01 BLOQUE4 - TEMA 1_OPERACIONES_NUMEROS.pdf

MÓDULO 2 ACT
Bloque 4. Tema 1.
Operaciones con números. Proporcionalidad

MÓDULO 2 ACT: Bloque 4. Tema 1. Operaciones con números. Proporcionalidad
1. LOS DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS
1.1. NÚMEROS NATURALES
Son aquellos que nos permiten contar, y se representan por la letra : ℕ
ℕ = 0,1,2,3,4,5,6,7 … , 15,16, … , 66, 67,12345,
nos permiten decir: dos manzanas, cinco libros, siete cartas,…

¿Cómo se representan gráficamente?
La representación gráfica de los números naturales se hace sobre una semirrecta horizontal donde el extremo izquierdo es el 0. Desde aquí
se divide la semirrecta en partes iguales, y en cada marca vamos situando los números ordenados de menor a mayor.
¿Cómo se ordenan?

¿Cómo se comparan?
Para decir que un número es menor que otro, en matemáticas usamos el símbolo <, y para decir que un número es mayor que otro,
escribimos >
el 0 es menor que 1, el 1 es menor que 2, el 3 es menor que 4,…, el 66 es menor que 67,…
> (es mayor que): 5 > 2 (5 es mayor que 2)
< (es menor que): 4 < 9 (4 es menor que 9)
Un truco nemotécnico de estos símbolos se puede utilizar con la regla de que ‘’el grande siempre le pincha al pequeño’’.

EJERCICIO 1. (Números) Indica si son correctas o no las siguientes expresiones.
a) 34 < 43, es correcta ya que se lee como, 34 es menor que 43, y esto es cierto.
b) 70 < 58, es incorrecta ya que se lee como 70 es menor que 58, y esto no es cierto.
c) 25 + 13 < 31, es lo mismo que 38 < 31, es incorrecta ya que se lee como 38 es menor que 31, y esto no es cierto.
d) 114 + 37 > 108 + 41, es lo mismo que 151 > 149, es correcta ya que 151 es mayor que 149, y esto es cierto.
Recordad, que cuando tenemos operaciones y nos encontramos con números que no son naturales, necesitamos simplificar
primero, para luego poder comparar un número natural con otro, ya que de otro modo, se hace imposible.
Deberías de repasar como se opera con los números naturales: suma, resta, multiplicación, cociente, potencias y operaciones
combinadas. Para ello una opción es repasar los contenidos del módulo 1: Tema 1 del Bloque 1, los apartados del 1.3 al 1.7 ambos
inclusive; o consultar la siguiente página http://www.vitutor.com/di/n/numeros_naturales.html

1.2. NÚMEROS ENTEROS
Son todos los naturales y sus opuestos, además del cero, y se representan por la letra : ℤ
ℤ = 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, …..,
Como primera consecuencia de lo que hemos escrito anteriormente es que: ‘’Los números naturales son números enteros,
pero no todos los números enteros son números naturales’’.

Situamos los números enteros sobre las semirrectas: los enteros positivos a la derecha del cero, y los enteros negativos a la
izquierda del cero:
¿Qué es el valor absoluto?
El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al quitarle el signo al número inicial, luego |-7| = 7.

A la hora de ordenar los números enteros se cumplen las siguientes reglas:
• Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. Ejemplo: -3 < 8
• El cero es mayor que cualquier número entero negativo y menor que cualquier número entero positivo. Ejemplo: - 6 < 0 < 9
• Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: + 6 y + 19, |+6| = 6 y |+19| = 19
====> 6 < 19
• Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: -7 y -15, |-7| = 7 y |-15| = 15
====> como 7 < 15, se cumple que -15 < -7
Repasa las operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación, cociente, potencias y operaciones combinadas. Para ello una
opción es repasar los contenidos del módulo 1: Tema 2 del Bloque 1 apartado 2. Para practicar con números Enteros visita la siguiente
página web: https://www.vitutor.net/1/numeros_enteros.html

EJERCICIO 2. (Números) Halla el opuesto y el valor absoluto de:
a) +16, su opuesto será -16, y su valor absoluto |+16| será 16 (sin el signo, recuerda que se convierte en un número
natural.
b) -11, su opuesto será +11, y su valor absoluto |-11| será 11
c) (-11) + 7, primero hay que operarlo, dando -4, entonces, su opuesto será +4, y su valor absoluto |-4| será 4.
d) 23 – 18, primero hay que operarlo, dando +5, entonces su opuesto será -5, y su valor absoluto |+5| será 5.
EJERCICIO 3. (Números) Ordena de mayor a menor todos los números obtenidos como resultado en los cuatro apartados de la actividad 1.
Este ejercicio podemos tratarlo de dos maneras, nosotros lo haremos con la que más juego nos dé.
Primero: con los valores tal y como tenemos en la primera columna: +16, -11, -4 y +5, de modo que para ordenarlos,
seguimos las reglas de como se comparan, quedando del siguiente modo: +16 > + 5 > -4 > -11.
Segundo: ahora haremos lo mismo pero con los opuestos, de modo que tenemos -16, +11, +4 y -5, de modo que los
ordenamos de mayor a menor del siguiente modo: +11 > + 4 > -5 > -16.
Tercero: ahora lo haremos con valores absolutos, de modo que queda, 16, 11, 4 y 5, de modo que los ordenamos de mayor
a menor del siguiente modo: 16 > 11 > 5 > 4

EJERCICIO 4. (Números) Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4)
- El orden es fácil, solo tenemos que quitar primero los paréntesis, siguiente las reglas pertinentes, donde los signos
opuestos siempre van a dar negativo ( - · + = - ; + · - = -), y los signos iguales siempre darán positivos ( - · - = + ; + · + = +)
(+6) – (-2) + (-5) – (+4)
+ 6 + 2 – 5 – 4
+8 – 9
-1
Podemos ordenar los valores y agruparlos en los que son
positivos y negativos.
Realizamos la operación entre números con el mismo
signo.
Finalmente obtenemos el resultado final.
Resolvemos el paréntesis

a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4)
Ahora intentadlo vosotros, yo os doy el resultado y si tenéis dudas, preguntáis en clase y lo resolvemos entre todos.
a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4) = -1
b) (-5) – (-5) – (+7) + (-6) = -13
c) (-1) – (-10) + (+5) – (+7) = +7
d) 14 - (12 + 2) = 0
e) 17 - (-9 - 14) = - 6
f) -14 + (6 - 13) = - 21
g) 2 + (7 – 3) – (8 – 4) = 2
h) -1 – (2 – 5) + (7 – 4) = 5
Cuidado al intentar resolver esto con la calculadora porque os pueden dar otros resultados
totalmente distintos, ya que ciertas operaciones no siguen las reglas actuales en según que
calculadora y puede haber confusión.
Si hay paréntesis con más de un número entero (operación) como ocurre con el
apartado d, e, f, g y h, primero hay que simplificar esos números enteros, en uno solo,
y luego eliminando el paréntesis, para finalmente poder resolver las operaciones
restantes.

CONSEJOS O TRUCOS
• Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.
• Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y se pone el signo del que tiene mayor
valor absoluto.
• Si lo que tenemos es una suma de varios números enteros de distinto signo, lo que haremos será:
• Se suman separadamente los números positivos, por un lado y los negativos por el otro.
• Se suman el número positivo y el número negativo obtenido.
• Date cuenta que el signo (-) puede tener dos significados:
• Puede indicar que un número es negativo (signo de número). Ejemplo: - 8.
• Puede indicar una resta (signo de operación).Así, en 14 – (- 6) el primer signo menos, el que está antes del
paréntesis –, es de operación (resta), mientras que el segundo -, es de número.

a) 12 − {7 + 4 · 2 − [(−2)2
· 2 − 6]}+ (22
+ 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 22
: 2) =
b) 6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)·2]·5} − [4 − (−2)³] + 6 =
Jerarquía de operaciones:
Cuando hay que realizar varias operaciones con números, se debe seguir el siguiente orden:
1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves, del más interno al más externo.
2º Calcular las potencias y raíces.
3º Efectuar los productos y cocientes de izquierda a derecha.
4º Realizar las sumas y restas.

Son aquellos que podemos escribirlos como cociente de dos enteros con tal de que el denominador sea diferente de cero. Los quebrados o
fracciones. Se representan con la letra:
1.3. NÚMEROS RACIONALES
Se les llama racionales porque hacemos referencia a ración, porción, parte, trozo. Así, queremos decir que
de 10 raciones, trozos, partes, nos llevamos 5. Nada tiene que ver con la razón humana.
ℚ
Los números racionales nacen de la necesidad de dividir.
−5
4
,
−7
2
,
3
5
,
8
−3
,
𝑎
𝑏
De esta forma, un número racional es una fracción donde:
• a y b son números enteros
• b no puede ser 0.

El inverso de un número es aquel que al multiplicarlo por el número da como resultado 1, es decir, dado un número racional:
El inverso
𝑎
𝑏
, 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑒𝑠
𝑏
𝑎
, 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
=
𝑎 · 𝑏
𝑏 · 𝑎
= 1
Queremos representar el número racional
3
2
:
1.- Dibujamos la recta numérica
0
-1
-2
-3
-4 +1 +2 +3 +4

El inverso
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
=
𝑎 · 𝑏
𝑏 · 𝑎
= 1
3
2
:
2.- Dividimos cada segmento unidad en "b" partes iguales, en nuestro caso b=2. (Un segmento unidad
es el trozo de recta que hay comprendido entre dos números consecutivos de la recta numérica).
0
-1
-2
-3
-4 +1 +2 +3 +4

El inverso
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
=
𝑎 · 𝑏
𝑏 · 𝑎
= 1
3
2
:
3.- Contamos "a" partes, de entre las que hemos subdividido la recta, desde el 0 y en el sentido de su
signo, en nuestro caso a = 3, y como es positivo, contamos desde el 0 hacia la derecha. Luego:
0
-1
-2
-3
-4 +1 +2 +3 +4

A la hora de saber cuando un número racional es mayor o menor que otro podemos utilizar métodos sencillos, como
por ejemplo hacer la división y comparar los números decimales que se obtienen o representar ambos números en la
recta numérica de modo que el que esté más a la izquierda es el menor.
Para repasar las operaciones con números racionales, lo puedes encontrar en el contenido del módulo 1 (Tema 3 del Bloque 2). He
aquí algunos enlaces interesantes: http://www.vitutor.com/di/r/a_10.html y http://www.vitutor.com/di/r/fra.html éstos te servirá para
repasar operaciones con fracciones y números racionales: sumas, restas, multiplicación, división, potencias y operaciones combinadas.
¿Qué es el m.c.m. y porque lo necesitamos en este tipo de números?
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.

EJERCICIO 6. (Números) Ordena de mayor a menor los siguientes pares de números racionales.
EJERCICIO 7. (Números) Escribe la fracción inversa de:
EJERCICIO 8. (Números) Efectúa las siguientes operaciones con números racionales.
EJERCICIO 9. (Números) Efectúa las siguientes operaciones con números racionales.
RECUERDA simplificar o reducir siempre que se pueda.

1.4. NÚMEROS IRRACIONALES
Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas, y no se representan por letra alguna.
Para saber si un número irracional es mayor o menor que otro se hace de forma aproximada, se calcula el número en la calculadora, se
representa aproximadamente en la recta numérica y el que se quede más a la izquierda es el menor.

RESUMEN

EJERCICIOS
EJERCICIO 10. (Números) Realiza las siguientes operaciones:
EJERCICIO 13. (Números) Representa en la recta real los siguientes números:
EJERCICIO 14. (Números) Ordena de mayor a menor los siguientes números irracionales:

2. POTENCIAS
2.1. DEFINICIÓN DE POTENCIA DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL.
En ocasiones ocurre que nos encontramos con multiplicaciones donde los factores (los números que se multiplican) son todos iguales. Al
matemático René Descartes se le ocurrió representar esas multiplicaciones de la forma que vamos a ver a continuación y que se conoce
como simbología o expresión potencial.
Si generalizamos el ejemplo anterior diremos:
Siendo “a” y “n” dos números tal que a ∈ Z ; n ∈ N ≠ 0.
Denominamos potencia de base “a” y exponente “n“, al producto de “n“ factores iguales todos al número “a”.
Se simboliza por dos números, la base y el exponente: 𝒂𝒏 = 𝒂 · 𝒂 · 𝒂 … .· 𝒂 · 𝒂 · 𝒂
n

2. POTENCIAS
¿Qué significa que a ∈ Z? Pues que “a” podrá ser un número positivo o negativo. Y, ¿qué significa que n ∈ N? Pues que “n“ será un
número siempre positivo por pertenecer al conjunto de los números Naturales.
Para nombrar o leer una potencia nombramos primeramente el número de la base, después nombramos el número referente al exponente.
El exponente puede nombrase con el nombre ordinal del número (se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia") o con el nombre
del cardinal (elevado a cuatro, elevado a cinco, a seis…..).
(Reminiscencias históricas del cálculo del área del cuadrado o del volumen del cubo, hacen que cuando x está elevado a dos, digamos que
está elevado al cuadrado o que cuando está elevada a 3 digamos que está al cubo).

2. POTENCIAS
EJERCICIO 1. (Potencias) Escribe en forma de producto y calcula las siguientes potencias:

2. POTENCIAS
2.2. SIGNO DE LA POTENCIA
Como estamos operando con números enteros, esto significa que el número de la base puede ser positivo o negativo.
EJERCICIO 2. (Potencias) Rellena la siguiente tabla:

2. POTENCIAS
2.2. SIGNO DE LA POTENCIA
EJERCICIO 3. (Potencias) ¿Por qué hemos dicho que -22
vale - 4, si la base es positiva y el exponente par?
EJERCICIO 4. (Potencias) Resuelve:
EJERCICIO 5. (Potencias) Escribe en forma de producto y calcula:

2. POTENCIAS
2.3. DEFINICIÓN DE POTENCIA DE BASE FRACCIONARIA Y EXPONENTE NATURAL.
Cuando nos encontramos multiplicaciones repetidas de números fraccionarios, podemos utilizar la simbología de las potencias para expresar
dicha multiplicación.
3
Denominamos potencia de base fraccionaria y exponente “n“, al producto de “n“ factores iguales todos a la base a/b
Si recordamos como se multiplican las fracciones, (multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores de igual forma) la expresión
anterior también podríamos ponerla como:
Por tanto:

2. POTENCIAS
EJERCICIO 6. (Potencias) Expresa una potencia fraccionaria como cociente de potencias enteras:
2.3. DEFINICIÓN DE POTENCIA DE BASE FRACCIONARIA Y EXPONENTE NATURAL.
EJERCICIO 7. (Potencias) Expresa un cociente de potencias enteras como potencia fraccionaria:

2. POTENCIAS
2.4. OPERACIONES CON POTENCIAS
a) Producto de potencias de la misma base.
EJERCICIO 8. (Potencias) Escribe como producto de potencias:
EJERCICIO 9. (Potencias) Escribe en forma de una sola potencia:

2. POTENCIAS
a) Producto de potencias de la misma base.

2. POTENCIAS
b) Potencia de potencia.

2. POTENCIAS
c) Potencia de un producto
EJERCICIO 12. (Potencias) Expresa en forma de producto de potencias las siguientes expresiones:

2. POTENCIAS
d) Potencia de un cociente
EJERCICIO 10. (Números) Realiza las siguientes operaciones:

2. POTENCIAS
d) Potencia de un cociente
EJERCICIO 11. (Números) Simplifica las siguientes expresiones:

2. POTENCIAS
e) Cociente de potencias de la misma base.
EJERCICIO 13. (Potencias) Simplifica las siguientes expresiones:

2. POTENCIAS
f) Producto y Cociente de distinta base.
EJERCICIO 14. (Potencias) ¿Son potencias de la misma base (−3)3
y (3)2
?
Cuando nos encontramos potencias de distinta base, no podremos agruparlas y procederemos resolviendo cada potencia por separado
operando convenientemente.

2. POTENCIAS
2.5. POTENCIAS CON EXPONENTE CERO
Partamos del siguiente ejemplo que representa a una fracción donde el numerador es igual al denominador: 125/125
Si factorizamos 125 diríamos que 125=5.5.5= 53
Cualquier potencia elevada al exponente cero será igual a 1.

2. POTENCIAS
2.6. POTENCIAS CON EXPONENTE NEGATIVO
Para entender qué ocurre cuando estamos con una potencia de exponente negativo debemos recordar los números fraccionarios, en
particular, el concepto de inverso de un número.
Si el número a decimos que es inverso del número b, deberá suceder que a . b = 1 Supongamos que a fuese el número 7. ¿Cuál será su
número inverso?
𝑎 · 𝑏 = 1 → 7 · 𝑏 = 1 → 𝒃 =
𝟏
𝟕
Pero sabemos del epígrafe anterior que el número 1 podemos ponerlo como una potencia de exponente cero, por ejemplo 70
. Luego
podríamos decir que:
𝒃 =
𝟏
𝟕
=
𝟕𝟎
𝟕
Si recordamos los cocientes de potencias de la misma base 𝒃 =
𝟏
𝟕
=
𝟕𝟎
𝟕
= 𝟕𝟎−𝟏 = 𝟕−𝟏
Y generalizando para cualquier base podríamos sacar la siguiente conclusión:
Cualquier base, elevada a una potencia de exponente negativo, será igual a la unidad dividida por la misma potencia pero expresada con
exponente positivo y representa la inversa de un número.
𝒂−𝒏
= 𝒂𝟎−𝒏
=
𝒂𝟎
𝒂𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏 → 𝒂−𝒏
= 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒏

2. POTENCIAS
2.6. POTENCIAS CON EXPONENTE NEGATIVO
Por tanto el signo del exponente de una potencia, no hace al número ni positivo ni negativo.
Si tenemos una potencia de base fraccionaria elevada a un exponente entero negativo, si invertimos la fracción el exponente cambiará
de signo.
Las dos fracciones anteriores no son inversas, son equivalentes.
EJERCICIO 15. (Potencias) Expresa las potencias dadas con exponente positivo.

2. POTENCIAS
2.7. POTENCIAS DE BASE DIEZ
Si recordáis nuestro sistema de numeración se denomina decimal pues está basado en las potencias del número diez.
La utilización de las potencias de diez es muy empleada cuando tenemos que hablar de números muy grandes o muy pequeños.
Esto lo usaremos para lo que conocemos como Notación
científica, más adelante.

2. POTENCIAS
Equivalencia Prefijo Símbolo
Unidades
Equivalentes
1012 T Billón
106 M Millón
103 kilo k Mil/Millar
102 hecto h Cien/Centena
101 deca da Diez/Decena
100 Uno/Unidad
10−1 deci d Décimo
10−2 centi c Centésimo
10−3 mili m Milésimo

2. POTENCIAS
EJERCICIO 16. (Potencias) Expresa la resolución del microscopio fotónico y electrónico en potencias de base diez de la unidad patrón de
medida de longitudes (metro).

2. POTENCIAS
2.8. ACTIVIDADES SOBRE POTENCIAS

2. POTENCIAS
2.8. ACTIVIDADES SOBRE POTENCIAS
EJERCICIO 20. (Potencias) Escribe como producto de potencias:
En los siguientes enlaces puedes profundizar y practicar ejercicios de potencias:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Potencias_y_raices/index.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/index.htm

3. PROPORCIONALIDAD: RATIOS, PORCENTAJES Y DESCUENTOS
Si acudimos al diccionario se define Ratio como una voz femenina que significa Relación cuantificada entre dos magnitudes que refleja su
proporción, es decir, la Razón de dos magnitudes relacionadas.
Supongamos que tenemos un bote de pintura, y denominamos “a” a la cantidad de colorante que contiene y por “b” la cantidad de pintura
total.
Podríamos entonces decir que la ratio (proporción) colorante, pintura para sacar nuestro color favorito será: Ratio (color/pintura)=a/b
Pero podría interesarnos saber cuántas partes de colorante debemos echar por una parte de pintura.
A la expresión obtenida le vamos a llamar: tanto por uno (tantas parte de colorante por una de pintura). Lo expresamos con el símbolo 1/1.
Pero si ahora tuviésemos un bote con 100 partes de pintura la porción de colorante sería:
Es decir, multiplicaríamos el tanto por
uno correspondiente (a/b) por 100.

Es frecuente el uso en el entorno cotidiano de proporciones expresadas como porcentajes, que reciben nombres particulares según el
contexto, pero cuyo fundamento matemático, su operatividad es la misma.
Cuando nos piden el porcentaje de cierta cantidad, nos están pidiendo que determinemos la cuarta proporcional de la igualdad entre dos
razones.
3.1. PORCENTAJES Y DESCUENTOS
Descuento

3.2. INTERÉS BANCARIO
En los siguientes enlaces puedes profundizar y practicar ejercicios de Ratios, porcentajes y descuentos:

AUTOEVALUACIÓN

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