S5 Operaciones con funciones

Operaciones con
funciones
BLOQUE 1
MTRA. NORMA TOLEDO GARCIA

Si 𝑓 𝑥 y 𝑔(𝑥) son funciones, se define:
Suma de funciones:
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
Multiplicación de funciones:
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)
Resta de funciones:
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
Cociente de funciones:
(
𝑓
𝑔
) 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) ≠ 0
Composición de funciones:
𝑓(𝑔 ) 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥)

Suma de funciones 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
La suma es: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 + 2𝑥 + 3
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

Resta de funciones 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
La resta es: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 − 2𝑥 + 3
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5

Multiplicación de funciones 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)
Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
La multiplicación es: 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 ∙ 2𝑥 + 3
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 6𝑥3 + 9𝑥2 − 4𝑥 − 6

División de funciones 𝑓/𝑔 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
La división es: 𝑓/𝑔 𝑥 =
3𝑥2−2
2𝑥+3
𝑓/𝑔 𝑥 =
3𝑥2−2
2𝑥+3
𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 − {−
𝟑
𝟐
} 𝐼𝑚 = 𝑹

Composición de funciones 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
La división es: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 + 3
= 3(2𝑥 + 3)2−2
= 3 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 − 2
= (12𝑥2
+ 36𝑥 + 27) − 2
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 12𝑥2 + 36𝑥 + 25 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

Ejercicios:
Realiza las operaciones:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥),
𝑓
𝑔
𝑥 , 𝑓𝑜𝑔 𝑥 y (𝑔𝑜𝑓)(x)
Considera las funciones:
1. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2
2. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥
3. 𝑓 𝑥 =
3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
4. 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥+3
; 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥

Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 2
Suma :
𝑓 + 𝑔 𝑥 =
1
𝑥−1
+ (2𝑥2 − 3𝑥 + 2)
=
1+(𝑥−1)(2𝑥2−3𝑥+2)
𝑥−1
=
1+(2𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2𝑥2+3𝑥−2)
𝑥−1
𝑓 + 𝑔 𝑥 =
2𝑥3−5𝑥2+5𝑥−1
𝑥−1

1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 2
Resta :
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
1
𝑥−1
− (2𝑥2 − 3𝑥 + 2)
=
1−(𝑥−1)(2𝑥2−3𝑥+2)
𝑥−1
=
1−(2𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2𝑥2+3𝑥−2)
𝑥−1
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
−2𝑥3+5𝑥2−5𝑥+3
𝑥−1

1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 2
Multiplicación :
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 =
1
𝑥−1
∙ (2𝑥2 − 3𝑥 + 2)
=
2𝑥2−3𝑥+2
𝑥−1
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 =
2𝑥2−3𝑥+2
𝑥−1

1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 2
División :
𝑓/𝑔 𝑥 =
1
𝑥−1
2𝑥2−3𝑥+2
=
1
(𝑥−1)(2𝑥2−3𝑥+2)
𝑓/𝑔 𝑥 =
1
2𝑥2−5𝑥2+5𝑥−2

1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 2
Composición:
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓(2𝑥2 − 3𝑥 + 2)
𝑓(2𝑥2 − 3𝑥 + 2) =
1
2𝑥2−3𝑥+2 −1
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
1
2𝑥2−3𝑥+2 −1
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
1
2𝑥2−3𝑥+1
Composición :
𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔(
1
𝑥−1
)
𝑔
1
𝑥−1
= 2
1
𝑥−1
2
− 3
1
𝑥−1
+ 2
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
2
𝑥 − 1 2
−
3
𝑥 − 1
+ 2
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
2𝑥2−7𝑥+7
𝑥−1 2

3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
Suma :
𝑓 + 𝑔 𝑥 =
3𝑥2
𝑥−3
+
𝑥+3
𝑥2+4
=
𝑥2+4 3𝑥2 +( 𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥−3)(𝑥2+4)
=
(3𝑥3+12𝑥2)+(𝑥2−9)
(𝑥−3)(𝑥2+4)
=
3𝑥3+12𝑥2+𝑥2−9
(𝑥−3)(𝑥2+4)
𝑓 + 𝑔 𝑥 =
3𝑥3+13𝑥2−9
𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12

3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
Resta :
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
3𝑥2
𝑥−3
−
𝑥+3
𝑥2+4
=
𝑥2+4 3𝑥2 −( 𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥−3)(𝑥2+4)
=
3𝑥3+12𝑥2 −(𝑥2−9)
(𝑥−3)(𝑥2+4)
=
3𝑥3+12𝑥2−𝑥2+9
(𝑥−3)(𝑥2+4)
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
3𝑥3+11𝑥2+9
𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12

3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
Multiplicación :
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = (
3𝑥2
𝑥−3
) ∙ (
𝑥+3
𝑥2+4
)
=
3𝑥2 (𝑥+3)
(𝑥−3)(𝑥2+4)
=
3𝑥3+9𝑥2
(𝑥−3)(𝑥2+4)
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 =
3𝑥3+9𝑥2
𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12

3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
División :
𝑓/𝑔 𝑥 =
3𝑥2
𝑥−3
𝑥+3
𝑥2+4
=
3𝑥2 (𝑥2+4)
(𝑥−3)(𝑥+3)
=
3𝑥4+12𝑥2
(𝑥2−9)
𝑓/𝑔 𝑥 =
3𝑥4+9𝑥2
𝑥2−9

3𝑥2
𝑥−3
; 𝑔 𝑥 =
𝑥+3
𝑥2+4
Composición:
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓
𝑥+3
𝑥2+4
=
3
𝑥+3
𝑥2+4
2
𝑥+3
𝑥2+4
−3
=
3(𝑥+3)2
(𝑥2+4)2
(𝑥+3)−3(𝑥2+4)
𝑥2+4
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
(𝑥2
+4)( 3)(𝑥 + 3)2
(𝑥2 + 4)3
=
(3𝑥4+18𝑥3+39𝑥2+72𝑥+108
(𝑥2+4)3
Composición :
𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔(
3𝑥2
𝑥−3
)
𝑔
3𝑥2
𝑥−3
=
3𝑥2
𝑥−3
+3
3𝑥2
𝑥−3
2 +4
=
3𝑥2+3 𝑥−3
𝑥−3
9𝑥4+4(𝑥−3)2
(𝑥−3)2
𝑓𝑜𝑔 𝑥 =
2
𝑥−1 2 −
3
𝑥−1
+ 2

Realiza las operaciones con las siguientes funciones :
1. Suma y Resta: 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥+3
; 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥
2. Composición de gof: 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥
3. Multiplicación: 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2
4. Division 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 9 y 𝑥2 − 7𝑥 + 12

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