Regla conjunta
- 1. REGLA DE LA CONJUNTA Establece las relaciones que existen entre diferentes especies, conociendo las relaciones intermedias (equivalentes) entre éstos. 3) Sobre una mercancía valuada en S/.800 se efectúan tres descuentos sucesivos del 20%; 25% y 5%. ¿A qué precio se vendió? Solución: Aplicando la conjunta, se tendrá: S/.x de venta S/.100 marcados S/.100 marcados S/.100 marcados FORMA PRÁCTICA: 1) Se forman equivalencias entre las cantidades. 2) El 1er elemento y el último deben ser siempre de la misma especie. 3) Las cantidades deben colocarse en forma ALTERNADA. x <> S/.800 marcados <> S/.80 con el 1er dscto. <> S/.75 con el 2do dscto. <> S/.95 con el 3er dscto. 800x 80x 75x 95 100x100x100 x = S/.456 Rpta. Ejemplos: 1) Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que 2 metros de cuero cuestan S/.4. ¿Cuánto costarán 4 varas de paño? Solución: Aplicando la conjunta tenemos: 6 varas 2 metros x De donde x = <> 5 metros <> S/.4 6x2xX<>5x4x4 <> 4 varas 5x 4x 4 6x2 S/. 6 2 3 4) Cuál es el cambio con Berlín; haciendo escala en París, sabiendo que 10 marcos equivalen a 58 francos, y que el cambio de Madrid está a 48,5 por 100 francos. Solución: x 10 marcos 100 francos 1000 x x 58x 48,5 100 <> 1 marco <> 58 francos <> 48,5 pesetas <> 48,5 x 58 2,81 1 marco = 2,81 pesetas 2) Cuánto costarán 6 metros de casimir, sabiendo que 4 metros de éste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/.6? Rpta. Solución: Aplicando la conjunta tenemos: 4m de casimir 10m de lana x 4x10xX <> 25x6x6 OBJETOS DADOS EN FORMA DE PAGO <> 25 m de lana <> S/.6 <> 6m de casimir x= 25x 6 x 6 4 x10 Trabajaremos con los siguientes ejemplos: x = S/.22,5 Rpta. 1) Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo, S/.74 y un pantalón, al cabo de 1 año y 4 meses lo despide dándole S/42 y el pantalón. ¿Cuánto vale el pantalón? Solución:
- 2. 24 meses 16 meses <> S/.74 + 1 pantalón <> S/.42 + 1 pantalón ......(I) .....(II) 21 meses <> S/. 1750; entonces En 60 meses gana = (I) – (II): 1750x 60 21 S / 5000 ya que por 21 meses que faltan recibe S/1750 menos. 8 meses <> S/.32 Indica que por 8 meses que faltan recibe S/.32 menos. Por tanto: La gratificación = 5000 – 2600 = S/.2400. Luego: Gana en dos años = Rpta. 32x 24 = S/.96 8 Como le descuentan el pantalón; y éste vale: S/.96 – S/.74 = S/.22 Rpta. 2) Por 90 días de trabajo, un pantalón promete a un obrero S/.120 y un traje. Al cabo de 60 días el patrón despide al obrero y le da S/.120, sin el traje. ¿Cuánto vale el traje? Solución Si durante 60 días ha ganado S/.120 en 90 días hubiera recibido: 120x 90 = S/.180. Pero por éste tiempo le 60 REGLA DE LA CONJUNTA Establece las relaciones que existen entre diferentes especies, conociendo las relaciones intermedias (equivalentes) entre éstos. FORMA PRÁCTICA: 4) Se forman equivalencias entre las cantidades. 5) El 1er elemento y el último deben ser siempre de la misma especie. 6) Las cantidades deben colocarse en forma ALTERNADA. Ejemplos: 5) Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que 2 metros de cuero cuestan S/.4. ¿Cuánto costarán 4 varas de paño? Solución: Aplicando la conjunta tenemos: 6 varas <> 5 metros 2 metros <> S/.4 6x2xX<>5x4x4 x <> 4 varas De donde x = 5x 4x 4 6x2 S/. 6 2 3 prometieron S/.120 y el traje,. Entonces: Valor del traje = 180 – 120 = S/.60 Rpta 3) Un ayudante entra e una fábrica y le promete S/.2600 y una gratificación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3 años y 3 meses, abandona el trabajo y recibe S/.850 y la gratificación. ¿A cuánto asciende ésta? Solución 5 años = 60 meses 3 años + 3 meses = 39 meses 60 meses <> S/. 2600 + gratificación ....(I) 39 meses <> S/.850 + gratificación ........(II) (I) – (II): 6) Cuánto costarán 6 metros de casimir, sabiendo que 4 metros de éste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/.6? Solución: Aplicando la conjunta tenemos: 4m de casimir <> 25 m de lana 10m de lana <> S/.6 x <> 6m de casimir 4x10xX <> 25x6x6 x = S/.22,5 x= 25x 6 x 6 4 x10 Rpta. 7) Sobre una mercancía valuada en S/.800 se efectúan tres descuentos sucesivos del 20%; 25% y 5%. ¿A qué precio se vendió? Solución: Aplicando la conjunta, se tendrá: S/.x de venta <> S/.800 marcados S/.100 marcados <> S/.80 con el 1er dscto.
- 3. S/.100 marcados <> S/.75 con el 2do dscto. S/.100 marcados <> S/.95 con el 3er dscto. x 800x 80x 75x 95 100x100x100 x = S/.456Rpta. En 60 meses gana = 8) Cuál es el cambio con Berlín; haciendo escala en París, sabiendo que 10 marcos equivalen a 58 francos, y que el cambio de Madrid está a 48,5 por 100 francos. Solución: x <> 1 marco 10 marcos <> 58 francos 100 francos <> 48,5 pesetas 1000 x <> 48,5 x 58 x 58x 48,5 100 2,81 1 marco = 2,81 pesetas Rpta. OBJETOS DADOS EN FORMA DE PAGO Trabajaremos con los siguientes ejemplos: 4) Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo, S/.74 y un pantalón, al cabo de 1 año y 4 meses lo despide dándole S/42 y el pantalón. ¿Cuánto vale el pantalón? Solución: 24 meses <> S/.74 + 1 pantalón ......(I) 16 meses <> S/.42 + 1 pantalón .....(II) (I) – (II): 8 meses <> S/.32 Indica que por 8 meses que faltan recibe S/.32 menos. Luego: Gana en dos años = 39 meses <> S/.850 + gratificación ........(II) (I) – (II): 21 meses <> S/. 1750; entonces 32x 24 = S/.96 8 Como le descuentan el pantalón; y éste vale: S/.96 – S/.74 = S/.22 Rpta. 5) Por 90 días de trabajo, un pantalón promete a un obrero S/.120 y un traje. Al cabo de 60 días el patrón despide al obrero y le da S/.120, sin el traje. ¿Cuánto vale el traje? Solución Si durante 60 días ha ganado S/.120 en 90 días hubiera recibido: 120x 90 = S/.180. Pero por éste tiempo le 60 prometieron S/.120 y el traje,. Entonces: Valor del traje = 180 – 120 = S/.60 Rpta 6) Un ayudante entra e una fábrica y le promete S/.2600 y una gratificación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3 años y 3 meses, abandona el trabajo y recibe S/.850 y la gratificación. ¿A cuánto asciende ésta? Solución 5 años = 60 meses 3 años + 3 meses = 39 meses 60 meses <> S/. 2600 + gratificación ....(I) 1750x 60 21 S / 5000 ya que por 21 meses que faltan recibe S/1750 menos. Por tanto: La gratificación = 5000 – 2600 = S/.2400. Rpta
- 4. MÉTODO DEL CANGREJO Se invierte las operaciones dadas. Se comienza por el último resultado dado. 1
- 5. Ejemplos: 1) Si la cantidad que tienes lo multiplicas por 8 y luego la divides por 10, el cociente lo multiplicas por 3, luego añades 36 finalmente obtendrás 180. ¿Cuál era tu cantidad inicial? a) 60 d) 30 b) 40 e) N.A. c) 80 Solución: Disponemos las operaciones siguientes: Operaciones Directas Operaciones Inversas 1.- ( )x8 180 – 36 = 144 2.- ( ) / 10 144 / 3 = 48 3.- ( )x3 48 x 10 = 480 4.- ( ) + 36 = 180 480 / 8 = 60 Rpta. (a) 2) A la cantidad de soles que tengo le añado 5; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 4; al número así obtenido lo extraigo la raíz cuadrada, al resultado le sumo 3, para finalmente dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 20 d) 40 b) 30 e) 50 c) 10 Solución: Aplicando el método del cangrejo. Operaciones Directas Operaciones Inversas 1.- N° de soles iniciales 10 2.- Le añado 5 15 – 5 = 10 3.- Lo multiplico por 3 45 4.- Le aumento 4 49 – 4 = 45 5.- Extraigo raíz cuadrada 72 = 49 6.- Le sumo 3 10 – 3 = 7 7.- Dividimos entre 3 5 x 2 = 10 3 = 15 2
- 6. 8.- Finalmente tenemos 5 5 Rpta. (c) ) 3) Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 8, lo divido luego por 10; al cociente lo multiplico por 3 y añado 36, entonces tendré 180 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 e) N.A. Solución: 1.- Cantidad Inicial 60 2.- ( )x8 40 3.- ( ) 48 x 10 = 480 4.- ( )x3 144 5.- ( ) + 36 180 – 36 = 144 10 8 = 60 3 = 48 6.- 180 180 4) En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero que los devotos le presentan a condición de dejar 80 monedas por cada milagro; un devoto después de 3 milagros se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía al inicio? a) 100 b) 83 c) 75 d) 70 e) 50 1er x2 140 2 = 70 milagro -80 60 + 80 = 140 2do x2 120 milagro -80 40 + 80 = 120 3er x2 80 milagro -80 0 + 80 = 80 2 = 60 2 = 40 Rpta. (d) MÉTODO DEL CANGREJO 3
- 7. Este método nos permite encontrar la solución de un problema en forma directa para lo cual se realizaran las operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el comienzo. Operaciones Directa Operaciones Inversas Adición Sustracción Sustracción Adición Multiplicación División División Multiplicación Potenciación Radicación Radicación Potenciación Ejemplo 1: A un primero se le multiplicara por 2, se le divide por 18, se eleva al cubo, se le suma 5 obteniendo 13. Hallar dicho número. Solución: Sea: X el número X: 18 X2 ÷ 18 ( )3 +5 36÷2 = 8 2 x 18 = 36 3 8 =2 13 – 5 = 8 13 Ejemplo 2: A un número lo multiplico por 6 y al resultado le añadimos 33, para luego dividirlo entre 5, da como resultado 21 ¿Cuál es el número inicial? Solución: Sea: n = el número N: 12 X6 + 33 ÷5 72÷6 = 12 105 – 33 = 72 21 x 5 = 105 21 4
- 8. 1. Piense en un número. Lo divido entre 7, lo elevo al cuadrado, le agrego 41, se le extrae la raíz cuadrada y finalmente le resto 6, dando como resultado 15. ¿Qué número pensé inicialmente? A) 150 D) 133 B) 98 C) 105 E) 140 2. A un número se le multiplica por 5, se le resta 18, se multiplica por 4, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 40 y se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 6, hallar dicho número. A) 9 D) 11 B) 10 C) 8 E) 2 3. Si a la cantidad que tiene se le multiplica por 3, luego la divides por 12, el cociente lo multiplico por 9, luego añades 43 y finalmente obtendrás 160, ¿Cuál era la cantidad inicial? A) 56 D) 52 B) 54 C) 50 E) 48 4. A la cantidad de soles que tengo le añado 10, al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 9, al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le sumo 12 para finalmente dividirlo entre 3 y obtener 7 soles. ¿Cuánto tenia inicialmente? 5
- 9. A) 10 D) 16 B) 12 C) 14 E) 18 5. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido luego por 15 al cociente lo multiplico por 4 y añado 32, entonces tendré 80. ¿Cuánto tenia inicialmente? A) 36 D) 34 B) 38 C) 40 E) 32 6. Un recipiente de agua esta lleno, al abrirse el caño a cada hora desagua la 3º parte de su contenido mas12 litros, hallar la capacidad del recipiente si al cabo de 3 horas desagua. 6
- 10. Método de la Suma y Diferencia Se tiene la suma de dos números “S” y la diferencia de los mismos “D” entonces; Nº mayor = S+D 2 1) La suma de dos números es 24 y su Nº menor S D 2 diferencia 8. Calcule el número mayor. Rpta................... 2) La suma de dos números es 27 y su diferencia 13. Calcule el número menor? Rpta.................... 3) La semidiferencia de dos números es 4 y además la suma es 32. Calcule el triple del número mayor. Rpta.................. 4) La suma de dos números es 18 y su diferencia 6. Calcule el cuádruplo del número menor. Rpta.................. 5) La semisuma de dos números es 32, además la diferencia es 12.Calcule el triple del numero menor. Rpta............... 6) ¿Cuál es el número que restado en 30 da 6? Rpta.................. 7
- 11. 7) La semi suma de dos números es 50 y su diferencia es 30. Hallar el mayor de dichos números. Rpta.................. 8) Entre dos personas tienen 284 soles. Si una de ellas diera 76 soles a la otra, las dos tendrían igual cantidad de dinero ¿Cuánto dinero tuvo cada uno inicialmente? Rpta.................. 9) Si “a” excede a 18 en 12 y “b” excede a 15 en 14 ¿Cuál es el valor de “a + b “? Rpta................. 10) La diferencia de dos números es 24. Si el menor excede a la diferencia en 38.¿Cuál es el doble del número menor? Rpta................. 11) ¿Cuál es el número que restado de 50 da el doble de 23. Rpta................. 12) La suma de dos cantidades es 600 y el menor es 200 menos que el mayor. Dichas cantidades son: Rpta................... 8