Función a trozos
- 1. FUNCIONES ESPECIALES Algunas funciones no están descritas solamente por una función algebraica o algunas otras no presentan una gráfica con un trazo continuo, tales funciones requieren un tratamiento especial por lo cual se estudian de manera independiente. Este tipo de funciones son: • Funciones a trozos • Valor Absoluto • Parte entera.
- 2. FUNCIÓN A TROZOS DEFINICIÓN Una función formada por la unión de dos o más funciones, cada una de ellas definida en intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos. Así una función a a trozos presenta diferentes expresiones algebraicas en determinados intervalos; en forma general, una función a trozos es de la siguiente forma:
- 3. FUNCIÓN A TROZOS La gráfica de g(x) está formada por todas las partes 𝑔𝑖(𝑥). El dominio y el rango de g(x) es la unión de los dominios y los rangos de cada una de las partes que las forman.
- 4. FUNCIÓN A TROZOS Primero: se identifican los intervalos en los que se define la función𝑓 𝑥 . Para 𝑥 ≤ 1, 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 (−∞, 1 En este intervalo solo debemos aplicar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 EJEMPLO Determinar la gráfica, el dominio y el rango de la siguiente función: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 𝟏 − 𝒙, 𝒙 > 𝟏 Esta es la función que tiene forma de:_______________
- 5. FUNCIÓN A TROZOS Se realiza una tabla de valores con 𝑓 𝑥 = 𝑥2 x 1 0 -1 -2 y 1 0 1 4 Para el intervalo (1, )+∞ , 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 x 1,5 2 3 4 y -1 -1 -2 -3 Luego, se realiza la gráfica de la función de acuerdo con las funciones que la componen.
- 6. FUNCIÓN A TROZOS Debemos tener en cuenta que el valor 1 del dominio de la función se encuentra en el primer intervalo Finalmente, la gráfica de la función es: De acuerdo con la gráfica se puede concluir que: Dom𝑓: __________ Ran𝑓: _________________
- 7. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN La función valor absoluto se puede considerar como una función definida a trozos. Esta función asigna a cada número real del dominio su valor absoluto y está definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑥 = −𝑥, 𝑥 < 0 𝑥, 𝑥 ≥ 0 El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ
- 8. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El rango de la función es el conjunto de los números reales no negativos. Es decir, 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 0, )+∞ La gráfica de la función valor absoluto es:
- 9. EJEMPLO Determinar la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝒙 − 𝟓 − 𝟐𝒙 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
- 10. FUNCIÓN PARTE ENTERA DEFINICIÓN La función que asigna a cada elemento del dominio el mayor entero, menor o igual que él. Recibe el nombre de parte entera. Es decir, 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1 Esta función se define de los números reales a los números enteros, es decir, 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ y 𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℤ
- 11. FUNCIÓN PARTE ENTERA Algebraicamente, la función parte entera se define así, 𝑓 𝑥 = −2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 1 −1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0 0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2 2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3 3 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 4 . . . .
- 12. EJEMPLO Realizar la gráfica de la siguiente función, Luego halla su dominio y rango 𝒉 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 FUNCIÓN PARTE ENTERA Primero: se construye una tabla de valores y se analiza su comportamiento x -2,5-1,5-0,5 0,5 1 1,5 y -4 -3 -2 -1 0 0
- 13. EJEMPLO La gráfica de a función es: FUNCIÓN PARTE ENTERA 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℤ
- 14. EJEMPLO FUNCIÓN PARTE ENTERA 2. Una compañía de telefonía celular cobra $240 solamente por marcar un número internacional, de ahí en adelante cada minuto que dure la llamada genera un incremento de $240. encontrar una expresión algebraica para la situación planteada. Primero: se definen las variables x: duración de la llamada en minutos y: valor de la llamada en pesos Luego: se representan algunos valores en una tabla x 0 0,5 1,5 2,5 3 4,5 y 240 240 480 720 960 1200 Finalmente, el valor de la llamada se puede expresar mediante la siguiente función, 𝑦 = 240 𝑥 − 1
- 15. EJEMPLO La gráfica de la función es: FUNCIÓN PARTE ENTERA