Variacion exponencial
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Este documento presenta una guía para analizar la variación exponencial utilizando la hoja de cálculo de GeoGebra. Incluye un ejemplo histórico sobre el precio de un caballo que aumenta exponencialmente según el número de clavos en sus herraduras. Los estudiantes deben graficar esta relación y expresarla matemáticamente. También se proponen otros problemas sobre crecimiento poblacional y de intereses para modelar con funciones exponenciales.
Variacion exponencial
- 1. GRUPO PEDAGÓGICO CAMBIEMOS ESTUDIO DE LA VARIACIÓN INSTITUTO GEOGEBRA TOLIMA Guía No 3 Variación Exponencial OBJETIVO: Utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra para analizar la variación exponencial en situaciones hipotéticas como la manera en que se duplica una cantidad en función del tiempo. PRIMERA PARTE: 1) ¿Te gustan los caballos? SI ___ No ___ ¿Por qué? _________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2) Aproximadamente, ¿cuánto cuesta un caballo? _________________________ 3) ¿De qué depende el costo de un caballo? ________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4) ¿Cuántos clavos tiene la herradura de un caballo? ______________________ 5) ¿Conoces nombres de caballos famosos? Si ___ No ___ ¿Cuáles? _____________________ _____________________________________________________________________________ Cuenta una leyenda que hace mucho tiempo durante la conquista de lo que hoy es Norteamérica, había una confrontación muy fuerte entre los indígenas y los ejércitos del general Trust. En alguna ocasión firmaron la paz y se reunían en campo neutro a charlar, beber e intercambiar regalos. Una vez el general Trust le preguntó a Torosentado: - ¿Cuánto vale tu caballo? - Caballo no estar en venta, dijo Torosentado Desde aquel día Trust insistió mucho en comprar el caballo de Torosentado y éste se dedicó a evitar vendérselo, al punto que muchas reuniones terminaban en discusión por el negocio del caballo. Un día, Torosentado decidió poner fin al tema y le dijo al general Trust: - Precio del caballo ser de la siguiente manera: darme un dólar por el primer clavo de primera herradura, dos dólares por el segundo clavo; cuatro por el tercero y así sucesivamente, darme el doble de dólares por cada clavo hasta el último clavo - ¿Y el caballo será mío? Preguntó el general Trust como un niño - Caballo ser tuyo cuando traerme el dinero, respondió Torosentado. 6) ¿Cuántos dólares deberá dar Trust por el 5º clavo? ¿Cuánto por el 12º? ¿Cuánto por el 20º? ¿Cuánto por el 24º? ¿Cuánto por todo el caballo? 7) ¿Crees que Trust le compró el caballo a Torosentado? SI ___ No ___ ¿Por qué? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 8) ¿Cuál es el costo del caballo en pesos de hoy? ____________________
- 2. GRUPO PEDAGÓGICO CAMBIEMOS ESTUDIO DE LA VARIACIÓN INSTITUTO GEOGEBRA TOLIMA Guía No 3 Variación Exponencial 9) Si construyes una gráfica donde en el eje X va el número de clavos y en el eje Y van los dólares que deberá dar Trust, qué tipo de gráfico se obtiene? _______________________ Consulta el nombre de esta gráfica _____________________________________________ 10) Trata de escribir la expresión matemática que permite hallar el costo del caballo según el número de clavos ___________________________________________________________ SEGUNDA PARTE: Ingresa a GeoGebra, haz clic en el menú Vista y selecciona Hoja de Cálculo ¿Qué sucede? Ubica el cursor en la celda A1 de la Hoja de Cálculo; escribe con negrilla y centrado X; en A2 y A3, teclea 1 y luego 2; selecciona y arrastra rellenando la serie hasta 24. Ubica el cursor en la celda B1; escribe con negrilla y centrado Y; escribe hacia abajo 1, 2, 4, 8, 16, (cada vez el doble del valor anterior). ¿Qué fórmula podrías insertar en B7 para facilitarte la tarea de calcular los valores siguientes? Selecciona los datos desde B2 hasta B25 (sin incluir la Y) y halla la suma, dando clic en el símbolo ∑ que aparece en la parte superior izquierda. La suma debe aparecer en la celda C26. Escribe en letras el valor de esta cifra en dólares. ¿Qué representa esta suma? Consulta el valor del dólar de hoy, ubica el cursor en A28 y teclea =B26*(valor del dólar de hoy) y da enter. Escribe la cifra obtenida en letras. Ese valor corresponde al precio del caballo de Torosentado en pesos de hoy. ¿Es posible pagar todo ese dinero por un caballo? Selecciona todos los datos desde A2 hasta B25 (sin incluir ni X, ni Y ni la suma); da clic derecho, selecciona crea y elije lista de puntos. Observa las diferentes parejas de valores en la vista algebraica y lo correspondiente en la lista gráfica. Si se unieran esos puntos, ¿qué curva se obtendría? Da clic sobre la vista gráfica, clic en Desplaza Vista Gráfica y luego ajusta la escala del eje y. ¿Cuál es la expresión matemática que representa el conjunto de puntos obtenido? Ten en cuenta que esta gráfica no es lineal sino exponencial. Escribe en la barra de entrada la expresión matemática que relaciona el conjunto de puntos obtenidos. Mejora la presentación de la gráfica y escribe tus conclusiones.
- 3. GRUPO PEDAGÓGICO CAMBIEMOS ESTUDIO DE LA VARIACIÓN INSTITUTO GEOGEBRA TOLIMA Guía No 3 Variación Exponencial TERCERA PARTE: Ingresa a GeoGebra, cierra la Hoja de Cálculo. Define el deslizador a, Min = 0, Max = 5, Incremento = 0,01 Define el deslizador b, Min = -10, Max = 10, Incremento = 0,01 En la barra de entrada ingresa las siguientes expresiones: x ( ) Mueve los deslizadores a y b y observa las gráficas. ¿Qué similitudes y particularidades encuentras al comparar estas ecuaciones? Utiliza GeoGebra para resolver los siguientes problemas: 1. La población de una ciudad en el año 2 000 era de un millón de personas exactamente. a. Cada año la población ha crecido un 3%. ¿Cuántas personas había en esa ciudad en el año 2009? b. Encuentra la función que nos describe la población P de esa ciudad dependiendo del número de años x después del 2 000. 2. Doña Fanny invirtió todo su dinero P pesos en el banco a plazo fijo. De esta manera, el banco le ofrece un interés de 8% de la cantidad de dinero que tenía el primer día de enero cada año. Si ella invirtió P = $10 000 000 de pesos el primero de enero del año 2002 y no realizó retiros durante cinco años, ¿cuánto dinero retiró al final? 3. Un estudiante diluyó una botella de un ácido agregando agua hasta llenar la botella cada vez que ésta se encontraba a la mitad de su nivel. Realizó esto cinco veces revolviendo el contenido perfectamente después de agregar agua. La botella tenía inicialmente una concentración del 16%. ¿Cuál es la concentración del ácido ahora? LUIS RAMÓN LOPEZ MENDOZA Tecnología e Informática ENSI Grupo Pedagógico Cambiemos – Instituto GeoGebra Tolima
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