Operaciones con funciones , ejemplos, ejercicios resueltos
- 2. Si 𝑓 𝑥 y 𝑔(𝑥) son funciones, se define: Suma de funciones: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) Multiplicación de funciones: 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) Resta de funciones: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 Cociente de funciones: 𝑓 𝑔 ( ) 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 ) 𝑔(𝑥) ≠ 0 Composición de funciones: 𝑓(𝑔 ) 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥)
- 3. Suma de funciones 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La suma es: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 + 2𝑥 + 3 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹
- 4. Resta de funciones 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La resta es: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 − 2𝑥 + 3 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹
- 5. Multiplicación de funciones 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La multiplicación es: 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 − 2 ∙ 2𝑥 + 3 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 6𝑥3 + 9𝑥2 − 4𝑥 − 6 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹
- 6. División de funciones 𝑓/𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥 ) 𝑔(𝑥 ) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La división es: 𝑓/𝑔 𝑥 = 3𝑥2−2 2𝑥+3 𝑓/𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 −2 2𝑥+3 𝟑 𝟐 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 − {− } 𝐼𝑚 = 𝑹
- 7. Composición de funciones 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La división es: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 + 3 = 3(2𝑥 + 3)2−2 = 3 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 − 2 = (12𝑥2 + 36𝑥 + 27) − 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 12𝑥2 + 36𝑥 + 25 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹
- 8. Ejercicios: Realiza las operaciones: 𝑓 𝑔 (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥), 𝑥 , 𝑓𝑜𝑔 𝑥 y (𝑔𝑜𝑓)(x) Considera las funciones: 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 1. 𝑓 𝑥 = 2. 𝑓 𝑥 3. 𝑓 𝑥 2 = 3𝑥 ; 𝑔 𝑥 = = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥+3 𝑥−3 𝑥3 𝑥2+4 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 +3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥
- 10. Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 Suma : 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 −1 + (2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 2 = 1+(𝑥−1)(2𝑥 −3𝑥+2) 𝑥−1 1+(2𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2𝑥2+3𝑥−2) = 𝑥−1 𝑓 + 𝑔 𝑥 3 2 = 2𝑥 −5𝑥 +5𝑥−1 𝑥−1
- 11. Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 Resta : 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 1 𝑥−1 − (2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 2 = 1−(𝑥−1)(2𝑥 −3𝑥+2) 𝑥−1 1−(2𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2𝑥2+3𝑥−2) = 𝑥−1 𝑓 − 𝑔 𝑥 3 2 = −2𝑥 +5𝑥 −5𝑥+3 𝑥−1
- 12. Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 Multiplicación : 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 1 𝑥−1 ∙ (2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 2 = 2𝑥 −3𝑥+2 𝑥−1 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 2 = 2𝑥 −3𝑥+2 𝑥−1
- 13. Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 División : 𝑓/𝑔 𝑥 1 = 𝑥−1 2𝑥2−3𝑥+2 = 1 (𝑥−1)(2𝑥2−3𝑥+2) 𝑓/𝑔 𝑥 = 1 2𝑥2−5𝑥2+5𝑥−2
- 14. Ejercicio 1: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 Composición: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓(2𝑥2 − 3𝑥 + 2) 𝑓(2𝑥2 − 3𝑥 + 2) = 1 2𝑥2−3𝑥+2 −1 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 1 2𝑥2−3𝑥+2 −1 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 1 2𝑥2−3𝑥+1 Composición : 𝑔𝑜𝑓 𝑥 𝑥−1 1 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔( ) 𝑔 1 𝑥−1 = 2 1 𝑥−1 2 − 3 1 𝑥−1 + 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 2 𝑥 − 1 2 − 3 𝑥 − 1 + 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 2 = 2𝑥 −7𝑥+7 𝑥−1 2
- 15. Ejercicio 2: 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2+4 Suma : 𝑓 + 𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 + 𝑥+3 𝑥−3 = 𝑥2+4 𝑥2+4 3𝑥2 +( 𝑥−3)(𝑥+3) (𝑥−3)(𝑥2+4) 3 2 2 = (3𝑥 +12𝑥 )+(𝑥 −9) (𝑥−3)(𝑥2+4) = 3𝑥3+12𝑥2+𝑥2−9 (𝑥−3)(𝑥2+4) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥3+13𝑥2−9 𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12
- 16. Ejercicio 2: 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2+4 Resta : 𝑓 − 𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 − 𝑥+3 𝑥−3 = 𝑥2+4 𝑥2+4 3𝑥2 −( 𝑥−3)(𝑥+3) (𝑥−3)(𝑥2+4) = 3𝑥3+12𝑥2 −(𝑥2−9) (𝑥−3)(𝑥2+4) = 3𝑥3+12𝑥2−𝑥2+9 (𝑥−3)(𝑥2+4) 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥3+11𝑥2+9 𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12
- 17. Ejercicio 2: 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2+4 Multiplicación : 𝑓 ∙ 𝑔 3𝑥2 𝑥+3 𝑥 = ( ) ∙ ( ) 𝑥−3 𝑥2+4 3𝑥2 (𝑥+3) = (𝑥−3)(𝑥2+4) 3𝑥3+9𝑥2 = (𝑥−3)(𝑥2+4) 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 3𝑥3+9𝑥2 𝑥3−3𝑥2+4𝑥−12
- 18. Ejercicio 2: 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2+4 División : 𝑓/𝑔 𝑥 3𝑥2 = 𝑥−3 𝑥+3 𝑥2+4 = 3𝑥2 (𝑥2+4) (𝑥−3)(𝑥+3) = 3𝑥4+12𝑥2 (𝑥2−9) 𝑓/𝑔 𝑥 4 = 3𝑥 +9𝑥2 𝑥2−9
- 19. Ejercicio 2: 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2+4 Composición: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥+3 𝑥2+4 = 3 𝑥 +3 𝑥2+4 2 𝑥+3 𝑥2+4 −3 = 3(𝑥+3)2 (𝑥2+4)2 (𝑥+3)−3(𝑥2+4) 𝑥2+4 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = (𝑥2+4)( 3)(𝑥 + 3)2 (𝑥2 + 4)3 (3𝑥4+18𝑥3+39𝑥2+72𝑥+108 = (𝑥2+4)3 Composición : 3𝑥2 𝑥−3 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔( ) 𝑔 3𝑥2 𝑥−3 = 3𝑥2 𝑥−3 +3 3𝑥2 𝑥 −3 2 +4 = 3𝑥2+3 𝑥−3 𝑥−3 9𝑥4+4(𝑥−3)2 (𝑥 −3) 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = − 2 3 𝑥−1 2 𝑥−1 + 2
- 20. Realiza las operaciones con las siguientes funciones : 1. Suma y Resta: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑥+3 2. Composición de gof: 𝑓 𝑥 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 3. Multiplicación: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 4. Division 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 9 y 𝑥2 − 7𝑥 + 12