![Funciones Reales. Dominio y recorrido.
Teoría y problemas resueltos
Cuando utilizamos la calculadora gráfica, suele ser muy interesante para determinar los
valores que tenemos que colocar en la escala para una visualización correcta de la función.
Representación gráfica
Pretende visualizar la correspondencia entre "x" e "y" y así comprobar fácilmente las
propiedades de la función.
Sea la función f: D R. A cada valor de x∈D le corresponde una imagen "y".
Descripción verbal
Nos presenta un texto o enunciado donde se expresan ciertas características de la función
de una forma literal.
La empresa presenta unos
beneficios máximos a los 2
años de iniciada, momento en
el que alcanza los 2 millones...
Reconociendo funciones presentadas gráficamente
Dadas las siguientes representaciones gráficas, indica cuáles son funciones y cuáles no. En caso de
ser función, justifica por qué y señala el dominio y el recorrido (imagen). En caso negativo, indica un
ejemplo que impide que sea función.
NOTA: En las siguientes soluciones, cuando se dice “Sí, …” debería de acompañarse del texto (*) y
cuando se dice “No, …” llevaría el texto (**)
(*) Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen,
le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente:
(**) No, no se trata de una función ya que hay valores de la variable independiente que tienen imagen
y les corresponde más de 1 de la variable dependiente.
Gráfica A(x)
1
Gráfica B(x)
1
- 3
Gráfica C(x)
1
1
Gráfica A(x): Sí, ...
Dom (A) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (A) = (- ∞, + ∞)
Im (A) = {- 2.5}
Gráfica B(x): Sí, ...
Dom (B) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (B) = (- ∞, + ∞)
Im (B) = [- 3, + ∞)
Gráfica C(x): Sí, ...
Dom (C) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (C) = (- ∞, + ∞)
Im (C) = (- ∞, + 4]
Gráfica D(x) Gráfica E(x) Gráfica F(x)](https://image.slidesharecdn.com/funciones01blog-170223161222/85/Funciones01blog-2-320.jpg)
![Funciones reales. Propiedades locales.
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
1 1 1 2– 3
Gráfica D(x): Sí, ...
Dom (D) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0}
Dom (D) = (- ∞, 0) U (0, + ∞)
Im (D) = (-∞, + ∞) - {0}
Gráfica E(x): No, …
(Por ejemplo, para x = 3, tiene 2
imágenes)
Gráfica F(x): Sí, ...
Dom (F) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ - 4;x≠ 3}
Dom (F) =
= (- ∞, - 4) U (- 4, 3) U (3, + ∞)
Im (F) = (-∞, + ∞) - {0}
Gráfica G(x)
1
Gráfica H(x)
1
Gráfica I(x)
1
Gráfica G(x): Sí, ...
Dom (D) = (- ∞, - 2) U (5, + ∞)
Im (G) = (0, + ∞]
Gráfica H(x): No, ...
Por ejemplo, para x = 2, tiene 2
imágenes.
Gráfica I(x): No, ...
(Por ejemplo, para x = 1, tiene
infinitas imágenes)
Gráfica J(x)
1
Gráfica K(x)
1
Gráfica L(x)
1
Gráfica J(x): No, ...
(Ejemplo, para x = 2, tiene 2
imágenes)
Gráfica K(x): No, ...
(Ejemplo, para x = 1, tiene 2
imágenes)
Gráfica L(x): No, ...
(Ejemplo, para x = 3, tiene 2
imágenes)
Gráfica M(x)
1
Gráfica N(x)
1
Gráfica Ñ(x)
1
1
Gráfica M(x): Sí, ...
Dom (M) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (M) = (- ∞, + ∞)
Im (M) = [-2, 2]
Gráfica N(x): Sí, ...
Dom (N) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (N) = (- ∞, + ∞)
Im (N) = [-2, 2]
Gráfica Ñ(x): Sí, ...
Dom (Ñ) = {∀x ∈ ℜ / - 4 ≤ x ≤ 3}
Dom (Ñ) = [- 4, 3]
Im (Ñ) = [0, 3.5]](https://image.slidesharecdn.com/funciones01blog-170223161222/85/Funciones01blog-3-320.jpg)
Funciones01blog
- 1. Funciones reales. Propiedades locales. © Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Magnitud. Es todo aquello que se puede medir. Ejemplos: El precio, la altura, el peso, la distancia, etc. Variables y función. Características intuitivas Supongamos que el importe total al que asciende la compra de jamón, cuyo precio es de 12 €/kilogramo, teniendo en cuenta de que existe un fijo de 1 € por utilización de parking, bolsas, etc. es el siguiente: Importe = Precio · Peso (kg) Fijo = Importe ¿? = 12 · 1 + 1 = 13 ¿? = 12 · 1.5 + 1 = 19 ¿? = 12 · 2 + 1 = 25 ¿? = 12 · 3 + 1 = 37 Estamos hablando de 2 magnitudes que varían, por lo que las llamaremos variables. El importe dependerá de la cantidad de jamón comprado; así pues, al importe se le denomina VARIABLE DEPENDIENTE, pues depende de la cantidad de jamón que compremos, que será la VARIABLE INDEPENDIENTE. La variable independiente se la suele denominar "x" La variable dependiente se la suele denominar "y" o bien f(x) f(x) = 12 · x + 1 Se trata de una relación entre variables. La relación de dependencia se llama función si para cada valor de la variable independiente le corresponde 1 y solo 1 de la variable dependiente. El dominio de la función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Lo denotaremos Dom (f). El recorrido o imagen de la función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y). Lo denotaremos Im (f) En el ejemplo, el dominio serán todos los números racionales positivos (con 3 cifras decimales si la balanza aproxima hasta los gramos) y el recorrido todos los números enteros positivos con dos cifras decimales (€), a partir de 1 porque es el fijo mínimo a pagar. FORMAS DE PRESENTARSE UNA FUNCIÓN Fórmula Se trata de una igualdad matemática que nos relaciona las variables dependiente e independiente. y = 12x + 1 Tabla de valores Observamos algunos valores que va tomando la variable dependiente dados unos valores concretos de la variable independiente. La ventaja de una tabla es que nos ofrece una visión más cuantitativa de los valores que toma la función.
- 2. Funciones Reales. Dominio y recorrido. Teoría y problemas resueltos Cuando utilizamos la calculadora gráfica, suele ser muy interesante para determinar los valores que tenemos que colocar en la escala para una visualización correcta de la función. Representación gráfica Pretende visualizar la correspondencia entre "x" e "y" y así comprobar fácilmente las propiedades de la función. Sea la función f: D R. A cada valor de x∈D le corresponde una imagen "y". Descripción verbal Nos presenta un texto o enunciado donde se expresan ciertas características de la función de una forma literal. La empresa presenta unos beneficios máximos a los 2 años de iniciada, momento en el que alcanza los 2 millones... Reconociendo funciones presentadas gráficamente Dadas las siguientes representaciones gráficas, indica cuáles son funciones y cuáles no. En caso de ser función, justifica por qué y señala el dominio y el recorrido (imagen). En caso negativo, indica un ejemplo que impide que sea función. NOTA: En las siguientes soluciones, cuando se dice “Sí, …” debería de acompañarse del texto (*) y cuando se dice “No, …” llevaría el texto (**) (*) Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente: (**) No, no se trata de una función ya que hay valores de la variable independiente que tienen imagen y les corresponde más de 1 de la variable dependiente. Gráfica A(x) 1 Gráfica B(x) 1 - 3 Gráfica C(x) 1 1 Gráfica A(x): Sí, ... Dom (A) = {∀x ∈ ℜ} Dom (A) = (- ∞, + ∞) Im (A) = {- 2.5} Gráfica B(x): Sí, ... Dom (B) = {∀x ∈ ℜ} Dom (B) = (- ∞, + ∞) Im (B) = [- 3, + ∞) Gráfica C(x): Sí, ... Dom (C) = {∀x ∈ ℜ} Dom (C) = (- ∞, + ∞) Im (C) = (- ∞, + 4] Gráfica D(x) Gráfica E(x) Gráfica F(x)
- 3. Funciones reales. Propiedades locales. © Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com 1 1 1 2– 3 Gráfica D(x): Sí, ... Dom (D) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0} Dom (D) = (- ∞, 0) U (0, + ∞) Im (D) = (-∞, + ∞) - {0} Gráfica E(x): No, … (Por ejemplo, para x = 3, tiene 2 imágenes) Gráfica F(x): Sí, ... Dom (F) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ - 4;x≠ 3} Dom (F) = = (- ∞, - 4) U (- 4, 3) U (3, + ∞) Im (F) = (-∞, + ∞) - {0} Gráfica G(x) 1 Gráfica H(x) 1 Gráfica I(x) 1 Gráfica G(x): Sí, ... Dom (D) = (- ∞, - 2) U (5, + ∞) Im (G) = (0, + ∞] Gráfica H(x): No, ... Por ejemplo, para x = 2, tiene 2 imágenes. Gráfica I(x): No, ... (Por ejemplo, para x = 1, tiene infinitas imágenes) Gráfica J(x) 1 Gráfica K(x) 1 Gráfica L(x) 1 Gráfica J(x): No, ... (Ejemplo, para x = 2, tiene 2 imágenes) Gráfica K(x): No, ... (Ejemplo, para x = 1, tiene 2 imágenes) Gráfica L(x): No, ... (Ejemplo, para x = 3, tiene 2 imágenes) Gráfica M(x) 1 Gráfica N(x) 1 Gráfica Ñ(x) 1 1 Gráfica M(x): Sí, ... Dom (M) = {∀x ∈ ℜ} Dom (M) = (- ∞, + ∞) Im (M) = [-2, 2] Gráfica N(x): Sí, ... Dom (N) = {∀x ∈ ℜ} Dom (N) = (- ∞, + ∞) Im (N) = [-2, 2] Gráfica Ñ(x): Sí, ... Dom (Ñ) = {∀x ∈ ℜ / - 4 ≤ x ≤ 3} Dom (Ñ) = [- 4, 3] Im (Ñ) = [0, 3.5]