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Este documento presenta la información del equipo que elaboró el Cuadernillo de Secundaria 2do Grado para la organización Intelimundo, incluyendo los nombres y cargos de los miembros del equipo, así como los derechos de autor y distribución del cuadernillo.

Educación
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1 El Cuadernillo de Secundaria 2do Grado fue elaborado en el Centro de Regularización y Apo- yo Educativo Intelimundo, por el siguiente equipo: La presentación y disposición en conjunto y de cada página del Cuadernillo de Secundaria 2do Grado son propiedad de Intelimundo, queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopia- do, sin autorización escrita de Intelimundo. Dirección Académica y Proyectos de Investigación Marisol Roman García y César Pasten Vilchis Gerencia de innovación educativa René Quiroz Díaz Coordinación de diseño José Iván Torres Hernández Autor René Quiroz Díaz y César Pasten Vilchis Diseño de interiores y portada Stephanie Quiroz Roman ISBN: En trámite. Intelimundo (René Quiroz Díaz), Calle Aldama 23-B, San Antonio Tecomitl, Milpa Alta, C.P. 12100, México D.F. Marzo de 2013 Impreso en México / Printed in Mexico
2 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Recuerda que si consideramos una recta en la que señalamos un punto 0 como origen. La dividimos hacia la derecha y hacia la izquierda en partes iguales. Cada una de estas partes representa el segmento unidad. Los enteros positivos los situamos a la derecha del origen 0, y los enteros negativos a la izquier- da de dicho punto. Para multiplicar dos o más números enteros, aplicamos la regla de los signos, y procedemos a multiplicar los valores absolutos de los factores. Leyes de los signos de multiplicación: + por + = + más por más igual a más - por - = + menos por menos igual a más + por - = - más por menos igual a menos - por + = - menos por más igual a menos Ejemplos: (+8)(+4) = +32 (-1)(-9) = 9 (+6)(-5) = -30 (-2)(+5) = -10 (-7)(+3) = -21 (+9)(-4) = -36 Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (-9)(-5) = b) (-72)(-9) = C) (5)(-4) = d) (-48)(-6) = e) (12)(-6) = f) (-13.6)(4.1) = g) (72)(9) = h) (2)(5)(4) = i) (-5)(0) = j) (-56)(8) = k) (-3.2)(3.2) = l) (-49)(7) =
3 Encuentra el número que falta en cada caso. a) (-7)( ) = 56 b) ( )(-1) = -13 C) ( )(-26) = 130 d) (-34)( ) = 3 162 e) ( )(-1) = -8.2 f) (18)( ) = -81 g) (24)( ) = 56 h) ( )(97) = - 4 462 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La división es la operación recíproca de la multiplicación donde conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de ellos (divisor) debemos encontrar el otro factor (cociente) es decir, se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0. Ejemplos: Si se dividen dos números de igual signo el cociente es positivo. (+ 8) ÷ (+ 2) = + 4 (– 6) ÷ (– 3) = + 2 Porque (+ 2) (+ 4) = + 8 Porque (– 3) (+ 2) = – 6 Si se dividen dos números de diferente signo el cociente es negativo. (+ 12) ÷ (– 3) = – 4 (– 24) ÷ (+ 4) = – 6 Porque (– 4) (– 3) = + 12 Porque (+ 4) (– 6) = – 24 Leyes de los signos de la división: + entre + = + - entre - = + + entre - = - - entre + = -
4 Ejemplos: Ejercicio: Resuelve las siguientes divisiones de números enteros. Ejercicio: Completa con los números enteros correspondientes. 1. (7)( ) = -49 2. (-9)( ) = 63 3. ( )(-7) = -56 4. ( )(11) = -121 7. (10)( ) = -230 8. ( )(-2)(-2) = -8 9. (1)(-1)(1)(-1)(-1)(-1) = 10. (-3)(-1)(-2)(1) =
5 5. (-45)( ) = 45 6. (345)( ) = 0 11. (-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = 12. (-1)(-1)(1)(-1)(-1)(-1) = Completa con los números enteros correspondientes. 1. (42) ÷ ( ) = -7 2. (-8) ÷ ( ) = 1 3. ( ) ÷ (-9) = 6 4. (27) ÷ ( ) = -3 5. ( ) ÷ (-19) = 57 6. (-35) ÷ ( ) = -7 7. (-20) ÷ ( ) = -20 8. ( ) ÷ (-6) = 5 9. (9) ÷ ( ) = -9 10. ( ) ÷ (16) = 35 11. (49) ÷ ( ) = -7 12. ( ) ÷ (-13) = -35 Completa con los números enteros correspondientes. Los siguientes problemas escríbelos como producto o como cociente de números enteros y resuélvelos: 1. Marina y Juan pescan juntos en un lago. El anzuelo de Juan se halla a − 2 m con respecto al nivel del lago. El anzuelo de Marina se halla sumergido tres veces más que el de Juan. ¿A qué profundidad se halla el anzuelo de Marina? R = 2. Ana gasta $ 555 al mes. ¿Cuánto gastará al cabo de 3 meses? R =
6 3. En la tarjeta de débito hay un saldo inicial de $ 200; se cargan 5 retiros de $ 150. ¿Cuál es el nuevo saldo? R = 4. El ascensor baja los sótanos de 2 en 2. Después de tres paradas en su camino descendente, desde la planta baja, ¿En qué sótano está? R = 5. Si tuviera el doble de la deuda que tengo, mi saldo sería – $ 2 700. ¿Cuál es el número que figura en mi balance? R = 6. Leonor tiene una deuda de – $ 57 054 en una tarjeta de crédito, pero un amigo le propone que le presta dinero para liquidar al banco, pero le cobrará 150 pesos por mes de intereses y lo tiene que liquidar en un año. ¿Cuánto pagará de intereses? ¿Cuánto tendrá que pa- garle de mensualidad a su amigo con todo e intereses? R = 7. Las temperaturas de una comunidad de Chihuahua en la semana fueron de: lunes – 11º, martes – 9º, miércoles – 5º, jueves – 2º, viernes – 1º, sábado 2º y domingo 5º. ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas de toda la semana? R = 8. El área de un rectángulo cuyas medidas son de largo 7m2 n5 + 3m5 n2 - 9m2 n7 y de ancho 9m4 n7 – 7m7 n7 es: R =
7 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual la parte literal, es decir, a aquellos términos que tienen igual la o las literales e iguales exponentes. Por ejemplo: 6a2 b3 es término semejante con – 2a2 b3 porque ambos términos tienen la misma parte literal (a2 b3 ) 3x5 yz es término semejante con 5x5 yz porque ambos términos tienen la misma parte literal (x5 yz) 0.3a2 c no es término semejante con 4ac2 porque los exponentes de las literales no son iguales. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expre- sión algebraica, que tengan la misma parte literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva la misma parte literal. Ejemplos: 5x – 7x – 2x + 6x = 11x – 9x = 2x xy3 – 3x2 y + 5xy3 – 12 x2 y + 6 = 6xy3 – 15x2 y + 6 Ejercicio: Reduce los siguientes términos semejantes: 1) 2a – 7a = 2) – 7m – 8m = 3) 8x + 9x = 4) – 8b – 8b = 5) 12a – 34a = 6) – 2m – 7m = 7) 7x + 6x = 8) – 4b – 8b = 9) 9a – 4a = 10) – 9m – 9m = 11) – 4m5 n7 – 7m5 n7 = 12) – 35x8 y3 – 34x8 y3 = 13) – 38d2 e6 f + 25d2 e6 f = 14) 67x8 y3 z + 98x8 y3 z = 15) 29g – 23g = 16) – 4q8 + 10q8 = 17) 9x2 y – 3x2 y = 18) 5c2 – 9c2 + 8c2 = 19) – 8k2 x3 – 9k2 x3 – 3k2 x3 = 20) 4h – 8h – 2h = 21) 5abc2 + 9abc2 + 8abc2 = 22) – 27xyz – 54xyz = 23) 9a3 b5 – 6a3 b5 = 24) – 9x2 y6 – 9x2 y6 = 25) 12abc + 4abc = 26) – 18m2 n5 – 18m2 n5 = 27) – 54abc – 32abc = 28) – 7f8 – 9f8 = 29) – 7c9 d – 8c9 d = 30) 2b + 7b – 5b = 31) – 7gm – 8gm – 7gm = 32) 7a – 9a – 4a = 33) – 2hx – 2hx – 2hx = 34) 9r + 2r – 5r =
8 35) – 10m2 n3 + 5m2 n3 – 7m2 n3 = 36) 4p7 – 5p7 – 10p7 = 37) 8x4 y5 z6 – 5x4 y5 z6 + 7x4 y5 z6 = 38) 4df2 – 8df2 + 12df2 = 39) 2a + 10a – 17a = 40) – 5a – 12a + 24a = 41) 3p6 q7 + 2p6 q7 – 9p6 q7 = 42) – 9bc – 9bc + 12bc = 43) – 4s7 t4 + 2s7 t4 – 5s7 t4 = 44) – 2x2 y3 – 2x2 y3 + 8x2 y3 = 45) – 7a4 b5 c6 – 3a4 b5 c6 + 9a4 b5 c6 = 46) – 5m2 n3 – 3m2 n3 + 9m2 n3 = 47) – 3y3 + 2y3 – 9y3 = 48) 2x + 3x – 11x = 49) – d4 e5 f6 – d4 e5 f6 + d4 e5 f6 = 50) – 2m2 n3 – 9m2 n3 + 15m2 n3 = 51) – 6k2 x3 + 19k2 x3 – 7k2 x3 = 52) – 8s7 t4 + 3s7 t4 – 9s7 t4 = 53) 6ac + 7ac – 15ac = 54) – 4x2 y3 – 7x2 y3 + 5x2 y3 = 55) – 2a4 b5 c6 – 2a4 b5 c6 + 7a4 b5 c6 = 56) – 2c4 d5 e6 – 4c4 d5 e6 + 5c4 d5 e6 =
9 ADICIÓN ALGEBRAICA x + x + x + x = 4x Se suman algebraicamente los 2x + 3x – x – 8x + 2x = – 2x coeficientes de los términos semejantes Cuando se suma de forma horizontal se buscan los términos semejantes y se reducen: 2a + 3a – 2b – 4a – 3b = a – 5b 5mn – 7mn2 – 8m2 n – 9mn2 + 3mn + 9m2 n = 8mn – 16mn2 + m2 n Cuando se trata de una adición de polinomios, puedes colocar los sumandos uno abajo del otro, procurando que los términos semejantes queden en columna. (m4 + 4m3 n – 5n2 ) + (– 6m4 – 2m3 n + 4n2 ) + (3m4 + 3m3 n – 8n2 ) = m4 + 4m3 n - 5n2 -6m4 - 2m3 n + 4n2 3m4 + 3m3 n - 8n2 -2m4 + 5m3 n - 9n2 Y se suman algebraicamente los coeficientes Ejercicio: 1. Resuelve las siguientes adiciones: a) (6m6 + 7n5 ) + ( 8m6 – 2n5 ) + (7m6 – 4n5 ) = b) (2ab + 18c – 32) + (18ab – 13c + 5d – 123) = c) (3x + 2) + (2x + 1) +(3x + 2) + (2x + 1) = d) (18a + 3a – 2b) – (3a + 5a – 3b)= e) (20a – 3b + 3c) – (18a + 12b – 5c) =
10 2. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) 5x + 4x ( ) 3x + 7x – 5x ( ) 6x – 8x + 3x ( ) 4x2 + 3x2 + x2 ( ) 2x2 + 5x2 – 4x2 ( ) 3x + 4x – 9x ( ) 6x + 3y – 2x + 2y ( ) 8x + 3y + 5x + 7y ( ) 4x + 8x – 7y + 5y ( ) 9y – 7x + 5y + 6x A) 8x2 B) 12x – 2y C) 4x + 5y D) 5x E) – x + 14y F) 9x G) 13x + 10y H) x I) – 2x J) 3x2 3. Obtén el perímetro de las siguientes figuras.
11 4. Resuelve las siguientes adiciones algebraicas. 1) 6c2 – 7c + 7c2 = 2) 5y + 8x – 7y = 3) 2x + 8x – 8y = 4) 2x + x + 8xy = 5) 6m + 8n – 7n = 6) 4x2 + 7a4 – 2x2 = 7) 2x2 + 8x2 – 9x4 = 8) – 7a + 8b – 5a = 9) – 7a8 – 10q8 + 9q8 = 10) 9a + 9b – 5c = 11) 2b + 7a + 5c = 12) 6m + 6m – 9mn = 13) 9al + 6ajkl – 2ajkl = 14) – 15p7 – 3q7 + 10q7 = 15) – 14y2 z – 9x2 y + 3y2 z = 16) – 10s6 t2 – 9s7 t4 + 7s7 t4 = 17) – 6k2 x3 + 5k3 x2 - 9k2 x3 = 18) 2p6 q7 – 9p2 q2 + 7p6 q7 = 19) 2p6 q7 – 7p6 q7 + 9p2 q = 20) 5abc + 8bcd – 8abc = 21) 2x + 3y – 7x + 7x – 8y + 7x – 2y + 4y – 5x – 3x = 22) – 7ab + 2ya6 b – 7ya6 z + 3ya6 b – 4ya6 z – 2ya6 z + 2a6 b – 8ab = 23) – 9s6 t2 + 2s6 t2 + 8s7 t4 – 5s7 t4 – 10s6 t2 – 9s7 t4 + 7s7 t4 = 24) 6a2 b5 c3 + 9b3 c7 d3 – 9a2 b5 c3 + 8b3 c7 d3 + 3b3 c7 d3 = 25) – 2x2 y3 z4 – 4x4 y5 z6 + 5x4 y5 z6 – 2x2 y3 z4 – 3x2 y3 z4 + 6x4 y5 z6 = 26) – 6a4 b5 c6 – 2a4 b3 c6 – 4a4 b5 c6 + 5a4 b3 c6 – 2a4 b5 c6 = 27) – 7h + 9h2 – 7h2 – 4h – 5h + 8h2 = 28) 7ac + 2ad + 6ad + 6ac = 29) 9ab4 c2 – 3ab4 – 7ab4 c2 + 2ab4 – 2ab4 c2 + 6ab4 = 30) 3bc6 – 3bc6 – 4ab6 – 4bc6 – 4ab6 + 5bc6 = 31) 7m + 5m2 – 7m3 – 8m – 6m3 – 7m2 + 13m – 2m3 = 32) (7a + 5b – 7c) + (– 9a - 2b + 6c) + (2a + 2b – 3c) = 33) (7ab + 2ac + 6ad) + (– 9ab – 3ac – 4ad) + (3ab – 3ac – 3ad) =
12 34) (3a – 6a2 + 8a3 – 6a4 ) + (– 2a + 2a4 – 3a2 + 3a3 ) + (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 35) (ab – abc – abcd) + (– ab – abc – abcd) + (– ab + abc – abad) = 2a + 4b - 5c + 8d 4a - 9b - 7c + 4d -2a + 4b + 6c - 7d -9a - 7b - 6c + 7d 36) 37) 38) 2a2 b5 c3 + 4b3 c7 d3 - 5a2 b3 c4 -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 -7s6 t2 - 2s7 t4 + 9s2 t2 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2 39) 40) 41) 7a4 b5 - 2b3 d6 - 6b2 c4 -2a4 b5 - 4b3 d6 + 2b2 c4 8a4 b5 - 2b3 d6 + 4b2 c4 2x - 7y + 6z + 2x2 -4x + 8y - 9z - 9x2 -3x - 9y - 5z - 3x2 2x + 6y + 4z + 3x2 4m6 n2 - 2n7 q4 + 2r2 w2 -8m6 n2 - 4n7 q4 - 5r2 w2 5m6 n2 - 3n7 q4 + 3r2 w2
13 2. Resuelve las siguientes sustracciones. SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA Esta operación se efectúa de igual manera que la adición, pero sumando a los términos del minuendo el inverso aditivo de los términos del sustraendo. Ejercicio: 1. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) 8m – (– 5m) = ( ) 2m – (7m) = ( ) (4m + 2n) – (5m + 4n) = ( ) (3m + 2n) – (6m - 4n) = ( ) (2m – 5n) – (– 3m + 2n) = ( ) (8m – 3n) – (5m – 4n) = ( ) (2m + 3n) – (3m + 4n) = ( ) (7m – 5n) – (– 5m + 5n) = ( ) (4m + 3n) – (2m – 5n) = ( ) (6m + 5n) – (– 3m + 8n) = A) – 5m B) 9m – 3n C)13m D)12m – 10n E) – m – n F) 2m + 8n G) 2m H) – 3m + 6n I) – m – 2n J) 3m + n K) 5m – 7n a) (m2 – 7mn + 6n2 ) – (– 2m2 – 3mn – 7n2 ) = b) (a2 – 2ab + b2 ) – (b2 – 3ab + a2 ) =
14 c) (4y2 – 3z2 + yz) – (4y2 – 2z2 – 2yz) = d) (a2 – 7ab + 6b2 ) – (6a2 + 9ab – 2b2 ) = e) (x2 – 2xy + y2 ) – (y2 – 3xy + x2 ) = f) (4c2 – 3d2 + cd) – (4c2 – 2d2 – 2cd) = g) (7ab + 18c – 32) – (18ab – 8c + 7e – 12) = h) (3x + 2m + 2z + 1) – (3x + 2z + 5m + 9) = i) (18a + 3a3 – 2b) – (3a + 5a3 – 3b)= j) (3x + 2y + 5z) – (8x + 2y + 3z) = 3. Resuelve las siguientes diferencias. 1) 2c - (7c) = 2) 5c2 – (8c2 ) = 3) 8mn – (7mn) = 4) xyz – (9xyz) = 5) 7ab – (– 8ab) = 6) – 8h – (– 2h) = 7) – 10q8 - (9q8 ) = 8) – 2ad – (– 5ad) = 9) – 6g – (7g) = 10) 5x2 y – (3x2 y) = 11) 3xy2 – (– 9xy2 ) = 12) 10a – (– 12a) = 13) – gh – (3gh) = 14) – 7a – (– 4a) = 15) – 12a – (24a) = 16) w – (9w) = 17) 8d – (4d) = 18) 6c2 – (9c2 ) = 19) – 2h – (– 8h) = 20) – 2g – (g) = 21) 24a – (– 36a) = 22) 6xyz – (9xyz) = 23) 9ab – (– 8ab) = 24) – 3gh – (8gh) = 25) 6xy2 – (– 5xy2 ) = 26) – 3ad – (– 2ad) = 27) – 9q8 – (13q8 ) = 28) – 3x2 y – ( 9x2 y) = 29) abc – (– abc) = 30) – 8s7 t4 – (3s7 t4 ) = 31) 6ajkl – (– 2ajkl) = 32) – 8ad – (– 3ad) = 33) – 14y2 z – (3y2 z) = 34) – 23p7 – (– 17p7 ) = 35) – 15p7 – (– 10p7 ) = 36) – 7df2 – (12df2 ) = 37) – 9bc – (12bc) = 38) – 6k2 x3 – (7k2 x3 ) = 39) – 9ad – (– 11ad) = 40) 2p6 q7 – (7p6 q7 ) = 41) – 9mn – (– 3mn) = 42) – 14df2 – (28df2 ) =
15 43) – 10ab – (10ab) = 44) 8abc – (– 9abc) = 45) – 6k2 x3 – (– 19k2 x3 ) = 46) 5x4 y5 z6 – (9x4 y5 z6 ) = 47) 9m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 48) – 2m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 49) 12m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 50) 10m2 n3 – (– 5m2 n3 ) = 51) – 8x4 y5 z6 – (3x4 y5 z6 ) = 52) (7a + 5b – 7c) – (– 9a – 2b + 6c) = 53) (– 9ab – 3ac – 4ad) – (3ab – 3ac – 3ad) = 54) (– 2a + 2a4 – 3a2 + 3a3 ) – (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 55) (– ab – abc – abcd) – (– ab + abc – abcd) = 56) (3ab4 c2 – 9ab4 - 6a2 b4 c2 ) – (– 6ab4 c2 + 4ab4 + 9a2 b4 c2 ) = 57) (– 7s6 t2 – 9s7 t4 - 3s2 t2 ) – (– 9s6 t2 + 5s7 t4 + 8s2 t2 ) = 58) (6a + 7b - 3c + 10d) – (9a – 7b + 4c – 6d) = 59) (3a4 b5 – 9b3 d6 - 6b2 c3 ) – (8a4 b5 – 7b3 d6 + 7b2 c3 ) = 60) (– 3m6 n2 + 5n7 q4 – 9r2 w2 ) – (4m6 n2 – 3n7 q4 + 8r2 w2 ) =
16 2a + 4b - 5c + 8d -9a - 7b - 6c + 7d 36) 37) 38) -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2 39) 40) 41) -2a4 b5 - 4b3 d6 + 2b2 c4 8a4 b5 - 2b3 d6 + 4b2 c4 -3x - 9y - 5z - 3x2 2x + 6y + 4z + 3x2 -8m6 n2 - 4n7 q4 - 5r2 w2 5m6 n2 - 3n7 q4 + 3r2 w2 Resuelve los siguientes problemas de adición y sustracción de monomios y polinomios 1. Cuál será el perímetro de un rectángulo cuyas medidas son 2y2 – 7z3 + 4y2 z de largo y 28y3 – 9z3 R = 2. El perímetro de un triángulo equilátero de lado 2x3 + 2x – 3 es: R = 3. Contesta lo que se te pide: • ¿Cuál es el perímetro de la sala? R = • ¿Cuál es el perímetro de la cocina? R = • ¿Cuál es el perímetro de la recámara? R = • ¿Cuál es el perímetro del departamento? R = • ¿Cuál es el perímetro del baño? R =
17 LEYES DE EXPONENTES Producto de potencias de igual base: (x)(x3 ) = x1 + 3 = x4 Se suman los exponentes a2 b5 (a4 b3 ) = a2 + 4 b5 + 3 = a6 b8 de igual base Potencia de potencia: (x3 )6 = x3(6) = x18 Se multiplican los exponentes (a2 b5 )4 = a2(4) b5(4) = a8 b20 Cociente de potencias de igual base: = x8 – 5 = x3 Se restan los exponentes de igual base x8 x5 Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a 1 30 = 1 4560 = 1 x0 = 1 (5x)0 = 1 (a + b)0 = 1 a b ( ) 0 = 1 Todo número distinto de cero elevado a un exponente negativo: es igual a una fracción cuyo numerador es la unidad, y el denominador ese mismo número elevado a ese mismo expo- nente, pero positivo: 1 (a + b)6 (a + b)-6 = 1 m8 m-8 = 1 m3 m-3 = 1) (56 )(53 ) = 2) (-x2 y3 ) ÷ (xy) = 3) b5 b7 b3 = 4) m6 m4 m2 = 5) (a4 b7 c3 )2 = 6) (-6a4 b5 c7 )0 = 7) (xy)(-y3 )(-x2 y) = 8) (5xyz)0 = 9) (x2 y)(y2 )(-xy7 ) = 10) (32 )(35 ) = 11) (a7 )(a3 ) = 12) (2m5 n3 p7 )3 = 13) (x5 )4 = 14) (a4 )(a6 )(a) = 15) (ab)7 =
18 16) (23 )(2)(23 ) = 17) (x3 )5 = 18) z3 z2 z z9 = 19) m7 m2 m2 m2 = 20) (16 )(13 )(14 )(1) = 21) (-12m8 n10 o9 )0 = 22) (w)(w)(w)(w2 ) = 23) (x5 y4 z2 )3 = 24) (-7d2 e5 f4 g)2 = 25) (h4 )(h2 )(h4 ) = x4 x2 ( ) 3 26) a-8 = 27) m-5 = 28) x-6 y2 z-3 = 29) (c3 b5 )-4 = 36) m-29 = ab6 a9 b3 ( ) 0 30) = b7 b3 31) = 8x9 2x6 32) = a8 a5 33) = m6 m3 ( ) 5 34) = 34 32 35) = 37) m-5 = 39) (a3 b-4 c-2 )2 = 38) x-4 y6 z-8 = 41) = 63 65 40) = b3 b2 42) = y y6 43) = m6 n4 m6 n8 44) = k9 k6 45) = ( ) 6 v5 v3 46) = g4 g8 47) =
19 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Se multiplican primero los signos, después los coeficientes y se suman los exponentes de las literales iguales. Por ejemplo: (-3b)(5ab2 )(b) = -15ab4 Multiplicación de monomios: Signos (–)(+)(+) = – Coeficientes (3)(5)(1) = 15 Literales iguales (b)(b2 )(b) = b1+2+1 = b4 La literal a no tiene otra con la que se multiplique por lo que se queda igual El resultado es: –15ab4 (2x3 – 3bx2 + b3 x)(– 4bx) = – 8bx4 + 12b2 x3 – 4b4 x2 Se aplica la propiedad distributiva del término – 4bx Se multiplica el primer término por el factor común (2x3 )(– 4bx) = – 8bx4 Se multiplica el segundo término por el factor común (– 3bx2 )(– 4bx) = + 12b2 x3 Se multiplica el tercer término por el factor común (b3 x)(– 4bx) = 4b4 x2 Multiplicación de polinomio por monomio Así como al multiplicar un polinomio por un monomio aplicaste la propiedad distributiva tam- bién para multiplicar polinomios la aplicas, al multiplicar el multiplicando o primer polinomio por cada uno de los términos del multiplicador, acomodando en columnas los términos se- mejantes para después reducirlos. (3a2 – 4b6 + 5c4 )(7a2 – 8b6 – 6c4 ) = Multiplicación de polinomios 1ro . Multiplicas el primer polinomio 2do . Multiplicas el primer polinomio por (– 8b6 ) y por (7a2 ) ordenas en columnas los términos semejantes. 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 - 24a2 b6
20 3ro . Multiplicas el primer polinomio por (– 6c4 ) y ordenas en columnas los términos semejantes y sumas algebraicamente las columnas. 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 - 24a2 b6 + 32b12 - 40b6 c4 - 18a2 c4 + 24b6 c4 - 30c8 21a4 - 52a2 b6 + 17a2 c4 + 32b12 - 16b6 c4 - 30c8 Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas: 1. (4x3 )(2x4 ) = 2. (6b4 )(5b5 ) = 3. (2x2 )(– 5xy) = 4. (– 3x2 y2 z)(6xyz3 ) = 5. (– 3ab2 )(– 2a2 b4 c) = 6. (– 5mn)(– 6a2 b) = 7. (– 4x2 )(5x)(– 6x5 )(– 3x3 ) = 8. (– m2 n)(–3m2 )(– 5mn3 ) = 9. (– 0.75x4 )(– 2.1xy2 )(– 2xy) = 10. (4cx – 5c + 2c2 x2 )(– 2cx3 ) = 11. (3s2 t2 )(– 9s6 t2 + 5s7 t4 + 8st2 ) = 12. – 3a3 (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 13. – 7a2 b5 c9 (– 9a – 2b4 + 6c3 ) = 14. – 9a7 b3 d9 (3ab – 3ac – 3ad) = 15. (3a4 b3 c3 )(8a4 b5 – 7b3 d6 + 7b2 c3 ) = 16. (– 2abcd)(– ab7 + ab4 c3 – ab3 c4 d7 ) = 17. – 6a2 b4 c2 (– 6ab4 c2 + 4ab4 + 9a2 b4 c2 ) = 18. (– 6abcd)(9a5 – 7b3 + 4c4 – 6d5 ) = 19. (– 3m6 n7 q4 r2 w2 )(2m6 n2 – 3n7 q4 + 3r2 w2 ) =
21 20. (4r5 s3 t2 w8 )(– 5r3 – 3s8 t3 + 6t2 w3 + 9w5 ) = 21. (14w – 2qw + 7q2 r3 )(2qwr – 4q2 r6 w3 ) = 22. (a2 + b2 + 2ab)(a + b – 3) = 23. (– x2 + 10x – 22)(x2 + 3x – 5) = 24. (3df – 5f + 2d)(2d – 3f) = 25. (3d3 – 5f2 + 2d3 )(2d3 – 3f2 + 9d3 ) = 26. (– 7d2 + 4e – 6f3 )(d2 + 3e + 3f3 ) = 27. (4ab – 9ac + 8ad)(– 6ab + 2ac – 7ad) = 28. 2a - 4b + 5c -9a - 7b - 6c 29. 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2
22 30. -2a4 b5 - 4b2 d6 + 2b2 8a4 b5 - 2b2 d6 + 4b2 31. -3x - 9y - 5z 2x + 6y + 4z 32. -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 Contesta lo que se te pide: 1. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = x2 – 2xy altura = – 3xy a) A = – 3x3 y + 6x2 y2 b) A = 3x3 + 6x2 y2 c) A = – 3x3 y + 6xy2 2. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = a2 – 2ab + b2 altura = 5ab a) A = 5a2 b – 10a2 b2 + 5ab2 b) A = 5a3 b – 10a2 b2 + 5ab3 c) A = 5a2 b – 10a2 b2 + 5ab 3. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = x2 – 3x + 6 altura = x3 a) A = x5 – 3x4 + 6x4 b) A = x6 – 3x4 + 6x3 c) A = x5 – 3x4 + 6x3
23 4. Encuentra el volumen de un cubo de x2 + 3 metros de arista: a) V = x6 + 9x4 + 27x2 + 27 b) V = x6 + 9x3 + 27x2 + 27 c) V = x6 + 9x4 + 27x2 5. Encuentra la distancia que recorre un automóvil si su velocidad es 3x2 + 2xy y utiliza un tiem- po de 2x + 3y (la fórmula para obtener la distancia es: d = vt). a) d = 3x3 + 13x2 y + 6xy2 b) d = 6x3 + 13xy + 6xy2 c) d = 6x3 + 13x2 y + 6xy2 Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda al pro- ducto de las multiplicaciones. ( ) (x2 + 3xy + 6)(2x2 + xy + 2) ( ) (2x + 5)(3x – 4) ( ) (6x – 3)(x2 – 4x + 5) ( ) (– a3 + a2 – 2a + 2)(a + 1) ( ) (2x2 – 5xy + 6y2 )(3x2 + 2xy – 4y2 ) a) 6x3 – 27x2 + 42x – 15 b) 6x4 – 11x3 y + 32xy3 – 24y4 c) 2x4 + 7x3 y + 14x2 + 3x2 y2 + 12xy + 12 d) – a4 – a2 + 2 e) 6x2 + 7x - 20
24 PRODUCTOS NOTABLES Son binomios que se forman por los mismos términos y, difieren en su signo, por ejemplo: (x + 7)(x – 7), su producto equivale a: “Cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término” , es decir, una diferencia de cuadrados. Producto de binomios conjugados. Por ejemplo: (x + 2)(x – 2) = (x)2 – (2)2 = x2 – 4 (5y + 7)(5y – 7) = 25y2 – 49 En los binomios encontramos un término que se repite, por ejemplo: (x + 2)(x – 7), su producto equivale a: “Cuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común, el producto de los términos no comunes” , es decir, un trinomio cuadrado. Producto de binomios con término común. Por ejemplo: (x + 5)(x + 4) = (x)2 + x (5 + 4) + (5)(4) = x2 + 9x + 20 (5y + 1)(5y – 7) = (5y)2 + (5y)(1 – 7) + (1)(– 7) = 25y2 – 30y – 7 (x + 2)2 , su producto equivale a: “La suma algebraica del cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”, es decir, un trinomio cuadrado perfecto. Binomio al cuadrado Por ejemplo: (x + 5)2 = (x)2 + 2(x)(5) + (5)2 = x2 + 10x + 25 (2x – 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(– 3y) + (3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2
25 Resuelve los siguientes binomios conjugados: 1) (3x – 5)(3x + 5) = 2) (7m – 3y)(7m + 3y) = 3) (8x2 – 4)(8x2 + 4) = 4) (9 – 7y)(9 + 7y) = 5) (2m3 – 10)(2m3 + 10) = 3 5 x - 1 ( ) 3 5 x + 1 ( ) 6) = Resuelve los siguientes binomios con un término común: 1) (x – 8)(x + 5) = 2) (2x – 6)(2x + 3) = 3) (8x – 4)(8x + 6) = 4) (x – 7)(x + 1) = 5) (3x + 8)(3x + 1) = 6) (m – 10)(m + 5) = Resuelve los siguientes binomios al cuadrado: 1) (x – 8)2 = 2) (2x – 6)2 = 3) (8x3 – 4)2 = 4) (7 + x)2 = 5) (a + b)2 =
26 6) (5m – 10x)2 = Resuelve los siguientes productos notables: 1) (x + 5)2 = 2) (7a + b)2 = 3) (4ab2 + 6xy3 )2 = 4) (x4 + y2 )2 = 5) (8 – a)2 = 6) (3x4 – 5y2 )2 = 7) (x5 – 4x3 )2 = 8) (5x + 2y)2 = 9) (2x4 – 8y4 )2 = 10) (x + 5)2 = 11) (a – 3)2 = 12) (2x + 7)2 = 13) (ax2 – by)2 = 14) (r – 3s)2 = 15) (7a2 x3 – 2xa2 )2 = 16) (x + 4)(x + 4) = 17) (2x2 y + 4m)(2x2 y + 4m) = 18) (1 – 4y)(1 – 4y) =
27 19) (3a3 – 7xy4 )(3a3 – 7xy4 ) = 20) (y – 12)(y – 7) = 21) (x + 5)(x + 3) = 22) (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 23) (5a + 10b)(5a – 10b) = 24) (7x2 – 12y3 )(7x2 + 12y3 ) = 25) (a + 9)(a – 6) = 26) (5y2 + 4)(5y2 – 14) = 2 3 29) x + 9y = ( ) 2 27) (9x – 4)(9x + 4) = 28) (2r – 3s)(2r + 4m2 ) = 31) 5y + x 5y - x = ( 2 7 )( 2 7 ) 4 6 30) y + 5abc2 = ( ) 2 32) x + x - = (2 5 )( 2 10 2 5 ) 9 10 33) x + y x - = (1 2 )( 2 3 1 2 ) 2 3 34) x + y x - = (3 9 )( 1 3 3 9 ) 1 3
28 Resuelve cada uno de los siguientes productos notables e identifica cada caso. 1. (2x – 3)2 : A) 4x - 12x + 9 B) 4x2 +12x + 9 C) 4x2 - 12x - 9 D) 4x2 - 12x + 9 2. (5x – 4)2 : A) 25x2 + 40x + 16 B) 25x – 40x + 16 C) 25x2 – 40x – 16 D) 25x2 – 40x + 16 3. (7x + 5)2 : A) 49x2 + 70x + 25 B) 49x2 – 70x + 25 C) 49x2 + 70x – 25 D) 49x4 + 70x + 25 4. (6x + 3)2 : A) 36x4 + 36x + 9 B) 36x2 + 36x + 9 C) 36x + 36x + 9 D) 36x2 + 36x – 9 5. (8x – 9)2 : A) 64x2 – 144x + 81 B) 64x2 + 144x + 81 C) 64x2 – 144x – 81 D) 64x2 – 144 + 81 6. (2x – 7)2 : A) 4x2 – 28x – 49 B) 4x2 – 28x + 49 C) 4x2 + 28x + 49 D) 4x2 – 28x + 48 7. (10x + 6)2 : A) 20x2 + 120x + 36 B) 100x2 – 120x + 36 C) 100x2 + 120x + 35 D) 100x2 + 120x + 36 8. (11x + 3)2 : A) 121x2 + 66x – 9 B) 112x2 + 66x + 9 C) 121x2 + 60x + 9 D) 121x2 + 66x + 9 9. (20x – 2)2 : A) 400x2 + 80x + 4 B) 80x2 – 80x + 4 C) 400x2 + 80x + 4 D) 400x2 – 80x + 4 10. (30x – 1)2 : A) 90x2 – 60x + 1 B) 900x2 – 60x – 1 C) 900x2 – 60x + 1 D) 900x2 + 60x + 1 20. (0.8x8 + 0.7b10 )(0.8x8 – 0.7b10 ): A) 6.4x16 – 4.9b20 B) 0.64x16 + 0.49b20 C) 0.64x8 – 0.49b10 D) 0.64x16 – 0.49b20 21. (7m3 x9 + 0.2h7 b10 )(7m3 x9 – 0.2h7 b10 ): A) 49m3 x4 h19 – 14b20 B) 49m6 x18 + 0.04h14 b20 C) 49m3 x19 – 0.04h17 b10 D) 49m6 x18 – 0.04h14 b20 13. (2x + 2)(2x + 3): A) 4x2 – 10x + 6 B) 4x2 + 10x + 6 C) 4x2 + 10x + 5 D) 4x2 + 5x + 6 14. (3x + 9)(3x + 2): A) 9x2 – 33x + 18 B) 9x2 + 11x + 18 C) 9x2 + 33x + 18 D) 9x2 + 33x + 11 15. (4x2 – 9)(4x2 – 6): A) 16x4 – 60x2 + 15 B) 16x4 – 60x2 – 54 C) 16x4 + 60x2 + 54 D) 16x4 – 60x2 + 54 16. (8x2 – 3)(8x2 – 7): A) 64x4 – 80x2 + 21 B) 64x4 – 80x2 – 21 C) 64x4 – 80x2 + 10 D) 64x4 + 80x2 + 21 18. (5x3 + 12)(5x3 – 10): A) 25x6 + 10x3 – 120 B) 25x6 + 10x3 + 120 C) 25x6 – 10x3 – 120 D) 25x6 + 10x3 – 2 19. (14x3 + 3)(14x3 – 8): A) 196x6 – 70x3 – 24 B) 190x6 – 70x3 – 24 C) 196x6 + 70x3 – 24 D) 196x6 – 70x3 + 24 17. (7x4 – 15) (7x4 + 8): A) 49x8 + 49x4 – 120 B) 14x8 – 49x4 – 120 C) 49x8 – 49x4 – 120 D) 49x8 – 49x4 +120 11. (3x + 4b)(3x – 4b): A) 9x2 + 16b2 B) 9x2 – 16b2 C) 6x2 – 8b2 D) 9x – 16b 12. (8x2 + 7)(8x2 – 7): A) 16x2 – 14 B) 64x4 – 49 C) 64x2 + 49 D) 64x2 – 49
29 26. (20x25 – 12b30 )(20x25 + 12b30 ): A) 400x25 – 144b30 B) 200x50 – 72b60 C) 400x50 +144b60 D) 400x50 – 144b60 24. (3x5 + b13 )(3x5 – b13 ): A) 9x10 – b26 B) 9x10 + b26 C) 9x5 – b13 D) 6x10 – b26 25. (10x6 – 20)(10x6 + 25): A) 100x12 + 50x6 + 500 B) 100x12 – 50x6 – 500 C) 20x12 + 50x6 – 500 D) 100x12 + 50x6 – 500 26. (12x8 – 8)(12x8 + 6): A) 144x16 – 24x8 + 48 B) 24x16 – 24x8 – 48 C) 144x16 + 24x8 – 48 D) 144x16 – 24x8 – 48 22. (25x9 + 9)(25x9 – 8): A) 625x18 + 25x9 + 1 B) 625x18 – 25x9 – 72 C) 625x18 + 25x9 + 72 D) 625x18 + 25x9 – 72 23. (9x9 – 10b6 )(9x9 + 10b6 ): A) 18x18 – 20b12 B) 81x18 – 100b12 C) 81x9 – 100b12 D) 81x18 +100b6 30. (0.5x2 + 0.2b2 )(0.5x2 – 0.2b2 ): A) 0.025x4 – 4b4 B) 2.5x4 – 0.4b4 C) 0.25x4 + 0.04b4 D) 0.25x4 – 0.04b4 4 8 29. x6 + b9 x6 - b9 : ( 3 9 ) 4 8 ( 3 9 ) 16 64 A) x6 - b9 9 81 16 64 B) x12 + b18 9 81 16 64 C) x12 - b18 9 81 64 16 D) x12 - b18 81 9 3 4 28. x2 + b2 x2 - b2 : ( 1 8 ) 3 4 ( 1 8 ) 9 16 A) x4 + b4 1 64 16 19 B) x2 - b2 64 1 9 16 C) x2 + b2 1 64 9 16 D) x4 - b4 1 64 31. Observa la figura que se presenta continuación: ¿Qué expresión algebraica representa su área? A) A = (x + 5)2 B) A = x + 25 C) A = (x2 + 25)2 D) A = 4(x2 + 25)
30 DIVISIÓN ALGEBRAICA La división de polinomio entre un monomio la puedes encontrar en esta forma: 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 Para poderla resolver divides cada término del dividendo entre el término del divisor: 2m - 7h3 + 19a2 h4 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 - 10h6 m 0 - 35h9 + 35h9 0 + 95a2 h10 - 95a2 h10 0 Ejercicio: Resuelve las siguientes divisiones: 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 1. 2. -2x4 8x5 - 16x9 + 24x4 13m5 91m9 + 117m6 - 78m5 3. 4. 10x2 y7 - 80x3 y7 z9 + 40x2 y10 - 20x2 y7
31 5. (72x3 – 18x2 + 36x) ÷ (18x) = 6. (– 50r4 s + 10r2 s2 + 5rs) ÷ (– 5rs) = 7. (12y3 + 15yz – 18y5 ) ÷ (- 3y2 ) = 28a4 14a3 8. = 12a2 b5 c4 -6a2 b3 c2 9. = -12m6 n4 p5 -4m3 n2 p5 10. = 36c4 d5 e8 f6 -9c3 d5 e3 f6 11. = -14x2 y3 z9 7x2 y3 z3 12. = -72m7 n3 p8 -8m4 n3 p4 13. = -100x2 y5 z9 -25x2 y4 z9 14. = -63m4 n7 o5 p3 126m2 n5 o3 p 15. = -45a3 b2 c 7a5 b2 c3 16. = 45d5 e4 f8 g9 -9d9 f3 17. = 12a2 b3 c6 12a6 b9 c2 18. = 4q4 r3 s2 t5 -64q6 r7 s9 t8 19. = 54a4 b6 + 34a14 b9 24a10 b7 20. = -12x9 y7 z9 + 9x6 z8 - 36x5 y5 z9 3x2 z8 21. = 63a7 b7 c5 - 7a4 b4 c3 - 35a3 b2 c6 7a3 b2 c3 22. = -25m4 n5 p7 - 105m3 n4 p4 - 75m2 n4 p8 -25m2 n4 p 23. = 64w5 x5 y5 - 24w8 y4 + 32w6 x4 y2 8w4 y2 24. = -30a9 b7 c4 - 90a4 c2 + 90a2 b3 c3 -10a2 b4 c8 25. = d8 e2 f + 5d6 f8 - 3d4 e3 f2 15d2 e8 f2 26. = -36a9 b7 c9 - 9a6 b8 - 13a5 b5 c9 26a2 b8 c2 27. = x6 y3 z5 + 9x3 y2 z6 - 45x2 y3 z4 -3x2 y8 28. =
32 33. (4x3 – 8x2 + 6x) ÷ (2x2 – 5x) = 34. (x2 – 9xy + 20y2 ) ÷ (x – 5y) = 35. (x2 – 5x – 6) ÷ (x – 3) = 32m5 n4 u3 - 16m2 n4 u2 - 8m5 n3 u7 64m2 n4 u2 29. = -36a7 b5 c4 - 7a6 b8 + 5a6 b3 c3 6a5 b8 c 30. = 24xy5 z5 + 64x3 y7 z6 - 40x2 yz2 -8x2 y3 31. = 36m2 n4 u9 - 18m2 n2 u2 - 81m3 n2 u2 18m2 n4 u6 32. = Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis el cociente de las divisiones: axy + bxy xy ( ) ( ) (a + b + c + d) ÷ (4) ( ) ( ) ( ) (81a2 – 18a5 + 180a12 ) ÷ (– 9a15 ) 18a3 b2 - 6a2 b3 + 3a4 b4 -3a2 b2 5a2 + 25a4 - 15a3 -5a a) + + + b) – 6a + 2b – a2 b2 c) – + – d) a + b e) – a – 5a3 + 3a2 a 4 b 4 c 4 d 4 9 a13 2 a10 20 a3
33 FACTORIZACIÓN Debe encontrarse el máximo común divisor de los coeficientes y de las literales, es decir, en- contrar el mayor divisor común numérico y elegir la literal común con menor exponente, por ejemplo: Factor común monomio 12x3 + 45x2 = 3x2 (4x + 15) 12 y 45, máximo divisor es 3, x2 literal común con menor exponente. 9x2 y5 – 36x4 y3 = 9x2 y3 (y2 – 4x2 ) 9 y 36, máximo divisor común es 9, x2 y3 , literales comunes con menor exponente. Una diferencia de cuadrados equivale a un “producto de binomios conjugados”. Los bino- mios se forman por los mismos términos y solamente difieren en un signo. Para factorizar se debe encontrar la raíz cuadrada de ambos términos, por ejemplo. Diferencia de cuadrados x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) 25y2 – 49 = (5y + 7)(5y – 7) (-8) + (-3) suman -11 Un trinomio cuadrado equivale a un “producto de binomios con término común”. Para fac- torizar hay que encontrar la raíz cuadrada del término cuadrático y buscar una pareja de números que cumplan con una doble condición, que sumados algebraicamente den el co- eficiente del segundo término y multiplicados algebraicamente den el coeficiente del tercer término del trinomio, por ejemplo: Trinomio cuadrado x2 – 11x + 24 = (x – 8)(x – 3) 4x2 + 16x + 12 = (2x + 6)(2x + 2) (-8)(-3) multiplican 24 2x(6 + 2) = 16x (6)(2) = 12
34 Un trinomio cuadrado perfecto equivale a un “binomio al cuadrado”. Para factorizar hay que encontrar la raíz cuadrada de los términos cuadráticos y verificar que el término central del trinomio sea el doble producto de la primera raíz cuadrada por la segunda raíz, por ejemplo: Trinomio cuadrado perfecto x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 4x2 + 24x + 36 = (2x + 6)2 2(x)(5) 2(2x)(6) Ejercicio: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1) 25x6 + 10x2 + 35x = 3) 4x2 – 18x = 5) 9x2 – 6x + 12x4 = 2) 16m2 – 40m4 + 20m6 = 4) 55x3 – 20x4 y + 5y2 = 6) x2 – x5 = Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: 1) 9x2 – 4 = 3) a2 – b2 = 5) 9x6 – 25 = 2) 49m2 – 16 = 4) 16 – 25y8 = 6) 64m6 – 100 = Factoriza los siguientes trinomios cuadrados: 1) x2 – 4x – 60 = 3) x2 – 13x + 40 = 5) 81x2 + 36x + 3 = 2) 49m2 – 21m + 2 = 4) 25x2 – 10x – 8 = 6) x2 - 6x - 27 = Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 1) x2 – 4x + 4 = 3) x2 – 18x + 81 = 5) 9x2 – 6x + 1 = 2) 16m2 – 40m + 25 = 4) x2 – 2xy + y2 = 6) x2 – 20x + 100 =
35 Factoriza las siguientes expresiones según corresponda: 1. x2 + 2ax – 15a2 = 3. 5 + 4x – x2 = 5. m2 + mn – 56n2 = 7. x8 + x4 – 240 = 9. a4 b4 – 2a2 b2 – 99 = 11. x6 – 6x3 – 7 = 13. x2 y2 + xy – 12 = 15. a2 – 1 = 17. 9 – b2 = 19. 16 – n2 = 21. 1 – y2 = 23. 25 – 36x4 = 25. 4x2 – 81y4 = 27. 100 – x2 y6 = 29. 25x2 y4 – 121 = 31. a2 – 2ab + b2 = 33. x2 – 2x + 1 = 35. a2 – 10a + 25 = 37. 16 + 40x2 + 25x4 = 39. 36 + 12m2 + m4 = 41. a8 + 18a4 + 81 = 43. 4x2 – 12xy + 9y2 = 45. 1 + 14x2 y + 49x4 y2 = 47. 49m6 – 70am3 + 25a2 n4 = 49. x2 y2 + 7xy – 18 = 51. 16x² + 24x + 9 = 53. 9x² – 12x + 4 = 55. 9x² – 24x + 16 = 57. x2 y2 z2 – 2wxyz – 3w2 = 2. a2 – 4ab – 21b2 = 4. x10 + x5 – 20 = 6. x4 + 7ax2 – 60a2 = 8. 15 + 2y – y2 = 10. x4 + 5x2 + 4 = 12. x8 – 2x4 – 80 = 14. a2 – 4 = 16. 1 – 4m2 = 18. a2 – 25 = 20. 4a2 – 9 = 22. 1 – 49a2 b2 = 24. a2 b8 – c2 = 26. a10 – 49b12 = 28. a2 + 2ab + b2 = 30. y4 + 1 + 2y2 = 32. 9 – 6x + x2 = 34. 1 + 49a2 – 14a = 36. 1 – 2a3 + a6 = 38. a6 – 2a3 b3 + b6 = 40. 9b2 – 30a2 b + 25a2 = 42. 1 + a10 – 2a5 = 44. a6 – b6 = 46. 1 – 2a2 + a4 = 48. 6a2 + 11a + 3 = 50. 10b2 + 21b – 10 = 52. 81 – 9x² = 54. 4x² + 12x + 9 = 56. 25x² – 4 = 58. 100m2 n4 – 169y6 = Factoriza sacando el factor común: 1. 120a + 120b + 120c = 3. x2 + x3 − x4 = 5. 40a3 + 30a2 − 50a = 7. 12xy2 − 18y3 x2 + 16xy = 2. 9a2 x − 18ax2 = 4. ab2 − a3 b + ab = 6. 21c4 + 7b2 c − 14b3 = 8. b3 c2 − 21c2 + 14bc2 =
36 9. 112mn4 + 120m5 n − 136m2 n2 = 11. 15y2 + 20y3 − 30y4 + 40y5 = 13. m3 + mn2 − mn4 + m = 15. 5ab + 100a2 b − 155b4 c = 17. − x2 y + y3 + xy4 − 4y = 10. a4 b + a2 b4 + a5 + a3 b3 = 12. − hk2 + 2hk + h2 = 14. a3 b2 + b2 c + a3 b − b2 c = 16. 25x2 y + 30xy3 + 20x = 18. 250m5 n5 + 100m2 n4 – 750m4 n6 =
37 JERARQUÍA DE OPERACIONES La jerarquía de las operaciones es el orden que se debe seguir para resolver una operación y garantizar que el resultado es el correcto, dicho orden es: 1º se resuelven potencias y raíces. 2º se resuelven multiplicaciones y divisiones. 3º se resuelven adiciones y sustracciones. Los paréntesis se cuentan independientes de la jerarquización, pero si la expresión los con- tiene se deben resolver primero independientemente de las operaciones indicadas en él (indistintamente del tipo de paréntesis que se usen ( ) redondos, [ ] corchetes o { } llaves, matemáticamente se les da el mismo uso) y posteriormente se seguirá el orden mencionado anteriormente. Por ejemplo: 4(3) + 52 - √36 + 8 4(3) + 25 – 6 + 8 12 + 25 – 6 + 8 45 – 6 = 39 14(2) – 40 ÷ 5 – (2 + 18 – 5) + 32 Primero lo del paréntesis 14(2) – 40 ÷ 5 – (15) + 32 = Quita paréntesis 14(2) – 40 ÷ 5 – 15 + 32 = Se aplica la jerarquía de operaciones 14(2) – 40 ÷ 5 – 15 + 9 28 – 8 – 15 + 9 = 14 5x – [– 3y + (2x + y) – 3x] – 5y 5x – [– 3y + 2x + y – 3x] – 5y 5x + 3y – 2x – y + 3x – 5y 6x – 3y Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones: a) 20 + 5(38) = b) 240 – 68 ÷ 4 = c) 250 ÷ 5(25) = d) (3 + 4)5 = e) (5 – 2)(3 + 4) = f ) 2(3 + 4 – 5) = g) 2 • 3 – 10 ÷ 2 – 1 = h) 120 + 84 – 3(10) = i ) 32 + 2 – 4 x 3 – 2 = j ) (5 • 4) ÷ 2 + 4 = k) 3[ – (7 • 3)] = l ) [(– 5)(9)][(– 5)(2)] = m) 3 • 4 – 9 ÷ 3 + 2(4 – 1) = n) [20 – (8 – 3)] – (9 – 4) = ñ) 230 – 4(52) + 14 = o) [(3 + 4)5] – 5 + (2 • 5) = p) 2 – 3[1 – 5 + 3(– 2)] = q) 3 (– 2) + 2 (– 2 • 3 + 4) = r ) (2 • 3 + 4 • 3) ÷ 3 – 2 + 10 = s ) (2 – 8) + (5 – 7)(–9 + 6) – (–5 + 7) =
38 t ) – 3[– 4 – 3(50 – 3)][2(2 – 4)] = u) – {– 7 + 11 – [– 5 – (–2 + 3 – 5 + 4)]} = v) – 4 – 3 – {– 6 + 4 +[– (–3 + 5)]} + 3 – 2 = w) – 4 – 5 – {–4 + 6 + 7 – [– 5 + 3 + (3 – 5 + 8) – 4] + 5 + 7 + 4} = x) 84 – 6 {– 5 + 9 [– 4 + 2 (5 – 3 • 2)]} = y) 9 – 3 [7 – 2(– 3)2 ] – (4 – 5 – 22 ) – 3 – (– 2)3 = z) – 6 – 7 – {– 4 + 8 +[– (–5 + 8)]} + 7 – 6 = Resuelve las siguientes operaciones: a) 5x – (2y – 3x) + 2y = b) 4a + (3b – 2a) = c) (3x – 1) + (2x – 5) = d) (3x + 2y – 5z) + 2x – (5x – 2y + 6z) = e) – {– 2a + [30 – 40 – 5b]} + 7b = f ) – 3x – (3x + 6x – 2x) + 2x – 5x + (2x – 5x) = g) 7x – {3x + [– 5y – (– 2x + y) + 3x] – 2y} = h) [– 5x + (3x + 2y) – (5x – 3y) + 7y] – 8x = i ) – (4m + 3n) – (5m – 2n) + (7m – 5n) – 3n =
39 j ) 6m + [2m – (3m + 4n) + (5m – 7n) – 3n] – 2n = k) [2c + (4c + 3d) – 5d] + 3c – [– 6c – (2c + 3d)] + 7d = l ) {9x + [(3y – 2x)]} – {– 5x – [– (9x + 3y) – 5x] – 2y} + 7x = m) (x – 2y)(3x – 4y)(7x + 9y) = n) (5x2 + 3x + 2)(4x – 3) – x3 + 5x4 = ñ) 3(– 5x4 – 7x2 – 5x – 1) – 4(x4 – 2x3 – 8x – 2) – (– 6x3 – 9x2 – x + 1) = o) (3a + 5b + 3c - 4(2a – 9b – 8c) – 5(a + 2b + 3c)) =
40 ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax + bx + c = dx + ex + f Ecuación, igualdad condicionada al valor de una incógnita. Incógnita, es la literal de la expresión que representa una cantidad desconocida, esto nos permite resolver problemas y encontrar uno o más datos desconocidos. Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f 3x + x + 8 = 2x + x + 6 1) Se agrupan los términos semejantes en un miembro de la ecuación y los independientes en el otro. 3x + x – 2x – x = + 6 – 8 2) Se hace una reducción de términos en ambos miembros. 4x - 3x = – 2 3) Se despeja la incógnita para encontrar el valor de x. x = – 2 4) Se comprueba el resultado. 3(– 2) + (– 2) + 8 = 2(– 2) + (– 2) + 6 – 6 – 2 + 8 = – 4 – 2 + 6 0 = 0 Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 3x + 4x + 30 = 84 + x + 2x 2) 8 + 3x – 4x = – x – 3x + 29 3) – 2x – 4 = – x – 1 4) 3m = 5m + 6 5) 5x + 5 = 3x + 27 6) 200 + 7x = 100 – 2x
41 7) 2x – 2 + 5 = 3x + 2 8) – x + 3 – 3x + 3 = 2x – 1 9) 4x + 1 = 3x – 1 + 6 10) 15 – 2x = 4x – 3 + x 11) 5x + 6 = 2x 12) 2x – 3 = 6 + x 13) 21x – 3 = 3x + 6 14) 8x – 6 = 6x + 4 15) 12 + 7m = 2m + 22 16) 9 – 8y = 27 – 2y 17) 2z + 9 = z + 1 18) 3w – 3 = 4w + 11 19) 10h + 21 = 15 – 2h 20) 11b – 5b + 6 = – 24 – 9b 21) 8d – 4 + 3d = 7d + d + 14 22) –9k + 9 – 12k = 4k – 13 – 5k 23) 2 – 3g = 13 + 4g 24) 4n – 6 + 5n = 18 25) 2x + 8 – x = 6 – 2x – 7 26) 3x – 5 = 2x – 3 27) 5h + 10 + 2h + 14 = 20 – h
42 28) 2t + 2 = 11 – t 29) 5x – 6 = 3x + 8 30) 3x – 5 = x + 3 31) 9y – 11 = – 10 + 12y 32) 5c + 6c – 81 = 7c + 102 + 65c 33) 3e – 8 + 6e – 12 = e – 10 + 9e – 13 34) 2r + 7 – 8r + 5 – 3r = 9 – r + 6 – 5r – 13 35) 3q + 101 – 4q – 33 = 108 – 16q – 100 36) 2m – 4 – 8m + 9 = 10m + 6 + m – 12 37) 35 – 22a + 6 – 18a = 14 – 30a + 32
43 ECUACIONES CON PARÉNTESIS 5(x + 3) + 9 + 3x = 20 1) Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones indicadas en cada caso. (En este caso multiplicando). 5x + 15 + 9 + 3x = 20 2) Se agrupan las incógnitas en un miembro de la ecuación Y en el otro las constantes. 5x + 3x = 20 – 9 – 15 3) Se realizan las operaciones indicadas en cada miembro. 8x = – 4 4) Se despeja la variable, si el resultado es fraccionario se simplifica al máximo. 5) Se comprueba el resultado. 5(– 0.5) + 15 + 9 + 3(– 0.5) = 20 – 2.5 + 24 – 1.5 = 20 – 4 + 24 = 20 20 = 20 x = = - 0.5 -4 8 Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) x + 3(x + 2) = 18 2) x + 4(x + 3) = 28 3) 7(x – 3) = 5(x + 7)
44 4) 3 + 5(x – 7) = 3(x + 6) 5) (– 3 + x) = – 2 6) 10(4 + x) = 50 7) (7 + x) = 112 8) (x + 3) = 5(x – 3) 9) – 2(2 + x) = 2(– 20 + x) 10) – 3(x – 2) = – 1(x – 26) 11) 3(6y) + 14 = 5y – 6 12) 2(2x – 5) = 3x – 1 13) 3(8m + 4) = 8(6m – 1) + 5 14) 4(8b + 9) = 1(4b – 4) + 6 15) 8(8x + 6) = 4(8x – 1) + 1 16) 5(9c + 7) = 4(4c – 4) + 6 17) 12z – (3z – 1) – (2z – 35) = z + 58
45 18) 4(b + 1) + 9 = 2(3b – 4) + b 19) 5(2x – 1) + 3(x – 2) = 10(x + 1) 20) 4e – (3e – 4) = 6e – (3 – 8e) + (– 2e + 29) 21) 9f + (– 2f + 8) = 3f + (5 – 6f) – (– 5f – 18) 22) 4h – (3h – 10) = 2h – (8 – 5h) + (3h – 18) 23) 10k – (8k – 5) = 7k – (5 – 9k) + (– 3k – 45) 24) 3(x – 2) – 6(3 – 2x) = 3(5x – 2) + 3(2x – x) 25) 6w – (4w – 7) = 5w – (4 – 9w) + (– 4w + 35) 26) 4(w – 2) + 3(w + 5) = 2(w + 2) – 3(w – 4) + 17
46 27) 3(2n – 4) – 4(5 – 2n) = 3(n – 2) + 5(4n + n) + 2 28) 3z + {– 7z + (– z + 9)} = 33 – {– (3z + 2) – (3z – 14)} 29) 9y + {– 6y + (– 2y + 9)} = – 5 – {– (7y + 3) – (– 9y + 22)} 30) 4m – {– 5m – (– 3m + 10)} = 18 + {– (5m + 4) + (– 7m + 12)}
47 SISTEMAS DE ECUACIONES Hay varios métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones simultáneas: 1.- Por el método de sustitución. 3.- Por el método de igualación. 2.- Por el método de reducción. 4.- Por el método gráfico. Método de sustitución a + b = 18 ……… (1) a – b = 6 ……….. (2) 1.- Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones. a = 18 – b ……… (1) 2.- Se sustituye ese valor en la otra ecuación y se resuelve la ecuación. a – b = 6 ……….. (2) 18 – b – b = 6 Ecuación con una sola incógnita 18 – 2b = 6 – 2b = 6 – 18 – 2b = – 12 b = 6 Primer valor 3.- Este primer valor se sustituye en alguna de las ecuaciones y se resuelve. a + b = 18 …...…. (1) a + 6 = 18 a = 18 – 6 a = 12 Segundo valor 4.- Se comprueban los valores hallados, en ambas ecuaciones. a + b = 18 a – b = 6 12 + 6 = 18 12 – 6 = 6 18 = 18 6 = 6 Si quedan identidades (valores iguales en ambos miembros) los valores encontrados son correctos. -12 -2 b =
48 Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas. 1) 7x + 4y = 13 5x – 2y = 19 2) 5x + 6y = 10 4x – 3y = – 23 3) x + y = 2 x – y = 6 4) x + 2y = 3 5x – 3y = –11 5) x + 2y = 3 2x – y = 1 6) 2x + y = 5 x + 3y = 5
49 7) –4x + y = 20 6x – 9y = 0 8) – 3x – 4y = 31 5x – 9y = 11 9) 14x - 11y = 29 -8x + 13y = 30 10) 9x - 3y = 18 2x + 8y = -48 11) -8x + 14y = -20 -5x + 7y = -16 12) 5x - 9y = 139 15x + 2y = 98
50 13) 10x + 4y = – 34 – 5x + 2y = 13 14) 2x – 3y = 12 – 4x + 5y = – 14 15) – 3x + 2y = – 9 4x – 5y = 26 16) 6x + 4y = 7 – 9x + 16y = 17 17) x + 2y = 5 3x – 6y = – 9 18) 6x + 14y = 9 3x + 2y = – 3
51 19) x + y = 12 x - y = 2 20) 3x + 5y = 7 2x – y = – 4 Método por reducción x + 2y = 8 ……....… (1) x + 5y = 20 ……….. (2) Se restan ambas ecuaciones. y = 4 Se sustituyen el valor de “y” en cualquiera de las 2 ecuaciones Lo haremos en la (1) x + 2y = 8 …… (1) x + 2(4) = 8 x + 8 = 8 x = 0 Respuesta: x = 0 y = 4 x + 2y = 8 -x - 5y = -20 - 3y = -12 -12 -3 y =
52 Ejercicio: Ahora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reduc- ción: 1) x – y = 2 2x + 3y = 19) 2) 5x + 3y = 13 x – y = – 11 3) 2x – 2y = –5 3x + 4y = –11 4) 2x + y = 8 3x – y = 7 5) 3x + 4y = 8 8x – 9y = –77 6) 6x – 5y = –3 2x + 3y = 13 7) x + 2y = 8 2x + y = 7 8) –2x + 3y = –12 3x – 4y = 15 9) 5a – 7b = 10 8b – 6a = –12
53 10) 4m + 9n = –35 3m – 8n = 18 11) 10m – 3n = 19 1 5m – 24n = 35 12) 7a – 10b = – 64 5b + 3a = 19 13) 3x – 8y = –13 5y + 2x = –19 14) 3m – 5n = 1 9m + 15n = 9 15) x – 2y = 11 x + 5y = –17
54 16) –m + n = – 1 4m – 2n = 5 17) 2b + c = 1 –5c – 6b = – 9 18) 6u – 3v = 7 8u – 5v = 10 19) 3x – 4y = 32 5x + y = 38 20) 6r – 5v = – 11 7v – 8r = 15 21) 7x – y = 75 5x – 2y = 42
55 22) 7p – 3q = – 28 5p – 4q = 16 23) 2x + y = – 10 x – 3y = 2 24) 9x – 2y = – 3 7y – 12x = 17 25) 8p – 3q = 8 2p + 9q = 15 26) 2m – 5n = 14 5m + 2n = – 23
56 Método por igualación 3x – 5y = – 10 …(1) 4x + y = 25 … (2) Se despeja “x” en (1) y en (2). Se igualan (3) y (4) y se encuentra el valor de “y” en la ecuación: Se resuelve la ecuación. - 40 + 20y = 75 - 3y 20y + 3y = 75 + 40 23y = 115 En ecuación (2) se sustituye el valor obtenido de “y”. 4x + y = 25 4x + 5 = 25 2x = 20 Respuesta: x = 5 y = 5 -10 + 5y 3 (1) x = ...(3) 25 - y 4 (2) x = .......(4) -10 + 5y 3 = 25 - y 4 y = 115 23 y = 5 x = 20 4 x = 5 Ejercicio Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
57 1) 3x + 2y = 24 4x + y = 22 2) x + 3y = 8 x – y = 4 3) 3x – 4y = 41 11x + 6y = 47 5) 3m + 2n = 5 5m + n = – 1 4) x + y = 4 x – y = 2 6) 12x – 18y = 13 –12x + 30y = – 19
58 7) 7x + 2y = – 3 2x – 3y = – 8 8) 3x – 4y = – 26 2x – 3y = – 19 9) 6u + 4v = 5 9u – 8v = 4 10) 3x – 2y = 0 x – y = – 1 11) 5x – 2y = 2 7x + 6y = 38 12) 5d + 3b = 21 – 2d + 4b = 2
59 13) x + y = 2 x – y = 6 14) 5x – 3y = – 7 3x + 5y = – 11 15) 3x – 2y = – 2 4x + y = 1 16) 2x + 3y = 5 5x + 4y = 2 17) 2x + 5y = 19 3x – 4y = – 6 18) x + 2y = 3 5x – 3y = – 11
60 19) x + 2y = 4 3x – y = 5 20) –x + y = – 7 5x + 3y = 3 Método gráfico Cada ecuación representa una recta y el lugar en donde se cruzan las dos rectas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto son los valores que resuelven las dos ecuaciones. Observa cómo se resuelve de manera gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 9 10x + 5y = 60 Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle al- gunos valores a la que no se despejó. A esto se le llama tabulación. x + y = 9...(1) 10x + 5y = 60...(2) Se despeja y en ambas ecuaciones: y = 9 - x Tabulamos ambos despejes: y = 60 - 10x 5 y = 12 - 2x Puntos M N O P Q x 0 1 2 -1 -2 y 12 10 8 14 16 Puntos A B C D E x 0 1 2 -1 -2 y 9 8 7 10 11 y = 9 – 0 = 9 y = 9 – 1 = 8 y = 9 – 2 = 7 y = 9 + 1 = 10 y = 9 + 2 = 11 y = 12 – 2(0) = 12 – 0 = 12 y = 12 – 2(1) = 12 – 2 = 10 y = 12 – 2(2) = 12 – 4 = 8 y = 12 – 2(–1) = 12 + 2 = 14 y = 12 – 2(–2) = 12 + 4 = 16 y = 12 - 2x y = 9 - x
61 Se localiza en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos: El punto de intersección de las dos rectas trazadas es la solución del sistema: x = 3 y = 6 Es decir que para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos: • Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del siste- ma (figura 1). • Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). • Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto, no hay solución (figura 3).
62 Ejercicio: Ahora grafica los siguientes sistemas de ecuaciones: 1) x + y = 5 2x – y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 2) 2x + 3y = 13 5x – 2y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
63 3) 2x – y = 2 x + y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 4) x + y = 5 x – y = 1 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
64 5) 5x + 3y = 13 4x + 6y = 14 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 6) 2x + y = 10 8x + 2y = 20 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
65 7) 5x – y = 13 3x + y = 11 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 8) 3x + 7y = 23 5x – 3y = 9 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
66 9) 6x – y = 1 4x + y = 9 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 10) 3x + 4y = – 7 2x – 4y = 2 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
67 Resuelve los siguientes problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el método que más se te facilite. a) La diferencia de dos números es 19, y la quinta parte de su suma es 25. Hallar los números. b) En el circo, 12 entradas de adulto y 8 de niño cuestan $ 192.00; y 8 entradas de adulto y 6 de niño cuestan $ 132. Encuentra el precio de una entrada de adulto y una de niño. c) Si la base de un rectángulo disminuye 2 cm y la altura aumenta 2 cm, su área aumentaría 4 cm cuadrados; si la base aumenta 4 cm y la altura disminuye 2 cm, el área permanece constante. ¿Cuál es el área del rectángulo original? d) Se tienen $ 195 en monedas de 5 pesos y de 10 pesos. Si en total hay 27 monedas, ¿Cuán- tas son de 5 pesos y cuántas de 10 pesos?
68 e) El costo de cinco discos compactos de música de igual precio menos $ 120 es igual al cos- to de tres discos compactos más $ 128. ¿Cuánto cuesta cada disco compacto? f) Ceci compró 3 paletas y 2 dulces por $ 11.00; Héctor 2 paletas y 5 dulces por $ 11.00, ¿Cuánto cuesta cada paleta y cada dulce? g) El cuádruplo de un número es 8 unidades menor que el doble de otro, mientras que el sép- tuplo del primero es igual al triple del segundo. ¿Cuáles son dichos números? h) Si 8 kg de naranja y 5 kg de papa cuestan $ 28.75, y 6 kg de naranja y 2 kg de papa cues- tan $ 18.50, ¿Cuál es el precio por kilogramo de cada producto?
69 i) Dos números suman 241 y su diferencia es 99. ¿Cuáles números son? j) Dos números suman 400 y el mayor es igual a 4 veces el menor, ¿qué números son? k) Pedro tiene $ 1 650 en billetes de 50 y de 100; si en total tiene 25 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación? l) En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 92, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?
70 m) En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan 2 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo? n) En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? o) Por dos camisas y dos pantalones pagué $ 430. Mi amigo pagó $ 350 por dos camisas y un pantalón. ¿Cuánto cuestan la camisa y el pantalón? p) Mónica compró 3 paletas y 2 refrescos por $ 16.00; Carlos compró 2 paletas y 5 refrescos por $ 29.00, ¿Cuánto cuesta cada paleta y cada refresco?
71 q) Cinco trajes y 3 sombreros cuestan, $ 41 800 y, 8 trajes y 9 sombreros $ 69 400 ¿Cuál es el precio de un traje y de un sombrero? r) Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 000. Si más tarde a los mismos precios compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818 000, ¿Cuál es el costo cada vaca y cada caballo? s) En una mañanita 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $ 512. Si por 17 entradas de niño y 15 de adulto se pagó $ 831, halla el precio de una entrada de niño y una de adulto. t) Encuentra dos números positivos cuya suma es 225 y su diferencia es 135.
72 u) Un granjero tiene cierta cantidad de animales, entre gallinas y borregos, de tal manera que al sumar el número de cabezas el resultado es 44 y la suma de las patas es 126. ¿Cuántas gallinas y cuántos borregos tiene? v) ¿Cuáles serán dos números que sumados dan 104 y restados dan 8?
73 ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE De la intersección de dos paralelas y una secante se forman 8 ángulos cuatro internos y cua- tro externos, por la posición que guardan las paralelas respecto a la secante se establecen diversas relaciones de igualdad entre ellos, así podemos encontrar: Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos formados por la prolongación de las mismas rectas, por lo que son iguales, pero se encuentran a ambos lados del vértice. Ángulos suplementarios: Son los ángulos que al sumarlos dan 180º y pueden encontrarse jun- tos o separados. Ángulos adyacentes: Son los ángulos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados. Ángulos correspondientes: Son ángulos iguales localizados en el mismo lado de la secante, en diferentes paralelas, uno es interno y otro externo. Ángulos alternos: Pueden ser internos o externos, son iguales y se localizan en la parte interna o externa de las paralelas uno de un lado y otro lado de la secante. Ángulos colaterales: Pueden ser internos o externos son suplementarios y se encuentran en el mismo lado de la secante. Algunos de los ángulos que se han mencionado anteriormente los podemos distinguir a con- tinuación. Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos Ángulos colaterales internos Ángulos colaterales externos 1 = 3 2 = 4 5 = 7 6 = 8 2 = 7 6 = 3 1 = 8 5 = 4 2 + 3 = 180° 6 + 7 = 180° 1 + 4 = 180° 5 + 8 = 180°
74 Ejercicio: Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes: 1. ¿Cómo se llaman son los ángulos 1 y 2? ________________________ _________________________________________________________________ 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? ___________________ _________________________________________________________________ 3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? _________________________ _________________________________________________________________ 4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? ______________________ _________________________________________________________________ 5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? __________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 7. ¿El ángulo 6 es correspondiente al ángulo 3? ___________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? ______________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? ___________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6? _______________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta. a =__________ b =__________ c =__________ d =__________ e =__________ f =__________ g =__________ h =__________
75 ¿Cuánto miden los ángulos internos a, c y e del triángulo que aparece en la siguiente ilustra- ción, si el ángulo b’ mide 45° y el ángulo d’ mide 60°? a =_______ c =_______ e =_______ En cada una de las siguientes figuras obtén la medida de los ángulos “x” y “y” según corres- ponda. x =________ y =________ x =________ y =________ x =________ y =________ x =________ y =________
76 SUCESIONES NUMÉRICAS El conjunto de varios números ordenados con base en una determinada regla constituye una sucesión numérica. Por ejemplo: múltiplos de 3 menores de 30 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 Para descubrir la generalización, fórmula o patrón de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que hay entre las cantidades, este se escribirá como el factor constante de la expresión: Por ejemplo: 3, 8. 13, 18, 23, 28, ___ , ___ a) El incremento de posición a posición en este caso es 5 como se observa. b) Se integra el incremento como factor con “n” recuerda que “n” es la posición. Posteriormente se multiplica el factor encontrado por uno que es la primera posición y se re- visa si falta o sobra para obtener el primer número de la sucesión. c) Posición uno. d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2. e) Si se va a calcular otra posición que no esté en la secuencia se sustituye en el patrón dicho valor. Si “n” es 1 entonces 5( 1 ) = 5 Entonces el patrón será 5n – 2 Si el número que ocupa la posición “n” es 25 entonces: 5(25) – 2 = 125 – 2 = 123 El número que ocupa la posición 25 en la sucesión es 123 Ejercicio: Encuentra la generalización de cada una de las siguientes sucesiones. Sucesión 1) – 6, – 9, – 12, – 15, – 18, … 2) 4, 2, 0, – 2, – 4, – 6, … 3) 36, 31, 26, 21, 16, 11, … 4) – 7, – 1, 5, 11, 17, 23, 29, … 5) – 13, – 19, – 25, – 31, – 37, – 43, – 49,… 6) – 3.5, – 7.5, – 11.5, – 15.5, – 19.5, – 23.5, – 27.5, … Generalización ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________
77 7) – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, … 8) 20, 18, 16, 14, 12, 10, … 9) – 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, … 10) – 24, – 18, – 12, – 6, 0, 6, … 11) – 30, – 25, – 20, – 15, – 10, – 5, … 12) – 7, – 5, – 3, –1, 1, 3, … 13) 15, 9, 3, – 3, – 9, – 15, … 14) – 10, – 11, – 12, – 13 , – 14 , – 15, … 15) – 2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, … 16) – 130, – 133, – 136, – 139, – 142, – 145, – 148,… 17) – 4.3, – 8.3, – 12.3, – 16.3, – 20.3, – 24.3, – 28.3, … 18) – 39, – 32, – 25, – 18, – 11, – 4, … 19) – 33, – 23, – 13, – 3, 7, 17, … 20) 21, 28, 35, 42, 49, 56, … 21) 30, 25, 20, 15, 10, 5, … 22) – 12, – 4, 4, 12, 20, 28, 36, … 23) – 76, – 81, – 86, – 91, – 96, – 101, – 106, … 24) – 1.12, – 3.12, – 5.12, – 7.12, – 9.12, – 11.12, – 13.12, … 25) – 65, – 67, – 69, – 71, – 73, – 75, … 26) – 40, – 80, – 120, – 160, – 200, – 240, … 27) 14, 10, 6, 2, – 2, – 6, … 28) 91, 61, 31, 1, – 29, – 59, … 29) – 77, – 66, – 55, – 44, – 33, – 22, – 11, … 30) – 7, – 5, – 3, – 1, 1, 3, … 31) 28, 23, 18, 13, 8, 3, … 32) – 24, – 18, – 12, – 6, 0, 6, … 33) – 9, – 15, – 21, – 27, – 33, … 34) – 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, … 35) – 3, – 7, – 11, – 15, – 19, … 36) 5, 3, 1, – 1, – 3, – 5, … ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizacio- nes: 1) 4n – 7 2) n – 13 3) 2n – 2 4) – 3n + 15 5) 2n – 7 6) – 5n + 1 7) 3n – 6 8) 12n – 4 9) 2n – 3 10) n – 5 ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________
78 11) 2n – 11 12) – 10n + 1 13) – 4n + 9 14) n + 16 15) 6n – 12 16) 4n + 4 17) – 3n + 6 18) – 4n – 4 19) 8n – 9 20) – 3n – 1 21) – 8n + 15 22) 4n – 6 23) – 7n – 3 24) – 13n – 2 25) 5n + 7 26) 2n - 10 27) – n – 2 28) 3n + 2 29) n – 7 30) 2n + 4 31) – 4n – 1 32) 2n – 30 33) – 2n 34) n – 10 35) – 5n – 3 36) 4n – 90 ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________
79 PORCENTAJES Porcentaje es el tanto por ciento. Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de denomina- dor 100, en otras palabras, es el número de unidades que se toman de cada cien. Es decir, una expresión como “45%” (45 por ciento) es lo mismo que la fracción . Ejemplo: 45 100 8 100 8 % = = 0.08 35 100 35 % = = 0.35 35 100 15.8 % = = 0.158 Cálculo de porcentajes Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento. 1º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100. Ejemplo: El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100: 240 x 20 = 4800 Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos. 4800 100 = 48 2º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje. Ejemplo: Observa esta igualdad: 20 100 20 % = = 0.20 Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0.2: 240 (0.2) = 48 Como se observa por esta otra manera también da el mismo resultado: El 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.
80 Ejercicio: 1) Ricardo compró un refrigerador por $ 4 800 y una lavadora por $ 6 200. Si por pagar en efectivo le descuentan el 15 %, ¿cuánto pagará por cada artículo? 2) Si Elena gana $ 12 500.00 mensuales y recibe un aumento del 8 % ¿cuál será su nuevo sa- lario? 3) Calcular el 27 % de 450. 4) Calcular el 85 % de 2 360. 5) ¿Qué porcentaje representa 15 de un total de 120? 6) ¿Qué porcentaje representa 3 120 de un total de 8 000? 7) El 64 % de una cantidad es 112. Calcular dicha cantidad. 8) El 3.5 % de una cantidad es 63. Calcular dicha cantidad.
81 9) En las vacaciones navideñas un hotel ha tenido una ocupación de un 96 %. Si el hotel tiene 175 habitaciones, ¿cuántas se han ocupado? 10) En mi clase hay 30 alumnos. De ellos, hay 18 que vienen al instituto desde otra localidad utilizando el transporte. ¿Qué porcentaje del total de alumnos utilizan transporte? 11) El 4.2 % de los habitantes de mi pueblo son jóvenes entre 14 y 18 años. Si hay 756 personas en este intervalo de edad, ¿cuántos habitantes habrá? 12) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 13) Una moto cuyo precio era de $ 50 000, cuesta en la actualidad $ 25 000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 14) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 188 000, nos hacen un descuento del 7.5 %. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 15) Al comprar un monitor que cuesta $ 45 000 nos hacen un descuento del 8 %. ¿Cuánto tenemos que pagar? 16) Se vende un artículo con una ganancia del 15 % sobre el precio de costo. Si se ha com- prado en $ 8 000. Halla el precio de venta.
82 17) Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha aumentado a $ 1 800 para ganar al venderlo el 10 %. 18) ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comprado a $ 2 800, para que tenga un descuento del 12 % sobre el precio de venta? 19) Se vende un objeto perdiendo el 20 % sobre el precio de compra. Halla el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 1 500. 20) En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos son? 21) En el estacionamiento de unos grandes almacenes hay 420 coches, de los que el 35 % son blancos. ¿Cuántos coches hay de los otros colores? 22) Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12 % de los $ 5 500 que ha co- brado. ¿Cuánto dinero recibiré? 23) Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qué cantidad le corresponde si los beneficios han sido de $ 740 500? 24) Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 9. ¿Qué porcentaje del total me he comido?
83 25) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3 % de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina? 26) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? 27) Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que representa el 84 % del total. ¿De cuántas camas dispone el hospital? 28) De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen saber planchar? 29) El 24 % de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 30) ¿Cuánto me costará un abrigo de $ 3 600 si me hacen una rebaja del 20 %? 31) En una tienda en la que todo está rebajado el 15 % he comprado un pantalón por el que he pagado $ 1 200. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja? 32) Hoy ha subido el precio del pan el 10 %. Si una barra me ha costado $ 7, ¿cuánto valía ayer?
84 INTERÉS SIMPLE Se denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan. El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capi- talización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo, es decir es el resultado que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben única- mente al capital inicial. Si depositamos un capital C en un banco durante un año, el banco nos dará una cantidad I, llamada interés, que se obtiene aplicando un porcentaje r%, llamado rédito, a la cantidad C. Si depositamos el capital durante t años, el interés se calculará con la fórmula: Ejemplo: Un capital de $ 10 000 a un interés del 5% mensual prestado por 12 meses. El interés anual es de $ 6 000 Vemos que $ 6 000 corresponde a 12 meses si se quiere saber cuántos intereses es mensual sólo divide entre 12. El interés mensual que debe pagarse es de $ 500 c•r•t 100 l = l = Intereses c = Capital r = rédito (%) t = Tiempo 10 000•5•12 100 l = 600 000 100 l = l = 6 000 6 000 12 l = l = 500
85 Ejercicio: Resuelve los siguientes problemas. 1) Calcula el interés que generan $ 2 500 durante 8 meses al 8 %. 2) Calcula el interés que generan $ 60 000 durante 63 días al 9 %. 3) Calcula el interés que generan $ 12 000 durante 3 meses al 8.5 %. 4) Calcula el interés que generan $ 15 000 al 10 % en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. 5) Calcula el interés que produce un capital de $ 16 000 con un interés simple del 3.25 % du- rante 4 años. 6) Calcular el interés que produce un capital de $ 22 800 colocado a un interés simple del 4.5 % durante 21 meses. 7) Calcular el interés que produce un capital de $ 26 500 a un interés simple del 2 % durante 329 días. 8) Calcular el capital que hay que prestar durante 3 años a un rédito del 4 % para que pro- duzca un interés de $ 5 640. 9) Calcular el rédito al que hay que cobrar un capital de $ 28 500 durante 2 años para que produzca un interés de $ 5 150.
86 10) ¿Cuántos años hay que prestar un capital de $ 8 500 a un rédito del 3.75 % para que pro- duzca un interés de $ 2 868.75? 11) Calcular el capital que hay que prestar durante 10 meses a un rédito del 5 % para que produzca un interés de $ 2 956. 12) Calcular el rédito al que hay que prestar un capital de $ 29 500 durante 8 meses para que produzca un interés de $ 1 710. 13) Calcular el interés que produce un capital de $ 10 400 colocado a un interés simple del 1.5 % durante 163 días. 14) ¿Cuántos meses hay que prestar un capital de $ 40 950 a un rédito del 2 % mensual para que produzca un interés de $ 1 802? 15) Calcular el interés simple producido por $ 30 000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. 16) Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 % anual. ¿Cuál es el ca- pital de dicha cuenta en ese año? 17) Un préstamo de $ 20 000 se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
87 18) Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiem- po, ha generado un interés de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? 19) Calcula a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. 20) Si invertimos nuestros ahorros de $ 10 000 en un banco donde al cabo de 30 días nos de- volverán $ 10 500, ¿cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido? 21) ¿Qué capital produce un interés de $ 1 240, si es invertido durante 6 meses al 4% de interés mensual? 22) El administrador general de cierta tienda departamental manufacturera deposita $ 63 500 en una institución bancaria que paga el 18% de interés simple anual. ¿Cuánto podrá acumular si retira su dinero 18 meses después de haberlo depositado? 23) Se prestan $ 45 000 y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben $ 52 500. Calcula el tanto por ciento de interés. 24) Calcula el interés producido por $ 2 500 al 5% anual durante 3 años. Cuánto producirán durante 15 meses? 25) ¿Qué capital produce unos intereses de $ 50 en 45 días al 4%?
88 26) Si Federico ha depositado $ 3 000 y al cabo de 2 años tiene $ 3 300, ¿qué tipo de interés anual se ha aplicado a ese depósito? 27) Juan ha hecho un deposita de $ 12 000 en un banco donde el interés anual es del 3 % y lo mantiene durante 1 año y 4 meses. ¿Qué capital final obtendrá? 28) Isabel deposita $ 60 000 en una cuenta corriente a un plazo fijo de 5 años a un 5 % de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrá al final de los cinco años? 29) Juan pidió un préstamo al banco por valor de $ 65 000, a pagar en 5 años. Si el banco se lo concedió al 6.5 %, ¿cuánto pagará de intereses? 30) Un banco concede $ 120 000 a pagar durante 10 años al 7 % de interés simple. ¿A cuánto ascenderán los intereses?
89 INTERÉS COMPUESTO Otro tipo de interés es el llamado interés compuesto, en el que cada cierto tiempo, llamado periodo de capitalización, los intereses generados por el capital inicial se añaden al capital y generan más intereses, es decir la diferencia entre el interés simple y el compuesto radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el interés compuesto es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se incrementan mes a mes. Si llamamos al capital inicial CI, al rédito r y al tiempo en años t, el capital final CF, y la formula que hay que aplicar es: Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se acumulan. Ejemplo: Se deposita un capital de $ 8 200 a un interés compuesto del 5.5% anual durante 6 años. Cal- cula el capital final después de los 6 años. El capital que tendrá depositado al cabo de 6 años es de $ 11 299.60 Otra manera que se puede calcular el interés es haciendo una tabla y calcular el interés. Ejemplo: En este caso se calcula el interés compuesto al 8 % bimestral en un préstamo de $ 25 000 CF = CI 1 + F 100 ( ) t CF = CI 1 + F 100 ( ) t CF = 8 200 1 + 5.5 100 ( ) 6 CF = 8 200(1.055)6 CF = 8 200(1.378) CF = 11 299.60
90 Ejercicio: 1. El Ing. Sergio Garza va a invertir $150 000 a 1 año con un interés compuesto de 18 % anual. ¿Cuánto va a recibir al vencimiento de la inversión? Y si lo invirtiera a dos años en las mismas condiciones, ¿Cuánto dinero recibiría después de dos años? 2. Una persona invierte hoy la suma de $ 100 000 en un banco que paga el 7 % cuatrimestral de interés compuesto, se solicita mostrar la operación de capitalización durante dos años. 3. Una persona invierte $ 1 000 a un interés compuesto del 2.5 % mensual durante 12 meses. Calcula cuánto dinero tendrá al final del año. 4. ¿En cuánto se convertirán $ 20 000 durante 10 años al 4 % de interés compuesto?
91 PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumento de una, corresponde una disminución para la otra; o que, a toda disminución de una, corresponde un aumento para la otra. Entonces se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente valor de la se- gunda magnitud, se obtiene siempre el mismo valor. A este valor constante se le llama cons- tante de proporcionalidad inversa. 1 • 120 = 2 • 60 = 3 • 40 = 4 • 30 = 5 • 24 = 6 • 20 = 120 Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa o inversa se puede utilizar: • La razón de proporcionalidad. • Una regla de tres. • Reducción a la unidad. Ejemplo: Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos? Por tanto, se aplica el inverso multiplicativo Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos. Constante de proporcionalidad inversa alumnos 18 10 dinero 200 x dinero a + alumnos - dinero a - alumnos + dinero { } Proporcionalidad inversa 18 10 = 200 x 18 10 = x 200 x = 18(200) 10 x = 360
92 Otra manera es reducción a la unidad $ 360.00 recibe cada uno de los 10 alumnos Ejercicio: 1) Si 15 hombres hacen una obra de construcción en 60 días, ¿Cuánto tiempo emplearán 20 hombres para realizar la misma obra? 2) Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿Cuántos más deben de añadirse a los prime- ros para concluir el mismo trabajo en 28 días? 3) Un ciclista recorrió cierta distancia en 4 horas con una velocidad de 60 km/h, ¿Qué veloci- dad deberá llevar para recorrer la misma distancia en 5 horas? 4) Si se llenan 24 frascos con capacidad para 250 gramos, con mermelada de fresa, ¿Cuán- tos frascos de 300 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada? 5) En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿Cuántas páginas tendrá el mismo libro si en cada una se colocan 40 líneas?
93 6) Una piscina se llena en 10 horas con una llave que arroja 120 litros de agua por minuto, ¿Cuántos minutos tardará para llenarse si esta llave arrojara 80 litros del líquido? 7) Un grupo de 45 estudiantes de una secundaria contrata un autobús para ir a un evento y calculan que cada uno debe pagar $ 50; finalmente sólo asisten 30 estudiantes, ¿Cuánto deberá pagar cada uno? 8) Una bodega se llena con 3 500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma ca- pacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿Cuántos sacos caben en la segunda bodega? 9) Un ejército de 900 hombres tiene víveres para 20 días; si se desea que las provisiones duren 10 días más, ¿Cuántos hombres habrá que dar de baja? 10) Se desea plantar árboles dispuestos en 30 filas, de modo que cada fila tenga 24 de éstos. Si se colocan los mismos árboles en 18 filas, ¿Cuántos se tendrán por fila? 11) Las ruedas traseras y delanteras de un automóvil tienen un diámetro de 1.5 m y 1 m, res- pectivamente, cuándo las primeras han dado 350 vueltas. ¿Cuántas han dado las segundas? 12) Una empresa elaboradora de alimentos para animales envasan su producción en bolsas de 3 kg, 5 kg, 10 kg, 15 kg y 20 kg. Si dispone de 15 toneladas a granel, ¿cuántas bolsas utili- zaría en cada caso? Completa la tabla siguiente con los datos que obtuvieron.
94 ¿Qué sucede con el número de bolsas al aumentar la cantidad de kilogramos en cada una? ¿Qué sucede con el número de bolsas al disminuir la cantidad de kilogramos en cada una? 13) Seis obreros cargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarían nueve obreros en cargar el camión? 14) Un coche a 60 km/h, tarda 4 horas en hacer un viaje. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje a una velocidad de 80 km/h? 15) De una llave salen 7 litros por minuto y llena un tinaco en 3 horas. ¿Cuánto tardaría si la llave disminuye a 4 litros por minuto? 16) Un coche recorre hace un recorrido en 3 horas marchando a una velocidad de 100 km/h. ¿Cuántas horas tardaría si va a una velocidad de 150 km/h.? 17) Calcula el número de días que hubieran necesitado 20 obreros para hacer un trabajo, que otro grupo de 30 obreros lo hizo en 10 días. 18) 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?
95 19) En 6 días, dos personas hacen un trabajo. ¿Cuántos días demoran 3 personas en realizar el mismo trabajo? 20) Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarían si se quiere pintar en 80 días? 21) Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos, a 80 km/h. Si por problemas viento y marejadas no se puede desarrollar más que una velocidad de 50 Km/h, ¿cuánto tiempo se empleará en atravesarla?
96 GRÁFICAS DE LA FORMA y = mx + b En la vida diaria se usan magnitudes que están una en función de otra. Las funciones pueden representarse mediante un texto, una tabla de valores, una expresión algebraica o una grá- fica. La función y = mx + b es una función lineal donde m es la pendiente, b es el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas. En la función la variable independiente es x y a ella se le asignan diferentes valores. y es la variable dependiente porque su valor está en función de x. Algunas veces al leer la información representada en las gráficas sólo se presenta la gráfica y no la función, para obtenerla es necesario calcular la pendiente y después localizar el punto b en donde la recta corta el eje de las ordenadas. Con estos datos se puede formar la fun- ción. Ejemplo: 1) Dada la gráfica se calcula la pendiente m. 2) El punto b es donde la recta corta el eje de las ordenadas, b = 4 3) Tomando la forma de la función y = mx + b 4) Se sustituye los dos valores encontrados: y = 2x + 4 que es la función y x m = 4 2 m = m = 2
97 Ejercicio: 1) Encuentra la función de las siguientes gráficas: R1 R1 R2 R1 R2 R3 R1 R2 R3 2) En la siguiente gráfica, elige la opción que corresponda a la familia de rectas representa- da. a) y = -x + 2 y = - x + 2 y = x + 2 1 2 1 2 b) y = 2x + 2 y = x + 2 y = -x + 2 c) y = 2x + 1 y = 2x + 2 y = 2x - 1 d) y = 2x - 1 y = 2x - y = 2x + 1 2 1 2
98 3) Relaciona las gráficas siguientes con sus respectivas ecuaciones: a) y = 3x – 4 b) y = 2x c) y = x d) y = – 3x – 4 e) y = – 2x f) y = 3x + 4 4) Coloca una “x” en la gráfica que representa una función.
99 5) Coloca “m +” en la gráfica que tiene una función con pendiente positiva y “m -” en la que tiene pendiente negativa.
100 6) ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas?
101
102
103 6) ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas (A, B, C, D, E)? ¿Traza las rectas según la pendiente indicada (F, G, H, I, J)?
104 7) ¿De las siguientes rectas determina su pendiente y función recuerda que son de la forma y = kx?
105
106 ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central: se forma por dos radios, tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se mide por el arco subtendido por sus lados. Ángulo inscrito: se forma por dos cuerdas, tiene su vértice en un punto de la circunferencia, se mide por la mitad del arco subtendido por sus lados. Ángulo Central = arco QP Ángulo inscrito = del arco BC Resuelve: 1 2 Encuentra: Arco OB:______________ Arco OA:______________ Arco AB:_______________ Ángulo ß:______________ Ángulo :______________ Encuentra: Arco AO:______________ Arco BA:______________ Arco OB:______________ Ángulo x:______________ Encuentra: Arco AC:______________ Arco BA:______________ Arco CB:______________ Ángulo BAC:__________ Ángulo BOC:__________
107 CORONA CIRCULAR Parte de círculo comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Corona circular: R = 12 m r = 4 m A =  (R2 - r2 ) A = 3.14 (122 - 42 ) A = 3.14 x 128 A = 401.93 m2 Ejercicio: 1. Calcula el área de una corona circular sabiendo que su radio mayor mide 11 cm y su radio menor mide 7 cm. 2. El área de una corona circular es de 34.54 cm2 y la diferencia entre sus radios 1 cm. Calcula los radios de las dos circunferencias.
108 3. Calcula el área de la corona circular comprendida entre dos circunferencias de radios 3 cm y 5 cm. Identifica: Recta ______________ Recta ______________ Recta ______________ Identifica: Circunferencias ______________ Circunferencias ___________________ Circunferencias ______________
109 FORMULARIO DE VOLÚMENES DE PRISMAS Desarrollo plano Fórmula de volumen Vértices Aristas Nombre Cuerpo Cubo 12 8 V = ℓ3 Lado =ℓ Prisma rectangular 12 8 v = b•a•h b = Largo de la base a = Ancho de la base h = Altura del prisma Prisma triangular 9 6 b = base a = Altura del prisma h = Altura de la base b•h 2 V = (a) Prisma hexagonal 18 12 P = perimetro ap = apotema a = altura P• ap 2 V = (a) Generalizando el volumen de los prismas es: Superficie de la base por altura
110 Desarrollo plano Fórmula de volumen Vértices Aristas Nombre Cuerpo Pirámide triangular 6 4 FORMULARIO DE VOLÚMENES DE PIRÁMIDES área de la base x h 3 V = bh 2 Área de la base = h = altura de la pirámide Pirámide hexagonal 12 7 área de la base x h 3 V = P•ap 2 Área de la base = h = altura de la pirámide Pirámide cuadrangular 8 5 área de la base x h 3 V = Área de la base = ℓ2 h = altura de la pirámide Generalizando el volumen de las pirámides es: Superficie de la base por altura entre tres Ejercicio: Completa la tabla siguiente:
111 Resuelve los siguientes problemas: 1) Una pileta de natación tiene 7 m de ancho por 15 m de largo con una profundidad cons- tante de 1.80 m. Si se llena hasta 20 cm antes del borde. ¿Cuál es en m3 el volumen que ocu- pa el agua que contiene? 2) La base de un prisma hexagonal regular de lado 1.7 cm y apotema 1.5 cm. Calcula su vo- lumen sabiendo que su altura es 3.9 cm. 3) La base de esta pirámide pentagonal regular de lado 1.3 cm y de apotema 0.9 cm. Cal- cula su volumen sabiendo que su altura es 2.7 cm. 4) La Gran Pirámide de Giza es la única que perdura de las siete maravillas del mundo an- tiguo. Actualmente tiene una altura de 137 m y la base es un cuadrado de 230 m de lado. ¿Cuál es su volumen aproximado? 5) Calcula el volumen en litros, de un cubo de 2 m de arista. 6) Calcula el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2.5 cm y el área de la base 80 cm2 .
112 7) El volumen de un cubo mide 2 197 cm3 . Calcula el lado del cubo. 8) La carpa de un circo tiene forma de prisma octogonal regular. Su techo es una pirámide de altura igual a la tercera parte de la altura del prisma. Si la arista básica del prisma es 5 m y la altura total (prisma y pirámide incluidos) es de 24 m, calcula la cantidad de lona necesaria para construir la carpa. 9) Calcula el volumen de un edificio formado por un ortoedro de dimensiones 10 m x 10 m x 6 m y una pirámide cuadrangular de altura 9 m y de lado 6 m. 10) Halla el volumen de un salón de clase cuya área de la base es 40 m2 y su altura es 2.5 m.
113 11) Obtén el volumen de una pirámide de 9 cm de altura cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo y 2.5 cm de ancho. 12) Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 metros y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 metros y 8 metros respectivamente. 13) Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 metros cuadrados de área de la base y 72 metros de altura. 14) Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m. 15) Calcula el volumen de un prisma triangular que tiene 54 mm2 de área de su base y de altura 15 mm.
114 16) Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. 17) En el museo de Louvre, en París, se construyó una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta tiene una altura de 22 m y la base tiene forma de un cuadrado de 30 m de largo. Calcula el volumen de la pirámide. 18) El volumen de un prisma cuadrangular de altura 16 cm es 2 304 cm3 . ¿Cuál es la medida del lado de la base? Subraya la respuesta de cada problema 1. Una piscina con forma de prisma de base rectangular de 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenarla? a) 120 litros b) 60,000 litros c) 40,000 litros d) 120,000 litros 2. El volumen de la pecera es de: a) 18,000 cm3 b) 36,000 cm3 c) 12,000 cm3 d) 48,000 cm3 3. ¿Cuál es el valor equivalente al volumen 5 m3 ? a) 5 000 000 cm3 b) 5 600 000 cm3 c) 6 400 000 cm3 d) 2 500 000 cm3
115 4. Un envase con forma de prisma triangular tiene como base un triángulo rectángulo de ca- tetos iguales de 4 cm, y altura 12 cm, ¿cuál es su volumen? a) 96 cm3 b) 192 cm3 c) 256 cm3 d) 64 cm3 5. Una pirámide tiene de altura 12 m. Si la base de la pirámide es un cuadrado de lado 3 m, ¿cuál es su volumen? a) 54 cm3 b) 108 cm3 c) 36 cm3 d) 144 cm3 6. El volumen de un prisma rectangular cuyas medidas son 2 cm de ancho, 5 cm de largo y 4 cm de altura es: a) 20 cm3 b) 40 cm3 c) 10 cm3 d) 7 cm3 7. El volumen de un cubo de dos metros de lado es: a) 8 m3 b) 6 m3 c) 6 m2 d) 8 m2 8. La siguiente figura muestra las dimensiones de la base rectangular de una alberca con una capacidad para 128 m3 de agua. ¿Cuál es la profundidad de la alberca? a) 8 m b) 4 m c) 2 m d) 1 m 9. Si pudiéramos colocar a la gran pirámide de Egipto dentro de un contenedor, éste sería un prisma cuadrangular con las siguientes dimensiones: ¿Cuál es el volumen de la gran pirá- mide? a) 7,723,400.00 m3 b) 3,861,700.00 m3 c) 2,574,466.66 m3 d) 1,287,233,33 m3
116 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO Como sabes, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º A + B + C = 180º Un cuadrilátero, puede descomponerse en dos triángulos. La suma de sus ángulos interiores es: 180º( 2 ) = 360º De forma similar un pentágono se descompone en tres triángu- los. La suma de sus ángulos interiores es: 180º( 3 ) = 540º. El polígono tiene 9 lados 180°( 7 ) = 1 260° Un polígono de n lados puede triangularse, ( n – 2 ) triángulos. Por tanto: La suma ángulos interiores = 180º( n – 2 ) Donde n es el número de lados
117 Ejercicio: Contesta las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos convexos.
118 SIMETRÍA Dos figuras pueden ser simétricas con respecto a un punto (simetría central) o con respecto a una recta (simetría axial). Simetría central Una simetría central, es un movimiento del plano con el que a cada punto P le corresponde otro punto P´, siendo O el punto medio del segmento PP’, y la distancia de los puntos simétri- cos al centro de la simetría es la misma, y ambos están alineados con este centro. Simetría axial La simetría axial de eje es un movimiento que conserva la forma y el tamaño de las figuras, pero cambia el sentido. Es un movimiento inverso, por tanto, a todo punto P del plano le corresponde otro punto P’ también del plano, de manera que el eje sea la mediatriz del seg- mento AA’ Traslación La traslación es un movimiento en el plano consistente en desplazar cada punto de una figu- ra según una dirección, sentido y distancia fija dados. Estos tres datos conforman el denomi- nado vector de la traslación. Este movimiento conserva la forma, el tamaño y el sentido de las figuras.
119 Las figuras inicial y final guardan relación de igualdad. Ejercicio: Rotación de 180° con respecto al punto C Traslación Simetría respecto a la recta
120 Observa el dibujo. a) Dibuja la figura B simétrica a la A. b) Dibuja la figura C simétrica a la figura C. c) ¿Son simétricas las figuras A y C?________________________________________________________ d) ¿Cómo puedes obtener la figura C a partir de la A?____________________________________ __________________________________________________________________________________________ Di que tipo de simetría se aplicó en cada caso. ______________ ______________ ______________
121 TESELACIONES Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos. Ejemplos: Teselaciones regulares Una teselación regular es aquella que se construye usando un polígono regular. Fíjate en un vértice... Rectángulo Octágonos y cuadrados Pentágonos La unión en cada vértice de los ángulos interiores de los polígonos debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que cumplen tal condición son: triángulo equilátero, cuadrado y el hexágono regular. La medida de los ángulos interiores, de estos polígonos, es divisor de 360º. La cantidad mínima de polígonos que concurren en un vértice es tres, por lo que resulta im- posible que un polígono regular de más de seis lados pueda teselar el plano. En estos casos, la medida del ángulo interior es mayor que 120º y la suma de tres de estos ángulos sobrepasa los 360º. Sólo existen 3 teselaciones regulares: Triángulos Cuadrados Hexágonos
122 Una Teselación Semirregular es aquella que se construye usando dos o más polígonos regula- res. En ella podemos observar que la medida de los lados de los distintos polígonos utilizados es la misma. Para construir estas teselaciones debemos preocuparnos de que la suma de los ángulos inte- riores que concurren en un mismo vértice sea 360º. Por lo que no se puede construir este tipo de teselaciones con cualquier combinación de polígonos regulares. Sólo existen 8 combinaciones de polígono regulares para formar teselaciones semirregulares, con idéntica configuración de polígonos en cada vértice. Teselación Semirregular Ejercicio 1 ¿Construye una teselación, diseñando un mosaico “Original y Creativo”? Ejercicio 2 Contesta lo que se te pide ¿Qué es una teselación regular?__________________________________________________________ ¿Cuánto suman los ángulos de cada vértice de una teselación?___________________________ ¿Qué es una teselación semirregular?_____________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
123 ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométrica tradicional como los cuadriláteros, triángulos, círculos y polígonos en general. El área de figuras sombreadas de regiones compuestas se resuelve, la mayoría de ellos, a través de dos principios: El postulado de adición de áreas. Si una región poligonal es la unión de “n” regiones poligo- nales; su área es la suma de las n regiones. Principio de Suma y Resta. Ejemplo: Halla el área de la figura sombreada: Tenemos: 2 paralelogramos cuya área se obtiene 2(bh) = 2(4 • 4 m) = 2(16) = 32 cm2 2 triángulos cuyas áreas se obtienen 2 = 2 = 24 m2 6•4 2 ( ) bh 2 ( ) 1 rectángulo cuya área se obtiene bh = 8 • 4 = 32cm2 Área pedida 32 + 24 + 32 = 88 Área sombreada = 88 cm2
124 PRINCIPIO DE TRASLACIÓN Consiste en juntar pequeñas áreas para formar áreas conocidas. Ejemplo: Halla el área de la figura sombreada, si el radio del círculo mayor es igual a 8 cm. Se puede observar que dentro del círculo mayor hay dos semicírculos, el sombreado comple- ta el vació que está en la parte superior, por lo tanto, el área del área sombreada es. El área sombreada se obtiene con del área del círculo. 1 2 = = = 100.48 3.14(8)2 2 ¶r2 2 3.14(64)2 2 Área sombreada 100.48 cm2 Ejercicios: 1. Determina el área de la región sombreada.
125 2. Esta figura muestra la parte trasera de una bodega. Un pintor necesita saber su área para calcular cuanta pintura necesita. 3. Se dispone de una hoja de unicel, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una forma circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma cilíndrica. a) ¿Qué área de la hoja de unicel se va a usar?___________________________________________ b) ¿Cuál es el área de la hoja de unicel que no se va a utilizar?_____________________________ 4. El área de las siguientes figuras son: a) b)
126 c) d) e) f) g) h)
127 i) j) k)
128 UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un objeto. Es una función derivada de longitud, ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. La unidad principal es el metro cúbico, que se designa con el símbolo m3 . El metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro por arista m3 metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico m3 dm3 cm3 mm3 1 m3 0.001 m3 0.000001 m3 0.000000001 m3 La capacidad es una magnitud que equivale al volumen interior de los cuerpos huecos. La unidad principal es el litro que se designa con el símbolo ℓ. La capacidad y el volumen son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para conte- ner a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen). Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un reci- piente con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm3 ), se derramará 1 litro de agua. De tal forma, se puede afirmarse que: 1 dm3 = 1 litro Unidades de Capacidad. 1 dm3 = 0.001 m3 = 1.000 cm3 Equivalencias El conocimiento del Sistema Inglés de Medidas y la equivalencia de sus unidades con las del Sistema Métrico Decimal tiene especial importancia por el intenso intercambio comercial existente entre México y las naciones que utilizan ese sistema. Sistema Inglés de Medidas
129 Algunas de las unidades del Sistema Inglés de Medidas, y sus equivalencias son las siguientes: Unidades y equivalencias Pesos en General Ejemplos: 1. Si se compraron 5 galones americanos de pintura a cuántos litros de pintura equivalen. 2. Si 1 galón americano = 3.785 ℓ entonces 5(3.785) = 18.925 5 galones americanos equivalen a 18.925 litros de pintura. 3. México exporta en el 2 000 a E.E.U.U. 3 000 barriles de petróleo a cuántos litros equivale dicha exportación. Si un barril = 158.987 litros entonces 3 000 (158.987) = 476 961 En total México exportó 476 961 litros de petróleo a E.E.U.U. en el año 2 000.
130 Ejercicio: 1. Hacer las siguientes conversiones: 2.3 cm3 = _______ mm3 47.7 ℓ = _______ cℓ 41.5 ℓ = _______ dm3 3.71 m3 = _______ dm3 3.47 Hℓ = _______ dm3 3.57 Hℓ = _______ dm3 41 700 cm3 = _______ dm 35.1 ℓ = _______ Hℓ 2.5 dℓ = _______ cm3 2. Tengo una cisterna para agua con 3 m3 . ¿Cuántos litros se almacenan? 3. ¿Qué volumen, en m3 , ocupan 200 litros? 4. Una cubeta de pintura tiene 5 galones americanos, ¿a cuántos litros equivalen? 5. ¿Cuántos litros caben en una cisterna como la que se presenta en el croquis? 6. Suponga usted que tiene un negocio donde da clases de natación en una alberca que mide 30 m de largo, 20 m de ancho y 1.5 m de profundidad; si uno de los empleados le reco- mienda vaciar la alberca para limpiarla, ¿cuántos litros tirará de agua, si le hace caso?
131 7. ¿Cuántos galones ingleses de agua le caben a un recipiente como el que se muestra en la figura? 8. ¿A qué es igual 1 ℓ? a) Un decímetro cúbico b) Un metro cúbico c) Un centímetro cúbico d) Un kilogramo
132 MEDIA, MEDIANA Y MODA La estadística puede entenderse como un conjunto de herramientas que involucran el estu- dio de métodos y procedimientos utilizados para recopilar, clasificar y analizar datos. Las he- rramientas de estadística también ofrecen los medios necesarios para realizar deducciones científicas a partir del resumen de los datos resultantes. Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente útiles para obtener una medida de tendencia central. Por el contrario, cada una de estas medidas tiene características que hacen que su empleo sea una ventaja en ciertas condiciones y en otras no. Para resumir en un conjunto de datos numéricos podemos utilizar la media aritmética, la me- diana o la moda. La media aritmética o promedio representa el reparto equitativo, el equili- brio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución si su suma total se repar- tiera por igual. Si se ordenan todos los datos, de menor a mayor, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos centrales. La moda es el valor que más se repite o, lo que es lo mismo, el que tiene la mayor frecuencia. El uso de la media aritmética y de la mediana (también llamada promedio) es algo que se usa cotidianamente en nuestra vida. Comparaciones entre las diferentes medidas. Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Media aritmética o promedio Ejemplo: Las notas de 5 alumnos en una prueba fueron: Alumnos 1 2 3 4 5 Nota 6.0 5.4 3.1 7.0 6.1
133 Se suman las notas: 6.0 + 5.4 + 3.1 + 7.0 + 6.1 = 27.6 El total se divide entre la cantidad de alumnos: 27.6 5 x = = 5.52 La media aritmética en este problema es 5.52 1. La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. 2. Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. 3. Su valor es único para una serie de datos dados. 4. Se interpreta como “punto de equilibrio” del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar los datos respecto de su propio valor: 5. La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es igual a cero. Comprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo. Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Propiedades de la media aritmética o promedio La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es la siguiente: (9 – 5) = 4 (9 – 7) = 2 (9 – 9) = 0 (9 – 11) = – 2 (9 – 13) = – 4 0 Observa que la sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.
134 Es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. Se tiene que 50% de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y 50% por debajo de ella. Mediana Ejemplo: Número de datos nones 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 12 datos Mediana 12 datos Número de datos pares 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 13 datos 2 + 3 = 5 13 datos 5 2 = 2.5 Mediana 2.5 1. Es única, sólo existe una mediana para un conjunto de datos. 2. No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños. 3. Puede calcularse para una distribución de frecuencias en los datos. Las propiedades de la mediana Es el valor que aparece con más frecuencia. Puede determinarse para todos los niveles de datos. No se ve afectada por valores muy altos o muy bajos. Para muchos conjuntos de datos no hay valor modal porque ningún valor aparece más de una vez. Para algunos conjuntos de datos hay más de una moda (bimodal, que tiene dos modas, o polimodal más de dos modas). Moda
135 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10 Dato que más se repite Moda 6 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10 Dato que más se repite Moda 4 Dato que más se repite Moda 9 Bimodal 2, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10 Moda 9 Polimodal Moda 8 Moda 6 Moda 2 Ejercicio: 1. Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6.2, 6.0, 6.0, 15.3, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2 ¿Cuál es la media, mediana y moda? 2. La tabla muestra el número de frecuencia de las calificaciones de historia del arte de los 40 alumnos de una clase: Halla la media aritmética, la moda y la mediana.
136 3. A tomar una muestra de estaturas en centímetros de 21 estudiantes de secundaria se re- gistraron las siguientes: 155, 158, 160, 157, 155, 160, 162, 161,160, 160, 160,165, 163, 168, 163,162, 160, 164, 161, 163, 160 ¿Cuál es la media, mediana y moda? 4. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades. 69, 73, 65, 70, 71, 74, 65, 69, 60, 62 5. El director del programa de becas de una secundaria tiene 16 solicitudes para su aproba- ción el próximo otoño. Las calificaciones de la prueba de los solicitantes son: 27, 27, 27, 28, 27, 25, 25, 28, 26, 28, 26, 28, 31, 20, 26, 26
137 6. Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que calificaran del 1 al 5 un programa televisivo. 5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal Estos fueron los resultados: 1, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 5, 3, 5, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 5 Busca la media, la moda y la mediana. 7. La agencia de viajes Moore, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesías por el Caribe a ciudadanos de la tercera edad. El presidente de la agen- cia quiere información adicional sobre las edades de las personas que viajan. Una muestra aleatoria de 40 clientes que hicieron un crucero el año pasado dio a conocer las siguientes edades. 77, 18, 63, 84, 38, 54, 50, 59, 54, 56, 36, 23, 50, 34, 44, 41, 58, 58, 53, 51, 62, 43, 52, 53, 63, 62, 62, 65, 61, 52, 60, 60, 45, 66, 83, 71, 63, 58, 67, 71 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda. 8. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda.
138 9. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda. 10. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda En cada caso obtén la moda, mediana y media 1. 1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8 Mo = Me = x = 2. 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 18 Mo = Me = x = 3. 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 8 Mo = Me = x =
139 4. 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7 ,7 ,7 ,8 ,8 , 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10 Mo = Me = x =
140 MEDIA PONDERADA Es la medida en donde se toma en cuenta la importancia de cada uno de sus datos, dándo- le mayor o menor importancia en el cálculo de la media. Ejemplo: En una materia dada se asignan porcentajes de importancia, de la siguiente forma: Unida I ( 20% del curso ), Unidad II ( 25% del curso ), Unidad III ( 20% del curso ), Unidad IV ( 15% de la calificación ), Unidad V ( 20% de la calificación ). Si las calificaciones de un alumno son 8 en la primera unidad, 5 en la segunda, 8 en la tercera unidad, 10 en la cuarta unidad y 8 en la última unidad. Es decir, se tienen la siguiente tabla: 8(0.2) + 5(0.25) + 8(0.2) + 10(0.15) + 8(0.20) 0.2 + 0.25 + 0.2 + 0.15 + 0.20 Wi = = = 7.55 7.55 1.0 Observa que diferencia existe con la media aritmética. La media para los datos es igual a: 8 + 5 + 8 + 10 + 8 5 x = = = 7.8 39 5 Cuando se trabaja con la media aritmética simple, se asume que a cada observación se le da la misma importancia. Sin embargo, en ciertos casos se requiere dar mayor peso o impor- tancia a los datos y es cuando se aplica la media ponderada. Otro ejemplo es: En tarde calurosa del sábado, Cristian un empleado de un kiosco de bebidas sirvió en total 50 bebidas durante la mañana de ese día. Vendió 5 bebidas de $ 0.50, 15 de $ 0.75, otras 15 de $ 0.90, y otras 15 de $ 1.10. A continuación se muestra la media ponderada del precio de las bebidas vendidas por Cristian para ese día:
141 Wi = 5($ 0.50) + 15($ 0.75) + 15($ 0.90) + 15($ 1.10) Wi = 43.75 ÷ 50 Wi = $ 0.875 La media ponderada para el precio de las bebidas despachadas por Cristian en su kiosco, con base a los datos del día sábado, fue de $0.875 por bebida. Cuando se trabaja con la media aritmética simple, se asume que a cada observación se le da la misma importancia. Sin embargo, en ciertos casos se requiere dar mayor peso o impor- tancia a los datos y es cuando se aplica la media ponderada. Ejercicio: 1. Carlos obtiene calificaciones parciales de 65, 83, 80, y 90. En el examen final recibe una ca- lificación de 92. Calcula la media ponderada, si cada uno de los exámenes parciales cuenta el 15% y el examen final cuenta 40% de la calificación total. 2. En junio un inversionista compró 300 acciones de Oracle a un precio de $ 20 por acción, en agosto compró 400 acciones más a $ 25 cada una, y en noviembre 400 a $ 23 por acción. Cuál es el precio medio ponderado por acción.
142 GRÁFICAS Las variaciones existentes entre las magnitudes que intervienen en un fenómeno físico o so- cial, muchas veces se representan por medio de dibujos, que reciben el nombre de gráficas. Existen diferentes clases de gráficas; gráfica de barras, gráfica poligonal, gráfica de sectores circulares, etc. Histograma La gráfica de barras recibe el nombre de histograma, en esta clase de gráficas se utilizan barras de la misma anchura y cuya altura debe ser proporcional a la cantidad que se va a representar. En la base del histograma se indica la clase; y en la altura a la frecuencia de clase, esta clase de gráficas nos permiten resumir y analizar grandes cantidades de datos, es una forma de comunicar información de forma clara y sencilla sobre situaciones complejas. Ejemplo: En una prueba de conocimientos generales un grupo de 40 alumnos obtuvo los siguientes reactivos correctos. ¿Cuál es el número de alumnos que obtuvieron entre 28 y 35 reactivos co- rrectos? 28 alumnos ¿Cuál es el mayor número de reactivos correctos obtenido? 15 + 13 49 reactivos correctos Gráfica poligonal: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de varia- bles cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Las gráficas poligonales se utilizan para mostrar la evolución o los cambios de un fenómeno durante un período; la variación del precio de un artículo, el índice de enfermedades de un país, el crecimiento en estatura de un niño y otros datos semejantes, donde interesa saber cómo cambian en el tiempo.
143 Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribu- ción. Para su confección, una vez construidas y rotuladas las escalas, de manera similar a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el pun- to medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta. Ejemplo: En la materia de Matemáticas la profesora analiza los resultados de dos grupos. ¿Cuántos alumnos del grupo X obtu- vieron más de 8 de calificación? 7 alumnos ¿En cuál grupo 5 alumnos obtuvieron 5 de calificación? En el grupo Y Ejercicio: Subraya la respuesta 1. La siguiente gráfica representa el número de anotaciones de cinco integrantes del equipo de futbol América en uno de los últimos torneos: ¿Cuántos goles anotaron entre todos? a) 55 goles b) 56 goles c) 45 goles d) 46 goles
144 2. Jaime preguntó a sus vecinos: ¿Qué fruta te gusta más? y con las respuestas obtenidas elaboró la siguiente gráfica: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) 20 personas prefieren el mango o la pera. b) Manzana y plátano son las frutas preferidas de sus vecinos. c) La fruta de mayor preferencia es la uva. d) Jaime preguntó a 50 vecinos sobre su fruta preferida. 3. La siguiente gráfica representa la cantidad de bolsas de palomitas que se vendieron en las cuatro funciones realizadas en un cine de la Ciudad de México. De acuerdo con los datos que se muestran, ¿cuál fue el promedio de bolsas de palomitas vendidas? a) 375 personas b) 300 personas c) 400 personas d) 450 personas función
145 4. Observa la información contenida en la siguiente gráfica: Completa la siguiente tabla; luego responde lo que te pregunta: a) ¿Cuáles son las temperaturas máximas de los Estados de la República?__________________ b) ¿Cuál es la temperatura mínima que presentaron los estados?___________________________ c) ¿Cuál es la media de las temperaturas que presentaron los estados?____________________ 5. En una investigación sobre el peso de un cierto número de niños recién nacidos, se obtu- vieron los siguientes datos:
146 Determinen cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) En la investigación, el número de bebés recién nacidos es 45.___________________________ b) La mayoría de los recién nacidos tienen un peso promedio de 3.25 kg.___________________ c) Los niños con menor peso son muy pocos, solo 6 de 50 niños tuvieron un peso entre 2.5 y 3 kg._______________________________________________________________________________________ d) Lo que señala la gráfica poligonal es que el peso de los recién nacidos va de 2.5 kg a 4.5 kg._______________________________________________________________________________________ 6. En un laboratorio se tomó una muestra de 120 paquetes de leche en polvo cuya etiqueta dice: Contenido neto 250 g. Se trataba de averiguar el peso real de cada paquete y se ob- tuvieron los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor. 243, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 253, 253, 253, 253, 254, 254, 254, 254, 254, 255, 255, 255, 255, 255, 256, 256,256, 257, 257, 257, 258 En virtud de que son muchos datos, conviene organizarlos en una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, complétenla con base en los datos registrados y después contesten lo que se pregunta. a) ¿En cuántos intervalos se organizaron los 120 datos?_____________________________________ b) La marca de clase es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada clase. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase?___________________________________________
147 Representa los datos de la tabla en un histograma y una gráfica poligonal, pero antes anota lo que se te pide: a) Anota el título de la gráfica.____________________________________________________________ b) Anota los encabezados de los ejes, en el eje vertical van las frecuencias. ¿Qué va en este caso en el eje horizontal?_________________________________________________________________ 7. En una clínica veterinaria se atendieron las siguientes mascotas durante una semana. Elabora el Histograma correspondiente a la tabla de datos anterior.
148 PROBABILIDAD La probabilidad es el grado de certidumbre con que medimos la ocurrencia de cierto resul- tado. La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurren- cia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado. La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé. Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar. Distinguimos 3 tipos de sucesos: Suceso posible: Es un resultado que se puede dar. Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado. Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar. Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el nú- mero 7). Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar. Por ejemplo, “número menor de 7” es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7). Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir: Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás: Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso “cara” tiene las mismas probabilida- des que el suceso “cruz”. Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse: Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso “sacar una bola con un número entre 1 y 98” tiene muchas probabilidades de ocurrir. Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse: Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso “sacar la bolsa ne- gra” tiene pocas probabilidades de ocurrir.
149 Ejercicios: 1. En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad: 2. Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo que sale. Escribe el espa- cio muestral y completa la tabla con ejemplos de distintos sucesos: 3. En una urna hay 10 bolas numeras del 1 al 10, sacamos una bola y anotamos el número. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
150 Existen dos tipos de probabilidad: la probabilidad clásica, también llamada teórica o mate- mática, y la probabilidad frecuencial o empírica. La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica: Probabilidad de un evento = número de resultados favorables al evento número total de resultado posibles utilizando símbolos: P (E) = n(E) n(S) La diferencia entre probabilidad clásica y probabilidad frecuencial radica en que la primera se obtiene sin efectuar el experimento y la segunda después de haberlo efectuado un gran número de veces. Ejemplos: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el lanzamiento de un dado? Si E: 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es n (E) = 3 Si S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es (S) = 6 Por tanto: P (E) = = = = 0.5 1 2 n(E) n(S) 3 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica roja de una bolsa que contiene 3 cani- cas negras, 5 amarillas y 2 rojas? r = rojas n = negras a = amarillas Si E: r1 , r2 , entonces n(E) = 2 Si S: n1 , n2 , n3 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , r1 , r2 , entonces n(S) = 10 Por tanto: P (E) = = = = 0.2 1 5 n(E) n(S) 2 10
151 Probabilidad frecuencial Recibe el nombre de evento aleatorio el resultado de un experimento, que no se puede predecir, porque depende del azar. Sin embargo, es muy importante registrar en una tabla de frecuencias, todos los resultados de un experimento o de un conjunto de observaciones, porque de ellos depende obtener valiosas conclusiones inclusive estimar, con bastante apro- ximación, la ocurrencia de un suceso futuro. Ejemplo: Los jugadores titulares del equipo de baloncesto de una escuela anotaron, en los 10 partidos que llevan jugados, los puntos registrados en la siguiente tabla de frecuen- cias: Carlos tal vez sea probable que anote menos puntos en el siguiente partido. Si en ese próximo partido todo el equipo anota 56 puntos, es probable que Jorge anote entre 9 y 10 puntos, porque si su porcentaje ha sido 17.5 entonces 17.5 % de 56 = 9.8. La probabilidad antes calculada recibe el nombre de probabilidad frecuencial, porque se obtiene como resultado de considerar la relación que existe entre los datos registrados en una tabla de frecuencias.
152 Ejercicios: 1. Halla la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número mayor que 9, 4 6 5 5 5 6 6 6 2. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Encuentra: a) Probabilidad de que salga 7. b) Probabilidad de que el número obtenido sea par. c) Probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3. 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 3. Probabilidad de que salga un múltiplo de 3. 1 2 1 5 2 1 2 4 3 3 3 6 4 2 4 5 5 1 5 4 6 3 6 6 4. Se lanzan tres dados. Encuentra la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos los dados. b) Que los puntos obtenidos sumen 7. 5. Busca la probabilidad de que, al lanzar un dado al aire, salga: a) Un número par.
153 b) Un múltiplo de 3. 6. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 alumnos morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: a) Sea hombre. b) Sea mujer morena. c) Sea hombre o mujer. 7. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche. a) Si se saca una papeleta. b) Si se extraen dos papeletas. c) Si se extraen tres papeletas.
154 Se lanza un dado 40 veces y se obtienen los siguientes datos mostrados en la tabla siguiente: Las probabilidades frecuenciales de que salga: 8. El número 3, P(3) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175 9. El número 4, P(4) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175 10. El número 4, P(1) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175
155 Se lanza 100 veces un dado y se obtiene: Las probabilidades frecuenciales de que salga: 11. El número 6, P(6) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19 12. El número 5, P(5) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19 13. El número 2, P(2) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19

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  • 1. 1 El Cuadernillo de Secundaria 2do Grado fue elaborado en el Centro de Regularización y Apo- yo Educativo Intelimundo, por el siguiente equipo: La presentación y disposición en conjunto y de cada página del Cuadernillo de Secundaria 2do Grado son propiedad de Intelimundo, queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopia- do, sin autorización escrita de Intelimundo. Dirección Académica y Proyectos de Investigación Marisol Roman García y César Pasten Vilchis Gerencia de innovación educativa René Quiroz Díaz Coordinación de diseño José Iván Torres Hernández Autor René Quiroz Díaz y César Pasten Vilchis Diseño de interiores y portada Stephanie Quiroz Roman ISBN: En trámite. Intelimundo (René Quiroz Díaz), Calle Aldama 23-B, San Antonio Tecomitl, Milpa Alta, C.P. 12100, México D.F. Marzo de 2013 Impreso en México / Printed in Mexico
  • 2. 2 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Recuerda que si consideramos una recta en la que señalamos un punto 0 como origen. La dividimos hacia la derecha y hacia la izquierda en partes iguales. Cada una de estas partes representa el segmento unidad. Los enteros positivos los situamos a la derecha del origen 0, y los enteros negativos a la izquier- da de dicho punto. Para multiplicar dos o más números enteros, aplicamos la regla de los signos, y procedemos a multiplicar los valores absolutos de los factores. Leyes de los signos de multiplicación: + por + = + más por más igual a más - por - = + menos por menos igual a más + por - = - más por menos igual a menos - por + = - menos por más igual a menos Ejemplos: (+8)(+4) = +32 (-1)(-9) = 9 (+6)(-5) = -30 (-2)(+5) = -10 (-7)(+3) = -21 (+9)(-4) = -36 Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (-9)(-5) = b) (-72)(-9) = C) (5)(-4) = d) (-48)(-6) = e) (12)(-6) = f) (-13.6)(4.1) = g) (72)(9) = h) (2)(5)(4) = i) (-5)(0) = j) (-56)(8) = k) (-3.2)(3.2) = l) (-49)(7) =
  • 3. 3 Encuentra el número que falta en cada caso. a) (-7)( ) = 56 b) ( )(-1) = -13 C) ( )(-26) = 130 d) (-34)( ) = 3 162 e) ( )(-1) = -8.2 f) (18)( ) = -81 g) (24)( ) = 56 h) ( )(97) = - 4 462 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La división es la operación recíproca de la multiplicación donde conociendo el producto de dos factores (dividendo) y uno de ellos (divisor) debemos encontrar el otro factor (cociente) es decir, se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0. Ejemplos: Si se dividen dos números de igual signo el cociente es positivo. (+ 8) ÷ (+ 2) = + 4 (– 6) ÷ (– 3) = + 2 Porque (+ 2) (+ 4) = + 8 Porque (– 3) (+ 2) = – 6 Si se dividen dos números de diferente signo el cociente es negativo. (+ 12) ÷ (– 3) = – 4 (– 24) ÷ (+ 4) = – 6 Porque (– 4) (– 3) = + 12 Porque (+ 4) (– 6) = – 24 Leyes de los signos de la división: + entre + = + - entre - = + + entre - = - - entre + = -
  • 4. 4 Ejemplos: Ejercicio: Resuelve las siguientes divisiones de números enteros. Ejercicio: Completa con los números enteros correspondientes. 1. (7)( ) = -49 2. (-9)( ) = 63 3. ( )(-7) = -56 4. ( )(11) = -121 7. (10)( ) = -230 8. ( )(-2)(-2) = -8 9. (1)(-1)(1)(-1)(-1)(-1) = 10. (-3)(-1)(-2)(1) =
  • 5. 5 5. (-45)( ) = 45 6. (345)( ) = 0 11. (-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = 12. (-1)(-1)(1)(-1)(-1)(-1) = Completa con los números enteros correspondientes. 1. (42) ÷ ( ) = -7 2. (-8) ÷ ( ) = 1 3. ( ) ÷ (-9) = 6 4. (27) ÷ ( ) = -3 5. ( ) ÷ (-19) = 57 6. (-35) ÷ ( ) = -7 7. (-20) ÷ ( ) = -20 8. ( ) ÷ (-6) = 5 9. (9) ÷ ( ) = -9 10. ( ) ÷ (16) = 35 11. (49) ÷ ( ) = -7 12. ( ) ÷ (-13) = -35 Completa con los números enteros correspondientes. Los siguientes problemas escríbelos como producto o como cociente de números enteros y resuélvelos: 1. Marina y Juan pescan juntos en un lago. El anzuelo de Juan se halla a − 2 m con respecto al nivel del lago. El anzuelo de Marina se halla sumergido tres veces más que el de Juan. ¿A qué profundidad se halla el anzuelo de Marina? R = 2. Ana gasta $ 555 al mes. ¿Cuánto gastará al cabo de 3 meses? R =
  • 6. 6 3. En la tarjeta de débito hay un saldo inicial de $ 200; se cargan 5 retiros de $ 150. ¿Cuál es el nuevo saldo? R = 4. El ascensor baja los sótanos de 2 en 2. Después de tres paradas en su camino descendente, desde la planta baja, ¿En qué sótano está? R = 5. Si tuviera el doble de la deuda que tengo, mi saldo sería – $ 2 700. ¿Cuál es el número que figura en mi balance? R = 6. Leonor tiene una deuda de – $ 57 054 en una tarjeta de crédito, pero un amigo le propone que le presta dinero para liquidar al banco, pero le cobrará 150 pesos por mes de intereses y lo tiene que liquidar en un año. ¿Cuánto pagará de intereses? ¿Cuánto tendrá que pa- garle de mensualidad a su amigo con todo e intereses? R = 7. Las temperaturas de una comunidad de Chihuahua en la semana fueron de: lunes – 11º, martes – 9º, miércoles – 5º, jueves – 2º, viernes – 1º, sábado 2º y domingo 5º. ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas de toda la semana? R = 8. El área de un rectángulo cuyas medidas son de largo 7m2 n5 + 3m5 n2 - 9m2 n7 y de ancho 9m4 n7 – 7m7 n7 es: R =
  • 7. 7 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual la parte literal, es decir, a aquellos términos que tienen igual la o las literales e iguales exponentes. Por ejemplo: 6a2 b3 es término semejante con – 2a2 b3 porque ambos términos tienen la misma parte literal (a2 b3 ) 3x5 yz es término semejante con 5x5 yz porque ambos términos tienen la misma parte literal (x5 yz) 0.3a2 c no es término semejante con 4ac2 porque los exponentes de las literales no son iguales. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expre- sión algebraica, que tengan la misma parte literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva la misma parte literal. Ejemplos: 5x – 7x – 2x + 6x = 11x – 9x = 2x xy3 – 3x2 y + 5xy3 – 12 x2 y + 6 = 6xy3 – 15x2 y + 6 Ejercicio: Reduce los siguientes términos semejantes: 1) 2a – 7a = 2) – 7m – 8m = 3) 8x + 9x = 4) – 8b – 8b = 5) 12a – 34a = 6) – 2m – 7m = 7) 7x + 6x = 8) – 4b – 8b = 9) 9a – 4a = 10) – 9m – 9m = 11) – 4m5 n7 – 7m5 n7 = 12) – 35x8 y3 – 34x8 y3 = 13) – 38d2 e6 f + 25d2 e6 f = 14) 67x8 y3 z + 98x8 y3 z = 15) 29g – 23g = 16) – 4q8 + 10q8 = 17) 9x2 y – 3x2 y = 18) 5c2 – 9c2 + 8c2 = 19) – 8k2 x3 – 9k2 x3 – 3k2 x3 = 20) 4h – 8h – 2h = 21) 5abc2 + 9abc2 + 8abc2 = 22) – 27xyz – 54xyz = 23) 9a3 b5 – 6a3 b5 = 24) – 9x2 y6 – 9x2 y6 = 25) 12abc + 4abc = 26) – 18m2 n5 – 18m2 n5 = 27) – 54abc – 32abc = 28) – 7f8 – 9f8 = 29) – 7c9 d – 8c9 d = 30) 2b + 7b – 5b = 31) – 7gm – 8gm – 7gm = 32) 7a – 9a – 4a = 33) – 2hx – 2hx – 2hx = 34) 9r + 2r – 5r =
  • 8. 8 35) – 10m2 n3 + 5m2 n3 – 7m2 n3 = 36) 4p7 – 5p7 – 10p7 = 37) 8x4 y5 z6 – 5x4 y5 z6 + 7x4 y5 z6 = 38) 4df2 – 8df2 + 12df2 = 39) 2a + 10a – 17a = 40) – 5a – 12a + 24a = 41) 3p6 q7 + 2p6 q7 – 9p6 q7 = 42) – 9bc – 9bc + 12bc = 43) – 4s7 t4 + 2s7 t4 – 5s7 t4 = 44) – 2x2 y3 – 2x2 y3 + 8x2 y3 = 45) – 7a4 b5 c6 – 3a4 b5 c6 + 9a4 b5 c6 = 46) – 5m2 n3 – 3m2 n3 + 9m2 n3 = 47) – 3y3 + 2y3 – 9y3 = 48) 2x + 3x – 11x = 49) – d4 e5 f6 – d4 e5 f6 + d4 e5 f6 = 50) – 2m2 n3 – 9m2 n3 + 15m2 n3 = 51) – 6k2 x3 + 19k2 x3 – 7k2 x3 = 52) – 8s7 t4 + 3s7 t4 – 9s7 t4 = 53) 6ac + 7ac – 15ac = 54) – 4x2 y3 – 7x2 y3 + 5x2 y3 = 55) – 2a4 b5 c6 – 2a4 b5 c6 + 7a4 b5 c6 = 56) – 2c4 d5 e6 – 4c4 d5 e6 + 5c4 d5 e6 =
  • 9. 9 ADICIÓN ALGEBRAICA x + x + x + x = 4x Se suman algebraicamente los 2x + 3x – x – 8x + 2x = – 2x coeficientes de los términos semejantes Cuando se suma de forma horizontal se buscan los términos semejantes y se reducen: 2a + 3a – 2b – 4a – 3b = a – 5b 5mn – 7mn2 – 8m2 n – 9mn2 + 3mn + 9m2 n = 8mn – 16mn2 + m2 n Cuando se trata de una adición de polinomios, puedes colocar los sumandos uno abajo del otro, procurando que los términos semejantes queden en columna. (m4 + 4m3 n – 5n2 ) + (– 6m4 – 2m3 n + 4n2 ) + (3m4 + 3m3 n – 8n2 ) = m4 + 4m3 n - 5n2 -6m4 - 2m3 n + 4n2 3m4 + 3m3 n - 8n2 -2m4 + 5m3 n - 9n2 Y se suman algebraicamente los coeficientes Ejercicio: 1. Resuelve las siguientes adiciones: a) (6m6 + 7n5 ) + ( 8m6 – 2n5 ) + (7m6 – 4n5 ) = b) (2ab + 18c – 32) + (18ab – 13c + 5d – 123) = c) (3x + 2) + (2x + 1) +(3x + 2) + (2x + 1) = d) (18a + 3a – 2b) – (3a + 5a – 3b)= e) (20a – 3b + 3c) – (18a + 12b – 5c) =
  • 10. 10 2. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) 5x + 4x ( ) 3x + 7x – 5x ( ) 6x – 8x + 3x ( ) 4x2 + 3x2 + x2 ( ) 2x2 + 5x2 – 4x2 ( ) 3x + 4x – 9x ( ) 6x + 3y – 2x + 2y ( ) 8x + 3y + 5x + 7y ( ) 4x + 8x – 7y + 5y ( ) 9y – 7x + 5y + 6x A) 8x2 B) 12x – 2y C) 4x + 5y D) 5x E) – x + 14y F) 9x G) 13x + 10y H) x I) – 2x J) 3x2 3. Obtén el perímetro de las siguientes figuras.
  • 11. 11 4. Resuelve las siguientes adiciones algebraicas. 1) 6c2 – 7c + 7c2 = 2) 5y + 8x – 7y = 3) 2x + 8x – 8y = 4) 2x + x + 8xy = 5) 6m + 8n – 7n = 6) 4x2 + 7a4 – 2x2 = 7) 2x2 + 8x2 – 9x4 = 8) – 7a + 8b – 5a = 9) – 7a8 – 10q8 + 9q8 = 10) 9a + 9b – 5c = 11) 2b + 7a + 5c = 12) 6m + 6m – 9mn = 13) 9al + 6ajkl – 2ajkl = 14) – 15p7 – 3q7 + 10q7 = 15) – 14y2 z – 9x2 y + 3y2 z = 16) – 10s6 t2 – 9s7 t4 + 7s7 t4 = 17) – 6k2 x3 + 5k3 x2 - 9k2 x3 = 18) 2p6 q7 – 9p2 q2 + 7p6 q7 = 19) 2p6 q7 – 7p6 q7 + 9p2 q = 20) 5abc + 8bcd – 8abc = 21) 2x + 3y – 7x + 7x – 8y + 7x – 2y + 4y – 5x – 3x = 22) – 7ab + 2ya6 b – 7ya6 z + 3ya6 b – 4ya6 z – 2ya6 z + 2a6 b – 8ab = 23) – 9s6 t2 + 2s6 t2 + 8s7 t4 – 5s7 t4 – 10s6 t2 – 9s7 t4 + 7s7 t4 = 24) 6a2 b5 c3 + 9b3 c7 d3 – 9a2 b5 c3 + 8b3 c7 d3 + 3b3 c7 d3 = 25) – 2x2 y3 z4 – 4x4 y5 z6 + 5x4 y5 z6 – 2x2 y3 z4 – 3x2 y3 z4 + 6x4 y5 z6 = 26) – 6a4 b5 c6 – 2a4 b3 c6 – 4a4 b5 c6 + 5a4 b3 c6 – 2a4 b5 c6 = 27) – 7h + 9h2 – 7h2 – 4h – 5h + 8h2 = 28) 7ac + 2ad + 6ad + 6ac = 29) 9ab4 c2 – 3ab4 – 7ab4 c2 + 2ab4 – 2ab4 c2 + 6ab4 = 30) 3bc6 – 3bc6 – 4ab6 – 4bc6 – 4ab6 + 5bc6 = 31) 7m + 5m2 – 7m3 – 8m – 6m3 – 7m2 + 13m – 2m3 = 32) (7a + 5b – 7c) + (– 9a - 2b + 6c) + (2a + 2b – 3c) = 33) (7ab + 2ac + 6ad) + (– 9ab – 3ac – 4ad) + (3ab – 3ac – 3ad) =
  • 12. 12 34) (3a – 6a2 + 8a3 – 6a4 ) + (– 2a + 2a4 – 3a2 + 3a3 ) + (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 35) (ab – abc – abcd) + (– ab – abc – abcd) + (– ab + abc – abad) = 2a + 4b - 5c + 8d 4a - 9b - 7c + 4d -2a + 4b + 6c - 7d -9a - 7b - 6c + 7d 36) 37) 38) 2a2 b5 c3 + 4b3 c7 d3 - 5a2 b3 c4 -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 -7s6 t2 - 2s7 t4 + 9s2 t2 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2 39) 40) 41) 7a4 b5 - 2b3 d6 - 6b2 c4 -2a4 b5 - 4b3 d6 + 2b2 c4 8a4 b5 - 2b3 d6 + 4b2 c4 2x - 7y + 6z + 2x2 -4x + 8y - 9z - 9x2 -3x - 9y - 5z - 3x2 2x + 6y + 4z + 3x2 4m6 n2 - 2n7 q4 + 2r2 w2 -8m6 n2 - 4n7 q4 - 5r2 w2 5m6 n2 - 3n7 q4 + 3r2 w2
  • 13. 13 2. Resuelve las siguientes sustracciones. SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA Esta operación se efectúa de igual manera que la adición, pero sumando a los términos del minuendo el inverso aditivo de los términos del sustraendo. Ejercicio: 1. Relaciona las dos columnas anotando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta. ( ) 8m – (– 5m) = ( ) 2m – (7m) = ( ) (4m + 2n) – (5m + 4n) = ( ) (3m + 2n) – (6m - 4n) = ( ) (2m – 5n) – (– 3m + 2n) = ( ) (8m – 3n) – (5m – 4n) = ( ) (2m + 3n) – (3m + 4n) = ( ) (7m – 5n) – (– 5m + 5n) = ( ) (4m + 3n) – (2m – 5n) = ( ) (6m + 5n) – (– 3m + 8n) = A) – 5m B) 9m – 3n C)13m D)12m – 10n E) – m – n F) 2m + 8n G) 2m H) – 3m + 6n I) – m – 2n J) 3m + n K) 5m – 7n a) (m2 – 7mn + 6n2 ) – (– 2m2 – 3mn – 7n2 ) = b) (a2 – 2ab + b2 ) – (b2 – 3ab + a2 ) =
  • 14. 14 c) (4y2 – 3z2 + yz) – (4y2 – 2z2 – 2yz) = d) (a2 – 7ab + 6b2 ) – (6a2 + 9ab – 2b2 ) = e) (x2 – 2xy + y2 ) – (y2 – 3xy + x2 ) = f) (4c2 – 3d2 + cd) – (4c2 – 2d2 – 2cd) = g) (7ab + 18c – 32) – (18ab – 8c + 7e – 12) = h) (3x + 2m + 2z + 1) – (3x + 2z + 5m + 9) = i) (18a + 3a3 – 2b) – (3a + 5a3 – 3b)= j) (3x + 2y + 5z) – (8x + 2y + 3z) = 3. Resuelve las siguientes diferencias. 1) 2c - (7c) = 2) 5c2 – (8c2 ) = 3) 8mn – (7mn) = 4) xyz – (9xyz) = 5) 7ab – (– 8ab) = 6) – 8h – (– 2h) = 7) – 10q8 - (9q8 ) = 8) – 2ad – (– 5ad) = 9) – 6g – (7g) = 10) 5x2 y – (3x2 y) = 11) 3xy2 – (– 9xy2 ) = 12) 10a – (– 12a) = 13) – gh – (3gh) = 14) – 7a – (– 4a) = 15) – 12a – (24a) = 16) w – (9w) = 17) 8d – (4d) = 18) 6c2 – (9c2 ) = 19) – 2h – (– 8h) = 20) – 2g – (g) = 21) 24a – (– 36a) = 22) 6xyz – (9xyz) = 23) 9ab – (– 8ab) = 24) – 3gh – (8gh) = 25) 6xy2 – (– 5xy2 ) = 26) – 3ad – (– 2ad) = 27) – 9q8 – (13q8 ) = 28) – 3x2 y – ( 9x2 y) = 29) abc – (– abc) = 30) – 8s7 t4 – (3s7 t4 ) = 31) 6ajkl – (– 2ajkl) = 32) – 8ad – (– 3ad) = 33) – 14y2 z – (3y2 z) = 34) – 23p7 – (– 17p7 ) = 35) – 15p7 – (– 10p7 ) = 36) – 7df2 – (12df2 ) = 37) – 9bc – (12bc) = 38) – 6k2 x3 – (7k2 x3 ) = 39) – 9ad – (– 11ad) = 40) 2p6 q7 – (7p6 q7 ) = 41) – 9mn – (– 3mn) = 42) – 14df2 – (28df2 ) =
  • 15. 15 43) – 10ab – (10ab) = 44) 8abc – (– 9abc) = 45) – 6k2 x3 – (– 19k2 x3 ) = 46) 5x4 y5 z6 – (9x4 y5 z6 ) = 47) 9m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 48) – 2m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 49) 12m2 n3 – (– 9m2 n3 ) = 50) 10m2 n3 – (– 5m2 n3 ) = 51) – 8x4 y5 z6 – (3x4 y5 z6 ) = 52) (7a + 5b – 7c) – (– 9a – 2b + 6c) = 53) (– 9ab – 3ac – 4ad) – (3ab – 3ac – 3ad) = 54) (– 2a + 2a4 – 3a2 + 3a3 ) – (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 55) (– ab – abc – abcd) – (– ab + abc – abcd) = 56) (3ab4 c2 – 9ab4 - 6a2 b4 c2 ) – (– 6ab4 c2 + 4ab4 + 9a2 b4 c2 ) = 57) (– 7s6 t2 – 9s7 t4 - 3s2 t2 ) – (– 9s6 t2 + 5s7 t4 + 8s2 t2 ) = 58) (6a + 7b - 3c + 10d) – (9a – 7b + 4c – 6d) = 59) (3a4 b5 – 9b3 d6 - 6b2 c3 ) – (8a4 b5 – 7b3 d6 + 7b2 c3 ) = 60) (– 3m6 n2 + 5n7 q4 – 9r2 w2 ) – (4m6 n2 – 3n7 q4 + 8r2 w2 ) =
  • 16. 16 2a + 4b - 5c + 8d -9a - 7b - 6c + 7d 36) 37) 38) -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2 39) 40) 41) -2a4 b5 - 4b3 d6 + 2b2 c4 8a4 b5 - 2b3 d6 + 4b2 c4 -3x - 9y - 5z - 3x2 2x + 6y + 4z + 3x2 -8m6 n2 - 4n7 q4 - 5r2 w2 5m6 n2 - 3n7 q4 + 3r2 w2 Resuelve los siguientes problemas de adición y sustracción de monomios y polinomios 1. Cuál será el perímetro de un rectángulo cuyas medidas son 2y2 – 7z3 + 4y2 z de largo y 28y3 – 9z3 R = 2. El perímetro de un triángulo equilátero de lado 2x3 + 2x – 3 es: R = 3. Contesta lo que se te pide: • ¿Cuál es el perímetro de la sala? R = • ¿Cuál es el perímetro de la cocina? R = • ¿Cuál es el perímetro de la recámara? R = • ¿Cuál es el perímetro del departamento? R = • ¿Cuál es el perímetro del baño? R =
  • 17. 17 LEYES DE EXPONENTES Producto de potencias de igual base: (x)(x3 ) = x1 + 3 = x4 Se suman los exponentes a2 b5 (a4 b3 ) = a2 + 4 b5 + 3 = a6 b8 de igual base Potencia de potencia: (x3 )6 = x3(6) = x18 Se multiplican los exponentes (a2 b5 )4 = a2(4) b5(4) = a8 b20 Cociente de potencias de igual base: = x8 – 5 = x3 Se restan los exponentes de igual base x8 x5 Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a 1 30 = 1 4560 = 1 x0 = 1 (5x)0 = 1 (a + b)0 = 1 a b ( ) 0 = 1 Todo número distinto de cero elevado a un exponente negativo: es igual a una fracción cuyo numerador es la unidad, y el denominador ese mismo número elevado a ese mismo expo- nente, pero positivo: 1 (a + b)6 (a + b)-6 = 1 m8 m-8 = 1 m3 m-3 = 1) (56 )(53 ) = 2) (-x2 y3 ) ÷ (xy) = 3) b5 b7 b3 = 4) m6 m4 m2 = 5) (a4 b7 c3 )2 = 6) (-6a4 b5 c7 )0 = 7) (xy)(-y3 )(-x2 y) = 8) (5xyz)0 = 9) (x2 y)(y2 )(-xy7 ) = 10) (32 )(35 ) = 11) (a7 )(a3 ) = 12) (2m5 n3 p7 )3 = 13) (x5 )4 = 14) (a4 )(a6 )(a) = 15) (ab)7 =
  • 18. 18 16) (23 )(2)(23 ) = 17) (x3 )5 = 18) z3 z2 z z9 = 19) m7 m2 m2 m2 = 20) (16 )(13 )(14 )(1) = 21) (-12m8 n10 o9 )0 = 22) (w)(w)(w)(w2 ) = 23) (x5 y4 z2 )3 = 24) (-7d2 e5 f4 g)2 = 25) (h4 )(h2 )(h4 ) = x4 x2 ( ) 3 26) a-8 = 27) m-5 = 28) x-6 y2 z-3 = 29) (c3 b5 )-4 = 36) m-29 = ab6 a9 b3 ( ) 0 30) = b7 b3 31) = 8x9 2x6 32) = a8 a5 33) = m6 m3 ( ) 5 34) = 34 32 35) = 37) m-5 = 39) (a3 b-4 c-2 )2 = 38) x-4 y6 z-8 = 41) = 63 65 40) = b3 b2 42) = y y6 43) = m6 n4 m6 n8 44) = k9 k6 45) = ( ) 6 v5 v3 46) = g4 g8 47) =
  • 19. 19 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Se multiplican primero los signos, después los coeficientes y se suman los exponentes de las literales iguales. Por ejemplo: (-3b)(5ab2 )(b) = -15ab4 Multiplicación de monomios: Signos (–)(+)(+) = – Coeficientes (3)(5)(1) = 15 Literales iguales (b)(b2 )(b) = b1+2+1 = b4 La literal a no tiene otra con la que se multiplique por lo que se queda igual El resultado es: –15ab4 (2x3 – 3bx2 + b3 x)(– 4bx) = – 8bx4 + 12b2 x3 – 4b4 x2 Se aplica la propiedad distributiva del término – 4bx Se multiplica el primer término por el factor común (2x3 )(– 4bx) = – 8bx4 Se multiplica el segundo término por el factor común (– 3bx2 )(– 4bx) = + 12b2 x3 Se multiplica el tercer término por el factor común (b3 x)(– 4bx) = 4b4 x2 Multiplicación de polinomio por monomio Así como al multiplicar un polinomio por un monomio aplicaste la propiedad distributiva tam- bién para multiplicar polinomios la aplicas, al multiplicar el multiplicando o primer polinomio por cada uno de los términos del multiplicador, acomodando en columnas los términos se- mejantes para después reducirlos. (3a2 – 4b6 + 5c4 )(7a2 – 8b6 – 6c4 ) = Multiplicación de polinomios 1ro . Multiplicas el primer polinomio 2do . Multiplicas el primer polinomio por (– 8b6 ) y por (7a2 ) ordenas en columnas los términos semejantes. 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 - 24a2 b6
  • 20. 20 3ro . Multiplicas el primer polinomio por (– 6c4 ) y ordenas en columnas los términos semejantes y sumas algebraicamente las columnas. 3a2 - 4b6 + 5c4 7a2 - 8b6 - 6c4 21a4 - 28a2 b6 + 35a2 c4 - 24a2 b6 + 32b12 - 40b6 c4 - 18a2 c4 + 24b6 c4 - 30c8 21a4 - 52a2 b6 + 17a2 c4 + 32b12 - 16b6 c4 - 30c8 Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas: 1. (4x3 )(2x4 ) = 2. (6b4 )(5b5 ) = 3. (2x2 )(– 5xy) = 4. (– 3x2 y2 z)(6xyz3 ) = 5. (– 3ab2 )(– 2a2 b4 c) = 6. (– 5mn)(– 6a2 b) = 7. (– 4x2 )(5x)(– 6x5 )(– 3x3 ) = 8. (– m2 n)(–3m2 )(– 5mn3 ) = 9. (– 0.75x4 )(– 2.1xy2 )(– 2xy) = 10. (4cx – 5c + 2c2 x2 )(– 2cx3 ) = 11. (3s2 t2 )(– 9s6 t2 + 5s7 t4 + 8st2 ) = 12. – 3a3 (8a – 4a2 + 2a3 – a4 ) = 13. – 7a2 b5 c9 (– 9a – 2b4 + 6c3 ) = 14. – 9a7 b3 d9 (3ab – 3ac – 3ad) = 15. (3a4 b3 c3 )(8a4 b5 – 7b3 d6 + 7b2 c3 ) = 16. (– 2abcd)(– ab7 + ab4 c3 – ab3 c4 d7 ) = 17. – 6a2 b4 c2 (– 6ab4 c2 + 4ab4 + 9a2 b4 c2 ) = 18. (– 6abcd)(9a5 – 7b3 + 4c4 – 6d5 ) = 19. (– 3m6 n7 q4 r2 w2 )(2m6 n2 – 3n7 q4 + 3r2 w2 ) =
  • 21. 21 20. (4r5 s3 t2 w8 )(– 5r3 – 3s8 t3 + 6t2 w3 + 9w5 ) = 21. (14w – 2qw + 7q2 r3 )(2qwr – 4q2 r6 w3 ) = 22. (a2 + b2 + 2ab)(a + b – 3) = 23. (– x2 + 10x – 22)(x2 + 3x – 5) = 24. (3df – 5f + 2d)(2d – 3f) = 25. (3d3 – 5f2 + 2d3 )(2d3 – 3f2 + 9d3 ) = 26. (– 7d2 + 4e – 6f3 )(d2 + 3e + 3f3 ) = 27. (4ab – 9ac + 8ad)(– 6ab + 2ac – 7ad) = 28. 2a - 4b + 5c -9a - 7b - 6c 29. 2s6 t2 - 5s7 t4 - 5s2 t2 -3s6 t2 + 2s7 t4 + 4s2 t2
  • 22. 22 30. -2a4 b5 - 4b2 d6 + 2b2 8a4 b5 - 2b2 d6 + 4b2 31. -3x - 9y - 5z 2x + 6y + 4z 32. -6a2 b5 c3 - 3b3 c7 d3 + 4a2 b3 c4 -5a2 b5 c3 - 9b3 c7 d3 + 3a2 b3 c4 Contesta lo que se te pide: 1. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = x2 – 2xy altura = – 3xy a) A = – 3x3 y + 6x2 y2 b) A = 3x3 + 6x2 y2 c) A = – 3x3 y + 6xy2 2. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = a2 – 2ab + b2 altura = 5ab a) A = 5a2 b – 10a2 b2 + 5ab2 b) A = 5a3 b – 10a2 b2 + 5ab3 c) A = 5a2 b – 10a2 b2 + 5ab 3. Encuentra el área de un cuadrilátero con los siguientes datos: base = x2 – 3x + 6 altura = x3 a) A = x5 – 3x4 + 6x4 b) A = x6 – 3x4 + 6x3 c) A = x5 – 3x4 + 6x3
  • 23. 23 4. Encuentra el volumen de un cubo de x2 + 3 metros de arista: a) V = x6 + 9x4 + 27x2 + 27 b) V = x6 + 9x3 + 27x2 + 27 c) V = x6 + 9x4 + 27x2 5. Encuentra la distancia que recorre un automóvil si su velocidad es 3x2 + 2xy y utiliza un tiem- po de 2x + 3y (la fórmula para obtener la distancia es: d = vt). a) d = 3x3 + 13x2 y + 6xy2 b) d = 6x3 + 13xy + 6xy2 c) d = 6x3 + 13x2 y + 6xy2 Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda al pro- ducto de las multiplicaciones. ( ) (x2 + 3xy + 6)(2x2 + xy + 2) ( ) (2x + 5)(3x – 4) ( ) (6x – 3)(x2 – 4x + 5) ( ) (– a3 + a2 – 2a + 2)(a + 1) ( ) (2x2 – 5xy + 6y2 )(3x2 + 2xy – 4y2 ) a) 6x3 – 27x2 + 42x – 15 b) 6x4 – 11x3 y + 32xy3 – 24y4 c) 2x4 + 7x3 y + 14x2 + 3x2 y2 + 12xy + 12 d) – a4 – a2 + 2 e) 6x2 + 7x - 20
  • 24. 24 PRODUCTOS NOTABLES Son binomios que se forman por los mismos términos y, difieren en su signo, por ejemplo: (x + 7)(x – 7), su producto equivale a: “Cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término” , es decir, una diferencia de cuadrados. Producto de binomios conjugados. Por ejemplo: (x + 2)(x – 2) = (x)2 – (2)2 = x2 – 4 (5y + 7)(5y – 7) = 25y2 – 49 En los binomios encontramos un término que se repite, por ejemplo: (x + 2)(x – 7), su producto equivale a: “Cuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común, el producto de los términos no comunes” , es decir, un trinomio cuadrado. Producto de binomios con término común. Por ejemplo: (x + 5)(x + 4) = (x)2 + x (5 + 4) + (5)(4) = x2 + 9x + 20 (5y + 1)(5y – 7) = (5y)2 + (5y)(1 – 7) + (1)(– 7) = 25y2 – 30y – 7 (x + 2)2 , su producto equivale a: “La suma algebraica del cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”, es decir, un trinomio cuadrado perfecto. Binomio al cuadrado Por ejemplo: (x + 5)2 = (x)2 + 2(x)(5) + (5)2 = x2 + 10x + 25 (2x – 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(– 3y) + (3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2
  • 25. 25 Resuelve los siguientes binomios conjugados: 1) (3x – 5)(3x + 5) = 2) (7m – 3y)(7m + 3y) = 3) (8x2 – 4)(8x2 + 4) = 4) (9 – 7y)(9 + 7y) = 5) (2m3 – 10)(2m3 + 10) = 3 5 x - 1 ( ) 3 5 x + 1 ( ) 6) = Resuelve los siguientes binomios con un término común: 1) (x – 8)(x + 5) = 2) (2x – 6)(2x + 3) = 3) (8x – 4)(8x + 6) = 4) (x – 7)(x + 1) = 5) (3x + 8)(3x + 1) = 6) (m – 10)(m + 5) = Resuelve los siguientes binomios al cuadrado: 1) (x – 8)2 = 2) (2x – 6)2 = 3) (8x3 – 4)2 = 4) (7 + x)2 = 5) (a + b)2 =
  • 26. 26 6) (5m – 10x)2 = Resuelve los siguientes productos notables: 1) (x + 5)2 = 2) (7a + b)2 = 3) (4ab2 + 6xy3 )2 = 4) (x4 + y2 )2 = 5) (8 – a)2 = 6) (3x4 – 5y2 )2 = 7) (x5 – 4x3 )2 = 8) (5x + 2y)2 = 9) (2x4 – 8y4 )2 = 10) (x + 5)2 = 11) (a – 3)2 = 12) (2x + 7)2 = 13) (ax2 – by)2 = 14) (r – 3s)2 = 15) (7a2 x3 – 2xa2 )2 = 16) (x + 4)(x + 4) = 17) (2x2 y + 4m)(2x2 y + 4m) = 18) (1 – 4y)(1 – 4y) =
  • 27. 27 19) (3a3 – 7xy4 )(3a3 – 7xy4 ) = 20) (y – 12)(y – 7) = 21) (x + 5)(x + 3) = 22) (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 23) (5a + 10b)(5a – 10b) = 24) (7x2 – 12y3 )(7x2 + 12y3 ) = 25) (a + 9)(a – 6) = 26) (5y2 + 4)(5y2 – 14) = 2 3 29) x + 9y = ( ) 2 27) (9x – 4)(9x + 4) = 28) (2r – 3s)(2r + 4m2 ) = 31) 5y + x 5y - x = ( 2 7 )( 2 7 ) 4 6 30) y + 5abc2 = ( ) 2 32) x + x - = (2 5 )( 2 10 2 5 ) 9 10 33) x + y x - = (1 2 )( 2 3 1 2 ) 2 3 34) x + y x - = (3 9 )( 1 3 3 9 ) 1 3
  • 28. 28 Resuelve cada uno de los siguientes productos notables e identifica cada caso. 1. (2x – 3)2 : A) 4x - 12x + 9 B) 4x2 +12x + 9 C) 4x2 - 12x - 9 D) 4x2 - 12x + 9 2. (5x – 4)2 : A) 25x2 + 40x + 16 B) 25x – 40x + 16 C) 25x2 – 40x – 16 D) 25x2 – 40x + 16 3. (7x + 5)2 : A) 49x2 + 70x + 25 B) 49x2 – 70x + 25 C) 49x2 + 70x – 25 D) 49x4 + 70x + 25 4. (6x + 3)2 : A) 36x4 + 36x + 9 B) 36x2 + 36x + 9 C) 36x + 36x + 9 D) 36x2 + 36x – 9 5. (8x – 9)2 : A) 64x2 – 144x + 81 B) 64x2 + 144x + 81 C) 64x2 – 144x – 81 D) 64x2 – 144 + 81 6. (2x – 7)2 : A) 4x2 – 28x – 49 B) 4x2 – 28x + 49 C) 4x2 + 28x + 49 D) 4x2 – 28x + 48 7. (10x + 6)2 : A) 20x2 + 120x + 36 B) 100x2 – 120x + 36 C) 100x2 + 120x + 35 D) 100x2 + 120x + 36 8. (11x + 3)2 : A) 121x2 + 66x – 9 B) 112x2 + 66x + 9 C) 121x2 + 60x + 9 D) 121x2 + 66x + 9 9. (20x – 2)2 : A) 400x2 + 80x + 4 B) 80x2 – 80x + 4 C) 400x2 + 80x + 4 D) 400x2 – 80x + 4 10. (30x – 1)2 : A) 90x2 – 60x + 1 B) 900x2 – 60x – 1 C) 900x2 – 60x + 1 D) 900x2 + 60x + 1 20. (0.8x8 + 0.7b10 )(0.8x8 – 0.7b10 ): A) 6.4x16 – 4.9b20 B) 0.64x16 + 0.49b20 C) 0.64x8 – 0.49b10 D) 0.64x16 – 0.49b20 21. (7m3 x9 + 0.2h7 b10 )(7m3 x9 – 0.2h7 b10 ): A) 49m3 x4 h19 – 14b20 B) 49m6 x18 + 0.04h14 b20 C) 49m3 x19 – 0.04h17 b10 D) 49m6 x18 – 0.04h14 b20 13. (2x + 2)(2x + 3): A) 4x2 – 10x + 6 B) 4x2 + 10x + 6 C) 4x2 + 10x + 5 D) 4x2 + 5x + 6 14. (3x + 9)(3x + 2): A) 9x2 – 33x + 18 B) 9x2 + 11x + 18 C) 9x2 + 33x + 18 D) 9x2 + 33x + 11 15. (4x2 – 9)(4x2 – 6): A) 16x4 – 60x2 + 15 B) 16x4 – 60x2 – 54 C) 16x4 + 60x2 + 54 D) 16x4 – 60x2 + 54 16. (8x2 – 3)(8x2 – 7): A) 64x4 – 80x2 + 21 B) 64x4 – 80x2 – 21 C) 64x4 – 80x2 + 10 D) 64x4 + 80x2 + 21 18. (5x3 + 12)(5x3 – 10): A) 25x6 + 10x3 – 120 B) 25x6 + 10x3 + 120 C) 25x6 – 10x3 – 120 D) 25x6 + 10x3 – 2 19. (14x3 + 3)(14x3 – 8): A) 196x6 – 70x3 – 24 B) 190x6 – 70x3 – 24 C) 196x6 + 70x3 – 24 D) 196x6 – 70x3 + 24 17. (7x4 – 15) (7x4 + 8): A) 49x8 + 49x4 – 120 B) 14x8 – 49x4 – 120 C) 49x8 – 49x4 – 120 D) 49x8 – 49x4 +120 11. (3x + 4b)(3x – 4b): A) 9x2 + 16b2 B) 9x2 – 16b2 C) 6x2 – 8b2 D) 9x – 16b 12. (8x2 + 7)(8x2 – 7): A) 16x2 – 14 B) 64x4 – 49 C) 64x2 + 49 D) 64x2 – 49
  • 29. 29 26. (20x25 – 12b30 )(20x25 + 12b30 ): A) 400x25 – 144b30 B) 200x50 – 72b60 C) 400x50 +144b60 D) 400x50 – 144b60 24. (3x5 + b13 )(3x5 – b13 ): A) 9x10 – b26 B) 9x10 + b26 C) 9x5 – b13 D) 6x10 – b26 25. (10x6 – 20)(10x6 + 25): A) 100x12 + 50x6 + 500 B) 100x12 – 50x6 – 500 C) 20x12 + 50x6 – 500 D) 100x12 + 50x6 – 500 26. (12x8 – 8)(12x8 + 6): A) 144x16 – 24x8 + 48 B) 24x16 – 24x8 – 48 C) 144x16 + 24x8 – 48 D) 144x16 – 24x8 – 48 22. (25x9 + 9)(25x9 – 8): A) 625x18 + 25x9 + 1 B) 625x18 – 25x9 – 72 C) 625x18 + 25x9 + 72 D) 625x18 + 25x9 – 72 23. (9x9 – 10b6 )(9x9 + 10b6 ): A) 18x18 – 20b12 B) 81x18 – 100b12 C) 81x9 – 100b12 D) 81x18 +100b6 30. (0.5x2 + 0.2b2 )(0.5x2 – 0.2b2 ): A) 0.025x4 – 4b4 B) 2.5x4 – 0.4b4 C) 0.25x4 + 0.04b4 D) 0.25x4 – 0.04b4 4 8 29. x6 + b9 x6 - b9 : ( 3 9 ) 4 8 ( 3 9 ) 16 64 A) x6 - b9 9 81 16 64 B) x12 + b18 9 81 16 64 C) x12 - b18 9 81 64 16 D) x12 - b18 81 9 3 4 28. x2 + b2 x2 - b2 : ( 1 8 ) 3 4 ( 1 8 ) 9 16 A) x4 + b4 1 64 16 19 B) x2 - b2 64 1 9 16 C) x2 + b2 1 64 9 16 D) x4 - b4 1 64 31. Observa la figura que se presenta continuación: ¿Qué expresión algebraica representa su área? A) A = (x + 5)2 B) A = x + 25 C) A = (x2 + 25)2 D) A = 4(x2 + 25)
  • 30. 30 DIVISIÓN ALGEBRAICA La división de polinomio entre un monomio la puedes encontrar en esta forma: 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 Para poderla resolver divides cada término del dividendo entre el término del divisor: 2m - 7h3 + 19a2 h4 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 - 10h6 m 0 - 35h9 + 35h9 0 + 95a2 h10 - 95a2 h10 0 Ejercicio: Resuelve las siguientes divisiones: 5h6 10h6 m - 35h9 + 95a2 h10 1. 2. -2x4 8x5 - 16x9 + 24x4 13m5 91m9 + 117m6 - 78m5 3. 4. 10x2 y7 - 80x3 y7 z9 + 40x2 y10 - 20x2 y7
  • 31. 31 5. (72x3 – 18x2 + 36x) ÷ (18x) = 6. (– 50r4 s + 10r2 s2 + 5rs) ÷ (– 5rs) = 7. (12y3 + 15yz – 18y5 ) ÷ (- 3y2 ) = 28a4 14a3 8. = 12a2 b5 c4 -6a2 b3 c2 9. = -12m6 n4 p5 -4m3 n2 p5 10. = 36c4 d5 e8 f6 -9c3 d5 e3 f6 11. = -14x2 y3 z9 7x2 y3 z3 12. = -72m7 n3 p8 -8m4 n3 p4 13. = -100x2 y5 z9 -25x2 y4 z9 14. = -63m4 n7 o5 p3 126m2 n5 o3 p 15. = -45a3 b2 c 7a5 b2 c3 16. = 45d5 e4 f8 g9 -9d9 f3 17. = 12a2 b3 c6 12a6 b9 c2 18. = 4q4 r3 s2 t5 -64q6 r7 s9 t8 19. = 54a4 b6 + 34a14 b9 24a10 b7 20. = -12x9 y7 z9 + 9x6 z8 - 36x5 y5 z9 3x2 z8 21. = 63a7 b7 c5 - 7a4 b4 c3 - 35a3 b2 c6 7a3 b2 c3 22. = -25m4 n5 p7 - 105m3 n4 p4 - 75m2 n4 p8 -25m2 n4 p 23. = 64w5 x5 y5 - 24w8 y4 + 32w6 x4 y2 8w4 y2 24. = -30a9 b7 c4 - 90a4 c2 + 90a2 b3 c3 -10a2 b4 c8 25. = d8 e2 f + 5d6 f8 - 3d4 e3 f2 15d2 e8 f2 26. = -36a9 b7 c9 - 9a6 b8 - 13a5 b5 c9 26a2 b8 c2 27. = x6 y3 z5 + 9x3 y2 z6 - 45x2 y3 z4 -3x2 y8 28. =
  • 32. 32 33. (4x3 – 8x2 + 6x) ÷ (2x2 – 5x) = 34. (x2 – 9xy + 20y2 ) ÷ (x – 5y) = 35. (x2 – 5x – 6) ÷ (x – 3) = 32m5 n4 u3 - 16m2 n4 u2 - 8m5 n3 u7 64m2 n4 u2 29. = -36a7 b5 c4 - 7a6 b8 + 5a6 b3 c3 6a5 b8 c 30. = 24xy5 z5 + 64x3 y7 z6 - 40x2 yz2 -8x2 y3 31. = 36m2 n4 u9 - 18m2 n2 u2 - 81m3 n2 u2 18m2 n4 u6 32. = Relaciona las dos columnas colocando dentro del paréntesis el cociente de las divisiones: axy + bxy xy ( ) ( ) (a + b + c + d) ÷ (4) ( ) ( ) ( ) (81a2 – 18a5 + 180a12 ) ÷ (– 9a15 ) 18a3 b2 - 6a2 b3 + 3a4 b4 -3a2 b2 5a2 + 25a4 - 15a3 -5a a) + + + b) – 6a + 2b – a2 b2 c) – + – d) a + b e) – a – 5a3 + 3a2 a 4 b 4 c 4 d 4 9 a13 2 a10 20 a3
  • 33. 33 FACTORIZACIÓN Debe encontrarse el máximo común divisor de los coeficientes y de las literales, es decir, en- contrar el mayor divisor común numérico y elegir la literal común con menor exponente, por ejemplo: Factor común monomio 12x3 + 45x2 = 3x2 (4x + 15) 12 y 45, máximo divisor es 3, x2 literal común con menor exponente. 9x2 y5 – 36x4 y3 = 9x2 y3 (y2 – 4x2 ) 9 y 36, máximo divisor común es 9, x2 y3 , literales comunes con menor exponente. Una diferencia de cuadrados equivale a un “producto de binomios conjugados”. Los bino- mios se forman por los mismos términos y solamente difieren en un signo. Para factorizar se debe encontrar la raíz cuadrada de ambos términos, por ejemplo. Diferencia de cuadrados x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) 25y2 – 49 = (5y + 7)(5y – 7) (-8) + (-3) suman -11 Un trinomio cuadrado equivale a un “producto de binomios con término común”. Para fac- torizar hay que encontrar la raíz cuadrada del término cuadrático y buscar una pareja de números que cumplan con una doble condición, que sumados algebraicamente den el co- eficiente del segundo término y multiplicados algebraicamente den el coeficiente del tercer término del trinomio, por ejemplo: Trinomio cuadrado x2 – 11x + 24 = (x – 8)(x – 3) 4x2 + 16x + 12 = (2x + 6)(2x + 2) (-8)(-3) multiplican 24 2x(6 + 2) = 16x (6)(2) = 12
  • 34. 34 Un trinomio cuadrado perfecto equivale a un “binomio al cuadrado”. Para factorizar hay que encontrar la raíz cuadrada de los términos cuadráticos y verificar que el término central del trinomio sea el doble producto de la primera raíz cuadrada por la segunda raíz, por ejemplo: Trinomio cuadrado perfecto x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 4x2 + 24x + 36 = (2x + 6)2 2(x)(5) 2(2x)(6) Ejercicio: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1) 25x6 + 10x2 + 35x = 3) 4x2 – 18x = 5) 9x2 – 6x + 12x4 = 2) 16m2 – 40m4 + 20m6 = 4) 55x3 – 20x4 y + 5y2 = 6) x2 – x5 = Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: 1) 9x2 – 4 = 3) a2 – b2 = 5) 9x6 – 25 = 2) 49m2 – 16 = 4) 16 – 25y8 = 6) 64m6 – 100 = Factoriza los siguientes trinomios cuadrados: 1) x2 – 4x – 60 = 3) x2 – 13x + 40 = 5) 81x2 + 36x + 3 = 2) 49m2 – 21m + 2 = 4) 25x2 – 10x – 8 = 6) x2 - 6x - 27 = Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 1) x2 – 4x + 4 = 3) x2 – 18x + 81 = 5) 9x2 – 6x + 1 = 2) 16m2 – 40m + 25 = 4) x2 – 2xy + y2 = 6) x2 – 20x + 100 =
  • 35. 35 Factoriza las siguientes expresiones según corresponda: 1. x2 + 2ax – 15a2 = 3. 5 + 4x – x2 = 5. m2 + mn – 56n2 = 7. x8 + x4 – 240 = 9. a4 b4 – 2a2 b2 – 99 = 11. x6 – 6x3 – 7 = 13. x2 y2 + xy – 12 = 15. a2 – 1 = 17. 9 – b2 = 19. 16 – n2 = 21. 1 – y2 = 23. 25 – 36x4 = 25. 4x2 – 81y4 = 27. 100 – x2 y6 = 29. 25x2 y4 – 121 = 31. a2 – 2ab + b2 = 33. x2 – 2x + 1 = 35. a2 – 10a + 25 = 37. 16 + 40x2 + 25x4 = 39. 36 + 12m2 + m4 = 41. a8 + 18a4 + 81 = 43. 4x2 – 12xy + 9y2 = 45. 1 + 14x2 y + 49x4 y2 = 47. 49m6 – 70am3 + 25a2 n4 = 49. x2 y2 + 7xy – 18 = 51. 16x² + 24x + 9 = 53. 9x² – 12x + 4 = 55. 9x² – 24x + 16 = 57. x2 y2 z2 – 2wxyz – 3w2 = 2. a2 – 4ab – 21b2 = 4. x10 + x5 – 20 = 6. x4 + 7ax2 – 60a2 = 8. 15 + 2y – y2 = 10. x4 + 5x2 + 4 = 12. x8 – 2x4 – 80 = 14. a2 – 4 = 16. 1 – 4m2 = 18. a2 – 25 = 20. 4a2 – 9 = 22. 1 – 49a2 b2 = 24. a2 b8 – c2 = 26. a10 – 49b12 = 28. a2 + 2ab + b2 = 30. y4 + 1 + 2y2 = 32. 9 – 6x + x2 = 34. 1 + 49a2 – 14a = 36. 1 – 2a3 + a6 = 38. a6 – 2a3 b3 + b6 = 40. 9b2 – 30a2 b + 25a2 = 42. 1 + a10 – 2a5 = 44. a6 – b6 = 46. 1 – 2a2 + a4 = 48. 6a2 + 11a + 3 = 50. 10b2 + 21b – 10 = 52. 81 – 9x² = 54. 4x² + 12x + 9 = 56. 25x² – 4 = 58. 100m2 n4 – 169y6 = Factoriza sacando el factor común: 1. 120a + 120b + 120c = 3. x2 + x3 − x4 = 5. 40a3 + 30a2 − 50a = 7. 12xy2 − 18y3 x2 + 16xy = 2. 9a2 x − 18ax2 = 4. ab2 − a3 b + ab = 6. 21c4 + 7b2 c − 14b3 = 8. b3 c2 − 21c2 + 14bc2 =
  • 36. 36 9. 112mn4 + 120m5 n − 136m2 n2 = 11. 15y2 + 20y3 − 30y4 + 40y5 = 13. m3 + mn2 − mn4 + m = 15. 5ab + 100a2 b − 155b4 c = 17. − x2 y + y3 + xy4 − 4y = 10. a4 b + a2 b4 + a5 + a3 b3 = 12. − hk2 + 2hk + h2 = 14. a3 b2 + b2 c + a3 b − b2 c = 16. 25x2 y + 30xy3 + 20x = 18. 250m5 n5 + 100m2 n4 – 750m4 n6 =
  • 37. 37 JERARQUÍA DE OPERACIONES La jerarquía de las operaciones es el orden que se debe seguir para resolver una operación y garantizar que el resultado es el correcto, dicho orden es: 1º se resuelven potencias y raíces. 2º se resuelven multiplicaciones y divisiones. 3º se resuelven adiciones y sustracciones. Los paréntesis se cuentan independientes de la jerarquización, pero si la expresión los con- tiene se deben resolver primero independientemente de las operaciones indicadas en él (indistintamente del tipo de paréntesis que se usen ( ) redondos, [ ] corchetes o { } llaves, matemáticamente se les da el mismo uso) y posteriormente se seguirá el orden mencionado anteriormente. Por ejemplo: 4(3) + 52 - √36 + 8 4(3) + 25 – 6 + 8 12 + 25 – 6 + 8 45 – 6 = 39 14(2) – 40 ÷ 5 – (2 + 18 – 5) + 32 Primero lo del paréntesis 14(2) – 40 ÷ 5 – (15) + 32 = Quita paréntesis 14(2) – 40 ÷ 5 – 15 + 32 = Se aplica la jerarquía de operaciones 14(2) – 40 ÷ 5 – 15 + 9 28 – 8 – 15 + 9 = 14 5x – [– 3y + (2x + y) – 3x] – 5y 5x – [– 3y + 2x + y – 3x] – 5y 5x + 3y – 2x – y + 3x – 5y 6x – 3y Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones: a) 20 + 5(38) = b) 240 – 68 ÷ 4 = c) 250 ÷ 5(25) = d) (3 + 4)5 = e) (5 – 2)(3 + 4) = f ) 2(3 + 4 – 5) = g) 2 • 3 – 10 ÷ 2 – 1 = h) 120 + 84 – 3(10) = i ) 32 + 2 – 4 x 3 – 2 = j ) (5 • 4) ÷ 2 + 4 = k) 3[ – (7 • 3)] = l ) [(– 5)(9)][(– 5)(2)] = m) 3 • 4 – 9 ÷ 3 + 2(4 – 1) = n) [20 – (8 – 3)] – (9 – 4) = ñ) 230 – 4(52) + 14 = o) [(3 + 4)5] – 5 + (2 • 5) = p) 2 – 3[1 – 5 + 3(– 2)] = q) 3 (– 2) + 2 (– 2 • 3 + 4) = r ) (2 • 3 + 4 • 3) ÷ 3 – 2 + 10 = s ) (2 – 8) + (5 – 7)(–9 + 6) – (–5 + 7) =
  • 38. 38 t ) – 3[– 4 – 3(50 – 3)][2(2 – 4)] = u) – {– 7 + 11 – [– 5 – (–2 + 3 – 5 + 4)]} = v) – 4 – 3 – {– 6 + 4 +[– (–3 + 5)]} + 3 – 2 = w) – 4 – 5 – {–4 + 6 + 7 – [– 5 + 3 + (3 – 5 + 8) – 4] + 5 + 7 + 4} = x) 84 – 6 {– 5 + 9 [– 4 + 2 (5 – 3 • 2)]} = y) 9 – 3 [7 – 2(– 3)2 ] – (4 – 5 – 22 ) – 3 – (– 2)3 = z) – 6 – 7 – {– 4 + 8 +[– (–5 + 8)]} + 7 – 6 = Resuelve las siguientes operaciones: a) 5x – (2y – 3x) + 2y = b) 4a + (3b – 2a) = c) (3x – 1) + (2x – 5) = d) (3x + 2y – 5z) + 2x – (5x – 2y + 6z) = e) – {– 2a + [30 – 40 – 5b]} + 7b = f ) – 3x – (3x + 6x – 2x) + 2x – 5x + (2x – 5x) = g) 7x – {3x + [– 5y – (– 2x + y) + 3x] – 2y} = h) [– 5x + (3x + 2y) – (5x – 3y) + 7y] – 8x = i ) – (4m + 3n) – (5m – 2n) + (7m – 5n) – 3n =
  • 39. 39 j ) 6m + [2m – (3m + 4n) + (5m – 7n) – 3n] – 2n = k) [2c + (4c + 3d) – 5d] + 3c – [– 6c – (2c + 3d)] + 7d = l ) {9x + [(3y – 2x)]} – {– 5x – [– (9x + 3y) – 5x] – 2y} + 7x = m) (x – 2y)(3x – 4y)(7x + 9y) = n) (5x2 + 3x + 2)(4x – 3) – x3 + 5x4 = ñ) 3(– 5x4 – 7x2 – 5x – 1) – 4(x4 – 2x3 – 8x – 2) – (– 6x3 – 9x2 – x + 1) = o) (3a + 5b + 3c - 4(2a – 9b – 8c) – 5(a + 2b + 3c)) =
  • 40. 40 ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA ax + bx + c = dx + ex + f Ecuación, igualdad condicionada al valor de una incógnita. Incógnita, es la literal de la expresión que representa una cantidad desconocida, esto nos permite resolver problemas y encontrar uno o más datos desconocidos. Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f 3x + x + 8 = 2x + x + 6 1) Se agrupan los términos semejantes en un miembro de la ecuación y los independientes en el otro. 3x + x – 2x – x = + 6 – 8 2) Se hace una reducción de términos en ambos miembros. 4x - 3x = – 2 3) Se despeja la incógnita para encontrar el valor de x. x = – 2 4) Se comprueba el resultado. 3(– 2) + (– 2) + 8 = 2(– 2) + (– 2) + 6 – 6 – 2 + 8 = – 4 – 2 + 6 0 = 0 Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 3x + 4x + 30 = 84 + x + 2x 2) 8 + 3x – 4x = – x – 3x + 29 3) – 2x – 4 = – x – 1 4) 3m = 5m + 6 5) 5x + 5 = 3x + 27 6) 200 + 7x = 100 – 2x
  • 41. 41 7) 2x – 2 + 5 = 3x + 2 8) – x + 3 – 3x + 3 = 2x – 1 9) 4x + 1 = 3x – 1 + 6 10) 15 – 2x = 4x – 3 + x 11) 5x + 6 = 2x 12) 2x – 3 = 6 + x 13) 21x – 3 = 3x + 6 14) 8x – 6 = 6x + 4 15) 12 + 7m = 2m + 22 16) 9 – 8y = 27 – 2y 17) 2z + 9 = z + 1 18) 3w – 3 = 4w + 11 19) 10h + 21 = 15 – 2h 20) 11b – 5b + 6 = – 24 – 9b 21) 8d – 4 + 3d = 7d + d + 14 22) –9k + 9 – 12k = 4k – 13 – 5k 23) 2 – 3g = 13 + 4g 24) 4n – 6 + 5n = 18 25) 2x + 8 – x = 6 – 2x – 7 26) 3x – 5 = 2x – 3 27) 5h + 10 + 2h + 14 = 20 – h
  • 42. 42 28) 2t + 2 = 11 – t 29) 5x – 6 = 3x + 8 30) 3x – 5 = x + 3 31) 9y – 11 = – 10 + 12y 32) 5c + 6c – 81 = 7c + 102 + 65c 33) 3e – 8 + 6e – 12 = e – 10 + 9e – 13 34) 2r + 7 – 8r + 5 – 3r = 9 – r + 6 – 5r – 13 35) 3q + 101 – 4q – 33 = 108 – 16q – 100 36) 2m – 4 – 8m + 9 = 10m + 6 + m – 12 37) 35 – 22a + 6 – 18a = 14 – 30a + 32
  • 43. 43 ECUACIONES CON PARÉNTESIS 5(x + 3) + 9 + 3x = 20 1) Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones indicadas en cada caso. (En este caso multiplicando). 5x + 15 + 9 + 3x = 20 2) Se agrupan las incógnitas en un miembro de la ecuación Y en el otro las constantes. 5x + 3x = 20 – 9 – 15 3) Se realizan las operaciones indicadas en cada miembro. 8x = – 4 4) Se despeja la variable, si el resultado es fraccionario se simplifica al máximo. 5) Se comprueba el resultado. 5(– 0.5) + 15 + 9 + 3(– 0.5) = 20 – 2.5 + 24 – 1.5 = 20 – 4 + 24 = 20 20 = 20 x = = - 0.5 -4 8 Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) x + 3(x + 2) = 18 2) x + 4(x + 3) = 28 3) 7(x – 3) = 5(x + 7)
  • 44. 44 4) 3 + 5(x – 7) = 3(x + 6) 5) (– 3 + x) = – 2 6) 10(4 + x) = 50 7) (7 + x) = 112 8) (x + 3) = 5(x – 3) 9) – 2(2 + x) = 2(– 20 + x) 10) – 3(x – 2) = – 1(x – 26) 11) 3(6y) + 14 = 5y – 6 12) 2(2x – 5) = 3x – 1 13) 3(8m + 4) = 8(6m – 1) + 5 14) 4(8b + 9) = 1(4b – 4) + 6 15) 8(8x + 6) = 4(8x – 1) + 1 16) 5(9c + 7) = 4(4c – 4) + 6 17) 12z – (3z – 1) – (2z – 35) = z + 58
  • 45. 45 18) 4(b + 1) + 9 = 2(3b – 4) + b 19) 5(2x – 1) + 3(x – 2) = 10(x + 1) 20) 4e – (3e – 4) = 6e – (3 – 8e) + (– 2e + 29) 21) 9f + (– 2f + 8) = 3f + (5 – 6f) – (– 5f – 18) 22) 4h – (3h – 10) = 2h – (8 – 5h) + (3h – 18) 23) 10k – (8k – 5) = 7k – (5 – 9k) + (– 3k – 45) 24) 3(x – 2) – 6(3 – 2x) = 3(5x – 2) + 3(2x – x) 25) 6w – (4w – 7) = 5w – (4 – 9w) + (– 4w + 35) 26) 4(w – 2) + 3(w + 5) = 2(w + 2) – 3(w – 4) + 17
  • 46. 46 27) 3(2n – 4) – 4(5 – 2n) = 3(n – 2) + 5(4n + n) + 2 28) 3z + {– 7z + (– z + 9)} = 33 – {– (3z + 2) – (3z – 14)} 29) 9y + {– 6y + (– 2y + 9)} = – 5 – {– (7y + 3) – (– 9y + 22)} 30) 4m – {– 5m – (– 3m + 10)} = 18 + {– (5m + 4) + (– 7m + 12)}
  • 47. 47 SISTEMAS DE ECUACIONES Hay varios métodos para poder resolver los sistemas de ecuaciones simultáneas: 1.- Por el método de sustitución. 3.- Por el método de igualación. 2.- Por el método de reducción. 4.- Por el método gráfico. Método de sustitución a + b = 18 ……… (1) a – b = 6 ……….. (2) 1.- Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones. a = 18 – b ……… (1) 2.- Se sustituye ese valor en la otra ecuación y se resuelve la ecuación. a – b = 6 ……….. (2) 18 – b – b = 6 Ecuación con una sola incógnita 18 – 2b = 6 – 2b = 6 – 18 – 2b = – 12 b = 6 Primer valor 3.- Este primer valor se sustituye en alguna de las ecuaciones y se resuelve. a + b = 18 …...…. (1) a + 6 = 18 a = 18 – 6 a = 12 Segundo valor 4.- Se comprueban los valores hallados, en ambas ecuaciones. a + b = 18 a – b = 6 12 + 6 = 18 12 – 6 = 6 18 = 18 6 = 6 Si quedan identidades (valores iguales en ambos miembros) los valores encontrados son correctos. -12 -2 b =
  • 48. 48 Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas. 1) 7x + 4y = 13 5x – 2y = 19 2) 5x + 6y = 10 4x – 3y = – 23 3) x + y = 2 x – y = 6 4) x + 2y = 3 5x – 3y = –11 5) x + 2y = 3 2x – y = 1 6) 2x + y = 5 x + 3y = 5
  • 49. 49 7) –4x + y = 20 6x – 9y = 0 8) – 3x – 4y = 31 5x – 9y = 11 9) 14x - 11y = 29 -8x + 13y = 30 10) 9x - 3y = 18 2x + 8y = -48 11) -8x + 14y = -20 -5x + 7y = -16 12) 5x - 9y = 139 15x + 2y = 98
  • 50. 50 13) 10x + 4y = – 34 – 5x + 2y = 13 14) 2x – 3y = 12 – 4x + 5y = – 14 15) – 3x + 2y = – 9 4x – 5y = 26 16) 6x + 4y = 7 – 9x + 16y = 17 17) x + 2y = 5 3x – 6y = – 9 18) 6x + 14y = 9 3x + 2y = – 3
  • 51. 51 19) x + y = 12 x - y = 2 20) 3x + 5y = 7 2x – y = – 4 Método por reducción x + 2y = 8 ……....… (1) x + 5y = 20 ……….. (2) Se restan ambas ecuaciones. y = 4 Se sustituyen el valor de “y” en cualquiera de las 2 ecuaciones Lo haremos en la (1) x + 2y = 8 …… (1) x + 2(4) = 8 x + 8 = 8 x = 0 Respuesta: x = 0 y = 4 x + 2y = 8 -x - 5y = -20 - 3y = -12 -12 -3 y =
  • 52. 52 Ejercicio: Ahora desarrolla y comprueba los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reduc- ción: 1) x – y = 2 2x + 3y = 19) 2) 5x + 3y = 13 x – y = – 11 3) 2x – 2y = –5 3x + 4y = –11 4) 2x + y = 8 3x – y = 7 5) 3x + 4y = 8 8x – 9y = –77 6) 6x – 5y = –3 2x + 3y = 13 7) x + 2y = 8 2x + y = 7 8) –2x + 3y = –12 3x – 4y = 15 9) 5a – 7b = 10 8b – 6a = –12
  • 53. 53 10) 4m + 9n = –35 3m – 8n = 18 11) 10m – 3n = 19 1 5m – 24n = 35 12) 7a – 10b = – 64 5b + 3a = 19 13) 3x – 8y = –13 5y + 2x = –19 14) 3m – 5n = 1 9m + 15n = 9 15) x – 2y = 11 x + 5y = –17
  • 54. 54 16) –m + n = – 1 4m – 2n = 5 17) 2b + c = 1 –5c – 6b = – 9 18) 6u – 3v = 7 8u – 5v = 10 19) 3x – 4y = 32 5x + y = 38 20) 6r – 5v = – 11 7v – 8r = 15 21) 7x – y = 75 5x – 2y = 42
  • 55. 55 22) 7p – 3q = – 28 5p – 4q = 16 23) 2x + y = – 10 x – 3y = 2 24) 9x – 2y = – 3 7y – 12x = 17 25) 8p – 3q = 8 2p + 9q = 15 26) 2m – 5n = 14 5m + 2n = – 23
  • 56. 56 Método por igualación 3x – 5y = – 10 …(1) 4x + y = 25 … (2) Se despeja “x” en (1) y en (2). Se igualan (3) y (4) y se encuentra el valor de “y” en la ecuación: Se resuelve la ecuación. - 40 + 20y = 75 - 3y 20y + 3y = 75 + 40 23y = 115 En ecuación (2) se sustituye el valor obtenido de “y”. 4x + y = 25 4x + 5 = 25 2x = 20 Respuesta: x = 5 y = 5 -10 + 5y 3 (1) x = ...(3) 25 - y 4 (2) x = .......(4) -10 + 5y 3 = 25 - y 4 y = 115 23 y = 5 x = 20 4 x = 5 Ejercicio Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
  • 57. 57 1) 3x + 2y = 24 4x + y = 22 2) x + 3y = 8 x – y = 4 3) 3x – 4y = 41 11x + 6y = 47 5) 3m + 2n = 5 5m + n = – 1 4) x + y = 4 x – y = 2 6) 12x – 18y = 13 –12x + 30y = – 19
  • 58. 58 7) 7x + 2y = – 3 2x – 3y = – 8 8) 3x – 4y = – 26 2x – 3y = – 19 9) 6u + 4v = 5 9u – 8v = 4 10) 3x – 2y = 0 x – y = – 1 11) 5x – 2y = 2 7x + 6y = 38 12) 5d + 3b = 21 – 2d + 4b = 2
  • 59. 59 13) x + y = 2 x – y = 6 14) 5x – 3y = – 7 3x + 5y = – 11 15) 3x – 2y = – 2 4x + y = 1 16) 2x + 3y = 5 5x + 4y = 2 17) 2x + 5y = 19 3x – 4y = – 6 18) x + 2y = 3 5x – 3y = – 11
  • 60. 60 19) x + 2y = 4 3x – y = 5 20) –x + y = – 7 5x + 3y = 3 Método gráfico Cada ecuación representa una recta y el lugar en donde se cruzan las dos rectas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto son los valores que resuelven las dos ecuaciones. Observa cómo se resuelve de manera gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 9 10x + 5y = 60 Para graficar una ecuación se recomienda despejar una de las dos variables, y asignarle al- gunos valores a la que no se despejó. A esto se le llama tabulación. x + y = 9...(1) 10x + 5y = 60...(2) Se despeja y en ambas ecuaciones: y = 9 - x Tabulamos ambos despejes: y = 60 - 10x 5 y = 12 - 2x Puntos M N O P Q x 0 1 2 -1 -2 y 12 10 8 14 16 Puntos A B C D E x 0 1 2 -1 -2 y 9 8 7 10 11 y = 9 – 0 = 9 y = 9 – 1 = 8 y = 9 – 2 = 7 y = 9 + 1 = 10 y = 9 + 2 = 11 y = 12 – 2(0) = 12 – 0 = 12 y = 12 – 2(1) = 12 – 2 = 10 y = 12 – 2(2) = 12 – 4 = 8 y = 12 – 2(–1) = 12 + 2 = 14 y = 12 – 2(–2) = 12 + 4 = 16 y = 12 - 2x y = 9 - x
  • 61. 61 Se localiza en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos: El punto de intersección de las dos rectas trazadas es la solución del sistema: x = 3 y = 6 Es decir que para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos: • Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del siste- ma (figura 1). • Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). • Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto, no hay solución (figura 3).
  • 62. 62 Ejercicio: Ahora grafica los siguientes sistemas de ecuaciones: 1) x + y = 5 2x – y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 2) 2x + 3y = 13 5x – 2y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
  • 63. 63 3) 2x – y = 2 x + y = 4 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 4) x + y = 5 x – y = 1 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
  • 64. 64 5) 5x + 3y = 13 4x + 6y = 14 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 6) 2x + y = 10 8x + 2y = 20 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
  • 65. 65 7) 5x – y = 13 3x + y = 11 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 8) 3x + 7y = 23 5x – 3y = 9 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
  • 66. 66 9) 6x – y = 1 4x + y = 9 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y 10) 3x + 4y = – 7 2x – 4y = 2 Puntos A B C D E x y Puntos M N O P Q x y
  • 67. 67 Resuelve los siguientes problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el método que más se te facilite. a) La diferencia de dos números es 19, y la quinta parte de su suma es 25. Hallar los números. b) En el circo, 12 entradas de adulto y 8 de niño cuestan $ 192.00; y 8 entradas de adulto y 6 de niño cuestan $ 132. Encuentra el precio de una entrada de adulto y una de niño. c) Si la base de un rectángulo disminuye 2 cm y la altura aumenta 2 cm, su área aumentaría 4 cm cuadrados; si la base aumenta 4 cm y la altura disminuye 2 cm, el área permanece constante. ¿Cuál es el área del rectángulo original? d) Se tienen $ 195 en monedas de 5 pesos y de 10 pesos. Si en total hay 27 monedas, ¿Cuán- tas son de 5 pesos y cuántas de 10 pesos?
  • 68. 68 e) El costo de cinco discos compactos de música de igual precio menos $ 120 es igual al cos- to de tres discos compactos más $ 128. ¿Cuánto cuesta cada disco compacto? f) Ceci compró 3 paletas y 2 dulces por $ 11.00; Héctor 2 paletas y 5 dulces por $ 11.00, ¿Cuánto cuesta cada paleta y cada dulce? g) El cuádruplo de un número es 8 unidades menor que el doble de otro, mientras que el sép- tuplo del primero es igual al triple del segundo. ¿Cuáles son dichos números? h) Si 8 kg de naranja y 5 kg de papa cuestan $ 28.75, y 6 kg de naranja y 2 kg de papa cues- tan $ 18.50, ¿Cuál es el precio por kilogramo de cada producto?
  • 69. 69 i) Dos números suman 241 y su diferencia es 99. ¿Cuáles números son? j) Dos números suman 400 y el mayor es igual a 4 veces el menor, ¿qué números son? k) Pedro tiene $ 1 650 en billetes de 50 y de 100; si en total tiene 25 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación? l) En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 92, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?
  • 70. 70 m) En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan 2 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo? n) En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? o) Por dos camisas y dos pantalones pagué $ 430. Mi amigo pagó $ 350 por dos camisas y un pantalón. ¿Cuánto cuestan la camisa y el pantalón? p) Mónica compró 3 paletas y 2 refrescos por $ 16.00; Carlos compró 2 paletas y 5 refrescos por $ 29.00, ¿Cuánto cuesta cada paleta y cada refresco?
  • 71. 71 q) Cinco trajes y 3 sombreros cuestan, $ 41 800 y, 8 trajes y 9 sombreros $ 69 400 ¿Cuál es el precio de un traje y de un sombrero? r) Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 000. Si más tarde a los mismos precios compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818 000, ¿Cuál es el costo cada vaca y cada caballo? s) En una mañanita 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $ 512. Si por 17 entradas de niño y 15 de adulto se pagó $ 831, halla el precio de una entrada de niño y una de adulto. t) Encuentra dos números positivos cuya suma es 225 y su diferencia es 135.
  • 72. 72 u) Un granjero tiene cierta cantidad de animales, entre gallinas y borregos, de tal manera que al sumar el número de cabezas el resultado es 44 y la suma de las patas es 126. ¿Cuántas gallinas y cuántos borregos tiene? v) ¿Cuáles serán dos números que sumados dan 104 y restados dan 8?
  • 73. 73 ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE De la intersección de dos paralelas y una secante se forman 8 ángulos cuatro internos y cua- tro externos, por la posición que guardan las paralelas respecto a la secante se establecen diversas relaciones de igualdad entre ellos, así podemos encontrar: Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos formados por la prolongación de las mismas rectas, por lo que son iguales, pero se encuentran a ambos lados del vértice. Ángulos suplementarios: Son los ángulos que al sumarlos dan 180º y pueden encontrarse jun- tos o separados. Ángulos adyacentes: Son los ángulos que comparten el mismo vértice y uno de sus lados. Ángulos correspondientes: Son ángulos iguales localizados en el mismo lado de la secante, en diferentes paralelas, uno es interno y otro externo. Ángulos alternos: Pueden ser internos o externos, son iguales y se localizan en la parte interna o externa de las paralelas uno de un lado y otro lado de la secante. Ángulos colaterales: Pueden ser internos o externos son suplementarios y se encuentran en el mismo lado de la secante. Algunos de los ángulos que se han mencionado anteriormente los podemos distinguir a con- tinuación. Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos Ángulos colaterales internos Ángulos colaterales externos 1 = 3 2 = 4 5 = 7 6 = 8 2 = 7 6 = 3 1 = 8 5 = 4 2 + 3 = 180° 6 + 7 = 180° 1 + 4 = 180° 5 + 8 = 180°
  • 74. 74 Ejercicio: Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes: 1. ¿Cómo se llaman son los ángulos 1 y 2? ________________________ _________________________________________________________________ 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? ___________________ _________________________________________________________________ 3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? _________________________ _________________________________________________________________ 4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? ______________________ _________________________________________________________________ 5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? __________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 7. ¿El ángulo 6 es correspondiente al ángulo 3? ___________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? ______________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? ___________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6? _______________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que hacen falta. a =__________ b =__________ c =__________ d =__________ e =__________ f =__________ g =__________ h =__________
  • 75. 75 ¿Cuánto miden los ángulos internos a, c y e del triángulo que aparece en la siguiente ilustra- ción, si el ángulo b’ mide 45° y el ángulo d’ mide 60°? a =_______ c =_______ e =_______ En cada una de las siguientes figuras obtén la medida de los ángulos “x” y “y” según corres- ponda. x =________ y =________ x =________ y =________ x =________ y =________ x =________ y =________
  • 76. 76 SUCESIONES NUMÉRICAS El conjunto de varios números ordenados con base en una determinada regla constituye una sucesión numérica. Por ejemplo: múltiplos de 3 menores de 30 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 Para descubrir la generalización, fórmula o patrón de una sucesión se tienen que calcular las diferencias que hay entre las cantidades, este se escribirá como el factor constante de la expresión: Por ejemplo: 3, 8. 13, 18, 23, 28, ___ , ___ a) El incremento de posición a posición en este caso es 5 como se observa. b) Se integra el incremento como factor con “n” recuerda que “n” es la posición. Posteriormente se multiplica el factor encontrado por uno que es la primera posición y se re- visa si falta o sobra para obtener el primer número de la sucesión. c) Posición uno. d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2. e) Si se va a calcular otra posición que no esté en la secuencia se sustituye en el patrón dicho valor. Si “n” es 1 entonces 5( 1 ) = 5 Entonces el patrón será 5n – 2 Si el número que ocupa la posición “n” es 25 entonces: 5(25) – 2 = 125 – 2 = 123 El número que ocupa la posición 25 en la sucesión es 123 Ejercicio: Encuentra la generalización de cada una de las siguientes sucesiones. Sucesión 1) – 6, – 9, – 12, – 15, – 18, … 2) 4, 2, 0, – 2, – 4, – 6, … 3) 36, 31, 26, 21, 16, 11, … 4) – 7, – 1, 5, 11, 17, 23, 29, … 5) – 13, – 19, – 25, – 31, – 37, – 43, – 49,… 6) – 3.5, – 7.5, – 11.5, – 15.5, – 19.5, – 23.5, – 27.5, … Generalización ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________
  • 77. 77 7) – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, … 8) 20, 18, 16, 14, 12, 10, … 9) – 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, … 10) – 24, – 18, – 12, – 6, 0, 6, … 11) – 30, – 25, – 20, – 15, – 10, – 5, … 12) – 7, – 5, – 3, –1, 1, 3, … 13) 15, 9, 3, – 3, – 9, – 15, … 14) – 10, – 11, – 12, – 13 , – 14 , – 15, … 15) – 2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, … 16) – 130, – 133, – 136, – 139, – 142, – 145, – 148,… 17) – 4.3, – 8.3, – 12.3, – 16.3, – 20.3, – 24.3, – 28.3, … 18) – 39, – 32, – 25, – 18, – 11, – 4, … 19) – 33, – 23, – 13, – 3, 7, 17, … 20) 21, 28, 35, 42, 49, 56, … 21) 30, 25, 20, 15, 10, 5, … 22) – 12, – 4, 4, 12, 20, 28, 36, … 23) – 76, – 81, – 86, – 91, – 96, – 101, – 106, … 24) – 1.12, – 3.12, – 5.12, – 7.12, – 9.12, – 11.12, – 13.12, … 25) – 65, – 67, – 69, – 71, – 73, – 75, … 26) – 40, – 80, – 120, – 160, – 200, – 240, … 27) 14, 10, 6, 2, – 2, – 6, … 28) 91, 61, 31, 1, – 29, – 59, … 29) – 77, – 66, – 55, – 44, – 33, – 22, – 11, … 30) – 7, – 5, – 3, – 1, 1, 3, … 31) 28, 23, 18, 13, 8, 3, … 32) – 24, – 18, – 12, – 6, 0, 6, … 33) – 9, – 15, – 21, – 27, – 33, … 34) – 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, … 35) – 3, – 7, – 11, – 15, – 19, … 36) 5, 3, 1, – 1, – 3, – 5, … ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ Encuentra los 8 primeros términos de la sucesión de cada una de las siguientes generalizacio- nes: 1) 4n – 7 2) n – 13 3) 2n – 2 4) – 3n + 15 5) 2n – 7 6) – 5n + 1 7) 3n – 6 8) 12n – 4 9) 2n – 3 10) n – 5 ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________
  • 78. 78 11) 2n – 11 12) – 10n + 1 13) – 4n + 9 14) n + 16 15) 6n – 12 16) 4n + 4 17) – 3n + 6 18) – 4n – 4 19) 8n – 9 20) – 3n – 1 21) – 8n + 15 22) 4n – 6 23) – 7n – 3 24) – 13n – 2 25) 5n + 7 26) 2n - 10 27) – n – 2 28) 3n + 2 29) n – 7 30) 2n + 4 31) – 4n – 1 32) 2n – 30 33) – 2n 34) n – 10 35) – 5n – 3 36) 4n – 90 ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________
  • 79. 79 PORCENTAJES Porcentaje es el tanto por ciento. Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de denomina- dor 100, en otras palabras, es el número de unidades que se toman de cada cien. Es decir, una expresión como “45%” (45 por ciento) es lo mismo que la fracción . Ejemplo: 45 100 8 100 8 % = = 0.08 35 100 35 % = = 0.35 35 100 15.8 % = = 0.158 Cálculo de porcentajes Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento. 1º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100. Ejemplo: El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100: 240 x 20 = 4800 Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos. 4800 100 = 48 2º Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje. Ejemplo: Observa esta igualdad: 20 100 20 % = = 0.20 Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0.2: 240 (0.2) = 48 Como se observa por esta otra manera también da el mismo resultado: El 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.
  • 80. 80 Ejercicio: 1) Ricardo compró un refrigerador por $ 4 800 y una lavadora por $ 6 200. Si por pagar en efectivo le descuentan el 15 %, ¿cuánto pagará por cada artículo? 2) Si Elena gana $ 12 500.00 mensuales y recibe un aumento del 8 % ¿cuál será su nuevo sa- lario? 3) Calcular el 27 % de 450. 4) Calcular el 85 % de 2 360. 5) ¿Qué porcentaje representa 15 de un total de 120? 6) ¿Qué porcentaje representa 3 120 de un total de 8 000? 7) El 64 % de una cantidad es 112. Calcular dicha cantidad. 8) El 3.5 % de una cantidad es 63. Calcular dicha cantidad.
  • 81. 81 9) En las vacaciones navideñas un hotel ha tenido una ocupación de un 96 %. Si el hotel tiene 175 habitaciones, ¿cuántas se han ocupado? 10) En mi clase hay 30 alumnos. De ellos, hay 18 que vienen al instituto desde otra localidad utilizando el transporte. ¿Qué porcentaje del total de alumnos utilizan transporte? 11) El 4.2 % de los habitantes de mi pueblo son jóvenes entre 14 y 18 años. Si hay 756 personas en este intervalo de edad, ¿cuántos habitantes habrá? 12) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 13) Una moto cuyo precio era de $ 50 000, cuesta en la actualidad $ 25 000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 14) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 188 000, nos hacen un descuento del 7.5 %. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 15) Al comprar un monitor que cuesta $ 45 000 nos hacen un descuento del 8 %. ¿Cuánto tenemos que pagar? 16) Se vende un artículo con una ganancia del 15 % sobre el precio de costo. Si se ha com- prado en $ 8 000. Halla el precio de venta.
  • 82. 82 17) Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha aumentado a $ 1 800 para ganar al venderlo el 10 %. 18) ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comprado a $ 2 800, para que tenga un descuento del 12 % sobre el precio de venta? 19) Se vende un objeto perdiendo el 20 % sobre el precio de compra. Halla el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 1 500. 20) En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos son? 21) En el estacionamiento de unos grandes almacenes hay 420 coches, de los que el 35 % son blancos. ¿Cuántos coches hay de los otros colores? 22) Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12 % de los $ 5 500 que ha co- brado. ¿Cuánto dinero recibiré? 23) Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qué cantidad le corresponde si los beneficios han sido de $ 740 500? 24) Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 9. ¿Qué porcentaje del total me he comido?
  • 83. 83 25) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3 % de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina? 26) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? 27) Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que representa el 84 % del total. ¿De cuántas camas dispone el hospital? 28) De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen saber planchar? 29) El 24 % de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 30) ¿Cuánto me costará un abrigo de $ 3 600 si me hacen una rebaja del 20 %? 31) En una tienda en la que todo está rebajado el 15 % he comprado un pantalón por el que he pagado $ 1 200. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja? 32) Hoy ha subido el precio del pan el 10 %. Si una barra me ha costado $ 7, ¿cuánto valía ayer?
  • 84. 84 INTERÉS SIMPLE Se denomina interés simple al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan. El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capi- talización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo, es decir es el resultado que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben única- mente al capital inicial. Si depositamos un capital C en un banco durante un año, el banco nos dará una cantidad I, llamada interés, que se obtiene aplicando un porcentaje r%, llamado rédito, a la cantidad C. Si depositamos el capital durante t años, el interés se calculará con la fórmula: Ejemplo: Un capital de $ 10 000 a un interés del 5% mensual prestado por 12 meses. El interés anual es de $ 6 000 Vemos que $ 6 000 corresponde a 12 meses si se quiere saber cuántos intereses es mensual sólo divide entre 12. El interés mensual que debe pagarse es de $ 500 c•r•t 100 l = l = Intereses c = Capital r = rédito (%) t = Tiempo 10 000•5•12 100 l = 600 000 100 l = l = 6 000 6 000 12 l = l = 500
  • 85. 85 Ejercicio: Resuelve los siguientes problemas. 1) Calcula el interés que generan $ 2 500 durante 8 meses al 8 %. 2) Calcula el interés que generan $ 60 000 durante 63 días al 9 %. 3) Calcula el interés que generan $ 12 000 durante 3 meses al 8.5 %. 4) Calcula el interés que generan $ 15 000 al 10 % en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. 5) Calcula el interés que produce un capital de $ 16 000 con un interés simple del 3.25 % du- rante 4 años. 6) Calcular el interés que produce un capital de $ 22 800 colocado a un interés simple del 4.5 % durante 21 meses. 7) Calcular el interés que produce un capital de $ 26 500 a un interés simple del 2 % durante 329 días. 8) Calcular el capital que hay que prestar durante 3 años a un rédito del 4 % para que pro- duzca un interés de $ 5 640. 9) Calcular el rédito al que hay que cobrar un capital de $ 28 500 durante 2 años para que produzca un interés de $ 5 150.
  • 86. 86 10) ¿Cuántos años hay que prestar un capital de $ 8 500 a un rédito del 3.75 % para que pro- duzca un interés de $ 2 868.75? 11) Calcular el capital que hay que prestar durante 10 meses a un rédito del 5 % para que produzca un interés de $ 2 956. 12) Calcular el rédito al que hay que prestar un capital de $ 29 500 durante 8 meses para que produzca un interés de $ 1 710. 13) Calcular el interés que produce un capital de $ 10 400 colocado a un interés simple del 1.5 % durante 163 días. 14) ¿Cuántos meses hay que prestar un capital de $ 40 950 a un rédito del 2 % mensual para que produzca un interés de $ 1 802? 15) Calcular el interés simple producido por $ 30 000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. 16) Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 % anual. ¿Cuál es el ca- pital de dicha cuenta en ese año? 17) Un préstamo de $ 20 000 se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
  • 87. 87 18) Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiem- po, ha generado un interés de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? 19) Calcula a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. 20) Si invertimos nuestros ahorros de $ 10 000 en un banco donde al cabo de 30 días nos de- volverán $ 10 500, ¿cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido? 21) ¿Qué capital produce un interés de $ 1 240, si es invertido durante 6 meses al 4% de interés mensual? 22) El administrador general de cierta tienda departamental manufacturera deposita $ 63 500 en una institución bancaria que paga el 18% de interés simple anual. ¿Cuánto podrá acumular si retira su dinero 18 meses después de haberlo depositado? 23) Se prestan $ 45 000 y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben $ 52 500. Calcula el tanto por ciento de interés. 24) Calcula el interés producido por $ 2 500 al 5% anual durante 3 años. Cuánto producirán durante 15 meses? 25) ¿Qué capital produce unos intereses de $ 50 en 45 días al 4%?
  • 88. 88 26) Si Federico ha depositado $ 3 000 y al cabo de 2 años tiene $ 3 300, ¿qué tipo de interés anual se ha aplicado a ese depósito? 27) Juan ha hecho un deposita de $ 12 000 en un banco donde el interés anual es del 3 % y lo mantiene durante 1 año y 4 meses. ¿Qué capital final obtendrá? 28) Isabel deposita $ 60 000 en una cuenta corriente a un plazo fijo de 5 años a un 5 % de interés anual. ¿Cuánto dinero tendrá al final de los cinco años? 29) Juan pidió un préstamo al banco por valor de $ 65 000, a pagar en 5 años. Si el banco se lo concedió al 6.5 %, ¿cuánto pagará de intereses? 30) Un banco concede $ 120 000 a pagar durante 10 años al 7 % de interés simple. ¿A cuánto ascenderán los intereses?
  • 89. 89 INTERÉS COMPUESTO Otro tipo de interés es el llamado interés compuesto, en el que cada cierto tiempo, llamado periodo de capitalización, los intereses generados por el capital inicial se añaden al capital y generan más intereses, es decir la diferencia entre el interés simple y el compuesto radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el interés compuesto es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se incrementan mes a mes. Si llamamos al capital inicial CI, al rédito r y al tiempo en años t, el capital final CF, y la formula que hay que aplicar es: Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se acumulan. Ejemplo: Se deposita un capital de $ 8 200 a un interés compuesto del 5.5% anual durante 6 años. Cal- cula el capital final después de los 6 años. El capital que tendrá depositado al cabo de 6 años es de $ 11 299.60 Otra manera que se puede calcular el interés es haciendo una tabla y calcular el interés. Ejemplo: En este caso se calcula el interés compuesto al 8 % bimestral en un préstamo de $ 25 000 CF = CI 1 + F 100 ( ) t CF = CI 1 + F 100 ( ) t CF = 8 200 1 + 5.5 100 ( ) 6 CF = 8 200(1.055)6 CF = 8 200(1.378) CF = 11 299.60
  • 90. 90 Ejercicio: 1. El Ing. Sergio Garza va a invertir $150 000 a 1 año con un interés compuesto de 18 % anual. ¿Cuánto va a recibir al vencimiento de la inversión? Y si lo invirtiera a dos años en las mismas condiciones, ¿Cuánto dinero recibiría después de dos años? 2. Una persona invierte hoy la suma de $ 100 000 en un banco que paga el 7 % cuatrimestral de interés compuesto, se solicita mostrar la operación de capitalización durante dos años. 3. Una persona invierte $ 1 000 a un interés compuesto del 2.5 % mensual durante 12 meses. Calcula cuánto dinero tendrá al final del año. 4. ¿En cuánto se convertirán $ 20 000 durante 10 años al 4 % de interés compuesto?
  • 91. 91 PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumento de una, corresponde una disminución para la otra; o que, a toda disminución de una, corresponde un aumento para la otra. Entonces se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente valor de la se- gunda magnitud, se obtiene siempre el mismo valor. A este valor constante se le llama cons- tante de proporcionalidad inversa. 1 • 120 = 2 • 60 = 3 • 40 = 4 • 30 = 5 • 24 = 6 • 20 = 120 Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa o inversa se puede utilizar: • La razón de proporcionalidad. • Una regla de tres. • Reducción a la unidad. Ejemplo: Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos? Por tanto, se aplica el inverso multiplicativo Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos. Constante de proporcionalidad inversa alumnos 18 10 dinero 200 x dinero a + alumnos - dinero a - alumnos + dinero { } Proporcionalidad inversa 18 10 = 200 x 18 10 = x 200 x = 18(200) 10 x = 360
  • 92. 92 Otra manera es reducción a la unidad $ 360.00 recibe cada uno de los 10 alumnos Ejercicio: 1) Si 15 hombres hacen una obra de construcción en 60 días, ¿Cuánto tiempo emplearán 20 hombres para realizar la misma obra? 2) Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿Cuántos más deben de añadirse a los prime- ros para concluir el mismo trabajo en 28 días? 3) Un ciclista recorrió cierta distancia en 4 horas con una velocidad de 60 km/h, ¿Qué veloci- dad deberá llevar para recorrer la misma distancia en 5 horas? 4) Si se llenan 24 frascos con capacidad para 250 gramos, con mermelada de fresa, ¿Cuán- tos frascos de 300 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada? 5) En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿Cuántas páginas tendrá el mismo libro si en cada una se colocan 40 líneas?
  • 93. 93 6) Una piscina se llena en 10 horas con una llave que arroja 120 litros de agua por minuto, ¿Cuántos minutos tardará para llenarse si esta llave arrojara 80 litros del líquido? 7) Un grupo de 45 estudiantes de una secundaria contrata un autobús para ir a un evento y calculan que cada uno debe pagar $ 50; finalmente sólo asisten 30 estudiantes, ¿Cuánto deberá pagar cada uno? 8) Una bodega se llena con 3 500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma ca- pacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿Cuántos sacos caben en la segunda bodega? 9) Un ejército de 900 hombres tiene víveres para 20 días; si se desea que las provisiones duren 10 días más, ¿Cuántos hombres habrá que dar de baja? 10) Se desea plantar árboles dispuestos en 30 filas, de modo que cada fila tenga 24 de éstos. Si se colocan los mismos árboles en 18 filas, ¿Cuántos se tendrán por fila? 11) Las ruedas traseras y delanteras de un automóvil tienen un diámetro de 1.5 m y 1 m, res- pectivamente, cuándo las primeras han dado 350 vueltas. ¿Cuántas han dado las segundas? 12) Una empresa elaboradora de alimentos para animales envasan su producción en bolsas de 3 kg, 5 kg, 10 kg, 15 kg y 20 kg. Si dispone de 15 toneladas a granel, ¿cuántas bolsas utili- zaría en cada caso? Completa la tabla siguiente con los datos que obtuvieron.
  • 94. 94 ¿Qué sucede con el número de bolsas al aumentar la cantidad de kilogramos en cada una? ¿Qué sucede con el número de bolsas al disminuir la cantidad de kilogramos en cada una? 13) Seis obreros cargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarían nueve obreros en cargar el camión? 14) Un coche a 60 km/h, tarda 4 horas en hacer un viaje. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje a una velocidad de 80 km/h? 15) De una llave salen 7 litros por minuto y llena un tinaco en 3 horas. ¿Cuánto tardaría si la llave disminuye a 4 litros por minuto? 16) Un coche recorre hace un recorrido en 3 horas marchando a una velocidad de 100 km/h. ¿Cuántas horas tardaría si va a una velocidad de 150 km/h.? 17) Calcula el número de días que hubieran necesitado 20 obreros para hacer un trabajo, que otro grupo de 30 obreros lo hizo en 10 días. 18) 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?
  • 95. 95 19) En 6 días, dos personas hacen un trabajo. ¿Cuántos días demoran 3 personas en realizar el mismo trabajo? 20) Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarían si se quiere pintar en 80 días? 21) Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos, a 80 km/h. Si por problemas viento y marejadas no se puede desarrollar más que una velocidad de 50 Km/h, ¿cuánto tiempo se empleará en atravesarla?
  • 96. 96 GRÁFICAS DE LA FORMA y = mx + b En la vida diaria se usan magnitudes que están una en función de otra. Las funciones pueden representarse mediante un texto, una tabla de valores, una expresión algebraica o una grá- fica. La función y = mx + b es una función lineal donde m es la pendiente, b es el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas. En la función la variable independiente es x y a ella se le asignan diferentes valores. y es la variable dependiente porque su valor está en función de x. Algunas veces al leer la información representada en las gráficas sólo se presenta la gráfica y no la función, para obtenerla es necesario calcular la pendiente y después localizar el punto b en donde la recta corta el eje de las ordenadas. Con estos datos se puede formar la fun- ción. Ejemplo: 1) Dada la gráfica se calcula la pendiente m. 2) El punto b es donde la recta corta el eje de las ordenadas, b = 4 3) Tomando la forma de la función y = mx + b 4) Se sustituye los dos valores encontrados: y = 2x + 4 que es la función y x m = 4 2 m = m = 2
  • 97. 97 Ejercicio: 1) Encuentra la función de las siguientes gráficas: R1 R1 R2 R1 R2 R3 R1 R2 R3 2) En la siguiente gráfica, elige la opción que corresponda a la familia de rectas representa- da. a) y = -x + 2 y = - x + 2 y = x + 2 1 2 1 2 b) y = 2x + 2 y = x + 2 y = -x + 2 c) y = 2x + 1 y = 2x + 2 y = 2x - 1 d) y = 2x - 1 y = 2x - y = 2x + 1 2 1 2
  • 98. 98 3) Relaciona las gráficas siguientes con sus respectivas ecuaciones: a) y = 3x – 4 b) y = 2x c) y = x d) y = – 3x – 4 e) y = – 2x f) y = 3x + 4 4) Coloca una “x” en la gráfica que representa una función.
  • 99. 99 5) Coloca “m +” en la gráfica que tiene una función con pendiente positiva y “m -” en la que tiene pendiente negativa.
  • 100. 100 6) ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas?
  • 101. 101
  • 102. 102
  • 103. 103 6) ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas (A, B, C, D, E)? ¿Traza las rectas según la pendiente indicada (F, G, H, I, J)?
  • 104. 104 7) ¿De las siguientes rectas determina su pendiente y función recuerda que son de la forma y = kx?
  • 105. 105
  • 106. 106 ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central: se forma por dos radios, tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se mide por el arco subtendido por sus lados. Ángulo inscrito: se forma por dos cuerdas, tiene su vértice en un punto de la circunferencia, se mide por la mitad del arco subtendido por sus lados. Ángulo Central = arco QP Ángulo inscrito = del arco BC Resuelve: 1 2 Encuentra: Arco OB:______________ Arco OA:______________ Arco AB:_______________ Ángulo ß:______________ Ángulo :______________ Encuentra: Arco AO:______________ Arco BA:______________ Arco OB:______________ Ángulo x:______________ Encuentra: Arco AC:______________ Arco BA:______________ Arco CB:______________ Ángulo BAC:__________ Ángulo BOC:__________
  • 107. 107 CORONA CIRCULAR Parte de círculo comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Corona circular: R = 12 m r = 4 m A =  (R2 - r2 ) A = 3.14 (122 - 42 ) A = 3.14 x 128 A = 401.93 m2 Ejercicio: 1. Calcula el área de una corona circular sabiendo que su radio mayor mide 11 cm y su radio menor mide 7 cm. 2. El área de una corona circular es de 34.54 cm2 y la diferencia entre sus radios 1 cm. Calcula los radios de las dos circunferencias.
  • 108. 108 3. Calcula el área de la corona circular comprendida entre dos circunferencias de radios 3 cm y 5 cm. Identifica: Recta ______________ Recta ______________ Recta ______________ Identifica: Circunferencias ______________ Circunferencias ___________________ Circunferencias ______________
  • 109. 109 FORMULARIO DE VOLÚMENES DE PRISMAS Desarrollo plano Fórmula de volumen Vértices Aristas Nombre Cuerpo Cubo 12 8 V = ℓ3 Lado =ℓ Prisma rectangular 12 8 v = b•a•h b = Largo de la base a = Ancho de la base h = Altura del prisma Prisma triangular 9 6 b = base a = Altura del prisma h = Altura de la base b•h 2 V = (a) Prisma hexagonal 18 12 P = perimetro ap = apotema a = altura P• ap 2 V = (a) Generalizando el volumen de los prismas es: Superficie de la base por altura
  • 110. 110 Desarrollo plano Fórmula de volumen Vértices Aristas Nombre Cuerpo Pirámide triangular 6 4 FORMULARIO DE VOLÚMENES DE PIRÁMIDES área de la base x h 3 V = bh 2 Área de la base = h = altura de la pirámide Pirámide hexagonal 12 7 área de la base x h 3 V = P•ap 2 Área de la base = h = altura de la pirámide Pirámide cuadrangular 8 5 área de la base x h 3 V = Área de la base = ℓ2 h = altura de la pirámide Generalizando el volumen de las pirámides es: Superficie de la base por altura entre tres Ejercicio: Completa la tabla siguiente:
  • 111. 111 Resuelve los siguientes problemas: 1) Una pileta de natación tiene 7 m de ancho por 15 m de largo con una profundidad cons- tante de 1.80 m. Si se llena hasta 20 cm antes del borde. ¿Cuál es en m3 el volumen que ocu- pa el agua que contiene? 2) La base de un prisma hexagonal regular de lado 1.7 cm y apotema 1.5 cm. Calcula su vo- lumen sabiendo que su altura es 3.9 cm. 3) La base de esta pirámide pentagonal regular de lado 1.3 cm y de apotema 0.9 cm. Cal- cula su volumen sabiendo que su altura es 2.7 cm. 4) La Gran Pirámide de Giza es la única que perdura de las siete maravillas del mundo an- tiguo. Actualmente tiene una altura de 137 m y la base es un cuadrado de 230 m de lado. ¿Cuál es su volumen aproximado? 5) Calcula el volumen en litros, de un cubo de 2 m de arista. 6) Calcula el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2.5 cm y el área de la base 80 cm2 .
  • 112. 112 7) El volumen de un cubo mide 2 197 cm3 . Calcula el lado del cubo. 8) La carpa de un circo tiene forma de prisma octogonal regular. Su techo es una pirámide de altura igual a la tercera parte de la altura del prisma. Si la arista básica del prisma es 5 m y la altura total (prisma y pirámide incluidos) es de 24 m, calcula la cantidad de lona necesaria para construir la carpa. 9) Calcula el volumen de un edificio formado por un ortoedro de dimensiones 10 m x 10 m x 6 m y una pirámide cuadrangular de altura 9 m y de lado 6 m. 10) Halla el volumen de un salón de clase cuya área de la base es 40 m2 y su altura es 2.5 m.
  • 113. 113 11) Obtén el volumen de una pirámide de 9 cm de altura cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo y 2.5 cm de ancho. 12) Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 metros y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 metros y 8 metros respectivamente. 13) Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 metros cuadrados de área de la base y 72 metros de altura. 14) Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m. 15) Calcula el volumen de un prisma triangular que tiene 54 mm2 de área de su base y de altura 15 mm.
  • 114. 114 16) Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. 17) En el museo de Louvre, en París, se construyó una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta tiene una altura de 22 m y la base tiene forma de un cuadrado de 30 m de largo. Calcula el volumen de la pirámide. 18) El volumen de un prisma cuadrangular de altura 16 cm es 2 304 cm3 . ¿Cuál es la medida del lado de la base? Subraya la respuesta de cada problema 1. Una piscina con forma de prisma de base rectangular de 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenarla? a) 120 litros b) 60,000 litros c) 40,000 litros d) 120,000 litros 2. El volumen de la pecera es de: a) 18,000 cm3 b) 36,000 cm3 c) 12,000 cm3 d) 48,000 cm3 3. ¿Cuál es el valor equivalente al volumen 5 m3 ? a) 5 000 000 cm3 b) 5 600 000 cm3 c) 6 400 000 cm3 d) 2 500 000 cm3
  • 115. 115 4. Un envase con forma de prisma triangular tiene como base un triángulo rectángulo de ca- tetos iguales de 4 cm, y altura 12 cm, ¿cuál es su volumen? a) 96 cm3 b) 192 cm3 c) 256 cm3 d) 64 cm3 5. Una pirámide tiene de altura 12 m. Si la base de la pirámide es un cuadrado de lado 3 m, ¿cuál es su volumen? a) 54 cm3 b) 108 cm3 c) 36 cm3 d) 144 cm3 6. El volumen de un prisma rectangular cuyas medidas son 2 cm de ancho, 5 cm de largo y 4 cm de altura es: a) 20 cm3 b) 40 cm3 c) 10 cm3 d) 7 cm3 7. El volumen de un cubo de dos metros de lado es: a) 8 m3 b) 6 m3 c) 6 m2 d) 8 m2 8. La siguiente figura muestra las dimensiones de la base rectangular de una alberca con una capacidad para 128 m3 de agua. ¿Cuál es la profundidad de la alberca? a) 8 m b) 4 m c) 2 m d) 1 m 9. Si pudiéramos colocar a la gran pirámide de Egipto dentro de un contenedor, éste sería un prisma cuadrangular con las siguientes dimensiones: ¿Cuál es el volumen de la gran pirá- mide? a) 7,723,400.00 m3 b) 3,861,700.00 m3 c) 2,574,466.66 m3 d) 1,287,233,33 m3
  • 116. 116 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO Como sabes, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º A + B + C = 180º Un cuadrilátero, puede descomponerse en dos triángulos. La suma de sus ángulos interiores es: 180º( 2 ) = 360º De forma similar un pentágono se descompone en tres triángu- los. La suma de sus ángulos interiores es: 180º( 3 ) = 540º. El polígono tiene 9 lados 180°( 7 ) = 1 260° Un polígono de n lados puede triangularse, ( n – 2 ) triángulos. Por tanto: La suma ángulos interiores = 180º( n – 2 ) Donde n es el número de lados
  • 117. 117 Ejercicio: Contesta las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos convexos.
  • 118. 118 SIMETRÍA Dos figuras pueden ser simétricas con respecto a un punto (simetría central) o con respecto a una recta (simetría axial). Simetría central Una simetría central, es un movimiento del plano con el que a cada punto P le corresponde otro punto P´, siendo O el punto medio del segmento PP’, y la distancia de los puntos simétri- cos al centro de la simetría es la misma, y ambos están alineados con este centro. Simetría axial La simetría axial de eje es un movimiento que conserva la forma y el tamaño de las figuras, pero cambia el sentido. Es un movimiento inverso, por tanto, a todo punto P del plano le corresponde otro punto P’ también del plano, de manera que el eje sea la mediatriz del seg- mento AA’ Traslación La traslación es un movimiento en el plano consistente en desplazar cada punto de una figu- ra según una dirección, sentido y distancia fija dados. Estos tres datos conforman el denomi- nado vector de la traslación. Este movimiento conserva la forma, el tamaño y el sentido de las figuras.
  • 119. 119 Las figuras inicial y final guardan relación de igualdad. Ejercicio: Rotación de 180° con respecto al punto C Traslación Simetría respecto a la recta
  • 120. 120 Observa el dibujo. a) Dibuja la figura B simétrica a la A. b) Dibuja la figura C simétrica a la figura C. c) ¿Son simétricas las figuras A y C?________________________________________________________ d) ¿Cómo puedes obtener la figura C a partir de la A?____________________________________ __________________________________________________________________________________________ Di que tipo de simetría se aplicó en cada caso. ______________ ______________ ______________
  • 121. 121 TESELACIONES Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos. Ejemplos: Teselaciones regulares Una teselación regular es aquella que se construye usando un polígono regular. Fíjate en un vértice... Rectángulo Octágonos y cuadrados Pentágonos La unión en cada vértice de los ángulos interiores de los polígonos debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que cumplen tal condición son: triángulo equilátero, cuadrado y el hexágono regular. La medida de los ángulos interiores, de estos polígonos, es divisor de 360º. La cantidad mínima de polígonos que concurren en un vértice es tres, por lo que resulta im- posible que un polígono regular de más de seis lados pueda teselar el plano. En estos casos, la medida del ángulo interior es mayor que 120º y la suma de tres de estos ángulos sobrepasa los 360º. Sólo existen 3 teselaciones regulares: Triángulos Cuadrados Hexágonos
  • 122. 122 Una Teselación Semirregular es aquella que se construye usando dos o más polígonos regula- res. En ella podemos observar que la medida de los lados de los distintos polígonos utilizados es la misma. Para construir estas teselaciones debemos preocuparnos de que la suma de los ángulos inte- riores que concurren en un mismo vértice sea 360º. Por lo que no se puede construir este tipo de teselaciones con cualquier combinación de polígonos regulares. Sólo existen 8 combinaciones de polígono regulares para formar teselaciones semirregulares, con idéntica configuración de polígonos en cada vértice. Teselación Semirregular Ejercicio 1 ¿Construye una teselación, diseñando un mosaico “Original y Creativo”? Ejercicio 2 Contesta lo que se te pide ¿Qué es una teselación regular?__________________________________________________________ ¿Cuánto suman los ángulos de cada vértice de una teselación?___________________________ ¿Qué es una teselación semirregular?_____________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
  • 123. 123 ÁREAS DE FIGURAS COMPUESTAS El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométrica tradicional como los cuadriláteros, triángulos, círculos y polígonos en general. El área de figuras sombreadas de regiones compuestas se resuelve, la mayoría de ellos, a través de dos principios: El postulado de adición de áreas. Si una región poligonal es la unión de “n” regiones poligo- nales; su área es la suma de las n regiones. Principio de Suma y Resta. Ejemplo: Halla el área de la figura sombreada: Tenemos: 2 paralelogramos cuya área se obtiene 2(bh) = 2(4 • 4 m) = 2(16) = 32 cm2 2 triángulos cuyas áreas se obtienen 2 = 2 = 24 m2 6•4 2 ( ) bh 2 ( ) 1 rectángulo cuya área se obtiene bh = 8 • 4 = 32cm2 Área pedida 32 + 24 + 32 = 88 Área sombreada = 88 cm2
  • 124. 124 PRINCIPIO DE TRASLACIÓN Consiste en juntar pequeñas áreas para formar áreas conocidas. Ejemplo: Halla el área de la figura sombreada, si el radio del círculo mayor es igual a 8 cm. Se puede observar que dentro del círculo mayor hay dos semicírculos, el sombreado comple- ta el vació que está en la parte superior, por lo tanto, el área del área sombreada es. El área sombreada se obtiene con del área del círculo. 1 2 = = = 100.48 3.14(8)2 2 ¶r2 2 3.14(64)2 2 Área sombreada 100.48 cm2 Ejercicios: 1. Determina el área de la región sombreada.
  • 125. 125 2. Esta figura muestra la parte trasera de una bodega. Un pintor necesita saber su área para calcular cuanta pintura necesita. 3. Se dispone de una hoja de unicel, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una forma circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma cilíndrica. a) ¿Qué área de la hoja de unicel se va a usar?___________________________________________ b) ¿Cuál es el área de la hoja de unicel que no se va a utilizar?_____________________________ 4. El área de las siguientes figuras son: a) b)
  • 128. 128 UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un objeto. Es una función derivada de longitud, ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. La unidad principal es el metro cúbico, que se designa con el símbolo m3 . El metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro por arista m3 metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico m3 dm3 cm3 mm3 1 m3 0.001 m3 0.000001 m3 0.000000001 m3 La capacidad es una magnitud que equivale al volumen interior de los cuerpos huecos. La unidad principal es el litro que se designa con el símbolo ℓ. La capacidad y el volumen son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para conte- ner a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen). Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un reci- piente con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm3 ), se derramará 1 litro de agua. De tal forma, se puede afirmarse que: 1 dm3 = 1 litro Unidades de Capacidad. 1 dm3 = 0.001 m3 = 1.000 cm3 Equivalencias El conocimiento del Sistema Inglés de Medidas y la equivalencia de sus unidades con las del Sistema Métrico Decimal tiene especial importancia por el intenso intercambio comercial existente entre México y las naciones que utilizan ese sistema. Sistema Inglés de Medidas
  • 129. 129 Algunas de las unidades del Sistema Inglés de Medidas, y sus equivalencias son las siguientes: Unidades y equivalencias Pesos en General Ejemplos: 1. Si se compraron 5 galones americanos de pintura a cuántos litros de pintura equivalen. 2. Si 1 galón americano = 3.785 ℓ entonces 5(3.785) = 18.925 5 galones americanos equivalen a 18.925 litros de pintura. 3. México exporta en el 2 000 a E.E.U.U. 3 000 barriles de petróleo a cuántos litros equivale dicha exportación. Si un barril = 158.987 litros entonces 3 000 (158.987) = 476 961 En total México exportó 476 961 litros de petróleo a E.E.U.U. en el año 2 000.
  • 130. 130 Ejercicio: 1. Hacer las siguientes conversiones: 2.3 cm3 = _______ mm3 47.7 ℓ = _______ cℓ 41.5 ℓ = _______ dm3 3.71 m3 = _______ dm3 3.47 Hℓ = _______ dm3 3.57 Hℓ = _______ dm3 41 700 cm3 = _______ dm 35.1 ℓ = _______ Hℓ 2.5 dℓ = _______ cm3 2. Tengo una cisterna para agua con 3 m3 . ¿Cuántos litros se almacenan? 3. ¿Qué volumen, en m3 , ocupan 200 litros? 4. Una cubeta de pintura tiene 5 galones americanos, ¿a cuántos litros equivalen? 5. ¿Cuántos litros caben en una cisterna como la que se presenta en el croquis? 6. Suponga usted que tiene un negocio donde da clases de natación en una alberca que mide 30 m de largo, 20 m de ancho y 1.5 m de profundidad; si uno de los empleados le reco- mienda vaciar la alberca para limpiarla, ¿cuántos litros tirará de agua, si le hace caso?
  • 131. 131 7. ¿Cuántos galones ingleses de agua le caben a un recipiente como el que se muestra en la figura? 8. ¿A qué es igual 1 ℓ? a) Un decímetro cúbico b) Un metro cúbico c) Un centímetro cúbico d) Un kilogramo
  • 132. 132 MEDIA, MEDIANA Y MODA La estadística puede entenderse como un conjunto de herramientas que involucran el estu- dio de métodos y procedimientos utilizados para recopilar, clasificar y analizar datos. Las he- rramientas de estadística también ofrecen los medios necesarios para realizar deducciones científicas a partir del resumen de los datos resultantes. Las tres medidas de tendencia central, la media, mediana y moda, no son igualmente útiles para obtener una medida de tendencia central. Por el contrario, cada una de estas medidas tiene características que hacen que su empleo sea una ventaja en ciertas condiciones y en otras no. Para resumir en un conjunto de datos numéricos podemos utilizar la media aritmética, la me- diana o la moda. La media aritmética o promedio representa el reparto equitativo, el equili- brio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución si su suma total se repar- tiera por igual. Si se ordenan todos los datos, de menor a mayor, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos centrales. La moda es el valor que más se repite o, lo que es lo mismo, el que tiene la mayor frecuencia. El uso de la media aritmética y de la mediana (también llamada promedio) es algo que se usa cotidianamente en nuestra vida. Comparaciones entre las diferentes medidas. Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Media aritmética o promedio Ejemplo: Las notas de 5 alumnos en una prueba fueron: Alumnos 1 2 3 4 5 Nota 6.0 5.4 3.1 7.0 6.1
  • 133. 133 Se suman las notas: 6.0 + 5.4 + 3.1 + 7.0 + 6.1 = 27.6 El total se divide entre la cantidad de alumnos: 27.6 5 x = = 5.52 La media aritmética en este problema es 5.52 1. La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. 2. Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. 3. Su valor es único para una serie de datos dados. 4. Se interpreta como “punto de equilibrio” del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar los datos respecto de su propio valor: 5. La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es igual a cero. Comprobemos la anterior propiedad con un caso sencillo. Se tiene que para los datos 5, 7, 9, 11 y 13; la media aritmética es 9. Propiedades de la media aritmética o promedio La sumatoria de las desviaciones de cada término respecto de la media es la siguiente: (9 – 5) = 4 (9 – 7) = 2 (9 – 9) = 0 (9 – 11) = – 2 (9 – 13) = – 4 0 Observa que la sumatoria de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.
  • 134. 134 Es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. Se tiene que 50% de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y 50% por debajo de ella. Mediana Ejemplo: Número de datos nones 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 12 datos Mediana 12 datos Número de datos pares 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 13 datos 2 + 3 = 5 13 datos 5 2 = 2.5 Mediana 2.5 1. Es única, sólo existe una mediana para un conjunto de datos. 2. No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños. 3. Puede calcularse para una distribución de frecuencias en los datos. Las propiedades de la mediana Es el valor que aparece con más frecuencia. Puede determinarse para todos los niveles de datos. No se ve afectada por valores muy altos o muy bajos. Para muchos conjuntos de datos no hay valor modal porque ningún valor aparece más de una vez. Para algunos conjuntos de datos hay más de una moda (bimodal, que tiene dos modas, o polimodal más de dos modas). Moda
  • 135. 135 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10 Dato que más se repite Moda 6 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10 Dato que más se repite Moda 4 Dato que más se repite Moda 9 Bimodal 2, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10 Moda 9 Polimodal Moda 8 Moda 6 Moda 2 Ejercicio: 1. Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6.2, 6.0, 6.0, 15.3, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2 ¿Cuál es la media, mediana y moda? 2. La tabla muestra el número de frecuencia de las calificaciones de historia del arte de los 40 alumnos de una clase: Halla la media aritmética, la moda y la mediana.
  • 136. 136 3. A tomar una muestra de estaturas en centímetros de 21 estudiantes de secundaria se re- gistraron las siguientes: 155, 158, 160, 157, 155, 160, 162, 161,160, 160, 160,165, 163, 168, 163,162, 160, 164, 161, 163, 160 ¿Cuál es la media, mediana y moda? 4. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades. 69, 73, 65, 70, 71, 74, 65, 69, 60, 62 5. El director del programa de becas de una secundaria tiene 16 solicitudes para su aproba- ción el próximo otoño. Las calificaciones de la prueba de los solicitantes son: 27, 27, 27, 28, 27, 25, 25, 28, 26, 28, 26, 28, 31, 20, 26, 26
  • 137. 137 6. Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que calificaran del 1 al 5 un programa televisivo. 5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal Estos fueron los resultados: 1, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 5, 3, 5, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 5 Busca la media, la moda y la mediana. 7. La agencia de viajes Moore, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesías por el Caribe a ciudadanos de la tercera edad. El presidente de la agen- cia quiere información adicional sobre las edades de las personas que viajan. Una muestra aleatoria de 40 clientes que hicieron un crucero el año pasado dio a conocer las siguientes edades. 77, 18, 63, 84, 38, 54, 50, 59, 54, 56, 36, 23, 50, 34, 44, 41, 58, 58, 53, 51, 62, 43, 52, 53, 63, 62, 62, 65, 61, 52, 60, 60, 45, 66, 83, 71, 63, 58, 67, 71 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda. 8. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda.
  • 138. 138 9. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda. 10. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7 Organiza los datos y calcula la media, mediana y moda En cada caso obtén la moda, mediana y media 1. 1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 8 Mo = Me = x = 2. 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 18 Mo = Me = x = 3. 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 8 Mo = Me = x =
  • 139. 139 4. 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7 ,7 ,7 ,8 ,8 , 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10 Mo = Me = x =
  • 140. 140 MEDIA PONDERADA Es la medida en donde se toma en cuenta la importancia de cada uno de sus datos, dándo- le mayor o menor importancia en el cálculo de la media. Ejemplo: En una materia dada se asignan porcentajes de importancia, de la siguiente forma: Unida I ( 20% del curso ), Unidad II ( 25% del curso ), Unidad III ( 20% del curso ), Unidad IV ( 15% de la calificación ), Unidad V ( 20% de la calificación ). Si las calificaciones de un alumno son 8 en la primera unidad, 5 en la segunda, 8 en la tercera unidad, 10 en la cuarta unidad y 8 en la última unidad. Es decir, se tienen la siguiente tabla: 8(0.2) + 5(0.25) + 8(0.2) + 10(0.15) + 8(0.20) 0.2 + 0.25 + 0.2 + 0.15 + 0.20 Wi = = = 7.55 7.55 1.0 Observa que diferencia existe con la media aritmética. La media para los datos es igual a: 8 + 5 + 8 + 10 + 8 5 x = = = 7.8 39 5 Cuando se trabaja con la media aritmética simple, se asume que a cada observación se le da la misma importancia. Sin embargo, en ciertos casos se requiere dar mayor peso o impor- tancia a los datos y es cuando se aplica la media ponderada. Otro ejemplo es: En tarde calurosa del sábado, Cristian un empleado de un kiosco de bebidas sirvió en total 50 bebidas durante la mañana de ese día. Vendió 5 bebidas de $ 0.50, 15 de $ 0.75, otras 15 de $ 0.90, y otras 15 de $ 1.10. A continuación se muestra la media ponderada del precio de las bebidas vendidas por Cristian para ese día:
  • 141. 141 Wi = 5($ 0.50) + 15($ 0.75) + 15($ 0.90) + 15($ 1.10) Wi = 43.75 ÷ 50 Wi = $ 0.875 La media ponderada para el precio de las bebidas despachadas por Cristian en su kiosco, con base a los datos del día sábado, fue de $0.875 por bebida. Cuando se trabaja con la media aritmética simple, se asume que a cada observación se le da la misma importancia. Sin embargo, en ciertos casos se requiere dar mayor peso o impor- tancia a los datos y es cuando se aplica la media ponderada. Ejercicio: 1. Carlos obtiene calificaciones parciales de 65, 83, 80, y 90. En el examen final recibe una ca- lificación de 92. Calcula la media ponderada, si cada uno de los exámenes parciales cuenta el 15% y el examen final cuenta 40% de la calificación total. 2. En junio un inversionista compró 300 acciones de Oracle a un precio de $ 20 por acción, en agosto compró 400 acciones más a $ 25 cada una, y en noviembre 400 a $ 23 por acción. Cuál es el precio medio ponderado por acción.
  • 142. 142 GRÁFICAS Las variaciones existentes entre las magnitudes que intervienen en un fenómeno físico o so- cial, muchas veces se representan por medio de dibujos, que reciben el nombre de gráficas. Existen diferentes clases de gráficas; gráfica de barras, gráfica poligonal, gráfica de sectores circulares, etc. Histograma La gráfica de barras recibe el nombre de histograma, en esta clase de gráficas se utilizan barras de la misma anchura y cuya altura debe ser proporcional a la cantidad que se va a representar. En la base del histograma se indica la clase; y en la altura a la frecuencia de clase, esta clase de gráficas nos permiten resumir y analizar grandes cantidades de datos, es una forma de comunicar información de forma clara y sencilla sobre situaciones complejas. Ejemplo: En una prueba de conocimientos generales un grupo de 40 alumnos obtuvo los siguientes reactivos correctos. ¿Cuál es el número de alumnos que obtuvieron entre 28 y 35 reactivos co- rrectos? 28 alumnos ¿Cuál es el mayor número de reactivos correctos obtenido? 15 + 13 49 reactivos correctos Gráfica poligonal: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de varia- bles cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Las gráficas poligonales se utilizan para mostrar la evolución o los cambios de un fenómeno durante un período; la variación del precio de un artículo, el índice de enfermedades de un país, el crecimiento en estatura de un niño y otros datos semejantes, donde interesa saber cómo cambian en el tiempo.
  • 143. 143 Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribu- ción. Para su confección, una vez construidas y rotuladas las escalas, de manera similar a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el pun- to medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta. Ejemplo: En la materia de Matemáticas la profesora analiza los resultados de dos grupos. ¿Cuántos alumnos del grupo X obtu- vieron más de 8 de calificación? 7 alumnos ¿En cuál grupo 5 alumnos obtuvieron 5 de calificación? En el grupo Y Ejercicio: Subraya la respuesta 1. La siguiente gráfica representa el número de anotaciones de cinco integrantes del equipo de futbol América en uno de los últimos torneos: ¿Cuántos goles anotaron entre todos? a) 55 goles b) 56 goles c) 45 goles d) 46 goles
  • 144. 144 2. Jaime preguntó a sus vecinos: ¿Qué fruta te gusta más? y con las respuestas obtenidas elaboró la siguiente gráfica: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) 20 personas prefieren el mango o la pera. b) Manzana y plátano son las frutas preferidas de sus vecinos. c) La fruta de mayor preferencia es la uva. d) Jaime preguntó a 50 vecinos sobre su fruta preferida. 3. La siguiente gráfica representa la cantidad de bolsas de palomitas que se vendieron en las cuatro funciones realizadas en un cine de la Ciudad de México. De acuerdo con los datos que se muestran, ¿cuál fue el promedio de bolsas de palomitas vendidas? a) 375 personas b) 300 personas c) 400 personas d) 450 personas función
  • 145. 145 4. Observa la información contenida en la siguiente gráfica: Completa la siguiente tabla; luego responde lo que te pregunta: a) ¿Cuáles son las temperaturas máximas de los Estados de la República?__________________ b) ¿Cuál es la temperatura mínima que presentaron los estados?___________________________ c) ¿Cuál es la media de las temperaturas que presentaron los estados?____________________ 5. En una investigación sobre el peso de un cierto número de niños recién nacidos, se obtu- vieron los siguientes datos:
  • 146. 146 Determinen cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) En la investigación, el número de bebés recién nacidos es 45.___________________________ b) La mayoría de los recién nacidos tienen un peso promedio de 3.25 kg.___________________ c) Los niños con menor peso son muy pocos, solo 6 de 50 niños tuvieron un peso entre 2.5 y 3 kg._______________________________________________________________________________________ d) Lo que señala la gráfica poligonal es que el peso de los recién nacidos va de 2.5 kg a 4.5 kg._______________________________________________________________________________________ 6. En un laboratorio se tomó una muestra de 120 paquetes de leche en polvo cuya etiqueta dice: Contenido neto 250 g. Se trataba de averiguar el peso real de cada paquete y se ob- tuvieron los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor. 243, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 253, 253, 253, 253, 254, 254, 254, 254, 254, 255, 255, 255, 255, 255, 256, 256,256, 257, 257, 257, 258 En virtud de que son muchos datos, conviene organizarlos en una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, complétenla con base en los datos registrados y después contesten lo que se pregunta. a) ¿En cuántos intervalos se organizaron los 120 datos?_____________________________________ b) La marca de clase es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada clase. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase?___________________________________________
  • 147. 147 Representa los datos de la tabla en un histograma y una gráfica poligonal, pero antes anota lo que se te pide: a) Anota el título de la gráfica.____________________________________________________________ b) Anota los encabezados de los ejes, en el eje vertical van las frecuencias. ¿Qué va en este caso en el eje horizontal?_________________________________________________________________ 7. En una clínica veterinaria se atendieron las siguientes mascotas durante una semana. Elabora el Histograma correspondiente a la tabla de datos anterior.
  • 148. 148 PROBABILIDAD La probabilidad es el grado de certidumbre con que medimos la ocurrencia de cierto resul- tado. La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurren- cia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado. La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé. Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar. Distinguimos 3 tipos de sucesos: Suceso posible: Es un resultado que se puede dar. Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado. Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar. Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el nú- mero 7). Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar. Por ejemplo, “número menor de 7” es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7). Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir: Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás: Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso “cara” tiene las mismas probabilida- des que el suceso “cruz”. Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse: Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso “sacar una bola con un número entre 1 y 98” tiene muchas probabilidades de ocurrir. Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse: Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso “sacar la bolsa ne- gra” tiene pocas probabilidades de ocurrir.
  • 149. 149 Ejercicios: 1. En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad: 2. Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo que sale. Escribe el espa- cio muestral y completa la tabla con ejemplos de distintos sucesos: 3. En una urna hay 10 bolas numeras del 1 al 10, sacamos una bola y anotamos el número. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
  • 150. 150 Existen dos tipos de probabilidad: la probabilidad clásica, también llamada teórica o mate- mática, y la probabilidad frecuencial o empírica. La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica: Probabilidad de un evento = número de resultados favorables al evento número total de resultado posibles utilizando símbolos: P (E) = n(E) n(S) La diferencia entre probabilidad clásica y probabilidad frecuencial radica en que la primera se obtiene sin efectuar el experimento y la segunda después de haberlo efectuado un gran número de veces. Ejemplos: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el lanzamiento de un dado? Si E: 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es n (E) = 3 Si S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es (S) = 6 Por tanto: P (E) = = = = 0.5 1 2 n(E) n(S) 3 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una canica roja de una bolsa que contiene 3 cani- cas negras, 5 amarillas y 2 rojas? r = rojas n = negras a = amarillas Si E: r1 , r2 , entonces n(E) = 2 Si S: n1 , n2 , n3 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , r1 , r2 , entonces n(S) = 10 Por tanto: P (E) = = = = 0.2 1 5 n(E) n(S) 2 10
  • 151. 151 Probabilidad frecuencial Recibe el nombre de evento aleatorio el resultado de un experimento, que no se puede predecir, porque depende del azar. Sin embargo, es muy importante registrar en una tabla de frecuencias, todos los resultados de un experimento o de un conjunto de observaciones, porque de ellos depende obtener valiosas conclusiones inclusive estimar, con bastante apro- ximación, la ocurrencia de un suceso futuro. Ejemplo: Los jugadores titulares del equipo de baloncesto de una escuela anotaron, en los 10 partidos que llevan jugados, los puntos registrados en la siguiente tabla de frecuen- cias: Carlos tal vez sea probable que anote menos puntos en el siguiente partido. Si en ese próximo partido todo el equipo anota 56 puntos, es probable que Jorge anote entre 9 y 10 puntos, porque si su porcentaje ha sido 17.5 entonces 17.5 % de 56 = 9.8. La probabilidad antes calculada recibe el nombre de probabilidad frecuencial, porque se obtiene como resultado de considerar la relación que existe entre los datos registrados en una tabla de frecuencias.
  • 152. 152 Ejercicios: 1. Halla la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número mayor que 9, 4 6 5 5 5 6 6 6 2. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Encuentra: a) Probabilidad de que salga 7. b) Probabilidad de que el número obtenido sea par. c) Probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3. 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 3. Probabilidad de que salga un múltiplo de 3. 1 2 1 5 2 1 2 4 3 3 3 6 4 2 4 5 5 1 5 4 6 3 6 6 4. Se lanzan tres dados. Encuentra la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos los dados. b) Que los puntos obtenidos sumen 7. 5. Busca la probabilidad de que, al lanzar un dado al aire, salga: a) Un número par.
  • 153. 153 b) Un múltiplo de 3. 6. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 alumnos morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: a) Sea hombre. b) Sea mujer morena. c) Sea hombre o mujer. 7. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche. a) Si se saca una papeleta. b) Si se extraen dos papeletas. c) Si se extraen tres papeletas.
  • 154. 154 Se lanza un dado 40 veces y se obtienen los siguientes datos mostrados en la tabla siguiente: Las probabilidades frecuenciales de que salga: 8. El número 3, P(3) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175 9. El número 4, P(4) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175 10. El número 4, P(1) = a) 0 b) 0.125 c) 0.15 d) 0.175
  • 155. 155 Se lanza 100 veces un dado y se obtiene: Las probabilidades frecuenciales de que salga: 11. El número 6, P(6) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19 12. El número 5, P(5) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19 13. El número 2, P(2) = a) 0.16 b) 0.17 c) 0.18 d) 0.19