Sistemas hasta24 blog
- 1. www.aulamatematica.com ©Abel Martín & Marta Martín Sierra 1 13 =−− =+− 21 213 yx yx RESOLUCIÓN =−− =+− − 21 213 1 1 yx yx )( )( → 040 21 213 =+ −=+ =+− yx yx yx 4y = 0 y = 0 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: – x + 3y = 21 – x + 3·0 = 21 – x = 21 x = – 21 x = – 21 ; y = 0 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 21, 0) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 15 =+ −=− 52 943 yx yx RESOLUCIÓN =+ −=− 52 943 4 1 yx yx )( )( → 11011 2048 943 =+ =+ −=− yx yx yx 11x = 11 x = 1 Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación: 2x + y = 5 2·1 + y = 5 y = 5 – 2 y = 3 x = 1 ; y = 3 Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (1, 3) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 16 =− =− 722 5 yx yx RESOLUCIÓN
- 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas =− =− + − 722 5 1 2 yx yx )( )( → 300 722 1022 −=+ =− −=+− yx yx yx 0 = 3 Pero como 0 ≠ – 3 → Incoherencia No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE Comprobación de las soluciones con la calculadora 17 −=+− −=−− yx yx 52 1 RESOLUCIÓN Colocamos los términos semejantes en la misma columna: −=+− −=−− − 52 1 1 2 yx yx )( )( → 330 52 222 =− =− −=−− yx yx yx – 3y = 3 3y = – 3 y = – 1 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: – x – y = – 1 – x – (– 1) = – 1 – x + 1 = – 1 – x = – 2 x = 2 x = 2 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 18 =− =+ 22 112 yx yx RESOLUCIÓN =− =+ − 22 112 1 2 yx yx )( )( 2050 22 2242 =+ −=+− =+ yx yx yx 5y = 20 y = 20/5 y = 4 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: x + 2y = 11 → x + 2·4 = 11 x = 11 – 8 x = 3
- 3. www.aulamatematica.com ©Abel Martín & Marta Martín Sierra 3 x = 3 ; y = 4 Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 20 =− =+ yx yx 283 32 RESOLUCIÓN =− =+ 823 32 1 2 yx yx )( )( → 1407 823 624 =+ =− =+ yx yx yx 7x =14 x = 14/7 x = 2 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: 2x + y = 3 2·2 + y = 3 y = 3 – 4 y = – 1 x = 2 ; y = – 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 21 −= =− yx yx 10 162 RESOLUCIÓN =+ =− + − 10 162 1 1 yx yx )( )( → 630 10 162 −=+ =+ −=+− yx yx yx y = – 6/3 y = – 2 Sustituimos en la segunda ecuación: x = 10 – y x = 10 – (– 2) x = 12 x = 12 ; y = – 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora
- 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 23 −=− =− xy yx 224 28 Vamos a resolverlo por diferentes métodos: RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Colocamos los términos semejantes de las ecuaciones en la misma columna: =− =− + − 242 82 1 2 yx yx )( )( → 1400 242 1642 −=+ =− −=+− yx yx yx 0 = – 14 Pero como 0 ≠ – 14 Incoherencia No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE Comprobación de las soluciones con la calculadora 24 =+ =+ 92 5 yx yx =+ =+ + − 92 5 1 2 yx yx )( )( → 10 92 1022 −=− =+ −=−− y yx yx y = 1 x + y = 5 → x + 1 = 5 x = 4 x = 4 ; y = 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones. Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (4, 1) Sistema COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 13 =−− =+− 21 213 yx yx RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la x de la segunda ecuación: – x – y = 21 – x = 21 + y → x = – 21 – y
- 5. www.aulamatematica.com ©Abel Martín & Marta Martín Sierra 5 Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación – x + 3y = 21 – (– 21 – y) + 3y = 21 21 + y + 3y = 21 4y = 21 – 21 → 4y = 0 y = 0 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: – x + 3y = 21 – x + 3·0 = 21 – x = 21 x = – 21 x = – 21 ; y = 0 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 21, 0) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 15 =+ −=− 52 943 yx yx RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "y" de la segunda ecuación: 2x + y = 5 y = 5 – 2x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación 3x – 4y = – 9 3x – 4 (5 – 2x) = – 9 3x – 20 + 8x = – 9 3x + 8x = – 9 + 20 11x = 11 x = 1 Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación 3x – 4y = – 9 3·1 – 4y = – 9 – 4y = – 9 – 3 – 4y = – 12 4y = 12 y = 12/4 y = 3 x = 1 ; y = 3 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (1, 3) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 16 =− =− 722 5 yx yx RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "x" de la primera ecuación: x = 5 + y Sustituimos el valor de "x" en la segunda 2x – 2y = 7 2(5 + y) – 2y = 7 10 + 2y – 2y = 7 0y = 7 – 10 0 = – 3 Pero como 0 ≠ – 3 → Incoherencia No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas paralelas Sistema INCOMPATIBLE 17 −=+− −=−− yx yx 52 1
- 6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "x" de la primera ecuación: – x = – 1 + y x = 1 – y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación – 2x + 5 = – y – 2(1 – y) + 5 = – y – 2 + 2y + 5 = – y 2y + y = 2 – 5 3y = – 3 y = – 1 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: – x – y = – 1 – x – (– 1) = – 1 – x + 1 = – 1 – x = – 2 x = 2 x = – 1 ; y = 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 18 =− =+ 22 112 yx yx RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo despejamos la x x + 2y = 11 x = 11 – 2y 2x = 2 + y x = 2 2 y+ 11 – 2y = 2 2 y+ Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x – y = 2 2(11 – 2y) = 2 + y 22 – 4y = 2 + y – 4y – y = 2 – 22 – 5y = – 20 → 5y = 20 y = 4 Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación x + 2y = 11 x + 2·4 = 11 x = 11 – 8 x = 3 x = 3 ; y = 4 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 20 =− =+ yx yx 283 32 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo despejamos la y
- 7. www.aulamatematica.com ©Abel Martín & Marta Martín Sierra 7 y = 3 – 2x y = 2 83 −x 3 – 2x = 2 83 −x 2(3 – 2x) = 3x – 8 6 – 4x = 3x – 8 6 + 8 = 3x + 4x 7x = 14 x = 2 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: y = 3 – 2x y = 3 – 2·2 = y = 3 – 4 y = – 1 x = 2 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 21 −= =− yx yx 10 162 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo despejamos la x x = 16 + 2y x = 10 – y 16 + 2y = 10 – y 2y + y = 10 – 16 3y = – 6 y = – 2 Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación: x = 10 – y x = 10 – (– 2) x = 12 x = 12 ; y = – 2 Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 20 =− =+ yx yx 283 32 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: 2x + y = 3 3x – 8 = 2y x y x y 0 3 0 – 4 3/2 0 8/3 0 Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
- 8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones: x = 2 ; y = – 1 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, – 1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 21 −= =− yx yx 10 162 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de 2 rectas realizaremos unas sencillas tablas de valores: x – 2y = 16 x = 10 – y x y x y 0 – 8 0 10 16 0 10 0 Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas: Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto común a ambas ecuaciones:
- 9. www.aulamatematica.com ©Abel Martín & Marta Martín Sierra 9 x = 12 ; y = – 2 ; Esta solución es común en ambas ecuaciones Geométricamente se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (12, – 2) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 24 =+ =+ 92 5 yx yx Como se trata de 2 rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: x + y = 5 2x + y = 9 x y x y 0 5 0 9 5 0 4.5 0 Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas: Representamos gráficamente ambas rectas: 1 1 Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen una solución en común. Como podemos ver, son dos rectas secantes que se cortan en el punto (4, 1)