Integral calculus
- 1. Brenda L. Rodriguez Ortiz CÁLCULO INTEGRAL
- 2. Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada. La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son: Concepto. Propiedades. Reglas de integración. Integrales inmediatas. Métodos clásicos de integración: -Integración por sustitución. -Integración por partes. -Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples. Uso de tablas.
- 4. EJEMPLOS Fórmula 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 Resueltos 1° ∫ 9𝑑𝑥 = 9x+C 2° ∫ 142 𝑑𝑥 = 225𝑥 + 𝐶
- 5. 1° ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 𝑥5 5+1 = 𝑥6 6 + C 12° ∫ 33 𝑑𝑥 = 27𝑥 + 𝐶 5° ∫ 82 𝑑𝑥 = 64x + C
- 6. Fórmula 2 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛 + 1 + 𝐶 Resueltos 1° ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 𝑥5 5+1 = 𝑥6 6 + C 3° ∫( 3 √ 𝑥 − 𝑥√ 𝑥 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥 𝑥1/2 4 )𝑑𝑥
- 7. = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 1 4 1 )𝑑𝑥 =∫ 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 − ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥 = 3x ∫ 1 𝑥1/2 − 1 4 𝑥 ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥 = 6√ 𝑥 − 1 4 2𝑥√ 𝑥 5 = 6√ 𝑥 − 2𝑥√ 𝑥 10 + C 4° ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 √ 𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2− 1 2 = ∫ 𝑥 3 2 +1 3 2 +1 = ∫ 𝑥 5 2 5 2 = ∫ 2𝑥 5 2 5 = ∫ 2√ 𝑥5 5 = ∫ 2𝑥2 √ 𝑥 5 + 𝐶
- 8. 6° ∫ 𝑑𝑥 √ 𝑥 4 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 1 4 =∫ −1 ( 1 4 −1 )𝑥 1 4 −1 = ∫ −1 −3 4 𝑥 −3 4 = ∫ 4𝑥 3 4 3 = 4 √𝑥34 3 + 𝐶 7° ∫ 2𝑑𝑡 𝑡2 = 2 ∫ 1 𝑡2 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑡−2 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑡−1 −1 𝑑𝑡 = 2 ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑡 + 𝐶
- 9. Fórmula 3 ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤 = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤 Resueltos 2° ∫(𝑥 + √ 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 = 𝑥2 2 ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥
- 10. = 𝑥2 2 + 2𝑥 √ 𝑥 3 + 𝐶 5° ∫ ( 1 𝑥2 + 4 𝑥√ 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 𝑥2 + 4 𝑥𝑥 1 2 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥2 + 4 𝑥 1+ 1 2 + 2𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥2 + 4 𝑥 3 2 + 2𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥 1 2 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑥 3 2 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 + ∫ 4 𝑥 3 2 𝑑𝑥 + 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 − 4 ( 2 √ 𝑥 ) + ∫ 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 − 8 √ 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 3° ∫( 3 √ 𝑥 − 𝑥√ 𝑥 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥 𝑥1/2 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 1 4 1 )𝑑𝑥 =∫ 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 − ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥
- 11. = 3x ∫ 1 𝑥1/2 − 1 4 𝑥 ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥 = 6√ 𝑥 − 1 4 2𝑥√ 𝑥 5 = 6√ 𝑥 − 2𝑥√ 𝑥 10 + C 7° ∫(𝑥2 + 1 √ 𝑥 3 )2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 + 1 𝑥 1 3 )2 𝑑𝑥 = (𝑥2 ) + 2𝑥2 1 𝑥 1 3 + ( 1 𝑥 1 3 )2 = 𝑥4 + 2𝑥2 𝑥 1 3 + ( 1 𝑥 2 3 )2 = ∫ 𝑥4 + 2𝑥2 𝑥 1 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 + 𝑥2− 1 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 + 𝑥2− 5 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2− 5 3 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥5 5 + 3𝑥2√𝑥2 4 + 3√ 𝑥 3 + 𝐶
- 12. 1° ∫(4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 Fórmula 4 ∫(𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣 27° ∫ 𝑥 𝑑𝑥 √2𝑥2+3 = ∫ 1 √2𝑥2+3 √2𝑥2+3 2 𝑑𝑡 𝑡 = √2𝑥2 + 3 + 𝐶 = ∫ 1 2 𝑑𝑡 = 1 2 √2𝑥2 + 3 + 𝐶
- 13. 4° ∫ 18𝑥9 𝑑𝑥 = 18∫ 𝑥9 𝑑𝑥 = 18 ( 𝑥9+1 9+1 ) 𝑑𝑥 = 18 10 𝑥10 12° ∫ 45𝑥8 𝑑𝑥 = 45 ∫ 𝑥8 𝑑𝑥 = 45 ( 𝑥8+1 8+1 ) 𝑑𝑥 = 45( 𝑥9 9 ) = 5𝑥9
- 14. Fórmula 5 ∫ 𝑣 𝑛 𝑑𝑣 = 𝑣 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐 Resueltos 1° ∫ √3 + 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(3 + 2𝑥) 1 2 𝑑𝑥 v = 3+2x = 1 2 ∫ 83 + 2𝑥92 2𝑑𝑥 n = 1 2 = 1 2 (3+2𝑥) 3 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2 = 1 2 (3+2𝑥) 1 3 2
- 15. dv = 2 dx = 1 2 2 (3+2𝑥) 3 2 3 = 2 (3+2𝑥) 3 2 6 = 2 (3+2𝑥)√3+2𝑥 6 = 2 (3+2𝑥)√3+2𝑥 3 + 𝐶 2° ∫ 𝑑𝑥 (3+2𝑥)2 = 1 2 ∫(3 + 2𝑥)−2 2𝑑𝑥 v = 3+2x = 1 2 (3+2𝑥)−1 −1 + 𝐶 n = -2 = 1 2 1 3+2𝑥 + 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2 = − 1 6+4𝑥 + 𝐶 dv = 2dx c28° ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 √𝑥3+1 = ∫ 1 √𝑥3+1 2√2𝑥3+3 3 𝑑𝑡 t= √𝑥3 + 1 = ∫ 3 2 𝑑𝑡 = ∫ 2 3 √𝑥2 + 1 = 2 3 √𝑥3 + 1 + 𝐶
- 16. 29° ∫(4𝑥3 +4)2 𝑑𝑥 = 1 12 ∫(4𝑥3 +4)2 12𝑥2 𝑑𝑥 d = 4𝑥3 + 4 = 1 12 (4𝑥3+4)2+1 2+1 + 𝐶 dv = 12𝑥2 = 1 12 (4𝑥3+4)3 3 + 𝐶 = 1 12 (4𝑥3+4)3 36 + 𝐶 Fórmula 6 ∫ 𝑑𝑣 𝑣 = 𝐼𝑛 𝑣 + 𝐶 = 𝐼𝑛 + 𝐼𝑛𝐶 = 𝐼𝑛𝐶𝑣 Resueltos
- 17. 14° ∫ 𝑑𝑥 3𝑥−7 = 1 3 ∫ 1 3𝑥−7 𝑑𝑥 t = 3x-7 =∫ 1 3(3𝑥−7) 𝑑𝑡 t =1 = ∫ 1 3𝑡 𝑑𝑡 = 1 3 ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 = 1 3 𝐼𝑛(| 𝑡|) = 1 3 𝐼𝑛(|3𝑥 − 7|) + 𝐶 15° ∫ 𝑑𝑥 1−𝑥 = ∫ 1 1−𝑥 (−1) 𝑑𝑡 t = 1-x = ∫ −1 1−𝑥 𝑑𝑡 t = -1 = ∫ −1 𝑡 𝑑𝑡 = - ∫ 1 1−𝑥 𝑑𝑡 = -In ( | t | ) = -In ( | 1-x | ) + C 16° ∫ 𝑑𝑥 5−2𝑥 = ∫ 1 5−2𝑥 ( 1 2 ) 𝑑𝑡 t = 5-2x =∫ − 1 2(5−2𝑥) 𝑑𝑡 t = -2 = ∫ − 1 2𝑡 𝑑𝑡
- 18. = − 1 2 ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 = − 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑡|) = − 1 2 𝐼𝑛 (|5 − 2𝑥|) + 𝐶 46° ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑥2+1 = ∫ 1 2𝑡 𝑑𝑡 t= 𝑥2 + 1 = 1 2 ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 t= 2x = 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑡|) ∫ 1 2(𝑥2+1) 𝑑𝑡 = 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑥2 + 1|) = 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑥2 + 1|) + 𝐶 47° ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑥2+1 = ∫ 𝑥+1 𝑥2+2𝑥+3 2 2𝑥+2 𝑑𝑡 t= 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = ∫ 1 2(𝑥2+2𝑥+3) 𝑑𝑡 t= 2x+2 = ∫ 1 2𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑡|) = 1 2 𝐼𝑛 (| 𝑥2 + 2𝑥 + 3 |)+ C