ), en la ecuación
x
@z
@y
y
@z
@x
= 0
Solución: @z
@ = 0:
Ejercicio 75 En la ecuación
x
@z
@x
+
p
1 + y2
@z
@y
= x
efectuar el cambio de variables
u = ln x; v = ln(y +
p
1 + y2)
Solución: @z
@u + @z
@v = 0:
Ejercicio 76 En la ecuación
(x + y)
@z
@x
(x y)
@z
@y
= 0
efectuar el cambio de las variables independientes (x; y) por las (u; v), de…nidas mediante
u = ln
p
x2 + y2; v = arctg
y
x
Solución: @z
@u
@z
@v = 0:
Derivadas de orden superior
! R de…nida por
f(x; y) =
(
xy x2
y2
x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Calcular f00
xy(0; 0) y f00
yx(0; 0).
Solución: f00
xy(0; 0) = 1; f00
yx(0; 0) = 1.
Ejercicio 78 Comprobar que la función: z = f [x + (y)] satisface la ecuación
@z
@x
@3
z
@2x@y
=
@z
@y
@2
z
@x2
Ejercicio 79 Demostrar que la función z = f(ax + y) + g(y ax) satisface la ecuación
@2
z
@x2
= a2 @2
z
@y2
siendo f y g dos funciones cualesquiera que admiten derivadas segundas.
Ejercicio 80 Demostrar que la función z = xg y
x + h y
x en donde g y h son funciones derivables dos
veces, satisface la ecuación
x2 @2
z
@x2
+ 2xy
@2
z
@x@y
+ y2 @2
z
@y2
= 0
Ejercicio 81 Dada la función f(x; y) = x2
+ xy + y
x+y hallar a y b para que veri…que la igualdad
@2
f
@x2
+ a
@2
f
@x@y
+ b
@2
f
@y2
= 0
cualesquiera que sean x e y (x + y 6= 0).
Ejercicio 82 Comprobar que la función z = f [x + (y)] donde f y son dos funciones diferenciables dos
veces, satisface la ecuación
@z
@x
@2
z
@x@y
=
@z
@y
@2
z
@x2

Ejercicio 83 Transformar la ecuación de vibraciones de la cuerda
@2
w
@t2
= a2 @2
w
@x2
; a 6= 0
tomando como nuevas variables independientes: u = x at, v = x + at.
Solución: @2
w
@u@v = 0:
Ejercicio 84 Expresar en coordenadas polares (r; ), la ecuación de Laplace
@2
z
@x2
+
@2
z
@y2
= 0
Solución: @2
z
@r2 + 1
r
@z
@r + 1
r2
@2
z
@ 2 = 0:
Ejercicio 85 Transformar la ecuación
x
@2
z
@x2
+ y
@2
z
@y2
= 0
introduciendo las nuevas variables independientes u = y, v = y=x.
Solución: @z
@v = u @2
z
@u@v :
Diferenciales de orden superior
Ejercicio 86 Calcular d2
f siendo
f(x; y) = ex
sen y
Solución: d2
f = ex
sen ydx2
+ 2ex
cos ydxdy ex
sen ydy2
:
Ejercicio 87 Calcular d3
f siendo
f(x; y; z) = x3
+ y y2
+ z2
Solución: d3
f = 6dx3
:
Ejercicio 88 Se considera la función
z = exy
Calcular d2
z: a) si x e y son variables independientes; b) si x = sen t, y = cos t.
Solución: a) d2
z = exy
(ydx + xdy)2
. b) d2
z = esen t cos t
(cos2
2t sen 2t)dt2
:
Ejercicio 89 Determinar la diferencial tercera en los puntos (0; ) y ( =2; =2), de la función
z = sen(2x + y)
Solución: d3
z(0; ) = (2dx + dy)3
; d3
z 2 ; 2 = 0:
Funciones de…nidas implicitamente. Sistemas
Ejercicio 90 Determinar la ecuación de la tangente a la curva y = y(x) dada en forma implícita por la
ecuación
x3
y2
+ 2xy4
= 3
en el punto (1; 1):
Solución: x + 2y 3 = 0:
Ejercicio 91 Determinar la ecuación del plano tangente a la super…cie z = z(x; y) de…nida implícitamente
por la ecuación
xey
+ ye2z
+ ze3x
= 0
en el punto (0; 0; 0).
Solución: x + y + z = 0:

Ejercicio 92 Comprobar que la función z = f(x; y), de…nida implícitamente por la ecuación
F(x2
y2
; y2
z2
) = 0
satisface la condición
yz
@z
@x
+ xz
@z
@y
= 0
Ejercicio 93 Demostrar que la función z(x; y), de…nida implícitamente por la ecuación
(x a cos )2
+ (y a sen )2
=
z a
m
2
donde a, y m son constantes, satisface la relación
@z
@x
2
+
@z
@y
2
= m2
Ejercicio 94 Demostrar que la función z(x; y), de…nida implícitamente por la ecuación
z2
+
2
x
=
p
y2 z2
satisface la relación
x2 @z
@x
+
1
y
@z
@y
=
1
z
Ejercicio 95 Dada la función z = (x; y), de…nida implícitamente mediante la ecuación
F x2
+ y2
z2
;
xy
z
= 0
calcular la expresión
x(y2
z2
)
@z
@x
+ y(z2
x2
)
@z
@y
Solución: z(y2
x2
):
Ejercicio 96 Determinar dx y dy en el sistema de ecuaciones
2x + y 3z 2u = 0
x + 2y + z + u = 0
Solución: dx = 1
3 (7dz + 5du); dy = 1
3 (5dz + 4du):
Ejercicio 97 Consideremos las funciones
u = u(x; y); v = v(x; y); w = w(x; y)
de…nidas implícitamente por el sistema de ecuaciones
8
<
:
x 2y + u v + w = 1
2x 2u + v + w2
= 1
x2
+ y2
+ 2u 3v2
2w = 1
Determinar las derivadas parciales de dichas funciones en el x = 1; y = 1; u = 1; v = 1; w = 0:
Solución: @u(1;1)
@x = 5
3 ; @u(1;1)
@y = 1
6 ; @v(1;1)
@x = 4
3 ; @v(1;1)
@y = 1
3 ; @w(1;1)
@x = 4
3 ; @w(1;1)
@y = 11
6 :
Ejercicio 98 El sistema de ecuaciones
xeu+v
+ 2uv = 1
yeu v u
1+v = 2x
determina dos funciones diferenciables, u = u(x; y) y v = v(x; y), tales que u(1; 2) = 0 y v(1; 2) = 0. Hallar
du(1; 2) y dv(1; 2).
Solución: du = 1
3 dy; dv = dx + 1
3 dy.

EXTREMOS
Extremos Relativos
Ejercicio 99 Estudiar los máximos y mínimos relativos de f : R3
! R dada por
f(x; y; z) = x2
+ y2
+ z2
xy + x 2z
Solución: f alcanza en ( 2=3; 1=3; 1) un mínimo estricto.
Ejercicio 100 Determinar los extremos relativos de la función u = f(x; y; z) de…nida por
u = x +
y2
4x
+
z2
y
+
2
z
; x > 0, y > 0, z > 0
Solución: en el punto (1=2; 1; 1) hay un mínimo relativo.
Ejercicio 101 Estudiar si los puntos (0; 0; 0) y (2
p
6; 2
p
3; 2
p
2) son extremos relativos de la función
f(x; y; z) = x2
+ 2y2
+ 3z2
xyz
Solución: (0; 0; 0) es mínimo y (2
p
6; 2
p
3; 2
p
2) es punto de silla.
Ejercicio 102 Estudiar los extremos relativos de la función: R2
! R de…nida por
f(x; y) = x3
+ x2
y + y2
+ 2y
Solución: en (0; 1) punto de silla; en (2; 3) punto de silla; en (1; 3=2) hay un mínimo.
Ejercicio 103 Hallar los máximos y mínimos de la función
f(x; y) = x3
+ 3xy2
15x 12y
Solución: en (2; 1) mínimo; en ( 2; 1) máximo; en (1; 2) punto de silla; en ( 1; 2) punto de silla.
Ejercicio 104 Hallar los máximos y mínimos de la función
f(x; y) = ex y
(x2
2y2
)
Solución: en (0; 0) hay punto de silla y en ( 4; 2) hay máximo.
Ejercicio 105 Determinar los extremos de la función z = f(x; y) de…nida implícitamente por la ecuación
x3
y2
3x + 4y + z2
+ z 8 = 0; z > 0
Solución: En (1; 2; 2) hay punto de silla y en ( 1; 2; 1) hay mínimo.
Ejercicio 106 Calcular los máximos y mínimos de la función
f(x; y) = x4
+ y4
2x2
+ 4xy 2y2
Solución: en (
p
2;
p
2) hay un mínimo; en (
p
2;
p
2) hay un mínimo; en (0; 0) hay punto de silla.
Ejercicio 107 Determinar los extremos de la función
z = x2
2xy2
+ y4
y5
Solución: punto de silla en (0; 0).
Ejercicio 108 Calcular los máximos y mínimos relativos de la función
f(x; y) = 2x4
+ y2
3yx2
Solución: punto de silla en (0; 0).
Ejercicio 109 Calcular los extremos relativos de la función f : R2
! R dada por:
f(x; y) = 1 + 2x2
+ 8xy + 8y2

Solución: mínimo sobre los puntos de la recta x + 2y = 0:
Ejercicio 110 Hallar los extremos relativos de la función
z = x4
+ 4x2
y2
+ 4y4
+ 1
Solución: mínimo relativo en (0; 0).
Ejercicio 111 Determinar los extremos relativos de la función
z = (x3
y)2
x8
Solución: (0; 0) punto de silla.
z = x2
+ y4
2xy2
y3
Solución: (0; 0) punto de silla.
z = x4
+ y4
+ 6x2
y2
+ 8x3
Solución: (0; 0) punto de silla; ( 6; 0) mínimo.
Ejercicio 114 Investigar los máximos y mínimos de la función
z = f(x; y) = x4
2ax2
y2
+ 3
según los distintos valores del parámetro a.
Solución: Si a > 0 : (
p
a; 0) punto de silla y (
p
a; 0) punto de silla. Si a = 0 : (0; 0) punto de silla.
Extremos Absolutos
Ejercicio 115 Hallar los valores máximo y mínimo de la función
z = sen x + sen y + sen(x + y)
en el rectángulo
0 x
2
; 0 y
2
Solución: zmax = 3
p
3
2 en 3 ; 3 ; zm{n = 0 en (0; 0):
Ejercicio 116 Hallar el máximo y mínimo absolutos de la función
f(x; y) = x2
xy + y2
sobre el conjunto
(x; y) 2 R2
=x2
+ y2
2
Solución: f alcanza su mínimo, m = 0, en (0; 0) y su máximo, M = 3, en los puntos ( 1; 1) y (1; 1).
Ejercicio 117 Determinar los extremos absolutos de las funciones:
a) z = x2
y; b) z = x2
y2
en la región
x2
+ y2
1
Solución: a) zmax = 2
3
p
3
en 2
p
3
3 ; 1p
3
; zm{n = 2
3
p
3
en 2
p
3
3 ; 1p
3
. b) zmax = 1 en ( 1; 0); zm{n = 1
en (0; 1):

Ejercicio 118 Determinar los extremos absolutos de la función
z = x3
+ y3
3xy
en el dominio
0 x 2; 1 y 2
Solución: zmax = 13 en (2; 1); zm{n = 1 en (0; 1) y en (1; 1):
Extremos Condicionados
f(x; y) = x2
+ y2
con x e y relacionadas por la ecuación
x + y 1 = 0
Solución: mínimo en el punto (1=2; 1=2).
f(x; y) = 1
x2
4
+ y2
con la condición
x2
+
y2
4
= 1
Solución: mínimos, de valor 3, en los puntos, (0; 2) y (0; 2) y máximos, de valor 3=4, en los puntos (1; 0)
y ( 1; 0).
Ejercicio 121 Determinar la distancia mínima del punto P(1; 0) a la parábola y2
= 4x.
Solución: distancia mínima, de valor 1; desde el punto (0; 0) :
Ejercicio 122 Calcular la distancia mínima del punto P (0; 0) a la curva (x 1)3
y2
= 0.
Solución: distancia mínima, de valor 1; desde el punto (1; 0) :
Ejercicio 123 Calcular los máximos y mínimos de la función
f0 (x; y; z) = x + y + z
sobre el elipsoide
x2
+ 2y2
+ 3z2
= 1
Solución: mínimo: f0
1
2
q
24
11 ; 1
4
q
24
11 ; 1
6
q
24
11 = 20
24
q
11
24 ; máximo: f0
1
2
q
24
11 ; 1
4
q
24
11 ; 1
6
q
24
11 = 20
24
q
11
24 :
z = x2
+ y2
con la condición
13x2
10xy + 13y2
72 = 0
Solución: máximo: f0
3
p
2
2 ; 3
p
2
2 = 9; máximo: f0
3
p
2
2 ; 3
p
2
2 = 9; mínimo: f
p
2;
p
2 = 4; mínimo:
f
p
2;
p
2 = 4:
Ejercicio 125 Descomponer un número positivo a en tres sumandos positivos, de modo que sea mínima la
suma de sus cubos.
Solución: mínimo en x = a
3 ; y = a
3 ; z = a
3 .

Ejercicio 126 Estudiar los extremos de la función
u = x2
+ y2
+ z2
con las condiciones
x + y = 0
y + z = 6
Solución: mínimo en ( 2; 2; 4).
Ejercicio 127 Hallar las distancias máxima y mínima del origen a la elipse de ecuación 5x2
+6xy+5y2
= 8:
Solución: dmax = 2 en
p
2;
p
2 y en
p
2;
p
2 ; dm{n = 1 en 1p
2
; 1p
2
y en 1p
2
; 1p
2
:
z = x2
+ y2
con la condición
x
2
+
y
3
= 1
Solución: zm{n = 468
169 para x = 18
13 ; y = 12
13 :
Ejercicio 129 Calcular las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x2
+ 4y2
= 4 a la recta
x + y = 4.
Solución: dm{n = 4
p
5p
2
en el punto 4p
5
; 1p
5
; dmax = 4+
p
5p
2
en el punto 4p
5
; 1p
5
:
Ejercicio 130 Determinar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de mayor volumen que se puede
inscribir en el elipsoide x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1.
Solución: Las dimensiones del paralelepípedo son: 2ap
3
; 2bp
3
; 2cp
3
.
Ejercicio 131 a) Calcular los extremos relativos libres de la función
f(x; y) = x2
y2
b) Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de f(x; y) con la
condición
x + 1 = 0
Solución: a) punto de silla en (0; 0); b) máximo condicionado en ( 1; 0):
Ejercicio 132 a) Calcular los extremos relativos libres de la función
f(x; y) = 2 x2
y2
b) Determinar, por el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos de la misma función f(x; y)
pero ahora con la condición
y 1 = 0
Interpretar grá…camente los resultados.
Solución: a) máximo en (0; 0); b) máximo condicionado en (0; 1):
Ejercicio 133 a) Calcular, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos condiciona-
dos de la función
f(x; y) = 1 x y
con la condición
(x; y) = x2
+ y2
2 = 0
b) ¿Tiene extremos relativos libres la función f(x; y)? Interpretar gra…camente los resultados.
Solución: a) máximo en ( 1; 1) y mínimo en (1; 1); b) no tiene, es un plano.

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