Funciones norma

TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: FUNCIÓN CUADRÁTICA Y FUNCIÓN RACIONAL

ATRIBUTOS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA Rigor. Vigor.

RIGOR Conceptos. Leyes y Propiedades. Axiomas. Teoremas. Corolarios.

VIGOR Desarrolla la persistencia y modela el espíritu de cada persona. La fortaleza de interactuar con otras disciplinas. Brinda las herramientas para el trabajo científico general. La posibilidad de convertirse en cualquier ciencia fáctica al momento de aplicarse. Sólo es posible una vez conocidos los elementos del rigor

NECESIDAD DE MATEMÁTICA EN EL COLEGIO Avanzar satisfactoriamente hacia niveles más complejos. Adquirir conocimientos y habilidades para otras áreas. Utilizar herramientas informáticas y aparatos electrónicos. Poder interpretar datos. Manejar información cuantitativa. La Matemática es para todos los ciudadanos, no para unos pocos supuestamente privilegiados .

UTILIDAD DE LA MATEMÁTICA Estimula el razonamiento. Promueve un trabajo intelectual integrado. Es un producto cultural Es un producto de la libertad intelectual de la humanidad. Es formativa al fomentar métodos y disciplina.

UTILIDAD DE LA MATEMÁTICA Proporciona un medio para comunicarse. Tiene un infinito campo de aplicación. Permite integrar racionalmente hechos del entorno. Proporciona medios para continuar académica o laboralmente. Es una recreación para el intelecto.

RAZONES DE SU UNIVERSALIDAD Son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje matemático no admite imprecisiones. Permite establecer relaciones cuantitativas que expresan con precisión enunciados cualitativos. Tiene características comunes a otras ciencias. Se relaciona productivamente con las tecnologías.

PRODUCTO CARTESIANO Representa el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma ( a, b ), donde a pertenece a A y b pertenece a B. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3 } y B = {a , b, c }, entonces los productos cartesianos A × B = {(1, a ); (1, b ); (1, c ); (2, a ); (2, b ); (2, c ); (3, a ); (3, b ); (3, c )}. B × A = {( a, 1); (a , 2); ( a, 3); ( b, 1); ( b, 2); ( b, 3); ( c, 1); ( c, 2); ( c, 3)}. A × B ≠ B × A, pues el par (1, a ) es distinto del par ( a, 1).

RELACIÓN Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3 } y B = {a , b, c } A × B = {(1, a ); (1, b ); (1, c ); (2, a ); (2, b ); (2, c ); (3, a ); (3, b ); (3, c )} R = {(1, a ); (1, b ); (2, c ); (3, b )} Conjunto A: Conjunto de partida de la relación. Conjunto B: Conjunto de llegada de la relación

FUNCIÓN Es una relación entre dos conjuntos A y B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B . Se denota por:

Una relación matemática se denominará función si y sólo si cumple con las siguientes condiciones: Existencia: Unicidad: Si CUANDO UNA RELACIÓN ES FUNCIÓN

FUNCIÓN INYECTIVA Sea f una función f es inyectiva si y sólo si para todos , implica . , ,

FUNCIÓN SOBREYECTIVA Sea f una función f es sobreyectiva si y sólo si .

FUNCIÓN BIYECTIVA Sea f una función f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

INVERSA DE UNA FUNCIÓN Una función tiene inversa si y solo si es función biyectiva

Observe: La catedral está en el punto (1, 3). El ayuntamiento en el punto (4, 1). Para situar un punto en el plano se necesita un sistema de coordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen. La primera se mide sobre el eje horizontal o de abscisas; se llama abscisa del punto. (DOMINIO ) La segunda se mide sobre el eje vertical o de ordenadas; se llama ordenada del punto. (RANGO) El jardín botánico en el punto (7, 2). Este plano es el de una ciudad. Cualquier punto tiene dos coordenadas. O (1, 3) (4, 1) (7, 2) Eje de ordenadas ( RANGO ) Eje de abscisas DOMINIO Origen

Una función puede darse mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm . La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

La fórmula f(x) = 3x 2 + 1 define una función. f(x) = 3x 2 + 1 Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5 , el valor que toma la variable dependiente es f(5) = 3 · 5 2 + 1 = 76. ( La imagen de 5 es 76; y es única , pues la operación 3 · 5 2 + 1 es única.) Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13. En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. x es la variable independiente f(x) es la variable dependiente

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Dominio de una función es el conjunto de números reales que puede tomar la variable independiente de tal forma que este resultado exista. Recorrido, Rango o Imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. DOMINIO RANGO FUNCIÓN INSUMOS PRODUCTO FABRICA 5 f(x) : 3x 2 + 1 76 1 4; 0 1; -2 13; {-2; 0; 1; 5} { }

¿CUANDO UNA GRAFICA REPRESENTA UNA FUNCIÓN ? X Y 2 4 – 4 2 4 – 4 Relación Si al trazar una recta paralela al eje vertical Coincide con la grafica en mas de un punto Entonces la grafica no es una función X Y

¿CUANDO UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA, SOBREYECTIVA? X Y 2 4 – 2 Función 4 – 2 2 No están relacionados estos elementos Si al trazar una recta paralela al eje horizontal coincide con la grafica en mas de un punto , Entonces no es una función inyectiva. X Y

FUNCIÓN PAR Una Función es Par si su grafica es simétrica al eje y . Una Función es Par si y solo si; f ( x ) = f ( - x ) 2 - 2 4 f (x) = x 2 f ( 2 ) = f ( - 2 ) 4 = 4 X Y

FUNCIÓN IMPAR Una Función es Impar si su grafica es centralmente simétrica con respecto al origen. Una Función es Impar si y solo si; f ( - x ) = - f ( x ) f (x) = x 3 f ( - 2 ) = - f ( 2 ) ( - 8 ) = - ( 8 ) - 8 = - 8 X Y

FUNCIÓN CRECIENTE x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) [ x 1 < x 2 ]  [ f (x 1 ) < f (x 2 ) ] X Y

FUNCIÓN DECRECIENTE x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) [ x 1 > x 2 ]  [ f (x 1 ) < f (x 2 ) ] X Y

MONOTONIA DE UNA FUNCIÓN La monotonía de una función consiste en analizar los intervalos donde la función es creciente o decreciente CRECE CRECE DECRECE FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE X Y X Y

¿ PARA QUÉ SELECCIONAR Y RESOLVER PROBLEMAS ? Activar la capacidad mental. Ejercitar la creatividad. Desarrolla el pensamiento lógico, crítico, lateral y perpectivo. Adquirir confianza en sí mismo. Divertirse con su propia actividad mental. Prepararse para otros problemas de las ciencias y de la vida cotidiana. Prepararse para los nuevos retos de la ciencia y de la tecnología.

VENTAJAS DE APRENDER A RESOLVER PROBLEMAS Adquirir autonomía para resolver situaciones problemáticas. Adaptarse más rápidamente a los procesos de cambio. Hacer su trabajo atractivo, divertido, satisfactorio y auto realizador. Consolidar hábitos de valor universal.

MÉTODO HEURÍSTICO Se denomina Heurística al arte de inventar y descubrir. El Método Heurístico busca que el alumno ejercite en mayor medida su aptitud para crear, convirtiéndola en actitud de investigador. Por tanto, es apropiado para desarrollar el constructivismo y con ello, un aprendizaje significativo.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS EN EL AULA Permita que los alumnos se equivoquen. Fomente la reflexión sobre aciertos y errores. Otorgue un tiempo prudencial para la comprensión del contenido. No se imponga como única meta obtener la respuesta.

SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS EN EL AULA Preste mucha atención a las recomendaciones y opiniones de todos los presentes. Explote todas las posibilidades alternas para encontrar la solución. Oriente a obtener variaciones de cada problema.

¿QUÉ CONSIGO FORMANDO GRUPOS PARA RESOLVER PROBLEMAS? Percibir distintas formas de afrontar la solución. Proponer problemas de mayor complejidad. Controlar mejor los progresos individuales. Asumir diferentes posturas según las necesidades (moderador, asesor, observador, entre otras). Reconocer formas de bloqueo.

Motivar mejor para desbloquear. Hacer un inventario de intereses y aptitudes. Aplicar paso a paso las sugerencias heurísticas. Ejercer el rol docente de manera más efectiva y eficiente. ¿QUÉ CONSIGO FORMANDO GRUPOS PARA RESOLVER PROBLEMAS?

ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 1.- Encuentre: a.) f (- 6) b.) f (0) c.) f ( -7 ) d.) f ( 4 ) e.) f ( 5 – 3 ) f.) f (- 3) + f (5) = 3 = 2 NO EXISTE = - 5 F ( 2 ) = 1 0 + 1 = 1

ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 2.- Encuentre los ceros de f(x): X 1 = - 5 X 2 = - 3 X 3 ≈ 4,5 X 4 ≈ 9,5

ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 3.- Intervalos donde decrece la función : ( - 7, - 4 ]  [ - 2, 4 )  ( 8, 10 ] 4.- Intervalos donde crece la función : [ - 4, - 2 ]  [ 4, 8 ) 5.- Intervalos donde la función es constante: [ 6, 8 )

ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 6.- Cuáles son las soluciones para la ecuación f(x) = -5: x 1 = 4 ; x 2 = 10 7.- Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = 1: 5 Soluciones 8.- Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = 3: Infinitas Soluciones

ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 9.- Cual es el rango de la función: [ - 5 ; 8 ) 10.- Cual es el dominio de la función: ( - 7 ; 10 ] - { 8 }

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL f(x) = x f(x) = - x X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRATICA f(x) = x 2 f(x) = - x 2 X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUBICA f(x) = x 3 f(x) = - x 3 X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN HIPERBOLA EQUILATERA X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN RADICAL X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE f(x) = k ; k  R f(x) = - k ; k  R k - k X Y X Y

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN MODULAR O VALOR ABSOLUTO x si x  0 - x si x < 0  x  = Definición f(x) =  x  X Y X Y f(x)= x X Y f(x)=- x

GRAFICA DE LA FUNCIÓN ENTERO MAYOR

TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL f(x) : x 2 Función cuadrática f(x) : (x+a) 2 La función se traslada en el eje x. x + a = 0 x= - a f(x) : (x+a) 2 - b La función se traslada en el eje y. f(x) :  (x+a) 2 – b  La función modular la convierte en una función positiva con respecto al eje y. X Y X Y -a X Y -a -b X Y -a -b b

BOSQUEJO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

DOCUMENTO CREADO POR EL STAFF DE FACILITADORES DEL GRUPO EDITORIAL NORMA. Ms. Eladio Oliveros Sauco. Ms. Roberto Álvarez Martínez. Lcdo. I llich Álvarez Álvarez. Dr. Víctor Manuel Barros. Ing. Pablo Barba Ramos. Lcdo. Alberto Cevallos Vitares. Lcdo. Francisco Cruz Cruz. Ing. Sandra Gonzales Leiva. Ing. David Manzo Vera. Dr. Aníbal Matteucci López. Ing. Hugo Pérez Benítes. Lcdo. José Simbaña Cevallos. COORDINADOR GENERAL Ing. Sandra González Leiva. DISEÑO GRAFICO DEL DOCUMENTO Ing. Hugo Pérez Benítes.

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