Calculo camila convertido
- 1. Republica Bolivariana de Venezuela Universidad Politécnica Territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco Camila Anzola Higiene y seguridad Laboral Sección 001
- 2. El plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y. En tanto, para localizar los puntos en el plano cartesiano se deberá tener en cuenta lo siguiente… para localizar las abscisas o valor de las x, se contarán las unidades correspondientes en dirección derecha, si son positivas y en dirección izquierda, si son negativas, partiendo del punto de origen que es el 0.
- 3. Distancia entre dos puntos . Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1). Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2) Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
- 4. Ejercicio: Hallar la distancia entre los puntos P1(-4,-3) y P2(2,5) Ejercicio 2
- 5. Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 Ecuación : xC = xa+ xb = -1 + 6 = 5 = 2.5 2 2 2 yc= ya + yb = 3 + 5 = 8 = 4 2 2 2 Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3) y B(6, 5). Solución. Resultado: С(2.5, 4).
- 6. ➢Circunferencia Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0. Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
- 7. Ejercicio : Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3 E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6 La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36 http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de %20Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm
- 8. ➢Parábola : Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y – q) desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0 Si hacemos D = – 2p E = – 4c F = p2 + 4cq obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2. Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.
- 9. Ejercicio En base a la ecuación de las siguiente parábola determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados rectos y la gráfica.
- 10. ➢ Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que: Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente: Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 Si hacemos: A = b2 B = a2 C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
- 11. Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0 Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2 Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2 Þ a = 3 Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q). C = 24 Þ 24 = – 2pb2 Þ p = – 3 D = – 54 Þ – 54 = – 2qa2 Þ q = 3 El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p2b2 + q2a2 – a2b2 = 81 La ecuación de la elipse queda:
- 12. ➢Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola . Ecuación centrada en (0,0) Ecuación de una hipérbola trasladada Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q) Las ecuaciones de las asíntotas son:
- 14. Bibliografía • https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos_puntos • http://matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html • https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_medio • http://es.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/points_center/ • http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Mat ematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm • Libro Jose sanz calculo 1