NUMEROS REALES
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El documento presenta conceptos básicos sobre números reales, incluyendo desigualdades, intervalos, inecuaciones y valor absoluto. Explica que un intervalo es un subconjunto de números reales entre dos puntos, y clasifica los intervalos. Luego, describe cómo resolver inecuaciones analítica y gráficamente, incluyendo propiedades de desigualdades y valor absoluto.
![2. Intervalos
Matemáticas - 11º
[a, b) (a, b]
[ , ) /a b x R a x b
a b
( , ] /a b x R a x b
a b](https://image.slidesharecdn.com/numerosreales-140407213708-phpapp02/85/NUMEROS-REALES-8-320.jpg)
![2. Intervalos
Matemáticas - 11º
[a, b]
[ , ] /a b x R a x b
a b](https://image.slidesharecdn.com/numerosreales-140407213708-phpapp02/85/NUMEROS-REALES-9-320.jpg)
![2. Intervalos
Matemáticas - 11º
Infinitos
a
( , ) /a x R x a [ , ) /a x R x a
a
a
( , ) /a x R x a ( , ] /a x R x a
a](https://image.slidesharecdn.com/numerosreales-140407213708-phpapp02/85/NUMEROS-REALES-10-320.jpg)
![2. Intervalos
• Operaciones entre Intervalos:
Dados dos intervalos A y B es posible
realizar las operaciones:
• Ejemplo:
Dados los intervalos A = (-4, 2],
B = [2, ∞), C = (-1, 3) Hallar:
Matemáticas - 11º
, , AyA B A B A B
a) b) c) d)A B B C B B C](https://image.slidesharecdn.com/numerosreales-140407213708-phpapp02/85/NUMEROS-REALES-11-320.jpg)
NUMEROS REALES
- 1. Números reales José David Ojeda M. Matemáticas - 11º
- 3. 1. Desigualdades Entre dos números reales a y b, se cumple solo una de las siguientes proposiciones: Entonces R es un conjunto ordenado Matemáticas - 11º a b a b a b
- 4. 1. Desigualdades • Una desigualdad es una expresión de la forma donde a y b son números reales. • Ejemplos: Matemáticas - 11º , , ,a b a b a b a b 2 1 2 5 2 3 6 6 3 2
- 5. 2. Intervalos Matemáticas - 11º
- 6. 2. Intervalos • Un intervalo es un subconjunto (no vacio) de los números reales. Es el espacio que se da de un punto a otro (en la recta numérica) en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. Se representan usando los puntos externos del intervalo. Matemáticas - 11º
- 7. 2. Intervalos • Clasificación de intervalos: Matemáticas - 11º (a, b) ( , ) /a b x R a x b a b
- 8. 2. Intervalos Matemáticas - 11º [a, b) (a, b] [ , ) /a b x R a x b a b ( , ] /a b x R a x b a b
- 9. 2. Intervalos Matemáticas - 11º [a, b] [ , ] /a b x R a x b a b
- 10. 2. Intervalos Matemáticas - 11º Infinitos a ( , ) /a x R x a [ , ) /a x R x a a a ( , ) /a x R x a ( , ] /a x R x a a
- 11. 2. Intervalos • Operaciones entre Intervalos: Dados dos intervalos A y B es posible realizar las operaciones: • Ejemplo: Dados los intervalos A = (-4, 2], B = [2, ∞), C = (-1, 3) Hallar: Matemáticas - 11º , , AyA B A B A B a) b) c) d)A B B C B B C
- 12. 2. Intervalos • Solución: a) b) Matemáticas - 11º -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 A B 2A B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 A B B C B ( 1, )B CC
- 13. 2. Intervalos • c) • d) Matemáticas - 11º -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6B B ( , 2)B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 B C [3, )B C B C
- 14. 3. Inecuaciones Matemáticas - 11º
- 15. 3. Inecuaciones • Propiedades de las desigualdades: Sean a, b y c números reales Matemáticas - 11º 1) 2) 3) 0 4) y 0 Si y , entondes Si , Entonces , Si y , Entonces y Si , Entonces y a b b c a c a b a c b c a c b c a b a b c ac bc c c a b a b c ac bc c c
- 16. 3. Inecuaciones Una Inecuación es una desigualdad en la cual intervienen una o mas variables. • Resolver una Inecuación es hallar los valores de la variables que hacen verdadera la desigualdad. A estos valores se les llama conjunto solución. • Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación Matemáticas - 11º 3 4 2x x
- 17. 3. Inecuaciones • Solución: Utilizando las propiedades de las desigualdades. Matemáticas - 11º 3 4 2 3 4 2 2 6 3 x x x x x x El conjunto solucion /es 3S x R x
- 18. 3. Inecuaciones • Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de cada inecuación • Solución: a) Método Analítico: Matemáticas - 11º 2 2 2 2 7 4 2 5 3 0a 0 2 b 3 ) ) x x x x x x 2 Se consider 2 5 an 3 0 2 1 3 0 dos casos x x x x
- 19. 3. Inecuaciones • Caso 1: • Caso 2: Uniendo las soluciones de ambos casos el conjunto solución es 2 1 0 3 0 2 1 3 1 3 2 1 , 3 , 3 2 1 , 3 2 x x x x x x 2 1 0 0 2 1 3 1 3 2 1 , 3, 2 x x x x x 1 , 3 2 Matemáticas - 11º
- 20. 3. Inecuaciones • a) Método Gráfico: Se hallan las raíces de los factores de la expresión factorizada y se ubica en la recta real: Antes de cada una de las raíces las expresiones son negativas. Después son positivas. . Nota: Las raíz de un polinomio es el valor o los valores de x para el cual el polinomio se hace cero P(x) = 0 Matemáticas - 11º y2 1 3x x
- 21. 3. Inecuaciones • Se multiplican los signos en ambas rectas, teniendo en cuenta las raíces Matemáticas - 11º -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 1x 3x 2 1 3x x - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + • Se requiere que (2x + 1)(x – 3) < 0, lo cual sucede en: 1 , 3 2
- 22. 3. Inecuaciones • b) Método Analítico: Factorizando: Por tratarse de una fracción Entonces Para que la fracción sea mayor o igual a cero se presentan dos casos Matemáticas - 11º 2 2 2 7 4 0 2 3 x x x x 2 1 4 0 3 1 x x x x 3 1 0x x 3 y 1x x
- 23. 3. Inecuaciones Matemáticas - 11º 2 1 4 30 01xx xx 2 1 0 4 0 2 1 0 4 0 1 1 x 4 x 4 2 2 1 x 4 2 1 , 4 , 2 x x x x x x x 3 0 1 0 3 0 1 0 3 x 1 3 1 3 1 , 3 1, x x x x x x x x x Caso 1:
- 24. 3. Inecuaciones Matemáticas - 11º 2 1 4 3 10 0x xx x 2 1 0 4 0 2 1 0 4 0 1 1 4 4 2 2 1 4, 2 x x x x x x x x Caso 2: 3 0 1 0 3 0 1 0 3 1 3 1 3, 1 x x x x x x x x
- 25. 3. Inecuaciones • Resolvemos la intersección para cada uno de los casos: Conjunto solución Matemáticas - 11º , 1 , 4 3 2 1,, -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 , 4 1,
- 26. 3. Inecuaciones Conjunto solución: Matemáticas - 11º 1 4, 2 3, 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 3, 2 El conjunto solución final es la unión de las soluciones para cada caso 1 1, 3, , 2 4
- 27. 3. Inecuaciones • b) Método gráfico -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 1 4 3 1 x x x x 2 1x 3x 1x 4x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + - - - + + + + + + + + + + +- - + + +
- 28. 3. Inecuaciones • Ejercicios: Usando los métodos analítico y grafico, hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades: 2 2 2 2 7 8 2 7 x 12 0 6 2 4 1 1) 4) 5) 3) 3 13 10 0 x 6 5 0 4x 13 2) 36) 0 x x x x x x x x Solo Analítico
- 29. 4. Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Por ejemplo 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. • De manera genérica 0, donde,1) x a a x a x a 2) x a x a x a
- 30. 4. Valor absoluto • Otras propiedades del valor absoluto 2 3 0 ) 4) 5) 6) 7) a a ab a b aa b b b a b a b a a
- 31. 4. Valor absoluto • Ejemplo: Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación: • Como se aplica la primera propiedad: • Por tanto el conjunto solución es 3 8 14x 14 0 3 8 14 o 3 8 14x x 22 2 o 3 x x 22 2, 3
- 32. 4.1 Inecuaciones con valor absoluto • Para resolver inecuaciones con valor absoluto, se tienen en cuenta las siguientes propiedades: 2 2 con 01. 2. o 3. x a a x a a x a x a x a x a x a
- 33. 4.1 Inecuaciones con valor absoluto • Ejercicios: Hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes inecuaciones con valor absoluto • Aplicando la primera propiedad: ) 2 9a x 9 7 9x 9 7 9 7x 2 16x
- 34. 4.1 Inecuaciones con valor absoluto • Entonces el conjunto solución esta dado por el intervalo: • Aplicando la segunda propiedad: • Por tanto el conjunto solución es: 2, 16 b) 2 5x 2 5 2 5ox x 3 x 7x , 7 3,