Transformacion de coordenadas(geometría)
- 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación I.U.P ¨Santiago Mariño¨ TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Realizado por: Andrea Ramírez C.I. 26.344.379 Ing. Eléctrica
- 2. Introducción En geometría, la transformación representa un cambio cualitativo. En términos reales, es una función matemática que cambia la posición o dirección de los ejes de un sistema de coordinadas. También puede ser entendida como una función que mapea un set en otro set o incluso en sí mismo. La transformación puede tomar diferentes formas – ya sea un tipo de transformación o muchos tipos diferentes combinados. Una combinación de transformaciones diferentes se conoce como una transformación compuesta mientras que una transformación simple conlleva sólo un tipo de función de transformación.
- 3. Definición de transformación de coordenadas: La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación. Tenemos en la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. (x-h)² + (y-k)² = r² El centro 0´ de coordenadas (h, k) Se le coloca en el origen (0,0) y nos quedaría de la forma canónica x² + y² = r² En vez de llevar a la circunferencia a su centro también podemos mover los ejes de manera que el origen 0 coincida con el centro 0´ (h, k). Las coordenadas del punto P serian (x´, y´) La ecuación de la circunferencia está dada en la forma canónica x´² + y´² = r² Traslación de los ejes coordenados: Teorema 1 Se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen 0’ (h, k) y las coordenadas del punto P son (x, y) antes y (x’, y’) después. Las ecuaciones de transformación son: x = x’ + h y = y’+ k Transformar la ecuación: x³-3x²-y² +3x+4y-5=0 al nuevo origen (1, 2) y trazar el lugar geométrico y los dos sistemas de ejes. x = x’+ 1, y = y’+2 sustituimos los valores de x y y en la ecuación original. (x’+1)³-3(x’+1)²-(y’+2)²+3 (x’+1)+4(y’+2)-5=0 Rotación de los ejes coordenadas: Teorema 2. Si los ejes coordenados giran un ángulo ѳ en torno a su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P (x, y) antes y (x’, y’). Las ecuaciones de transformación son: x = x’cos ѳ – y’sen ѳ y = y’sen ѳ + y’cos ѳ Transformar la ecuación 2x²+√3 xy + y² = 4 girando los ejes coordenados un ángulo de 30°. Obtenemos las siguientes ecuaciones: x = x’ cos 30° - y sen 30° = √3/2 x’ – ½ y’ y = y’ sen 30° + y’ cos 30° = ½ x’ + √3/2 y’
- 4. Sustituimos los valores en la ecuación original y obtenemos la ecuación transformada 5x’² + y’² = 8 Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas: Se puede usar ambos métodos para transformar las ecuaciones de una manera más fácil y lógica. Por el primer método obtenemos las ecuaciones x = x’+ h y = y’+ k Por el segundo obtenemos x’=x’’ cos ѳ - y’’ sen ѳ y’=y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ Si sustituimos los valores de x’ y y’ obtenemos las ecuaciones buscadas x = x’’ cos ѳ – y’’ sen ѳ + h y = y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ + k La parábola: Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz. Teorema 1 la ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X es: y² = 4px Si el eje de una parábola coincide con el eje, ¨Y¨, y el vértice está en el origen, su ecuación es: x² = 4py Una parábola de origen en el centro coincide con el eje ¨Y¨, y pasa por el punto (4, -2) por el teorema 1 obtenemos x² = 4py, como la circunferencia pasa por el punto debe satisfacer a la ecuación16 = 4p (-2) donde P es = -2 como el foco es de coordenadas (0, p ) y = -p y = 2 Ecuación de la parábola del vértice en el origen y eje en un eje coordenado: El foco está sobre el eje x sus coordenadas son (p, 0) por definición el punto P debe satisfacer la ecuación |FP| = |PA| en donde |FP| = √(x - p)²+ y² |PA| = |x + p| Si igualamos las ecuaciones y resolvemos obtenemos y²=4px
- 5. Teorema 2. La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma (y - k)² = 4p (x - h) Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma (x - h)² = 4p (y - k) Teorema 3. Una ecuación de segundo grado en las variables ¨x y¨, y que carezca del termino xy puede escribirse de la forma: Ax²+Cy²+Dx+Ey+F = 0 La ecuación de la tangente de una parábola: La ecuación de la tangente a la parábola es y = 4px en un punto cualquiera: y - y₁ = m(x - x₁) de esta se puede determinar la pendiente m. Se reemplaza el valor de y en la ecuación de la parábola y se obtiene: y₁ y = 2p (x+ x₁) Teorema 4 la tangente a la parábola y² = 4px en cualquier punto P (x₁, y₁) de la curva tiene por ecuación: y₁y = 2p(x + x₁) Teorema 5 la tangente de pendiente m a la parábola y² = 4px tiene por ecuación: y = mx + P/m La función cuadrática: La forma: ax² + bx + c, en donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama función cuadrática y puede ser investigada por la relación y = ax²+bx+c Teorema 6. La función cuadrática ax² + bx +c, a ≠0 está representada gráficamente por la parábola y = ax² + bx + c. Teorema 7 La normal a la parábola en un punto P₁ (x₁, y₁) cualquiera de la parábola forma ángulos iguales con el radio vector de P₁ y la recta que pasa por P ₁ y es paralela al eje de la parábola. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
- 6. Teorema 1. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, su distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2ª es: x²/a² + y²/b² = 1 La ecuación de la elipse con referencia a los ejes X’ y Y’ está dada por x’²/a² + y’²/b² = 1 Teorema 2. La ecuación de la elipse de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje X, está dada por la segunda forma ordinaria, (x -h) ²/ a²+ (y - k) ²/ b² =1 Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria (x -h) ²/ b²+ (y - k) ²/ a² =1 Teorema 3. Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación: Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 Representan una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real. Teorema 4. La tangente a la elipse b²x²+a²y² = a²b² en cualquier punto P₁ (x₁, y₁) de la curva tiene por ecuación: b²x₁x+a²y₁y = a²b² Teorema 5 las ecuaciones de las tangentes de pendientes m a la elipse b²x²+ a²b²= a²b²son: Y = mx +- √a²m²+b² Teorema 6. La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
- 7. Conclusión Hemos visto que en geometría analítica, al igual que en física, es muy importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Y como se explicó a través del desarrollo de este trabajo, se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro por rotación.