Valores extremos en funciones de dos variables

Valores extremos en funciones
de dos variables
Determine los extremos relativos de la función:
Calculamos los puntos críticos de la función dada
Igualamos a cero las derivadas de primer orden:
3 2 2 2
1. , 2 5f x y x xy x y
2 2
, 6 10
, 2 2
x
y
f x y x y x
f x y xy y
2 2
6 10 0
2 2 0
x y x
xy y
Este es un sistema de ecuaciones no lineales

Los puntos críticos son:
Prodecemos a calcular el hessiano o determinante
Analizamos la función en el punto crítico:
5
3
0,0 , ,0 , 1, 2 1, 2y
, ,
, ,
xx xy
xy yy
f a b f a b
d
f a b f a b
, 12 10 , 2
, 2 2 , 2
xx xy
yy yx
f x y x f x y y
f x y x f x y y
0,0
0,0 12 0 10 10, 0,0 2 0 2 2, 0,0 0,0 2 0 0xx yy xy yx
f f f f

Dado que: y hay un mínimo en
Evaluamos la función en el punto crítico.
El punto mínimo es:
Analicemos el punto:
10 0
20
0 2
d
0d 0,0 0xx
f 0,0
3 2 2 2
0,0 2 0 0 0 5 0 0 0f
0,0,0
5
3
,0
5 5 5 5 5 5
3 3 3 3 3 3
4
,0 12 10 10, ,0 2 2 , ,0 ,0 2 0 0
3
xx yy xy yx
f f f f

Evaluamos la función en el punto crítico:
El punto máximo es:
Continuamos el proceso con el punto:
5
34
3
10 0 40
, 0 ,0 0
0 3
xx
d d y f Existe un máximo
3 22 2
5 5 5 5
3 3 3 3
125
,0 2 0 5 0
27
f
5 125
3 27
,0,
1, 2
1,2 12 1 10 2, 1,2 2 1 2 0, 1,2 1,2 2 2 4xx yy xy yx
f f f f

Calculamos el hessiano para saber el comportamiento de la
función en
Calculamos el punto silla
El punto silla es:
Hagamos el análisis en el último punto.
1, 2 .
2 4
16
4 0
d 0d Existe un punto silla en 1, 2
3 2 2 2
1, 2 2 1 1 2 5 1 2 3f
1, 2,3
1, 2 12 1 10 2, 1, 2 2 1 2 0, 1, 2 1, 2 2 2 4xx yy xy yx
f f f f

Evaluamos la función para obtener el punto silla
El punto silla es:
2 4
16
4 0
d 0d Hay un punto silla en 1, 2
3 2 2 2
1, 2 2 1 1 2 5 1 2 3f
1, 2,3

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