Modulo introduccion a las edo

1
FACULTAD DE INGENIERIA
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS
DOCENTE: INGº PEDRO MONJA RUIZ
UNIDAD 04: INTRODUCCIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas y los fenómenos naturales
más interesantes implican cambios y se describen sólo por medio de ecuaciones que relacionen las
cantidades que cambian (derivadas).
En esta unidad se intentará familiarizar al alumno con la nomenclatura y la notación de la teoría de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), darle una perspectiva del vasto campo de aplicaciones
de acuerdo a su carrera profesional que encuentra este tipo de ecuaciones y comunicarle algunas
técnicas básicas de solución de las EDO más simples.
Definición.-
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es un problema que consiste en determinar una función
( x )  , a partir de su coeficiente de variación '( x ) .
El problema puede ser formulado del modo siguiente. '( x ) f ( x, ( x ))  . O en forma más general
1 2
0( ) ( ) ( n )
F( x, ( x ), ( x ), ( x ),...., ( x ))    
Ejemplos
1.
dy
dx
= y2
+ x2
2.
2
2
d y
dx
+3
dy
dx
+ 3y = 0 3. x2
2
2
d y
dx
+5x
dy
dx
+ 4y = 0
Definición.-
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de
manera no trivial en la ecuación.
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es
decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio
el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplos
1.- xdy ydx 0  es una EDO de 1° orden y primer grado.
2.-
2
2
d q dq 1
L R q E( t )
dt cdt
   es una EDO de 2° orden y primer grado.
3.-
2
2dy
4 y
dx
 
  
 
es una EDO de 1° orden y 2° grado.
Definición.-
Una EDO lineal es una ecuación que puede ser escrita en la forma
( n ) ( n 1)
n n 1 1 0a ( x )y a ( x )y .... a ( x )y' a ( x )y G( x )
     ……..(*)
En donde yia ( x ) G( x ) son funciones reales continuas y 0a ( x ) 0

2
Nota: Si ia ( x ) es una constante, la EDO se llama ecuación diferencial lineal de coeficientes
constantes, en caso contrario se llama ecuación diferencial de coeficientes variables.
Una EDO que no se puede escribir como en (*) se llama EDO no lineal.
Si G( x ) 0 la ecuación (*) se llama EDO homogénea, en caso contrario se llama no homogénea.
Ejemplos
1.-
2
3
2
d y
y x
dx
  es una EDO lineal no homogénea de 2° orden y coeficientes constantes.
2.-
2
3
2
d y
y 0
dx
  es una EDO homogénea no lineal, debido a la presencia de 3
y .
3.-
2
2
d y dy
y cos x
dxdx
  es una EDO no lineal no homogénea.
4.-
2
2
d q dq 1
L R q E( t )
dt cdt
   , es una EDO lineal no homogénea de 2° orden y coeficientes
constantes. Esta ecuación aparece en el estudio de los circuitos eléctricos.
Definición.-
Decimos que y g( x ) es una solución de la EDO, en el intervalo si
2
0( ) ( n )
F( x,g( x ),g'( x ),g ( x ),....,g ( x )) para toda x I . Es decir, una solución, es una función
g( x ) definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación, la transforma en una identidad
para todo x I .
Ejemplo .-
La función 2
4y x  , es solución de la EDO
x
y'
y

  2 2x ,   .
En efecto, derivando y se obtiene
2
4
x x
y'
yx
 
 

.
PROBLEMADE VALOR INICIAL (P.V.I)
Por un PVI para una EDO de orden n
n
n
dy d y
F( x, y, ,..., ) 0
dx dx
 se debe entender: Encontrar una
solución de la EDO en el intervalo I que satisfaga las n condiciones iniciales
n 1
0 0 0 1 0 n 1n 1
dy d y
y( x ) y ; ( x ) y ;...., ( x ) y
dx dx


   ; donde 0x I y 0 1 n 1y , y ,...., y  son
constantes dadas.

3
Ejemplo. La población P de una parvada de pájaros está creciendo a razón de 0 05
20 . x
e , donde x
es el tiempo en años. Encuentre el valor de P en términos de x si había 20 pájaros inicialmente.
Planteamiento
PVI =
, xdP
e
dx
P( )
0 05
20
0 20



 
Ahora, resolvemos la ecuación diferencial.
0 05 0 05
20 20, x , xdP
e P e dx
dx
    = 0 0520
0 05
, x
e c
,

Usando la condición inicial se tiene: P(0) = 20  20 = 0 05 020
0 05
, ( )
e c
,
  c = –380.
Por lo tanto, la población es
P = 0 0520
380
0 05
, x
e
,

¿ Cómo determinar si un PVI tiene solución única, sin resolverlo?
RESPUESTA: TEOREMADE EXISTENCIAY UNICIDAD
Dado el PVI 0 0
dy
f ( x, y ); y( x ) y
dx
  , supóngase que y
f
f
y


son funciones continuas en un
rectángulo  R ( x, y )/ a x b, c y d     que contiene al punto 0 0( x , y ). Entonces el PVI
tiene una única solución y( x ) en algún intervalo 0 0x h x x h    , donde h 0 .
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Una EDO de 1° orden se puede escribir en la forma
dy
F( x, y )
dx
 o en forma alternativa como
0M( x, y )dx N( x, y )dy  .
Ejemplo
3
3 5 2 0
2 5
dy x y
( x y )dx ( x y )dy
dx y x

     

donde 3 5 2M x y; N x y    .
Clasificación:
Las EDO de 1° se clasifican en: Ecuaciones de variables separables; Ecuaciones homogéneas;
ecuaciones diferenciales exactas, ecuaciones lineales.

4
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES
Son las que pueden escribirse en la forma: f(x) dx = g(y) dy (1)
Es decir, con las variables separadas.
Se supondrá que f(x) y g(y) son continuas respectivamente en los intervalos I y J . Por el teorema
de existencia y unicidad, habrá solución única por cada (xo , yo)  I  J, siempre que no se anule
g(y) en J.
Si y =  (x) es una solución de la ecuación diferencial (1), habrá de cumplirse la identidad :
g(x) ´ (x) dx  f(x) dx  x  I
Luego:     Ix,dx)x(fdx)x(´)x(g 
Por el cambio de variable y =  (x), se obtiene:   dx)x(fdy)y(g
Esta es la solución general que incluye una constante arbitraria C.
Ejemplo1:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial: x dx + y dy =0
Se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma:
y dy = - x dx.
Su solución general, en forma implícita, será: x2
+ y2
= C donde habrá
de ser C > 0 para que se trate de solución real, no simplemente de solución formal.
Ejemplo 2:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial: 2
y3
1x2
y


También se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la
forma: 3 y2
dy = (2 x –1) dx.
Integrando ambos miembros, su solución general será: y3
= x2
– x + c.
Ejemplo 3:
Solución general de (1- y) dx + (x+3) dy = 0. En particular hallar la solución tal que y(-1) =0
Separando variables:
1y
yd
3x
xd



. E integrando ambos miembros:
0CCln3xln1ylnóCC3xln1yln 11 
Por tanto : 3xCln1yln 1  . Luego : y-1 =  C1 (x+3)

5
Podemos por tanto escribir: y = 1 +k (x + 3) k  0
En el proceso de separar variables, se han perdido las soluciones x = -3 e y = 1.
Luego la solución general esta formada por :
y = 1 +k (x + 3), k   y la recta: x = -3.
La solución particular buscada es: )1x(
2
1
y 
En este ejemplo vemos que el haz integral puede expresarse de formas variadas, sustituyendo una
cte. C por  (k) . Pero el haz solo será el mismo si hay correspondencia biunívoca entre los valores
de C y los de k.
Ejemplo 4:
a) Solución general de la ecuación diferencial: y´ = y
Separando variables: dx
y
yd
 ( Se ha perdido la solución y = 0 al efectuar la división por y ).
Integrando : 0ek,ekeyLuego.Cxyln CxCx
 
Por tanto: y =






0ysiek
0ysiek
x
x
La solución es por tanto: y = K ex
, K   , válida incluso si K = 0, pues y = 0
es también solución de la ecuación diferencial dada.
b) Solución general de la ecuación diferencial: dx)x(dy
)y(
)y´(



 . Es una generalización
del ejemplo anterior. .
Actuando de forma análoga se obtiene como solución: 
dx)x(
eK)y(

 , K 
Ejemplo 5:
Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la
sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que
comienza el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .
La ecuación diferencial del proceso es : 0ksiendoxk
td
xd
 la constante de
proporcionalidad, no aportada en el enunciado y que se supone conocida. El signo negativo indica
que x decrece al aumentar la t.
Separando variables : tk
eCxLuegotdk
x
xd 


6
Como para t = 0 es x = xo, resulta : x = x0 e- k t
.
Ejemplo 6.
La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y
la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o
y se enfría
a 1030 o
en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o
¿ cual es la expresión
de la temperatura de la barra en función del tiempo?.
Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que
la barra a 1230º
es colocada en un ambiente a 30º
). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se
mide en minutos.
La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será: )30T(k
dt
dT
 , k>0
donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio
proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º
). El
signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t.
Separando las variables en la ecuación: dtk
30T
dT


E integrando, teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 4-b : kt
eC30T 
 , es decir:
kt
eC30)t(T 
 .
Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración:
T(0) = 1230º
 1230 = 30 + C  C = 1200 .
Luego: kt
e120030)t(T 
 .
El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de proporcionalidad:
T(10) = 1030º
 1030 = 30 + 1200 e-10 k
 k10
1
e
12
10 






Por tanto, la función buscada es:
10
t
12
10
120030)t(T 





 donde t está en minutos.
Ejemplo 7:
La evolución de las ventas de cierto producto en el tiempo es proporcional a la función f(t) =e( 2 t – 100)
.
Si la constante de proporcionalidad es 1/3, estúdiese la trayectoria de la función de ventas.
Resolución:
La evolución o variación de una función en el tiempo se mide con la derivada de tal función respecto
al tiempo , de lo que deducimos:
2 1001
3
( )tdV
e
dt

  2 1001
3
( )t
dV e dt
   2 1001
6
( )t
V e k
 
Se trata entonces de una trayectoria temporal de tipo exponencial, de modo que las ventas
crecerán, de manera exponencial, a medida que el tiempo aumente.

7
PRACTICA DIRIGIDAN° 09
INTRODUCCIONALAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
I. Para los problemas del 1 al 14, encuentre, si es posible, y en función de x. Para los
ejercicios del 15 al 20 encuentre una solución particular de ecuación diferencial que
satisface la condición dada.
Nivel 2
1.- 2 dy
(1 x ) xy 0
dx
   2.- 3 2 3
ydx ( x y x )dy 0   3.- 4 2 3x
xy dx ( y 2 )e dy 0
  
4. En las ecuaciones siguientes hallar el valor de “c” para que la ecuación dada sea de variables
separables. Encuentre su solución
a)
dy
dx
= 25 + cx + 5y + xy . b)
dy
dx
= 9
6
8
c
x
x
y
 .
5. Cuál es la solución a la EDO
2
y dy
e y = -3+ x
dx
, con condiciones iniciales x=6, y = 0
6. Indique la solución a la EDO
9 (4 9 )y x ydy
e e
dx

  
7. Resuelva la EDO 15 5 3
dy
x y xy
dx
    , luego encuentre la solución particular cuando y(3)=6.
Finalmente, evalúe la solución cuando x = 4
8. Determine el valor de y(7) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 7, a la ecuación
diferencial: (7 ) 0
dy
y x
dx
   .
9. El ingreso marginal de cierta empresa es proporcional a su gasto, con constante de
proporcionalidad 5. Su gasto marginal es constante e igual a 4. Determínese el beneficio de la
empresa en función de la cantidad producida Q, si inicialmente no hay ingresos ni gastos.
yyxyx
yx)y'xy(
(x)dy-ydx)
dyedxe
dxxyxdyyxy
yxyxy
dyyyxdxxxy
dyxxyydx
dxydyx
ydxdyx
yxyx






 









2
223
22
22
2
2
'2)10
011)9
0cos8
0)7
0)()()6
1')5
0)()4()4
0)5(3)3
0)2csc()2
02)sec()1
 
12/1;01)20
01;04))19
4/6/;0)(cos)2sec()18
12012)17
94')16
31;'3'2)15
0))(1()cos()()14
0)(cos)()13
)ln(')12
0)sec(')tan()11
2
2
2
2
2
2
2











xydxyxdy
xydyxdxxxy
xydyxdxy
xydxexxdy
xyyxyyx
xyyyyy
dyxsenxysen
dyxdxxsene
yyeyxy
xyyx
y
y
x
cuando
cuando(
cuando
cuando;
cuando;
cuando


8
10. Determine la función de demanda de un bien Q=f(p) si sabemos que la elasticidad puntual de la
demanda respecto al precio es
2
3 2p p
Q


 y que cuando el producto es de 2 u.m. la demanda
asociada asciende a 100 u.m.
11. El costo marginal de un producto en función de la cantidad producida viene dado por la función
Q3
+ 2Q. Determínese la función de coste del producto, sabiendo que cuenta con un coste fijo de
5 u.m.
12. las ventas marginales (en cientos de dólares) de una compañía están dadas por 0 2
5 , xdy
e
dx
 ,
donde x es el número de meses que la compañía ha estado abierta. Suponga que inicialmente
las ventas fueron 0. Encuentre las ventas después de 6 meses y después de 12 meses.
13. La razón a la que un nuevo trabajador de cierta fábrica produce artículos está dada por
0 2 125
dy
, ( y);
dx
  donde y es el número de artículos que el trabajador produce por día, x es el
número de días trabajados y la producción máxima por día es de 125 artículos. Suponga que el
trabajador produjo 20 artículos el primer día en su trabajo ( x = 0).
a) Encuentre el número de artículos que el nuevo trabajador producirá en 10 días
b) De acuerdo con la función de solución de la ecuación diferencial, ¿puede el trabajador
producir 125 artículos en un día?
14. Dadas las funciones de oferta S= –5 + p y demanda D= 10 –3p en un mercado en competencia,
calcular la expresión temporal del precio, sabiendo que el ritmo de variación del precio en el
tiempo es proporcional al exceso de demanda sobre la oferta, siendo la constante de
proporcionalidad 0,5 y el precio inicial de 20 u.m.
15. Determínese la tendencia del beneficio de una empresa sabiendo que la tasa instantánea de
variación de los ingresos es proporcional al beneficio inicial, y la de los gastos proporcionales al
beneficio existente en cada momento. Los ingresos y gastos iniciales son de 5 y 1 millones de
soles, y las constantes de proporcionalidad de 0,5 y 2, respectivamente.
16. Cierta región no puede sustentar más de 4 000 cabras. Actualmente en la región hay 1000
cabras, con un crecimiento constante de 0, 20.
Escriba una ecuación diferencial para la razón de crecimiento de esta población.
¿Cuál será la población de cabras en 5 años?
17. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en las tarifas postales
es proporcional al número de personas en el país que no ha oído hablar al respecto. Exprese la
cantidad de personas que ha oído hablar sobre el aumento como una función del tiempo.
R. Q(t) = B – A e–kt
18. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio con
respecto al tiempo es proporcional a la escasez D–S, donde D(p) y S(p) son las funciones
lineales de demanda y de oferta, D= 8 – 2p y S= 2+ p.
a) Si el precio es $ 5 cuando t = 0 y $ 3 cuando t =2, halle p(t). R. p(t) = 2 +3e–1,0986t
b) Determinar qué le sucede a p(t) a “largo plazo” ( cuando t crece sin límite) R. P = 2
19. (Corrupción en el gobierno) El número de personas implicadas en cierto escándalo
gubernamental aumenta a un ritmo conjuntamente proporcional al número de personas ya
implicadas y al número de personas relacionadas con el caso que aún no han sido implicadas.

9
20. Suponga que 7 personas fueran implicadas cuando un periódico de Lima hizo público el
escándalo por primera vez, que 9 personas mas resultaron implicadas en los 3 meses
siguientes, y otros 12 en los 3 meses posteriores. Cuántas personas aproximadamente estaban
involucradas en el escándalo? R. 45
21. Las ventas marginales (en cientos de dólares) de una compañía están dadas por 0 2
5 , xdy
e
dx
 ,
22. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio de
dp
dt
es proporcional a la escasez D – S, donde D es 7 – p y S = 1 + p son las funciones de
demanda y de oferta del artículo.
a) Si el precio es $ 6 cuando t = 0 y $ 4 cuando t = 4, halle p(t).
b) Demuestre que cuando t crece sin límite, p(t) se aproxima en que la oferta es igual a la
demanda.
23. Suponga que determinad artículo tiene funciones lineales de demanda y de oferta D(p) = a – bp
y S(p)= r + sp; para constantes positivas, a, b, r, s. Además suponga que el precio p es una
función del tiempo y que su razón de cambio
dp
dt
es proporcional a la escasez D –S. Halle p(t) y
demuestra que cuando t crece sin límite, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la
demanda.
24. Determínese la tendencia del beneficio de una empresa sabiendo que la tasa instantánea de
variación de los ingresos es proporcional al beneficio inicial, y la de los gastos proporcionales al
beneficio existente en cada momento. Los ingresos y gastos iniciales son de 5 y 1 millones de
soles, y las constantes de proporcionalidad de 0,5 y 2, respectivamente.
25. Cierta región no puede sustentar más de 4 000 cabras. Actualmente en la región hay 1000
cabras, con un crecimiento constante de 0, 20 .Escriba una ecuación diferencial para la razón de
crecimiento de esta población. ¿Cuál será la población de cabras en 5 años?
0 2 125
dy
, ( y);
dx
c) Encuentre el número de artículos que el nuevo trabajador producirá en 10 días
d) De acuerdo con la función de solución de la ecuación diferencial, ¿puede el trabajador roducir
125 artículos en un día?
27. Dadas las funciones de oferta S= –5 + p y demanda D= 10 –3p en un mercado en competencia,
calcular la expresión temporal del precio, sabiendo que el ritmo de variación del precio en el
tiempo es proporcional al exceso de demanda sobre la oferta, siendo la constante de
proporcionalidad 0,5 y el precio inicial de 20 u.m.

10
(Problemas propuestos para ingeniería)
28. . La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y
la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o
y se enfría
a 1030o
en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o
¿ cual es la expresión de
la temperatura de la barra en función del tiempo?.
29. Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la
sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que comienza
el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .
2
y dy
e y = -3+ x
dx
9 (4 9 )y x ydy
e e
dx

  
NIVEL 3.
Calcular la solución de las siguientes ecuaciones:
1. xln(xy)dx + ln(y)(dy - xdx) = 0 2.- 2ycosxdx+3sinxdy=0,
 
 
 
π
y =2
2
3.- y
sen( x )(e 1)dx (1 cos x )dy, y(0 ) 0
   
4. y' cos(y x)  5. 2 3y' y x  
6. 4 2 1y' x y   7. 2 1 0 1(x y)y' ; y( )   
8. Una lancha que pesa 500kg se desliza por un plano inclinado a 5º. Si la fuerza de rozamiento que
se opone al movimiento es de 20kg y la resistencia de aire expresado en kilogramos equivale a
0,05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la ecuación diferencial del movimiento.
R.
500 dv
0,05 23,6
981 dt
 
9. (Ley de enfriamiento de Newton) La razón a la que cambia la temperatura es proporcional a la
diferencia entre su propia temperatura y la del medio que la rodea. Exprese la temperatura del
objeto como una función del tiempo y dbuje la gráfica, si la temperatura del objeto es mayor que
la del medio que la rodea.
R . kt
m 0 mT T (T T )e
  
10. (Ley de enfriamiento de Newton) En un cálido día de verano se saca del refrigerador una
bebida fría y se deja en la habitación donde la temperatura es 80ºF. Exprese la temperatura de la
bebida como una función del tiempo (en minutos), si era 40ºF cuando salió del refrigerador y 50ºF
después de estar 20 minutos en la habitación temperatura
11. (Ley de enfriamiento de Newton) Un médico forense es llamado a la escena del crimen. Él
llega a las 6.00 p.m. y encuentra que la temperatura de la victima es de 35ºC. Una hora después,
la temperatura de la víctima es de 35ºC. Una hora después, la temperatura del cadáver es de
34ºC. la temperatura en la habitación es de 25ºC. Aproximadamente, ¿a qué ora se cometió el
crimen. (Suponer temperatura normal del cuerpo es 37ºC).

11
A) ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Definición.
La EDO 0M( x, y )dx N( x, y )dy  es de variables separables si M M( x ); N( x, y ) N( y ) .
Método de Solución
Para resolver 0M( x, y )dx N( x, y )dy  , se sigue los siguientes pasos:
1.- Rescribir la EDO dada como 0M( x )dx N( y )dy 
2.- Trasponer términos e integrar : N( y )dy M( x )dx N( y )dy M( x )dx    
3.- Obtención de la solución H( y ) G( x ) c 
Ejemplo:
Encontrar la solución general de : 

2 2
1
dy x y
dx x
Solución:
Paso 01:
2
2
0
1
x dy
dx
x y
 

Paso 02:
2
1 2x
x dy
dx
y
   2
1
1
dx dy
( x )dx
x y
  
  
Paso 03: 2 2
2 2 1x x ln( x ) c
y

      2
2
2 2 1
y
x x ln( x ) c


   
Nota: Una EDO de la forma 0
dy
F(ax by c ); b
dx
    se reduce a variables separables haciendo
u ax by c   de modo que 1
du dy
dx dx
 
Ejemplo: Hallar la solución de la EDO 3  
dy
x y
dx
Solución:
Hagamos u = x + y + 3 entonces 1
du dy
dx dx
  . Por otro lado se tiene:
1
du
u
dx
   1
du
u
dx
  
1
du
dx
u


 ln(u + 1) = x +c  u = Ce
x
–1.
Por lo tanto, la solución es: y = Ce
x
– x – 4.
Nota:

12
Un modelo alternativo que supone una población máxima de tamaño N, la razón de crecimiento de
una población es proporcional a qué tan cerca está la población a ese máximo. Es decir, la ecuación
diferencial
dy
k(N y)
dx
  , nos da el crecimiento limitado de la población.
Ejemplo:
Cierta región no puede sustentar más de 4 000 cabras. Actualmente en la región hay 1000 cabras,
con un crecimiento constante de 0, 20.
Escriba una ecuación diferencial para la razón de crecimiento de esta población.
¿Cuál será la población de cabras en 5 años?
Resolución:
Haga N = 4000 y k= 0,20. La razón de crecimiento de la población está dada por:
dy
k(N y)
dx
  = 0 20 4000, ( y)
Separando las variables se tiene:
0 20
4000
dy
, dx
y


 0 20
4000
dy
, dx
y

   -ln(4000 – y) = 0,2x +c
4000 – y = e
–0,2x
e
–c
 y = 4000 – B e
–0,2x
Calculamos B mediante el hecho que y= 1000 cuando x = 0. entonces B = 3000
Por tanto: y = 4000 – 3000 e
–0,2x
b) x = 5, y =  y = 4000 – 3000 e
–0,2(5)
= 2896,4  2896 cabras
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel 1
Determine las siguientes soluciones de las siguientes EDO.
1. 2 0y' xy  2. 2
2 0y' xy  3. y' ysenx
4. 1 4( x)y' y  5. 2
2 1x y' y  6. 3y' xy
7. 3 64y' xy 8. 2y' xsecy 9. 2
1 2( x )y' y 
10.
2
2
16
x
yy'
x


; y(0) = 2e 11. 2 2
3 1y' x (y )  ; y(0) = 1 12. x
y' ye y(0) = 2e
Nivel 2
1.-
2 dy
(1 x ) xy 0
dx
   2.- 3 2 3
ydx ( x y x )dy 0   3.- 4 2 3x
xy dx ( y 2 )e dy 0
  
4. En las ecuaciones siguientes hallar el valor de “c” para que la ecuación dada sea de variables
separables. Encuentre su solución
a)
dy
dx
= 25 + cx + 5y + xy . b)
dy
dx
=
9
6
8
c
x
x
y
 .

13
2
y dy
e y = -3+ x
dx
9 (4 9 )y x ydy
e e
dx

  
7. Resuelva la EDO 15 5 3
dy
x y xy
dx
    , luego encuentre la solución particular cuando y(3)=6.
Finalmente, evalúe la solución cuando x = 4
8. Determine el valor de y(7) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 7, a la ecuación
diferencial: (7 ) 0
dy
y x
dx
   .
9. Una partícula se mueve a lo largo de los ejes de tal manera que su velocidad es proporcional al
producto de su posición instantánea x ( medida de x 0 ) y el tiempo t ( medido de t 0 ). Si la
partícula esta localizada en x 54 cuando t 0 y 36x  cuando t 1 , ¿donde estará cuando
t 2 ?
10. La productividad marginal de un proceso está dado por
100
32 4
dy
dx x


, donde x representa la
inversión (en miles de dólares). Encuentre la productividad para cada una de las siguientes
inversiones si la productividad es de 100 unidades cuando la inversión es 1 000 dólares.
a) $ 3000 b) $ 5000 c) ¿Pueden las inversiones alcanzar $8000 de acuerdo con este modelo?
¿ Por qué?
11. La razón a la que el número de bacterias en un cultivo está cambiando desde la introducción de
una bacteria, está dada por 50
dy
y
dx
  donde y es el número de bacterias (en miles) presentes
en el tiempo x. Encuentre el número de bacterias presentes en cada uno de los siguientes
tiempos si había 1 000 miles de bacterias presentes en el tiempo x = 0.
a) x = 2 b) x = 5 c) x = 10
12. las ventas marginales (en cientos de dólares) de una compañía están dadas por 0 2
5 , xdy
e
dx
 ,
0 2 125
dy
, ( y);
dx
a) Encuentre el número de artículos que el nuevo trabajador producirá en 10 días
b) De acuerdo con la función de solución de la ecuación diferencial, ¿puede el trabajador
producir 125 artículos en un día?
NIVEL 3.
Calcular la solución de las siguientes ecuaciones:
1. xln(xy)dx + ln(y)(dy - xdx) = 0 2.- 2ycosxdx+3sinxdy=0,
 
 
 
π
y =2
2
3.- y
sen( x )(e 1)dx (1 cos x )dy, y(0 ) 0
   

14
4. y' cos(y x)  5. 2 3y' y x  
6. 4 2 1y' x y   7. 2 1 0 1(x y)y' ; y( )   
UNIDAD 3: INTRODUCCIÓN AECUACIONES DIFERENCIALES
B) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Una función M( x, y )es homogénea si n
M( x, y ) M( x, y )   ; donde n es el grado de
homogeneidad de la función.
Ejemplo.- 3 5M( x, y ) x xy y   es homogénea de grado 1
Definición.- Una EDO de la forma 0M( x, y )dx N( x, y )dy  se denomina homogénea si
M( x, y ); N( x, y ) son funciones homogéneas del mismo grado en las variables x, y .
También si se puede escribir de la forma:
dy y
F( )
dx x

MÉTODO DE SOLUCIÓN
Para resolver 0M( x, y )dx N( x, y )dy  , se sigue los siguientes pasos:
1.- Separar las variables usando las sustituciones y ux ò x vy , para lo cual dy udx xdu  ó
dx ydv vdy  .
2.- Resolver la EDO de variables separables 0M( x )dx N(u)du  ó 0M(v )dv N( y )dy 
3.- La solución general se obtiene sustituyendo
y
u
x
 ó
x
v
y
 , según sea el caso.
Ejemplo01: Resolver 2xy
dy
dx
= 4x2
+ 3y2
Solución.- Esta ecuación no es lineal ni separable, pero se puede escribir de la forma:
dy x 3 y
2( ) ( )
dx y 2 x
 
Sustituyendo y = ux
dy du
u x
dx dx
 
Luego,
2
du 2 3 4 3u
u x u
dx u 2 2u

    
2
du 4 3u
x u
dx 2u

  
2
du 4 u
x
dx 2u



2
2u dx
du
xu 4


   2
ln(u 4) ln x c   
ln x c ln x2 c
u 4 e e e k x

   
Reemplazando u por su equivalente se tiene: y2
+ 4x 2
= K x2
x .
Ejemplo 02: Resolver 2 2
0( y xy )dx x dy  
Solución:
Sea y = ux entonces dy = xdu + udx, reemplazando dy en la EDO se tiene
2 2 2 2
0( u x x u )dx x ( xdu udx )    2 2 2
x ( u u )dx x ( xdu udx )     ,
Eliminando x tenemos:
2
( u u )dx xdu udx    2
u dx xdu    2 2
1 du dx du
dx -
x xu u

    ,
Integrando en ambos lados se obtiene

15
1 x
ln x c ln x c
x y

     
Por lo tanto:
x
y
ln x c


ECUACIONES DE LAFORMA
dy
F(ax by)
dx
  ; donde a y b son constantes
Para resolver este tipo de ecuación se hace el siguiente cambio: z = ax + by
Entonces
dz dy
a b
dx dx
  , luego reemplazando en la ecuación original se tiene una ecuación de
variable separable y fácil de integral. Es decir:
1 dz a
F(z)
b dx b
  
dz
bF(z) a
dx
  
dz
dx
bF(z) a

 
Ejemplo:
Resolver
dy 1
y x 1
dx x y 2
   
 
Resolución:
El segundo miembro de la ecuación es una función que depende de x – y, es decir:
F(x–y) = –(x – y) – 1 +
1
(x y) 2 
Entonces se debe hacer el cambio z = x – y 
dz dy
1
dx dx
  , luego reemplazando el la ecuación
dada se tiene:
dz 1
1 z 1
dx z 2
    


2
dz 1 (z 2) 1
z 2
dx z 2 z 2
 
   
 
Separando las variables se tiene:
2
z 2
dz dx
(z 2) 1


 
   21
ln (z 2) 1 x c
2
     2
ln (x y 2) 1 2x 2c    
ECUACIONES DE LAFORMA
1 1 1
dy ax by c
F( )
dx a x b y c
 

 
; donde a, b, a1 y b1 son constantes
Para resolver este tipo de ecuación se analiza dos casos:
a) CASO I:
Si ax + by + c = 0 es una recta paralela a la recta a1x + b1y + c1 = 0 se tiene a1= ka ; b1= kb
entonces la ecuación dada queda.
1 1 1
dy ax by c
F( )
dx a x b y c
 

 
=
1
ax by c
F( )
akx bky c
 
 
=
1
ax by c
F( )
k(ax by) c
 
 
Y se hace el cambio: z = ax + by

16
Ejemplo: Resolver
dy 2x y 1
dx 4x 2y 3
 

 
Resolución:
dy 2x y 1
dx 4x 2y 3
 

 
=
2x y 1
2(2x y) 3
 
 
Hagamos z = 2x – y Entonces
dz dy
2
dx dx
  , luego reemplazando en la ecuación original se tiene.
dz z 1
2
dx 2z 3

 


dz z 1
2
dx 2z 3

 


dz 3z 5
dx 2z 3



Integrando en ambas partes se tiene:
2z 3
dz dx
3z 5


  
1
3z 52 2 dz x c
3 3z 5
 
 
 
1
2 2(1 )dz x c
3 3z 5
  

=
2 1
z ln 3z 5 x c
3 9
   
Pasando todo a las variables x, y tenemos:
2 1
(2x y) ln 6x 3y 5 x c
3 9
     
b) CASO II:
Si ax + by + c = 0 es una recta no paralela a la recta a1x + b1y + c1 = 0 el sistema de
ecuaciones:
1 1 1
ax by c 0
a x b y c 0
  

  
tiene una única solución ( x0; y0).
Entonces el cambio que se debe hacer es:
u = x – x0 ; v = y – y0
Usando regla de cadena tenemos:
1 1
dy dy du dy dy dv dv
dx du dx du dv du du
   
Reemplazando en la ecuación dad se tiene:
0 0
1 0 1 0 1
a(u x ) b(v y ) cdv
F( )
du a (u x ) b (v y ) c
   

   
=
por ser solución
por ser solución
0
0 0
1 1 1 0 1 0 1
0
au bv ax by c
F( )
a u b v a x b y c
   
   
=
1 1
au bv
F( )
a u b v


Es una ecuación homogénea de orden cero.
Ejemplo: Resolver (2x – 4y + 6)dx + (x + y – 3)dy = 0
Resolución:
Resolvemos el sistema
2x 4y 6 0
x y 3 0
  

  
tenemos x = 1 , y = 2, entonces el cambio de variables es:
u = x–1 ; v = y – 2, luego la ecuación dad con las nuevas variables es:
( 2(u + 1) – 4(v + 2) + 6)du + (u + 1 + v + 2 – 3)dv = 0
( 2u – 4v)du + (u + v)dv = 0 ( Ecuación homogénea)

17
Ahora hacemos el cambio v = uw  dv = udw + wdu, entonces la ecuación homogénea se
escribe:
( 2u – 4uw)du + (u + uw)( udw + wdu) = 0
( 2u – 4uw)du + (u + uw) udw + (u + uw)wdu = 0
( 2 – 3 w + w2
) du + (1 + w) udw = 0
Integrando se tiene:
2
du (1 w)
dw 0
u w 3w 2

 
 
  
(1 w)
ln u dw 0
(w 1)(w 2)

 
 
Usando fracciones parciales se tiene:
2 3
ln u dw dw 0
w 1 w 2
  
    ln u 2ln w 1 3ln w 2 c 0     
Regresando a la variable original tenemos:
y 2 y 2
ln x 1 2ln 1 3ln 2 c 0
x 1 x 1
 
      
 
Por lo tanto, usando propiedades de los logaritmos tenemos:
3
2
y 2
2
x 1
ln x 1 c
y 2
1
x 1
 
 
  
 
 
  

3
2
y 2x
ln x 1 c
y x 1
 
  
   
Nivel 1:
I. Determinar si las función es homogénea y, si lo es, determinar su grado:
1. f(x,y) = x3
– 4xy2
+ y3
2. f(x;y) = x3
+ 3x2
y2
– 2y2
3.
2 2
2 2
x y
f(x;y)
x y


4.
2 2
xy
f(x;y)
x y


5. f(x;y) = 2ln(xy) 6. f(x ; y) = tg(x+y)
II.- Resolver las siguientes EDO homogéneas:
1.-
dy x y
dx 2x

 R.
2
x C(x y)  2.
3 3
2
dy x y
dx xy


3.
dy x y
dx x y



R.
2 2
y 2xy x C   4.
2 2
dy x y
dx 2xy



18
5.
2 2
dy xy
dx x y


R.
2
2
x
2y
y Ce

 6.
dy 2x 3y
dx x


Nivel 2:
1. 2 2 2
(xy y x )dx x dy 0   
2.- 2 2
( xy y )dx x dy 0   
3.-
y
y xcot dx xdy 0
x
 
   
 
4.-
y y
x x(x y e )dx x e dy 0, y(1) 0   
5.- 2 2 3 1
(3x y )dx (xy x y )dy 0
   
6.- 2 2
(xy y )dx x dy 0  
7.
2 2 2
y x x ydy
dx xy
 

8.
y
xsec( ) ydy x
dx x


9. ydx x(lnx lny 1)dy 0, y(1) e    
10.
dy y(lny lnx 1)
dx x
 

Resolver los siguientes problemas.
1. Supóngase que la tasa de incremento en el costo de ordenar y sostener y, a medida que crece la
magnitud de la orden s, es igual a la relación entre la suma de los cuadrados del costo y la
magnitud, dividida por el doble producto del costo y el tamaño. Hallar la relación entre el costo de
ordenar y sostener y el tamaño de la orden si y = 3 cuando s = 1 R: y = (8s+s2
)(1/2)
2. La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa de disminución en la
demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demandada, e
inversamente ala suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si p=p0
cuando x=0.
3. La razón del incremento de las ventas s a medida que crece la gestión de propaganda x es igual
a una constante menos las ventas dividido por una constante más la gestión de propaganda. Hallar
la relación entre las ventas y la gestión de propaganda, si y= s0 cuando x = 0.
Nivel 3.
1.
dy
x y 1
dx
   2. 2dy
(x y 5)
dx
   3. 2dy
(x y 2)
dx
  
4. 2dy
sen(x y)
dx
  5.
dy x y 3
dx x y 1
 

 
6.
dy 3x y 1
dx x y 3
 

 
7.
dy x y 1
dx x y 5
 

 
8.
dy 2x y 4
dx 2y x 2
 

 
9.
dy 2x y
dx 3 4x y


 
10.
dy 2x y 1
dx 4x 2y 3
 

 

19
UNIDAD 3: INTRODUCCIÓN AECUACIONES DIFERENCIALES
C) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una EDO que pueda escribirse en la forma
dy
p( x ).y Q( x )
dx
  , donde yP( x ); Q( x ) son
funciones dadas de x se llama ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de 1° orden.
Método de Solución
1. Rescribir la EDO dada en la forma
dy
p( x ).y Q( x )
dx
 
2.- La solución se obtiene usando la fórmula siguiente :
    
  
p( x )dx p( x )dx
y e e Q( x )dx c
Del mismo modo, la ecuación  
dx
x p( y ) Q( y )
dy
tiene como solución la fórmula siguiente
    
  
p( y )d y p( y )dy
x e e Q( y )dy c
Ejemplo. 01
Determine la solución general de
2
1 dy 2 y
x cos x, x 0
x dx x
  
Solución
Para escribir esta EDO lineal en la forma canónica multiplicamos por x para obtener
2dy 2 y
x cos x
dx x
  , en este caso
2
p( x )
x

 , de modo que
dx
p( x )dx 2 2ln x
x
     , así la
solución será
( 2ln x ) ln x 2
y e e x cos xdx c
       , de donde
2 2 2 2 2 2
y x x .x cos xdx c x cos xdx c x sin x cx           
Ejemplo 02
Una empresa manufacturera a encontrado que el costo c de operar y mantener su equipo está
relacionado con la longitud x del intervalo entre las revisiones por la ecuación
2
dc b 1 ba
c
dx x x

  
Donde a y b son constantes. Hallar c como función de x si c=c0 cuando x = x0
Resolución:
Identificando los términos se tiene: p(x)=
b 1
x

y Q(x) = 2
ba
x

Luego aplicando la fórmula     
  
p( x )dx p( x )dx
y e e Q( x )dx c se tiene:
b 1 b 1
dx dx
x x
2
ba
c e e ( )dx c
x
 
      
 
 

(1 b)ln(x) (b 1)ln(x)
2
ba
e e ( )dx c
x
  
   
 


20
(b 1)
(1 b)
2
x
c x ab dx c
x


 
   
  
 = (1 b) (b 3)
x ab x dx c   
 
(1 b) (b 3)
c x ab x dx c    
  =
(b 2)
(1 b) x
x ab k
b 2


 
  
  
C = C0 ; x = x0
C0 =
1
(1 b)
0
x
ab kx
b 2


 


1
(1 b)0 0 0
0 0 (1 b)
0
x c (b 2)x ab
c ab kx k
b 2 (b 2)x



 
   
 
Por lo tanto,
(b 2)
(1 b) 0 0
(1 b)
0
c (b 2)x abx
c x ab
b 2 (b 2)x



  
   
   
ECUACIÓN DE BERNOUILLI
Una ecuación de BERNOUILLI es de la forma: n
y' yp(x) y Q(x) 
Para solucionar esta ecuación se divide entre yn
, y se obtiene: n 1 n
y y' y p(x) Q(x) 
  .
Luego se hace un cambio de variable u = y1–n
.
Ejemplo:
Resolver 5dy
y xy
dx
 
Resolución:
Dividimos entre y 5
a toda ecuación y se tiene: 5 4dy
y y x
dx
 
 
Ahora hagamos el cambio u = y –4
, 5du dy
4y
dx dx

  despejando se tiene: 51 du dy
y
4 dx dx


Luego en la ecuación dada se tiene:
1 du
u x
4 dx

  
du
u 4x
dx
   (Ecuación lineal)
Aplicando la fórmula tenemos:
4dx 4dx
u e e ( 4x)dx c
     
   =
4x 4x
e 4 xe dx c   
  =
4x
x 4x e
e xe c
4

 
   
  
Por lo tanto, 4
1
y
=
4x1
x ce
4

  
Nivel 1
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.
xdy
3y e
dx
 
2.
dy
y cosx
dx
 
3.
dy
3y x
dx
 
4.
dy
2y 1
dx
 
5.
dy
3y 2
dx
 
6.
xdy
3y e
dx

 

21
7.
dy
y cos3x
dx
  8.
dy
y x
dx
  9.
dy
y 2x 1
dx
  
Nivel 2
1.
dy
2xy 4x
dx
  2. 3 2dy
x y x 3x 2x
dx
   
3.
dy
y 2 2x
dx
   4.
dy y
1
dx x
 
5. 2dy
x 3y x
dx
  6. 2 2dx
y xy 2y 1
dy
  
7. xdy – 3ydx = x2
dx 8. ydx + (x + xy – ey
) dy = 0
9. dy + (2xy – 2x
2
x
e
)dx = 0 10. 2dy 2y
x sen(3x)
dx x
 
11. xdy – 2ydx = (x–2)ex
dx 12.  
dy
6y 10sen(2x)
dx
13. ydx +(xy + x–3y)dy = 0 14. dy +(2yctg(x)+sen(2x))dx = 0
4. El incremento en el número de nuevos artículos probados y, a medida que crece la cantidad x
asignada a investigación y desarrollo, es igual a una constante multiplicada por el producto del
número de artículos nuevos probados y la suma asignada a investigación y desarrollo, más otra
constante multiplicada por la relación entre la suma asignada a investigación y desarrollo dividida por
el número de artículos nuevos probados. Encontrar la relación entre el número de artículos nuevos
probados y la suma asignada a investigación y desarrollo, si y=y0 cuando x=0
5. La unidad de control de costos de una importante firma de contadores públicos ha encontrado
que, a medida que se ampliaba ella, el costo promedio mensual y de los elementos de oficina se
relacionaba con el número x de empleados (además del director de unidad) por medio de la
ecuación 2
2 xdy
y y e
dx

  . Hallar y como una función de x, si y=3 cuando x=0.
6. El cambio en las unidades netas P a medida que cambia el gasto en propaganda x, está dado
por ( )
dP
k a P x
dx
   , donde a y k son constantes. Hallar P como función de x, si P=P0 cuando
x = 0.
7. El cambio en el costo de ordenar y sostener C, a medida que cambia la cantidad está dado por
dC C
a
dx x
  donde a es una constante. Hallar C como función de x, si C = C0 cuando x=x0.
8. Los costos C de fabricación y mercado están relacionados con el número x de los ítems, según
dC
aC b kx
dx
   donde a, b, y k son constantes. Hallar C como función de x si C=0 cuando x = 0.
9. El cambio en el consumo C de una mercancía particular, a medida que cambia la renta I, está
dado por IdC
C ke
dI
  donde k es constante. Hallar C como función de I, si C = C0 cuando I=0.

22
10. La demanda y la oferta (por unidad de tiempo) de un artículo están dadas respectivamente por x
y y, siendo p el precio unitario: x= ap+b , y = cp +d.
11. Supóngase que el precio cambia de tal manera que el exceso de la demanda sobre la oferta
decrece a una tasa proporcional al exceso. Demostrar que:
a) ( ) ( )
d
x y k x y
dt
    b) 0( )
dp
k p p
dt
   , donde
b d
p
c a



c) El precio unitario tiende a un valor de equilibrio p , y 0( ) k t
p p p p e
   donde p0 es el precio
inicial cuando t=0.
12. El incremento en el número de nuevos artículos probados y, a medida que crece la cantidad x
asignada a investigación y desarrollo, es igual a una constante multiplicada por el producto del
número de artículos nuevos probados y la suma asignada a investigación y desarrollo, más otra
constante multiplicada por la relación entre la suma asignada a investigación y desarrollo dividida por
el número de artículos nuevos probados. Encontrar la relación entre el número de artículos nuevos
probados y la suma asignada a investigación y desarrollo, si y=y0 cuando x=0
Nivel 3
1. Resolver:
a) 2 2
(1 ) ( 1 )y dx y seny xy dy   
b) xdy + ydx = x3
y6
dx
c) xdy – {y + xy3
(1+ln(x)}dx = 0
d) 2senx. 'y + y cosx = y3
(xcosx – senx)
e) 4dy 1 1
y (1 2x)y
dx 3 3
  
2. Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohmios se conecta en serie con una fuerza
electromotriz de 100 voltios, si la corriente es cero cuando t=0. ¿Cuál es la corriente después de
0,1seg?. I= 3,39 amp.
3. En un circuito RC el condensador tiene una carga inicial q0 y la resistencia R varia linealmente de
acuerdo a la ecuación R = k1 + k2t, con k1>0 y k2>2. La segunda ley de Kirchoff, que suponemos
válida pese a que R no es constante asegura que Ri + 0
q
Ri E
c
  esto es:
1 2 0
1
( )
dq
k k t q E
dt c
   . Encontrar i cuando t=0,3 segundos.
q0 = 2coloumbios, k1 = 1, k2 =0,1; c=0,05 faradios, E0 = 50 voltios i = 0,0244 amp.
4. Hallar la intensidad de corriente que circula por un circuito RL impulsada por la fuerza
electromotriz V=V0e–2t
cos2t cuando L = 0,4 henrios. R = 5ohm. V0 = 100 voltios, i=0 para t=0
5. Si un circuito eléctrico contiene una resistencia R (ohmios) y un condensador de capacidad C
(Faradios) en serie y una f.e.m. E (voltios), la carga del condensador q(culombios) está dada por:
dq q
R E
dt c
  . Si R = 10 ohmios, C=10–3
faradios y E(t) = 100 sen(120 t).
a) hallar q, suponiendo que q = 0 para t = 0
b) Emplear I=
dq
dt
para hallar I, suponiendo que I=5 amperios cuando t = 0.

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