BISECTRIZ Y MEDIATRIZ DE UN TRIANGULO - GEOMETRIA ANALITICA
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El documento aborda el análisis de ecuaciones de bisectrices y circunferencias inscritas y circunscritas en triángulos definidos por rectas. Se presentan pasos matemáticos detallados para calcular distancias, coordenadas de incentros y circuncentros, así como las respectivas ecuaciones de las circunferencias. También se resuelven sistemas de ecuaciones para determinar vértices y se realiza la transformación de ecuaciones a su forma general.
BISECTRIZ Y MEDIATRIZ DE UN TRIANGULO - GEOMETRIA ANALITICA
- 1. CUANDOEL DENOMINADOR VA NEGATIVOEN LA ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ 𝑨𝒉+𝑩𝒌+𝑪 ±√ 𝑨 𝟐+𝑩 𝟐 Debes tomar en cuenta los siguientes argumentos: Cuando 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 𝑦 𝐶 ≠ 0, el signo del denominador va contrario al de C. Ejemplo: 3𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 En este caso C es positivo (C>0) el denominador va negativo y en caso de que C sea negativo (C<0) el donominador es positivo 𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 = 3𝑥 − 2𝑦 + 8 −√32 + (−2)2 Es por eso que en la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 la ecuación de la bisectriz el denominador va −√13 ya que “C” es positiva. HALLA LA ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIAINSCRITA EN EL TRIANGULOCUYOSLADOS SON LAS RECTAS: 𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝑑(𝑃, 𝐿2) 𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 = 2𝑥 − 3𝑦 + 21 −√22 + (−3)2 = − 2𝑥 − 3𝑦 + 21 √13 𝑑( 𝑃, 𝐿2) = 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 = 3𝑥 − 2𝑦 − 6 √32 + (−2)2 = 3𝑥 − 2𝑦 − 6 √13 − 2𝑥 − 3𝑦 + 21 √13 = 3𝑥 − 2𝑦 − 6 √13 −2𝑥 + 3𝑦 − 21 = 3𝑥 − 2𝑦 − 6 3𝑥 + 2𝑥 − 2𝑦 − 3𝑦 − 6 + 21 = 0 5𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 (÷ 5) 𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝑑(𝑃, 𝐿3) 𝑑( 𝑃, 𝐿1) = 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 = 2𝑥 − 3𝑦 + 21 −√22 + (−3)2 = − 2𝑥 − 3𝑦 + 21 √13 𝑑( 𝑃, 𝐿3) = 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 = 2𝑥 + 3𝑦 + 9 −√22 + (3)2 = − 2𝑥 + 3𝑦 + 9 √13 − 2𝑥 − 3𝑦 + 21 √13 = − 2𝑥 + 3𝑦 + 9 √13 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 2𝑥 + 3𝑦 + 9
- 2. 2𝑥 − 2𝑥 − 3𝑦 − 3𝑦 + 21 − 9 = 0 −𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 Realizo el sistema de ecuaciones,en la segunda ecuación solo debo despejar “y” 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟕 = 𝟎 −𝟔𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 −6𝑦 + 12 = 0 −6𝑦 = −12 𝒚 = −12 −6 = 𝟐 Reemplazo el valor de “y” en la otra ecuación para hallar “x” 𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝑥 − (2) + 3 = 0 𝑥 + 1 = 0 𝒙 = −𝟏 CoordenadasIncentro (-1,2) ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIA ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Hallamos el radio primero con cualquiera de las ecuaciones de bisectriz 𝑑( 𝑃, 𝐿3) = 𝑟 = | 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶| √𝐴2 + 𝐵2 = |2𝑥 + 3𝑦 + 9| √13 𝑟 = |2(−1) + 3(2) + 9| √13 = |−2 + 6 + 9| √13 = 13 √13 ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 ℎ = 𝑥 𝑘 = 𝑦 ( 𝑥 − (−1))2 + ( 𝑦 − (2))2 = ( 13 √13 ) 2 ( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 2)2 = 169 13 ( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 = 𝟏𝟑 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 13 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 13 = 0 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 − 8 = 0 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
- 3. HALLAR LA MEDIATRIZ Y LA ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIACIRCUNSCRITA 𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 Hallamos el Vértice ente L1 y L2 𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 (× −3) 𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 (× 2) −6𝑥 + 9𝑦 − 63 = 0 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0 0𝑥 + 5𝑦 − 75 = 0 5𝑦 − 75 = 0 5𝑦 = 75 𝒚 = 75 5 = 𝟏𝟓 Reemplazo en la ecuación L1 o L2 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 2𝑥 − 3(15) + 21 = 0 2𝑥 − 45 + 21 = 0 2𝑥 = 24 𝒙 = 24 2 = 𝟏𝟐 VL1L2(15,12) Hallamos el Vértice ente L1 y L3 𝐿1: 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 (× −1) 𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 −2𝑥 + 3𝑦 − 21 = 0 2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 0𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 6𝑦 − 12 = 0 6𝑦 = 12 𝒚 = 12 6 = 𝟐 Reemplazo en la ecuación L1 o L3 2𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 2𝑥 − 3(2) + 21 = 0 2𝑥 − 6 + 21 = 0 2𝑥 = −15 𝒙 = −15 2 = − 𝟏𝟓 𝟐 = −𝟕. 𝟓 VL1L3(-15/2, 2)
- 4. Hallamos el Vértice ente L2 y L3 𝐿2:3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 (× −2) 𝐿3:2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0 (× 3) −6𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 6𝑥 + 9𝑦 + 27 = 0 0𝑥 + 13𝑦 + 39 = 0 13𝑦 + 39 = 0 13𝑦 = −39 𝒚 = −39 13 = −𝟑 Reemplazo en la ecuación L2 o L3 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 3𝑥 − 2(−3) − 6 = 0 3𝑥 + 6 − 6 = 0 3𝑥 = 0 𝒙 = 0 3 = 𝟎 VL2L3(0,-3) Ahora hallamos la distancia entre los vérticesy el Circuncentro P(h,k) 𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟏 𝑳 𝟐 = √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐 𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿2 = √(𝑦 − (15))2 + (𝑥 − (12))2 𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿2 = √(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟏 𝑳 𝟑 = √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐 𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿3 = √(𝑦 − (2))2 + (𝑥 − (−15/2))2 𝑑 𝑃𝑉 𝐿1 𝐿3 = √(𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2 𝒅 𝑷𝑽 𝑳 𝟐 𝑳 𝟑 = √(𝒚 − 𝒚 𝟏) 𝟐 + (𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝟐 𝑑 𝑃𝑉 𝐿2 𝐿3 = √(𝑦 − (−3))2 + (𝑥 − (0))2 𝑑 𝑃𝑉 𝐿2 𝐿3 = √(𝑦 + 3)2 + (𝑥)2
- 5. Igualamos las distancias ya que estánsonel radio √(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = √(𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2 (𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = (𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 15/2)2 𝑦2 − 30𝑦 + 225 + 𝑥2 − 24𝑥 + 144 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4 + 𝑥2 + 15𝑥 + 225/4 −24𝑥 − 30𝑦 − 15𝑥 + 4𝑦 + 225 + 144 − 4 − 225 4 = 0 −𝟑𝟗𝒙 − 𝟐𝟔𝒚 + 𝟏𝟐𝟑𝟓 𝟒 = 𝟎 √(𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = √(𝑦 + 3)2 + (𝑥)2 (𝑦 − 15)2 + (𝑥 − 12)2 = (𝑦 + 3)2 + (𝑥)2 𝑦2 − 30𝑦 + 225 + 𝑥2 − 24𝑥 + 144 = 𝑦2 + 6𝑦 + 9 + 𝑥2 −24𝑥 − 30𝑦 − 6𝑦 + 225 + 144 − 9 = 0 −24𝑥 − 36𝑦 + 360 = 0 (÷ 12) −𝟐𝒙 − 𝟑𝒚+ 𝟑𝟎 = 𝟎 −39𝑥 − 26𝑦 + 1235 4 = 0 (× 2) −2𝑥 − 3𝑦 + 30 = 0 (× −39) −78𝑥 − 52𝑦 + 1235 2 = 0 78𝑥 + 117𝑦 − 1170 = 0 0𝑥 + 65𝑦 − 1105 2 = 0 65𝑦 = 1105 2 𝒚 = 1105 2(65) = 1105 130 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟖. 𝟓 Reemplazoel valor de “y” en la siguiente ecuación: −𝟐𝒙 − 𝟑𝒚+ 𝟑𝟎 = 𝟎 −2𝑥 − 3( 17 2 ) + 30 = 0 −2𝑥 − 51 2 + 30 = 0 −2𝑥 + 9 2 = 0 −2𝑥 = − 9 2 𝑥 = 9 2(2) = 𝟗 𝟒 = 𝟐. 𝟐𝟓 Coordenadasdel circuncentro(9/4, 17/2)
- 6. ECUACIONDE LA CIRCUNFERENCIA ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Hallamos el radio primero con la fórmula de distancia entre 2 puntos entre un vértice y en circuncentro tomaremos los siguientes puntos: V(0,-3) y C(9/4, 17/2) 𝑑 = 𝑟 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2 𝑑 = √( 17 2 − (−3)) 2 + ( 9 4 − 0) 2 𝑑 = √( 17 2 + 3) 2 + ( 9 4 ) 2 = √( 17 + 6 2 ) 2 + ( 9 4 ) 2 = √( 23 2 ) 2 + ( 9 4 ) 2 𝑑 = √ 529 4 + 81 16 = √ 2197 16 ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 ℎ = 𝑥 𝑘 = 𝑦 ( 𝑥 − ( 9 4 )) 2 + ( 𝑦 − ( 17 2 )) 2 = (√ 2197 16 ) 2 ( 𝑥 − 9 4 ) 2 + ( 𝑦 − 17 2 ) 2 = (√ 2197 16 ) 2 ( 𝒙 − 𝟗 𝟒 ) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟏𝟕 𝟐 ) 𝟐 = 𝟐𝟏𝟗𝟕 𝟏𝟔 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑥2 − 9 2 𝑥 + 81 16 + 𝑦2 − 17𝑦 + 289 4 = 2197 16 𝑥2 + 𝑦2 − 9 2 𝑥 − 17𝑦 + 81 16 + 289 4 − 2197 16 = 0 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟗 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟕𝒚 − 𝟔𝟎 = 𝟎 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂