Ej controlab observab
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El documento analiza la controlabilidad y observabilidad de un sistema discreto definido por matrices A, B y C. Determina que el sistema es totalmente controlable y observable. Calcula los índices de controlabilidad y observabilidad, y el número de estados controlables/observables con cada entrada/salida. Finalmente, determina las secuencias de control y el esfuerzo necesario para llevar el sistema desde un estado inicial a uno final en diferentes escenarios.
![Ejercicio Controlabilidad-Observabilidad
1. Para el sistema discreto definido por las siguientes matrices:
0100
1000
;
10
00
00
01
;
1.0100
03.010
002.01
0004.0
=
=
−
−
−
−
= CBA
Determinar:
a) ¿Si el sistema es totalmente controlable y observable?
rank(ctrb(A, B)) = 4 Sistema totalmente controlable
rank(obsv(A, C)) = 4 Sistema totalmente observable
b) Número de estados controlables con cada una de las entradas.
rank(ctrb(A, B(:,1))) = 4 Sistema totalmente controlable con u1
rank(ctrb(A, B(:,2))) = 1 Un estado controlable con u2
c) Índices de controlabilidad de cada entrada y global del sistema.
rank([B(:,1) B(:,2)]) = 2
rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1)]) = 3
rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A*B(:,2)]) = 3
rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A^2*B(:,1)]) = 4
Se obtiene: 31 =µ , 12 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ
d) Número de estados observables con cada una de las salidas.
rank(obsv(A, C(1,:))) = 4 Sistema totalmente observable con y1
rank(obsv(A, C(2,:))) = 3 Tres estados observables con y2
e) Índices de observabilidad de cada salida y global del sistema.
rank([C(1,:); C(2,:)]) = 2
rank([C(1,:); C(2,:); C(1,:)*A]) = 2
rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A]) = 3
rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(1,:)*A^2]) = 3
rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(2,:)*A^2]) = 4
Se obtiene: 11 =µ , 32 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ
f) La secuencia de acciones de control y el esfuerzo de control que se deben aplicar para
llevar el sistema desde un estado inicial x(0) = [0.5 0.5 0.5 0.5]T
hasta un estado final
x(N) = [0 0 0 0]T
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( )
( )
−
⋅⋅⋅⋅+=
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=
⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=
⋅+⋅=
−−
1
0
0
2100223
100112
001
21
23
2
Nu
u
BBABABAxANx
uBuBAuBAxAuBxAx
uBuBAxAuBxAx
uBxAx
NNN
MK
( )
( )
[ ] ( ) ( )( )0
1
0
121
xANxBBABABA
Nu
u
NNN
−⋅⋅⋅⋅=
−
−−−
KM](https://image.slidesharecdn.com/ejcontrolabobservab-101125082924-phpapp02/85/Ej-controlab-observab-1-320.jpg)
![En los siguientes casos:
- En tiempo mínimo:
coincide con el índice de controlabilidad del sistema.
U=inv([A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1) B(:,2)])*(xN-(A^3)*x0)
( )
( )
( )
( )
−
=
=
0.2645
0.0071
0.0851
0.3685
2
2
1
0
2
1
1
1
u
u
u
u
U
Esf_cont = sum(U.^2) = 0.2130
- Utilizando sólo una de las entradas:
en 4 instantes se controlan los 4 estados, utilizando la entrada
u1 por ser la única que puede controlar los 4 estados.
U=inv([A^3*B(:,1) A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1)])*(xN-(A^4)*x0)
( )
( )
( )
( )
=
=
0.0006
0.0140
0.1089
0.3950
3
2
1
0
1
1
1
1
u
u
u
u
U
Esf_cont = sum(U.^2) = 0.1680
- En cuatro instantes de muestreo.
U=pinv([A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^4)*x0)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−−
−
−
=
=
1714000350
0171003110
0017004690
0002022180
33
22
11
00
8:7
6:5
4:3
2:1
21
21
21
21
..
..
..
..
uu
uu
uu
uu
U
U
U
U
Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0821
- En cinco instantes de muestreo.
U=pinv([A^4*B A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^5)*x0)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−−
−
−
=
=
0954000160
0095001070
0010000420
0001009440
0000009530
44
33
22
11
00
10:9
8:7
6:5
4:3
2:1
21
21
21
21
21
..
..
..
..
..
uu
uu
uu
uu
uu
U
U
U
U
U
Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0273](https://image.slidesharecdn.com/ejcontrolabobservab-101125082924-phpapp02/85/Ej-controlab-observab-2-320.jpg)
Ej controlab observab
- 1. Ejercicio Controlabilidad-Observabilidad 1. Para el sistema discreto definido por las siguientes matrices: 0100 1000 ; 10 00 00 01 ; 1.0100 03.010 002.01 0004.0 = = − − − − = CBA Determinar: a) ¿Si el sistema es totalmente controlable y observable? rank(ctrb(A, B)) = 4 Sistema totalmente controlable rank(obsv(A, C)) = 4 Sistema totalmente observable b) Número de estados controlables con cada una de las entradas. rank(ctrb(A, B(:,1))) = 4 Sistema totalmente controlable con u1 rank(ctrb(A, B(:,2))) = 1 Un estado controlable con u2 c) Índices de controlabilidad de cada entrada y global del sistema. rank([B(:,1) B(:,2)]) = 2 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1)]) = 3 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A*B(:,2)]) = 3 rank([B(:,1) B(:,2) A*B(:,1) A^2*B(:,1)]) = 4 Se obtiene: 31 =µ , 12 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ d) Número de estados observables con cada una de las salidas. rank(obsv(A, C(1,:))) = 4 Sistema totalmente observable con y1 rank(obsv(A, C(2,:))) = 3 Tres estados observables con y2 e) Índices de observabilidad de cada salida y global del sistema. rank([C(1,:); C(2,:)]) = 2 rank([C(1,:); C(2,:); C(1,:)*A]) = 2 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A]) = 3 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(1,:)*A^2]) = 3 rank([C(1,:); C(2,:); C(2,:)*A; C(2,:)*A^2]) = 4 Se obtiene: 11 =µ , 32 =µ , ( ) 3,max 21 == µµµ f) La secuencia de acciones de control y el esfuerzo de control que se deben aplicar para llevar el sistema desde un estado inicial x(0) = [0.5 0.5 0.5 0.5]T hasta un estado final x(N) = [0 0 0 0]T , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) − ⋅⋅⋅⋅+= ⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅= ⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅= ⋅+⋅= −− 1 0 0 2100223 100112 001 21 23 2 Nu u BBABABAxANx uBuBAuBAxAuBxAx uBuBAxAuBxAx uBxAx NNN MK ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )0 1 0 121 xANxBBABABA Nu u NNN −⋅⋅⋅⋅= − −−− KM
- 2. En los siguientes casos: - En tiempo mínimo: coincide con el índice de controlabilidad del sistema. U=inv([A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1) B(:,2)])*(xN-(A^3)*x0) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = 0.2645 0.0071 0.0851 0.3685 2 2 1 0 2 1 1 1 u u u u U Esf_cont = sum(U.^2) = 0.2130 - Utilizando sólo una de las entradas: en 4 instantes se controlan los 4 estados, utilizando la entrada u1 por ser la única que puede controlar los 4 estados. U=inv([A^3*B(:,1) A^2*B(:,1) A*B(:,1) B(:,1)])*(xN-(A^4)*x0) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0.0006 0.0140 0.1089 0.3950 3 2 1 0 1 1 1 1 u u u u U Esf_cont = sum(U.^2) = 0.1680 - En cuatro instantes de muestreo. U=pinv([A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^4)*x0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − −− − − = = 1714000350 0171003110 0017004690 0002022180 33 22 11 00 8:7 6:5 4:3 2:1 21 21 21 21 .. .. .. .. uu uu uu uu U U U U Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0821 - En cinco instantes de muestreo. U=pinv([A^4*B A^3*B A^2*B A*B B])*(xN-(A^5)*x0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − −− − − = = 0954000160 0095001070 0010000420 0001009440 0000009530 44 33 22 11 00 10:9 8:7 6:5 4:3 2:1 21 21 21 21 21 .. .. .. .. .. uu uu uu uu uu U U U U U Esf_cont = sum(U.^2) = 0.0273