Plano Numérico.docx
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universitaria politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco. PLANO NUMÉRICO Integrante Génisis Betancourt CI: 30759819 Sección HS0143 Profe Larry Sugueri
- 2. Plano Numérico Es conocido como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares , una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero .El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la circunferencia, la hipérbole, la línea y la elipse , las cuales estás forman parte de la geometría analítica. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano , la cual está representada por el sistema de coordenadas. Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados ( abscisa, ordenada ), el origen y las coordenadas.
- 3. Distancia Cómo distancia se define la longitud del segmento de la recta que une dos puntos representados en el espacio euclídio . Como tal , se expresa numéricamente. También se puede decir que la distancia entre dos es igual a la longitud del segmento que los une . Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos puntos diferentes se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados . Dadas las coordenadas de dos puntos distintos. La fórmula de la distancia entre dos puntos es: Por otra parte , en geometría analítica la demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos también se puede hacer a partir del teorema de Pitágoras. Ejercicios: 1)Calcular la distancia entre los siguientes puntos: P ( 3,2 ) P( 6,6 ) 𝑑(𝑝1, 𝑝2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)²
- 4. = √(6 − 3)2 + (6 − 2)² = √(3)2 + (4)² = √9 + 16 = √25 = 5 2)Calcular la distancia entre los puntos: A(8,6) B(–4,1) 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(−4 − 8)2 + (1 − 6) = √(−12)2 + (−5) = √144 + 25 = √169 = 13 Punto medio Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales . El punto medio puede ser encontrado al dividir a la suma de las coordenadas X por 2 y dividir a la suma de las coordenadas Y por 2 . Fórmula y Gráfica Ejercicios: Determinar las coordenadas del punto medio entre los puntos P(1,4) P(5,8). 𝑀 = ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) = ( 1 + 5 2 , 4 + 8 2 ) = ( 6 2 , 12 2 ) = (3,6)
- 5. 2) Si tenemos los puntos (–3,5) y (5,8), ¿Cuál es su punto medio? 𝑀 = ( −3 + 5 2 , −5 + 8 2 ) = ( 2 2 , 3 2 ) = (1, 3 2 ) Ecuaciones y trazados de la circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia (r) de un punto ( c ) llamado centro . A esta distancia ( r ) le llamamos radio . Ecuación cónica de la circunferencia Vamos a reducir la ecuación de la circunferencia. Dibujamos una circunferencia de centro C = ( a, b ) y radio ( r ) . Y dibujamos un punto cualquiera P ( x , y ) de la circunferencia . En el triángulo rectángulo que se muestra en la imagen se aplica Pitágoras. ( x – a)² + ( y – b ) ²= r² Esta es la ecuación canónica ( o reducida ) de la circunferencia de centro ( a, b ) y radio ( r ).
- 6. Ecuación general de la circunferencia A partir de la ecuación canónica, si quitamos paréntesis y ordenamos la expresión, obtendríamos : ( x – a)² + (y – b)² = r² x² + a² – 2ax + y² + b² – 2by = r² x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 Si hacemos cambios D= –2 a E= –2b F= a² + b² – r² Podemos expresarla como : x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Lo que se conoce como ecuación general de la circunferencia. Ejercicios: 1) Hallar la ecuación general de la circunferencia conociendo el centro y el radio. C=(2,5) r=3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟² (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 3² 𝑥2 − 2. 𝑥. 2 + 22 + 𝑦2 − 2. 𝑦. 5 + 52 = 9 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 10𝑦 + 25 = 9 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 4 + 25 − 9 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 + 20 = 0 2) Encontrar el centro y radio de la circunferencia conociendo la ecuación general X²+y²–8x–10y+40=0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟² 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 40 = 0 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 10𝑦 + 25 = −40 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 10𝑦 + 25 = −40 + 16 + 25
- 7. (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 1 𝑐 = (4,5) 𝑟 = √1 = 1 Parábola Una Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco ) y de una recta fija ( denominada directriz) . Por lo tanto cualquier punto de una parábola está a la misma distancia de su foco y de su directriz. Ejercicios: 1) Pasar de la ecuación canónica a la ecuación general de la parábola (X–5)² = 8(y–3) 𝑥2 − 2. 𝑥. 5 + 52 = 8𝑦 − 2𝑦 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 8𝑦 − 24 𝑥2 − 10𝑥 − 8𝑦 + 25 + 24 = 0 𝑥2 − 10𝑥 − 8𝑦 + 49 = 0 2) Determinar su vértice y foco V=? F=? 2x²+8x-y+8=0 (X–h)²= ± 4p(y–k) 2𝑥2 + 8𝑥 = 𝑦 − 8
- 8. 𝑥2 + 4𝑥 = 𝑦 2 − 4 T.C.P 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 4 2 − 4 + 4 (𝑥 + 2)2 = 1 2 𝑦 −ℎ = +2 ℎ = −2 −𝑘 = −0 𝑘 = 0 V=(–2,0) 4𝑝 = 1 2 = 4𝑝 4 = 1 2 4 1 = 𝑝 = 1 8 F=(–2,1/8) Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante También podemos definirla como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base. Elementos Focos Son los puntos fijos F y F’ Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF’. Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF’. Distancia focal Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses – 3 de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A’, B y B’. Eje mayor Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses – 4 de longitud 2ª, a es el valor del semieje mayor.
- 9. Eje menor Es el segmento Explicaciones y ejemplos de elipses – 5 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por: Ejercicios: 1) el centro los ejes y los focos de la siguiente elipse: (𝑥 + 1)² 25 + (𝑦 − 2) 16 = 1 Solución Se observa que el centro es C (- 1, 2). Además, a2 = 25 y b2 = 16. Por ello, a = 5 y b = 4, de forma que el eje mayor es 2 a = 10 y el eje menor de 2 b= 8 Como debe cumplirse que a2 = b2 + c2, podemos despejar el valor de la semidistancia focal
- 10. 25 = 16 + 𝑐2 𝑐2 = 9 𝑐 = √9 = 3 De esta forma los focos son: F(–1+3,2) y F’(–1–3,2) F(2,2) y F(–4,2) 2)Obtener la ecuación cónica x²+4y=16 Sol: 𝑥2 16 + 𝑦2 4 = 1 Hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F’, es siempre constante . La fórmula de la ecuación general de una hipérbola es la siguiente: Ejercicios:
- 11. 1) Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje real horizontal igual 8 y distancia focal 10. A partir de conocer el eje real y la distancia focal se tiene: 2𝑎 = 8 𝑎 = 4 2𝑐 = 10 𝑐 = 5 Encontramos el valor de B 𝑏 = √𝑐² − 𝑎² = 𝑏 = √9 = 3 La ecuación de la hipérbola es 𝑥2 16 − 𝑦2 9 = 1 2) El eje principal de una hipérbola es horizontal y mide 12. Si el centro se encuentra en el origen y la curva pasa por el punto P(8, 14), hallar su ecuación. La ecuación de la hipérbola es de la forma 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 Para obtener {a} utilizamos el eje principal 2𝑎 = 12 𝑎 = 6 Para encontrar {b^2} sustituimos {a} y el punto {P(8, 14)} en la ecuación de la hipérbola 82 36 − 142 𝑏2 = 1 𝑏 = 252 La ecuación buscada es 𝑥2 36 − 𝑦2 252 = 1 Representaciones gráficas de las ecuaciones de las cónicas Circunferencia (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
- 12. Parábola (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) (𝑦 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − ℎ) Elipse : (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (𝑦 − ℎ)² 𝑎2 + (𝑥 − 𝑘)² 𝑏2 = 1
- 13. Hipérbola (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1