Sesión 03,Plano tangente, derivadas parciales y derivada direccional
- 1. CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Juan Carlos Broncano Torres
- 2. ¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?
- 3. Curva Maravillosa: Braquistócrona Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles. Cicloide generada por una circunferencia. En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli.
- 4. Logros de la sesión: Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.
- 6. NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES Ejemplo
- 7. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
- 8. PLANO TANGENTE Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
- 9. Ejemplo Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
- 10. LA GRADIENTE
- 11. PROPIEDADES DE LA GRADIENTE Ejemplo
- 12. Ejemplo Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el punto Solución 2 x2 y 2 1 Haciendo: F ( x, y, z ) z tenemos que: Fx 2x x 1 2 Fy Fz 2y 2z z y 2 4 6 Por tanto, la ecuación del plano tangente es: Por otro lado, la ecuación de la recta normal es : x 1 2t y 2 4t z 6 2t 6 x 2y z 6 0
- 13. Ejemplo Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano tangente es paralelo al plano Solución Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto y el plano paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
- 14. Ejemplo ¿En qué punto de la superficie ? la recta normal es paralela al vector Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a con lo cual, si : entonces : ; Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación : Obtenemos el siguiente sistema: Y así, el punto buscado es:
- 15. DERIVADA DIRECCIONAL La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: f ( x su1 , y su2 ) - f(x, y) D f(x, y) lim s 0 s u si el límite existe.
- 16. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y se cumple: D f(x, y) f x (x, y) u1 u f y (x, y) u 2
- 17. BIBLIOGRAFÍA # CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL 1 515.33 PURC PURCELL, EDWIN J. Cálculo Diferencial E Integral Pearson Educación 2 515 STEW/M 2002 STEWART, JAMES Cálculo Multivariable Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson Cálculo Aplicado Para Administración, Economía Y Ciencias Sociales Octava edición, México 2007,.Mcgrawhill 3 515 HOFF/C HOFFMANN, 2006 LAURENCE D.