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- 1. Vectores en el plano y el espacio
- 2. • Un vector es la representación gráfica de una magnitud física llamada magnitud vectorial, inscrito dentro de un formato de plano cartesiano. Las magnitudes vectoriales tienen tres componentes: la cantidad, la dirección y el sentido. Algunas de estas magnitudes, son el desplazamiento (recorrido o distancia), la velocidad y la fuerza. Con vectores también se representa la interacción de dos o más magnitudes vectoriales, para obtener y representar el resultado final de esa interacción.
- 3. Caracterisiticas de Vector en el plano • Magnitud. La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa con el vector. • Cantidad. La cantidad, también conocida como intensidad o módulo, son las unidades de medidas representadas mediante la longitud del vector desde el punto de origen hasta la punta. • Espacio vectorial. También llamado espacio euclideo, es el tipo de plano cartesiano sobre el que se traza el vector y en el que se indica su dirección. Puede ser unidimensional (Eje X, recta numérica), bidimensional (Ejes XY, coordenadas cartesianas) y tridimensional (Ejes XYZ, trazo espacial).
- 4. Vectores en el plano • El plano cartesiano permite asociar a cada punto del plano, un par ordenado de números • Un vector es un segmento orientado que tiene una dirección determinada, un sentido y un módulo.
- 5. • Dirección. La dirección es la característica del vector que indica el plano sobre el que actúa la magnitud de la cual se está tratando. Puede ser en cualquiera de los planos Euclidianos tridimensionales (Ejes XYZ). Cuando se trata de magnitudes que actúan en una misma dirección, generalmente se representan sobre el eje horizontal del plano cartesiano (Eje X), usualmente representado como un segmento de recta numérica, y sobre el que se representan unos sobre otros, cada uno de los vectores. • Sentido. Como en la recta numérica, el sentido es determinado desde el punto de origen indicando en qué dirección se está aplicando la magnitud de que se trate. Cuando actúa en una sola dirección, (Eje X) el sentido se expresa en sentido positivo o negativo. Cuando actúa en dos planos (ejes X y Y), su sentido puede expresarse en forma de coordenadas de un plano cartesiano (XY), o bien, como movimientos en un sistema de coordenadas de puntos cardinales (norte, sur, nororiente), o bien, una combinación de ambos. En los casos de vectores tridimensionales, la dirección se indica del punto de origen al punto de llegada, con una representación de coordenada espacial (XYZ).
- 6. Ejemplo Vector fijo o ligado • Si sobre la recta R hay dos puntos (a y b) podemos ir desde a hasta b o desde b hasta a. • Para indicar a cual de los dos casos nos estamos refiriendo colocamos una flecha en uno de los extremos. A)
- 7. B) C) En la figura b) indicamos que vamos desde a hasta b. y en la figura c) vamos desde b hasta a.
- 8. Vector en el espacio • Esta formado por todas las ternas • En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio .
- 9. Vectores en el espacio • Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. • Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). • Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
- 10. • Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
- 11. Componentes de un vector en el espacio • Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
- 12. Módulo de un vector • El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. • El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
- 13. Cálculo del módulo conociendo sus componentes
- 14. ejemplo • Dados los vectores hallar los modulos de u y v
- 15. Distancia entre dos puntos • La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
- 16. Ejemplo • Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).