1. funciones
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Este documento describe las funciones y las relaciones. Define una función como una relación especial donde cada elemento del primer conjunto se corresponde con exactamente un elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de las correspondencias entre los conjuntos. También clasifica las funciones como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
![Función Inyectiva
Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las
siguientes condiciones
A x1, x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)]
B x1, x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2]
Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de
los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el
conjunto de lugares en el estacionamiento.
A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento](https://image.slidesharecdn.com/1-funciones-120902183350-phpapp01/85/1-funciones-21-320.jpg)
1. funciones
- 1. Funciones 1 Definición 2 Clasificación 3 Características
- 3. Relación Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares ordenados La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5 Relación Cosas que se relacionan 1 Es un múltiplo de … Número enteros 2 No es igual a … Números 3 Da más leche que … Vacas 4 Es congruente con … Triángulos
- 4. Relación 1 Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto de números 2 El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuenta La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa
- 5. Ejemplo Sean los conjuntos L; formado por las vocales latinas, y G; formado por las vocales griegas L a, e, i, o, u G , , ,, , , Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas con las vocales griegas (transliteración), R: LG. R (a, ),(e, ),(e, ),(i, ),(o, ),(o, ),(u , ) Representación con pares ordenados
- 6. Ejemplo a e L i G o u Representación gráfica
- 7. Ejemplo Representación gráfica
- 8. Funciones Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P Pedro El diagrama establece Enrique que Arturo y Aurora son Arturo hijos de Rogelio, que Rogelio Pedro es hijo de Enrique, H Aurora G Mario Norma es hija de Mario y Norma Fátima es hija de Víctor. Víctor Fátima
- 9. Funciones ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? ¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona tenga dos padres Pedro Si una relación excluye Enrique Arturo este tipo de Rogelio correspondencias entre H Aurora G los elementos de los Mario conjuntos que la definen, Norma hablamos de una Víctor FUNCIÓN Fátima
- 10. Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
- 11. ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
- 12. ¿Qué es una función? Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Estos dos conjuntos son el dominio, que también se conoce como X, y el alcance, conocido como Y. Es un caso especial de una relación.
- 13. Funciones Una función se define formalmente de la siguiente manera: Sea f: A B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada x A hay un solo y B tal que x f y, que se denota como y=f(x). i Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A ii Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO iii A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la función iv A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
- 14. Funciones Las funciones se clasifican: 1 Por la relación entre el Dominio y el Contradominio Inyectivas Suprayectivas Biyectivas 2 Por su regla de correspondencia Algebraicas Trascendentes 3 Por su simetría Pares Impares
- 15. Clasificación de las funciones Función Lineal f x mx b Función Cuadráticas f x ax2 bx c Función Cúbica f x ax3 Función Potencia f x xc Función Raíz f x x donde x 0 1 x 0 Función Reciproca f x donde x
- 16. Función Valor Absoluto f x x x si x 0 donde x 0 si x 0 x si x 0 p x an x n an 1 x n 1 a1 x a0 Funciones Racionales f x q x bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 Funciones Irracionales f x mx b
- 17. Función Exponenciales f x bx Función Logarítmicas f x l o gb x f x Sen x Funciones Trigonométricas f x Cos x f x Tang x
- 18. Funciones Hiperbólicas ex e x f x Senh x 2 ex e x f x Cosh x 2 ex e x f x Tangh x ex e x
- 19. Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano
- 20. Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
- 21. Función Inyectiva Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones A x1, x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)] B x1, x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2] Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento. A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
- 22. Función Inyectiva Ejemplo En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de ¿Esta estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento relación es del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo una función? Lugar 1 Carro 1 Lugar 2
- 23. Función Inyectiva Ejemplo ¿Esta Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros función es diferentes, el lugar de estacionamiento que les inyectiva? corresponde es diferente. Carro 2 Lugar 2 Carro 3 En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones
- 24. Función Suprayectiva Si f: A B es una función, es sobreyectiva si se cumple que: A Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio) y B existe x A tal que y=f(x) Sea la función definida del conjunto de carros hacia el Carro 1 Lugar 1 conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 2 Todos los elementos del contradominio SON imágenes de algún o algunos elementos del Carro 4 Lugar 3 dominio. Carro 5 Lugar 4 ¡Esta función NO es inyectiva! Carro 6 Lugar 5
- 25. Función Suprayectiva Carro 1 Lugar 1 ¿La función del ejemplo Carro 2 Lugar 2 anterior es suprayectiva? Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
- 26. Función Biyectiva Si f: A B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva, es decir, Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos A diferentes elementos del dominio Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al B menos un elemento del dominio Sea la función definida del conjunto de carros hacia Carro 1 Lugar 1 el conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Lugar 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Todos los elementos del contradominio SON imágenes de solo un elemento del dominio. La función es inyectiva y suprayectiva al Carro 5 Lugar 5 mismo tiempo. Carro 6 Lugar 6
- 27. Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de Funciones Algebraicas operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y Ejemplos potencia. Funciones Racionales Función cuadrática A f ( x) x 2 3x 2 Función lineal B f ( x) ax b Función Polinomial (entera) de grado “n” C P ( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 P( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 D r ( x) Q( x ) bm x m bm 1 x m 1 ... b2 x 2 b1 x b0 Función Racional No entera
- 28. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, Ejemplos multiplicación, división, radicación y Funciones Irracionales potencia. A f ( x) x2 b B f ( x) x x2 1 x 1 x C f ( x) D r ( x) x 2 x2 4 Las funciones E x 1 irracionales incluyen f ( x) x 2 radicales en la regla de correspondencia
- 29. Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre Funciones trascendentes de funciones trascendentes o trascendentales Ejemplos A Función Exponencial B Función logaritmo f ( x) ax , a 0 f ( x) log a x, a 0 C Funciones Trigonométricas (circulares) f ( x) sin( x), f ( x) cos( x), f ( x) tan( x) f ( x) cot( x), f ( x) sec( x), f ( x) csc( x) D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas
- 30. Función Par Una función es par cuando se cumple que: f(x)=f(-x) Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y Función Impar Una función es impar cuando se cumple que: f(-x)=-f(x) Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
- 31. Operaciones con Funciones Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la: 1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2 Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x) 3 Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x) 4 División: (f/g)(x) = f(x) / g(x) 5 Composición: (fg)(x) = f(g(x))
- 32. Función Lineal La función lineal tiene la forma siguiente: F(x)= mx+b Ó = mx+b El dominio es donde X puede obtener cualquier valor. En esta ecuación M respresenta la pendiente de la recta y B representa el intercepto en el eje de Y (eje vertical).
- 33. Función Lineal: f(x)= 2x+5 Tiene una pendiente (m=2.) Intercepto en Y es (0,5). Intercepto en X es (-5/2). La pendiente es positiva, por lo tanto la línea es de forma creciente. El domino y el alcance son los números reales. No tiene asíntotas.
- 34. Ejemplos La gráfica de F(x)=mx+b tiene una forma como esta
- 35. Trace la gràfica F(x)=2x+5 Para trazar esta gráfica necesitamos hacer una tabla de valores y luego sustituir esos valores en la función. F(-1) = 2(-1)+5 F(1) = 2(1)+5 F(-1) = -2+5 F(1) = 2+5 F(-1) = 3 F(1) = 7 F(0) = 2(0)+5 F(2) = 2(2)+5 F(0) = 0 + 5 F(2) = 4+5 F(0) = 5 F(2) = 9
- 36. Trace la gràfica F(x)=2x+5
- 37. Características F(X)=2x+5 El dominio son todos los números reales. La gráfica es una recta, con una pendiente de 2. Lo cual nos dice que a medida que se mueve uno hacia la derecha en el eje de X, se mueve dos hacia arriba en el eje de Y. No hay asíntotas. Intercepto en el eje de X: (-5/2,0). Intercepto en el eje de Y: (0,5).
- 39. Función Racional Una función racional es la razon entre dos polinomios y se expresa de la forma: x) P( f ( x) = Q(x) Donde la P(X) y Q(X) son funciones polinómicas y Q(X), el denominador, NO puede ser cero. El dominio de una función racional NO son todos los números reales, ya que el denominador nos plantea un valor que no puede ser incluido en el dominio.
- 40. Ejemplos x -4 2 3x - 1 g(x) = 2 f (x) = 2 x - 5x + 6 x -9 (x - 2)(x + 2) x +1 g(x) = f (x) = 2 (x - 3)(x - 2) 2x +5x - 3
- 41. Función racional: 1 2x + 5 1. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendiente. 2. Intercepto en Y es (0,1/5). 3. No tiene intercepto en X. 4. Su dominio son todos los números reales, excepto -5/2. (X⎮X≠-5/2) 5. Tiene asíntotas: líneas por donde la función no puede pasar. 6. Asíntota vertical es x=-5/2. 7. Asíntota horizontal es y=0.
- 42. : 1 Trace la gràfica 2x + 5 5 1. El dominio es:{x / x ¹ - } 2 1 1 2. Intercepto de y es el par: (0,1/5), ya que: = f (0) = 2(0)+ 5 5 1 3. Intercepto en X: 0= 2x + 5 0=(2x+5) 1 (2x+5) 2x + 5 0=1, No hay intercepto en X.
- 43. 1 Trace la gràfica 2x + 5 4. Asíntotas: a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es menor que el grado del denominador que es 1. Satisface una de las tres reglas: Si n < p, entonces la gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y=0. b) Vertical: x= -5/2, la asíntota vertical es la restricción del dominio. c) Oblicua: No hay asíntota oblicua, ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador.
- 44. : 1 Trace la gràfica 2x + 5 Se hizo una tabla de valores para colocar puntos adicionales en la gráfica.
- 45. 1 : 2x + 5 Trace la gràfica