1. integración por sustitución
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Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
1. integración por sustitución
- 1. La primera universidad tecnológica del Perú FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA ANÁLISIS MATEMÁTICO II 6 f x ntegrales 0 1 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Profesor: Freddy Acosta 2013 - I 1
- 2. INTEGRALES INDEFINIDAS Formulas Fundamentales de Integración 2
- 3. CAMBIO DE VARIABLES. Pasos para integrar por sustitución 1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos ' u f ( x) ; du f ( x ) dx 2. Se despeja u y dx sustituyendo en la integral f ( x ) dx u du 3. Si la integral resulta más sencilla, procedemos a integrar, para luego volver a la variable inicial. u du F (u ) C f ( x ) dx F ( x) C ¿Cuándo es aconsejable utilizar este método? a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo que una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra. Ejemplo: sen( x 2 4) ( x 2 ) dx . Hacemos el cambio x2+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces 2 1 2 1 1 sen ( x 4) ( x 2 ) dx sen ( x 4) 2( x 2 ) dx sent dt ( cos t ) K 2 2 2 1 2 cos( x 4 x) K 2 b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata. 1 Ejemplo: 2 dx 4x 9 1 Esta integral guarda cierto parecido con 2 dx que es inmediata. x 1 Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda: 1 1 9 1 1 2 dx dx dx (*) 4x 9 4 2 9 4 2 x 1 x 1 9 9 2 2 3 Ahora hacemos el cambio de variable x t dx dt dx dt , con lo que 3 3 2 3
- 4. 3 1 2 1 3 1 3 1 1 1 2x (*) 2 dt 2 dt 2 dt arc tan t K arc tan K 9 t 1 9 2 t 1 18 t 1 6 6 3 c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformación previa para después aplicar un cambio de variable. 1 x Ejemplo: dx . 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x dx dx dx dx dx arc senx (*) 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2=t, con lo que –2xdx=dt y entonces 1 2x 1 dt dt 2 (*) dx t K 1 x K. 2 1 x 2 2 t 2 t 1 x 2 Por lo tanto, dx arc sen x 1 x K. 1 x Ejercicios: Resolver las siguientes integrales x 3 1. 3 x 1 2 x 2 dx 2. 1 dx 3. 3 1 x 2 x dx 2 x 6x 3 2 4 x 5x 4. x 4 x dx 5. e dx 6. e dx 2 x senx 5x 5x 7. xe dx 8. e cos xdx 9. e a dx dx dx dx 10. 11. 2 12. 2 2 25 x 4x 36 9x 1 x 3 e cos β 5x 13. 2x dx 14. 2 dβ 15. dx 1 e 4 sen β 1 x 4 dx dx 3 dx 16. 2 17. 2 18. 2 x 4x 3 x 2x 10 x 8x 25 dx dx dx 19. 2 20. 21. 2 2 x 2x 2x x 4x x 3x 2x 2x 1 5 e 22. e cos 3 e dx 23. cos 2 ln x dx 24. 6x 3x dx x 3 e 4e 3 x 4 2 25. 2 4 dx 26. x x 6x 34 dx 27 sen 2 θ cos 2 2 θ 3 dx 24 2x x 4