Factorizacion tema-2
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El documento describe tres métodos para factorizar trinomios y expresiones algebraicas: 1) Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. 2) Suma y diferencia de cubos, donde se factorizan expresiones como la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo. Se dan ejemplos para ilustrar cada método.
Factorizacion tema-2
- 1. 1. Trinomio de la forma x2 +bx+c: En los productos notables aprendimos a realizar el producto de dos factores donde sus primeros términos son iguales y los segundos desiguales, así: (x+a)(x+b)=x2 +x (a+b)+ab. Por ejemplo: (x+6) (x+3)= x2 +9x+18. De acuerdo a lo anterior el trinomio se caracterizan que su primer término tiene una variable elevada al cuadrado, el segundo término tiene la misma variable con exponente 1, y un número entero como coeficiente y en el tercer término aparece un número entero. Para factorizar un trinomio de este tipo se sigue el siguiente procedimiento: Ejemplo No. 1: Factorizar: x2 +9x+18. Solución: Se escriben dos factores ( ) ( ), en ambos se escribe raíz cuadrada del primer término (x ) (x ). En el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio (x+ ) en el otro factor se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el tercero. (+ por +=+), es decir, (x ). Si los dos factores quedan signo iguales, se buscan dos números que multiplicados den como producto el tercer término del trinomio y a la vez sumados el coeficiente del segundo término del trinomio, en nuestro ejemplo como los dos signos obtenidos son iguales (ambos +) buscamos dos números que multiplicados den 18 que es el tercer término y sumados den 9 que es el coeficiente del segundo término. Estos términos son: (6) (3)=18 6+3=9 Entonces: x2 +9x+18= (x+6)(x+3) Si en los dos factores quedan signos diferentes, se buscan dos números que multiplicados den el tercer término del trinomio y restados el coeficiente del segundo, así: x2 +2x-24= (x+6)(x+4) porque (6)(4)=24 y 6-4=2 Escribimos en el primer factor el signo del segundo término del trinomio, el signo del otro factor resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término.
- 2. 2. Trinomio de la forma ax2 +bx+c: Este caso de factorización se diferencia al de la forma x2 +bx+c, porque el coeficiente del primer término es mayor que 1(a>1). Para factorizar el trinomio de este tipo se hace lo siguiente: Ejemplo No.1: Factorizar 6x2 +11x-10: Se multiplica el primer y tercer término del trinomio por el coeficientes del primer término: 6 (6x2 )= 36x2 y 6(10)=60. 36x2 +11x-60 Ahora procede como el caso anterior: (6x )(6x ) Buscamos dos números que multiplicados del 60 y restados 11. Estos números son 15 y 4. (6x 15)(6x 4) porque (15) (4)=60 y 15-4=11 Como al inicio se multiplico por 6, ahora hay que dividir los factores dentro de 6. Para obtener una división exacta conviene dividir el primer factor por 3 y el segundo por 2 ya que (6=3x2), así: (6x+15) (6x-4) = (2x+5) (3x-2) 3 x 2 Ejemplo No. 2: Factorizar: 5m2 +13m-6 Solución: 5(5m2 )=25 m2 y 5(6)=30. 25 m2 +13m-30 (5m+ ) (5m- ) (5m+15 ) (5m-2) porque (15)(3)=30 y 15-2=13. (5m+15 ) (5m-2) 5m÷5=m y 15÷5=3 5 x 1 5m÷1=5m y 2÷1=2 5m2 +13m-6= (m+3)(5m-2)
- 3. 3. Suma y diferencia de cubos: Para factorizar una suma de cubos en el primer factor se separan las raíces cubicas de cada termino por el signo más. En el otro factor se escribe el cuadrado de la primera raíz menos el cuadrado de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Para que una expresión sea una suma o diferencia de cubos debe llenar las siguientes condiciones: a) Tener dos términos separados por el signo más o el signo menos. b) Ambos términos deben tener raíz cubica exacta. Ejemplo No. 1: Factorizar: x3 +8 Solución: En primer lugar, cumple con las condiciones de una suma de cubos: pues la raíz cúbica de x3 es igual a x, y raíz cubica de 8 es igual a 2. (x+2)(x2 -2x+4) en el primer factor se suman las raíces cubicas. En el segundo factor el cuadrado de la primera raíz x2 menos el producto de la primera raíz por la segunda, 2x mas el cuadrado de la segunda, 4. Para factorar la diferencia de cubos se utiliza el mismo procedimiento que el de la suma con la diferencia que en el primer factor las raíces se restan y en el segundo factor todos los signos son más. Ejemplo No. 2: Factorar 1-8x12 Solución: Es una diferencia de cubos: la raíz cubica de 1 es igual a 1, y la raíz cubica de 8x12 =2x4 (1-2x4 ) (2x4 )2 + (1) (2x4 ) + (2x4 )2 ), como es la diferencia de cubos en el primer factor se restan las raíces. (1-2x4 ) (4x8 +2x4 +4x8 ), en el segundo factor se suman: cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.