Funciones trigonometricas (parte 1)
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Este documento explica las funciones trigonométricas y sus relaciones en triángulos rectángulos. Define las funciones seno, coseno y tangente para un ángulo en posición normal basado en las coordenadas (x, y) de un punto en su lado final. Luego resume las relaciones entre estas funciones y los catetos opuesto y adyacente de un triángulo rectángulo. Finalmente, presenta ejercicios para calcular estas funciones y relaciones para diferentes ángulos y triángulos.
Funciones trigonometricas (parte 1)
- 2. Funciones Trigonométricas • Si θ es un Angulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, deferente de O(0,0), se cumple que y se definen las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera:
- 6. Funciones Trigonométricas • Según lo anterior se obtienen las siguientes relaciones reciprocas
- 7. Funciones Trigonométricas • Ejemplo: Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, -2) determinar los valores las funciones seno, coseno y tangente. Solución: Como x = 4 & y = -2, entonces
- 8. Funciones Trigonométricas • Dada las definiciones de las funciones trigonométricas, tenemos:
- 9. Funciones Trigonométricas • A partir de los valores encontrados anteriormente, determinar el valor de las funciones cosecante, secante y cotangente de α. Como: Entonces:
- 10. Funciones Trigonométricas Aplicamos lo mismo para las otras dos funciones:
- 12. Funciones Trigonométricas • Ejercicio 2: Si y hallar el valor de las demás funciones trigonométricas : Solución: Puesto que , entonces, . Además , entonces 3x = 2r = 1y = −
- 13. Funciones Trigonométricas • Por lo anterior:
- 14. Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal
- 15. Funciones Trigonométricas • Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r, x y y. • Obsérvese que: siempre es positivo Por tanto x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren
- 16. Funciones Trigonométricas • Por lo anterior, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, depende de los signos de x y y • El siguiente cuadro resume los signos de las funciones del ángulo θ en posición normal, para los diferentes cuadrantes en los que puede estar ubicado el lado final del mismo
- 17. Funciones Trigonométricas Cuadrante Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ I + + + + + + II + - - - - + III - - + + - - IV - + - - + -
- 18. Funciones trigonométricas de los ángulos con su lado final en los semiejes
- 19. Funciones Trigonométricas • Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano, se llaman ángulos cuadrantales. • Se debe considerar que sobre el lado final de un angulo cuadrantal, se encuentran algunos de los puntos (r, 0); (0, r); (- r, 0); (0, - r)
- 20. Funciones Trigonométricas • En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos entre 0° y 360°
- 21. Funciones Trigonométricas Angulo Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ 0 0 1 0 Ind 1 Ind 90 1 0 Ind 1 Ind 0 180 0 -1 0 Ind -1 Ind 270 -1 0 Ind -1 Ind 0 360 0 1 0 Ind 1 Ind
- 22. Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo
- 24. Funciones Trigonométricas • En la figura anterior se observa el ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante y un punto P ubicado sobre el, el segmento PA es perpendicular al eje x, por tanto el triangulo OPA es rectángulo; para este triangulo OP es la hipotenusa y PA y OA son los catetos.
- 25. Funciones Trigonométricas • De acuerdo con su posición con respecto al angulo θ, los catetos se clasifican en. PA : Cateto opuesto al ángulo θ OA : Cateto adyacente al ángulo θ
- 26. Funciones Trigonométricas A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos en posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en un triangulo rectángulo así:
- 29. Funciones Trigonométricas • Ejemplo: De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas del ángulo θ. θ 5 3 4
- 31. Funciones Trigonométricas • Ejercicio 2: Determinar las razones trigonométricas para el ángulo φ 4 2 h φ
- 32. Funciones Trigonométricas • Solución: Primero calculamos el valor de la hipotenusa: • Ahora calculamos los valores de las razones trigonométricas
- 33. Funciones Trigonométricas ϕ ϕ ϕ = = = = = = = = = 2 5 52 5 4 2 5 cos 52 5 2 1 tan 4 2 cateto opuesto sen hipotenusa cateto adyasente hipotenusa cateto opuesto cateto adyasente
- 34. Funciones Trigonométricas ϕ ϕ ϕ = = = = = = = = = 4 cot 2 2 2 5 5 csc 4 2 2 5 sec 5 2 cateto adyasente cateto opuesto hipotenusa cateto adyasente hipotenusa cateto opuesto
- 35. Funciones Trigonométricas • Ejercicios: 1.Determinar las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto: a. P(2, 5) b. P(-3, 6) c. P(4, -2) d. P(7, -4) f. P(0, -4) g. P(1, 8) h. P(-7, -2) i. P(-2, -6)
- 36. Funciones Trigonométricas 2. Determinar el valor de las funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos θ en los siguientes triángulos rectángulos 5 7 3 6 2 4 9 4 5 8 3 2 5 6 h h h h h h h a. b. c. d. e. f. g. θ θ θ θ θ θ θ