Presentacion_FVV_maximos_y_minimos funciones de variable real
- 1. Funciones de variable real Máximos y Mínimos de funciones de varias variables Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
- 2. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Sabemos calcular los extremos relativos y absolutos de las funciones de una variable, extenderemos estos conceptos a funciones de dos variables
- 3. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Teorema del valor extremo Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del plano xy, 1.- Al menos hay un punto en R en el que f toma su valor mínimo 2.- Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor máximo
- 4. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Definición de extremo relativo Sea f una función definida en una región R conteniendo el punto 0 0 ( , ) x y 1.- 0 0 ( , ) f x y es un mínimo relativo de f si 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y x y ≥ ∀ en un disco abierto que contiene a 0 0 ( , ) x y 2.- 0 0 ( , ) f x y es un máximo relativo de f si 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y x y ≤ ∀ en un disco abierto que contiene a 0 0 ( , ) x y
- 5. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Definición de punto crítico Sea f una función definida en una región abierta R conteniendo el punto 0 0 ( , ) x y . Decimos que 0 0 ( , ) x y es un punto crítico de f si se verifica 1.- 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 f f x y y x y x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 2.- 0 0 0 0 ( , ) ( , ) f f x y o x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ no existen
- 6. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Teorema Los extremos relativos existen solamente en los puntos críticos Si 0 0 ( , ) f x y es un extremo relativo de f en una región abierta R, entonces 0 0 ( , ) x y es un punto crítico de f
- 7. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Diferencial segunda de una función de dos variables Sea ( , ) z f x y = , se define la diferencial segunda de f como una forma cuadrática, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f f f dz dx dxdy dy x x y y ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ 1.- Si 2 0 0 ( , ) 0 ( , ) d z x y dx dy > ∀ decimos que 2 0 0 ( , ) d z x y es una forma cuadrática definida positiva y hay un mínimo en 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y 2.- Si 2 0 0 ( , ) 0 ( , ) d z x y dx dy < ∀ decimos que 2 0 0 ( , ) d z x y es una forma cuadrática definida negativa y hay un máximo en 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y
- 8. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Representación matricial de la diferencial segunda ( ) 2 2 2 2 2 2 2 f f dx x x y dz dx dy dy f f x y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ La matriz simétrica 2 2 2 11 12 2 2 12 22 2 f f h h x x y H h h f f x y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ se denomina matriz Hessiana o matriz asociada a la forma cuadrática 2 dz
- 9. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Se definen los determinantes 1 11 P h = 11 12 2 12 22 h h P h h =
- 10. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Clasificación de la forma cuadrática. Criterio de Sylvester ª 2 dz es definida positiva si 1 2 0 0 P y P > > y hay un mínimo en 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y ª 2 dz es definida negativa si 1 2 0 0 P y P < > y hay un máximo en 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y
- 11. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Definimos punto silla para una forma cuadrática indefinida siempre que det H <0 Punto silla en (0,0,0)
- 12. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Identificar los extremos relativos de 3 2 ( , ) 4 2 1 f x y x xy y = − + − +
- 13. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Buscamos los puntos críticos, 2 3 4 0 (I) 4 4 0 (II) f x y x f x y y ∂ = − + = ∂ ∂ = − = ∂ Resolvemos el sistema de ecuaciones y hallamos x e y De (II) obtenemos x = y, sustituímos en (I) Quedando dos soluciones, x = y = 0 y 4 3 x y = = Siendo los puntos críticos (0,0) y 4 4 , 3 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
- 14. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Hallamos las derivadas parciales segundas, 2 2 2 2 2 6 4 4 f f f x x xdy y ∂ ∂ ∂ = − = = − ∂ ∂ ∂ Hallamos la diferencial segunda 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6 ) 8 4 f f f dz dx dxdy dy x x y y dz x dx dxdy dy ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − Cuya matriz asociada es, 6 4 4 4 x H − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠
- 15. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Evaluamos la diferencial segunda para cada punto crítico Para (0,0) 2 2 8 4 dz dxdy dy = − Cuya matriz asociada es, 1 2 0 4 0 4 0 0 16 4 4 4 4 H P P ⎛ ⎞ = = = = = − ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ Como det H <0 decimos que es una forma cuadrática indefinida y (0,0,f(0,0))= (0,0,1) es un punto silla
- 16. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos Para (3/4,3/4) 2 2 2 8 8 4 dz dx dxdy dy = − + − Cuya matriz asociada es, 1 2 8 4 8 4 8 8 0 32 16 16 0 4 4 4 4 H P P − − ⎛ ⎞ = = − = − < = = − = > ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ Como 1 2 0 0 P y P < > decimos que es una forma cuadrática definida negativa y 3 3 3 3 , , ( , ) 4 4 4 4 f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ es un máximo
- 17. Funciones reales varias variables Máximos y mínimos
- 18. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange El método de los Multiplicadores de Lagrange debe su nombre al matemático francés Joseph-Louis Lagrange, quien introdujo dicho método con su trabajo de mecánica cuando solo tenía 19 años
- 19. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Teorema de Lagrange Sean f y g funciones con derivadas parciales primeras continuas tal que f tiene un extremo en el punto 0 0 ( , ) x y de la curva de ligadura ( , ) g x y c = . Si 0 0 ( , ) 0 g x y ∇ ≠ , entonces existe un número real λ tal que 0 0 0 0 ( , ) ( , ) f x y g x y λ ∇ = ∇ O, lo que es lo mismo, los gradientes de ambas funciones son paralelos
- 20. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Método de los Multiplicadores de Lagrange Si f y g satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange y f tiene un máximo o mínimo sujeto a la ligadura ( , ) 0 g x y = , entonces dicho extremo se encuentra en uno de los puntos críticos de la función F dada por, ( , , ) ( , ) ( , ) F x y f x y g x y λ λ = −
- 21. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Hallar el rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse 2 2 1 9 4 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- 22. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange La ecuación del área viene dada por Que es la ecuación de una hipérbola, sujeta a la restricción, ( , ) 4 0 0 A f x y xy x y = = > > 2 2 ( , ) 1 0 9 16 x y g x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- 23. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Las curvas de nivel de la función área representan una familia de hipérbolas ( , ) 4 f x y xy k = =
- 24. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange De todas curvas de nivel que satisfacen la restricción el máximo lo dará la hipérbola que sea tangente a la elipse.
- 25. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Dos curvas son tangentes en un punto si sus gradientes son paralelos en dicho punto 0 0 0 0 ( , ) ( , ) f x y g x y λ ∇ = ∇
- 26. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Construimos la función de Lagrange 2 2 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) 4 1 9 16 F x y f x y g x y x y F x y xy λ λ λ λ = − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − + − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
- 27. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Hallamos las derivadas parciales primeras, igualamos a 0 y obtenemos el sistema de ecuaciones 2 2 2 2 2 4 0 18 0 ( ) 9 2 4 0 32 0 ( ) 16 1 0 16 9 144 ( ) 9 16 F x y y x I x F y x x y II y F x y x y III λ λ λ λ λ ∂ = − = ⇒ − = ∂ ∂ = − = ⇒ − = ∂ ∂ = + − = ⇒ − = ∂
- 28. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Despejando λ en (I) y (II) obtenemos Restando la anterior de (III) obtenemos 2 2 2 2 18 32 18 32 16 9 0 y x y x x y x y = ⇒ = ⇒ − = 2 2 18 144 8 2 2 y y y = ⇒ = ⇒ = ±
- 29. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Como y> 0, tomamos el valor positivo y hallamos x Tomamos también valor positivo de x 2 2 9 3 2 16 9(8) 0 2 2 x x x − = ⇒ = ⇒ = ±
- 30. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange El único punto crítico es Y el área máxima inscrita en la elipse es 3 2 ,2 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 2 ,2 2 4 2 2 24 2 2 f ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
- 31. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange
- 32. Funciones reales varias variables Multiplicadores de Lagrange Haleman Ferguson (1940) Matemático y escultor norteamericano, se dice que esculpe Teoremas en piedra y bronce