D14_EXTREMOS DE FUNCIONES VARIAS VARIABLES.pdf
- 1. SEGUNDA UNIDAD CAPÍTULO IV: EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES TEMA: CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS LOCALES
- 2. Objetivo RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PARA FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES.
- 3. INTRODUCCIÓN La determinación de extremos de funciones de dos variables esmuy importante en diferentes áreas. Por ejemplo: ▪ Podemos calcular la utilidad máximade una empresa, ▪ Determinar las dimensiones de un tanque para tener el máximo volumen, ▪ Hallar los extremos de una funcióntemperatura, ▪ etc,….
- 4. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN Sea f : U ⊂ Rn → R, sea X0 ∈U. Decimos que: • f alcanza un máximo local (o relativo) en X0 si existe r> 0 tal que: f(X ) ≤ f(X0), ∀X∈B(Xo, r) • falcanza un mínimolocal (o relativo) en X0 si existe r > 0 tal que : f(X ) ≥ f(X0), ∀X∈B(X0, r) Aquí: B(X0, r) = {X ∈Rn :ǁX − X0ǁ < r} esuna bola abierta decentro X0 y radio r>0.
- 5. EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN Sea f:U ⊂ Rn → R una funcióny sea 𝑥0 ∈ U. Decimosque: • f alcanza un máxímoabsoluto en 𝑥0 si: f(X) ≤ f(𝑥0), ∀X ∈U. • f alcanza un mínimoabsoluto en 𝑥0 si: f(X ) ≥ f(𝑥0), ∀X∈U.
- 6. PUNTO CRÍTICO DE UNA FUNCIÓN Sea f : U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈ U. Decimos que 𝑥0 es un punto crítico ( o punto estacionario) de f si todas las primeras derivadas parciales de f en 𝑥0 se anulan, esdecir: 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝑥0 = 0, 𝜕𝑓 𝜕𝑥2 𝑥0 = 0, 𝜕𝑓 𝜕𝑥3 𝑥0 = 0, … , 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 𝑥0 = 0
- 7. PUNTO SILLA DE UNA FUNCIÓN Sea f:U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈ U. Si cualquierbola B (de Rn) con centro 𝑥0 contiene puntos Y ∈B tales que f(Y ) > f(𝑥0) y puntos Z ∈B tales que f(Z ) < f(𝑥0), entonces se dice que 𝑥0 esun punto de ensilladura (o punto silla) de la función f.
- 8. MATRIZ HESSIANA Sea f:U ⊂ Rn → R, sea 𝑥0 ∈U. Suponga que las derivadas parciales de segundoorden existen en 𝑥0 . Se llama matriz Hessiana (osimplemente Hessiana) de la función f en 𝑥0 (denotada por Hf(𝑥0)) a la matriz cuadrada de orden n dada por: CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS
- 9. DETERMINANTES DE SUBMATRICES ANGULARES Sea Hf(𝑥0) la matriz Hessiana de f en 𝑥0 . Definimos los determinantes de las submatrices angularesde Hf(𝑥0 ), denotada por ∆i , para todo i= 1,2,...,n, como: ∆11= 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1 2 ; ∆22= 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1𝜕𝑥2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2𝜕𝑥1 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 2 ; ∆33= 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1𝜕𝑥2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥1𝜕𝑥3 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2𝜕𝑥1 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2𝜕𝑥3 𝜕2𝑓 𝜕𝑥3𝜕𝑥1 𝜕2𝑓 𝜕𝑥3𝜕𝑥2 𝜕2𝑓 𝜕𝑥3 2 ; …∆𝑛𝑛= 𝐻𝑓 𝑥0
- 10. Sean f:U ⊂ Rn → R , 𝑥0 ∈U un punto crítico de f. Sean ∆1, ∆2,..., ∆n los determinantes de las submatrices angulares de la matriz Hessiana Hf(𝑥0), entonces: 1. Si ∆1 > 0, ∆2 > 0, ..., ∆n > 0, entonces f tiene un mínimo local en 𝑥0. 2. Si ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ..., entonces f tiene un máximolocal en 𝑥0. TEOREMA
- 11. OBSERVACIONES: 1. Si ∆𝑛𝑛= 0 , nada se puede decir (Punto degenerado) 2. En los demás casos se dice que no hay ni máximo ni mínimo (Punto de ensilladura).
- 13. GRACIAS