Guia de funciones_i
- 1. Universidad Metropolitana Matemática I (BPTMI01) Departamento de Matemáticas Trimestre 16-17_1 Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar FUNCIONES ELEMENTALES Las gráficas fueron realizadas con geogebra
- 2. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 2 FUNCIONES Una función f de A en B es una relación que a cada elemento x del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B, denotado por )(xf , y se escribe: )( BA: xfx f El conjunto A se denomina dominio de la función, y se denota por fDom . A )(xf se le denomina imagen de x mediante f. El conjunto de todas las )(xf se denomina rango de la función, y se denota por fRg . Si RA y RB , la función se denomina función real de variable real. La representación en el plano de todos los pares )(, xfx se denomina gráfica de la función. Funciones pares e impares: Una función real de variable real f es par si )()( xfxf para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y. Una función real de variable real f es impar si )()( xfxf para toda x. En este caso, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje origen. Funciones crecientes y decrecientes: Una función real de variable real f es creciente en un intervalo I si y sólo si 2121 xfxfxx para todo par de números x1 y x2 en I. Una función real de variable real f es decreciente en un intervalo I si y sólo si 2121 xfxfxx para todo par de números x1 y x2 en I. Una función real de variable real f es estrictamente monótona si es creciente o decreciente.
- 3. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 3 OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g dos funciones reales de variable real de dominios fDom y gDom respectivamente. Las funciones suma, diferencia, producto, multiplicación por un escalar y cociente se define como: )()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom . )()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom . )()()( xgxfxgf para toda gfx DomDom . )()( xkfxfk para todo número real k y toda fx Dom . )( )( )( xg xf x g f para toda 0)(/ xgxx gfgf DomDomDomDom .
- 4. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 4 ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN POLINÓMICA La función real de variable real definida por n n xaxaxaaxf 2 210)( donde naaa ,,, 10 son números reales se denomina función polinómica, y se escribe n n xaxaaxfx f 10)( RR: Si 0na , el grado es n. Dominio: El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . CASOS PARTICULARES Función constante: La función real de variable real definida por bxf )( donde b es un número real se denomina función constante, y se escribe: bxfx f )( RR: i) Dominio: El dominio de toda función constante es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: El rango de toda función constante es el conjunto unitario que contiene a b, es decir bRg f . iii) Gráfica: La gráfica de toda función constante es una recta paralela al eje x que interseca al eje y en el punto b,0 .
- 5. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 5 Ejemplo Sea f la función real de variable real definida por 2)( xf Dominio Rango Gráfica RDom f 2Rg f Función afín La función real de variable real definida por baxxf )( donde a y b son números reales y 0a se denomina función afín, y se escribe: baxxfx f )( RR: i) Dominio: El dominio de toda función afín es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: El rango de toda función afín es el conjunto de los números reales, es decir RRg f . iii) Gráfica: La gráfica de toda función afín es una recta que interseca al eje y en el punto b,0 e interseca al eje x en el punto 0, a b . El número a se denomina pendiente de la recta.
- 6. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 6 Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable real definida por 24)( xxf Dominio Rango Gráfica RDom f RRg f Observa que como 04 a la pendiente es positiva y la medida del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de la x está entre 0 y 90 , y la función f es creciente en todo su dominio. 2) Sea f la función real de variable real definida por 3 2 1 )( xxf Dominio Rango Gráfica RDom f RRg f Observa que como 0 2 1 a la pendiente es negativa y la medida del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de la x está entre 90 y 180 , y la función f es decreciente en todo su dominio.
- 7. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 7 Función cuadrática La función real de variable real definida por cbxaxxf 2 )( donde a, b y c son números reales y 0a se denomina función cuadrática, y se escribe cbxaxxfx f 2 )( RR: i) Dominio: El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f El vértice de la parábola es el punto a b f a b 2 , 2 , luego: ii) Rango: si 0a : el rango es el intervalo , 2a b f ; si 0a el rango es el intervalo a b f 2 , . iii) Gráfica: La gráfica es una parábola. Si 0a la parábola abre hacia arriba. Si 0a la parábola abre hacia abajo. Interseca al eje y en el punto )0(,0 f = c,0 . Los puntos de intersección con el eje x dependen de las soluciones de la ecuación 02 cbxax . Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable real definida por , 32)( 2 xxxf i) RDom f . ii) Como la gráfica es una parábola, cuyo vértice es el punto de coordenadas 4,1 . iii) Como 01a la parábola abre hacia arriba y se tiene que ,4Rg f . iv) La gráfica interseca al eje x en los puntos 0,1 y 0,3 e interseca al eje y en el punto 3,0 .
- 8. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 8 v) Gráfica de f se muestra en la figura: Observa que: Si 3,1x entonces 032)( 2 xxxf y si ,31,x entonces 0)( xf . f es creciente en el intervalo ,1 y es decreciente en el intervalo 1, . 2) Sea f la función real de variable real definida por 32)( 2 xxxf i) RDom f ii) Como la gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto de coordenadas 2,1 . iii) Como 01a la parábola abre hacia abajo y se tiene que 2,Rg f . iv) La gráfica no interseca al eje x e interseca al eje y en el punto 3,0 . v) Gráfica de f se muestra en la figura: Observa que: si Rx entonces 032)( 2 xxxf . f es decreciente en el intervalo ,1 y es creciente en el intervalo 1,
- 9. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 9 Funciones potencias La función real de variable real definida por n xxf )( donde n es un número entero positivo se denomina función potencia, y se escribe: N,)( RR: nxxfx f n i) Dominio: El dominio de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: Si n es par el rango de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales no negativos, es decir ,0Rg f . Si n es impar el rango de toda función potencia entera es el conjunto de los números reales, es decir RRg f . iii) Gráfica: La gráfica contiene al punto 0,0 . Si n es par, la gráfica decrece para 0,x y crece para ,0x y contiene los puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la gráfica de 2 )( xxf . Si n es impar la gráfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero y contiene los puntos 1,1 y 1,1 . Es similar a la gráfica de 3 )( xxf . NOTA: Los casos 1n y 2n ya fueron estudiados. Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable real definida por 4 )( xxf Dominio Rango Gráfica RDom f ,0Rg f
- 10. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 10 Observa que: f es una función par, ya que )()( 44 xfxxxf f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0, 2) Sea f la función real de variable real definida por 3 )( xxf Dominio Rango Gráfica RDom f RRg f Observa que: f es una función impar, ya que )()( 33 xfxxxf f es creciente en R.
- 11. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 11 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función real de variable real definida por xxf )( se denomina función valor absoluto, y se escribe: xxfx f )( RR: i) Dominio: El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: El rango de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, ,0Rg f . iii) Gráfica: Dado que 0xsi- 0si )( x xx xxf , La gráfica coincide con la gráfica de la recta xy a la derecha del eje y, y con la gráfica de la recta xy a la izquierda del eje y. Observa que: f es una función par, ya que )()( xfxxxf f es creciente en el intervalo ,0 y es decreciente en el intervalo 0,
- 12. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 12 FUNCIÓN PARTE ENTERA La función real de variable real definida por xxf )( , que a cada número real x le asigna su parte entera, se denomina función parte entera, es decir, es la función que a cada número real x le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, y se escribe: xxfx RRf )( : i) Dominio: El dominio de la función parte entera es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: El rango de la función parte entera es el conjunto de los números enteros, es decir, Zf Rg . iii) Gráfica: La gráfica contiene todos los puntos de la forma nn, con Zn La gráfica tiene forma de una escalera, donde la imagen de cada número real x perteneciente a un intervalo de la forma 1, nn con Zn , es constante y coincide con la gráfica de ny
- 13. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 13 FUNCIÓN RACIONAL La función real de variable real definida por )( )( )( xq xp xf donde )(xp y )(xq son polinomios con 0)( xq se denomina función racional. Dominio: El dominio de toda función racional es el conjunto de todos los números reales que no anulen el denominador, es decir, 0)(:RDom xqxRf . Ejemplo: Sea f la función real de variable real definida por 123 65 )( 2 x xx xf 4R0123:RRDom xxf CASO PARTICULAR La función real de variable real definida por x xf 1 )( . Conocida como función recíproca, y se escribe: x xfx f 1 )( RR: ** i) Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales que no anulen el denominador, es decir, 0R0:RDom xxf ii) Rango: El rango es el conjunto de todos los números reales que no anulen el denominador, es decir, 0R0:RRg xxf iii) Gráfica de f: La gráfica decrece de izquierda a derecha en el tercer cuadrante pasando por el punto 1,1 . La gráfica decrece de izquierda a derecha en el primer cuadrante pasando por el punto 1,1 . Observa que: f es una función impar, ya que )( 11 )( xf xx xf f es decreciente en los intervalos 0, y ,0
- 14. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 14 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA La función real de variable real definida por xxf )( se denomina función raíz cuadrada positiva, y se escribe: xxfx f )( ,0,0: i) Dominio: El dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, ,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica contiene al punto 0,0 . La gráfica crece de izquierda a derecha en el primer cuadrante. Observa que: f es creciente en todo su dominio.
- 15. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 15 FUNCIÓN INVERSA Una función real de variable real f es inyectiva si y sólo si 2121 xfxfxx para todo par de números x1 y x2 en el dominio. Observa que toda función estrictamente monótona en su dominio es inyectiva. Sea f una función inyectiva, de dominio A y rango B. La función inversa de la función f denotada por 1 f es la función de dominio B y rango A definida por yxfxyf )()(1 para todo y en B. Observa que: xxff )(1 para toda x en B xxff )(1 para toda x en A Ejemplo: La función f: ,0,0 definida por 2 )( xxf admite inversa, y su inversa es la función :1 f ,0,0 definida por xxf )(
- 16. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 16 ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS INVERSAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno Es la función real de variable real que a cada número real x le asigna el seno del ángulo que mide x radianes, y se escribe: radsensen 1,1-R xxxfx f )( : i) Dominio: RDom f . ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π2 , es decir , xx senπ2sen para todo Rx Zkπ,0sen0)( kxxxf Zk2kπ 2 π 1sen1)( xxxf Zk2kπ 2 3π 1sen1)( xxxf . Observa que: f es una función impar, ya que )(sen)(sen)( xfxxxf
- 17. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 17 Función coseno Es la función real de variable real x que a cada número real x le asigna el coseno del ángulo que mide x radianes , y se escribe: radcos 1,1-R xxxfx f cos)( : i) Dominio: RDom f . ii) Rango: 1,1Rg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π2 , es decir , osxxos cπ2c para todo Rx 00)( osxxf c Zπ, π kk 2 . Zk2kπ1c1)( xosxxf . Zkπ,12k1c1)( xosxxf . Observa que: f es una función par, ya que )(c)(c)( xfxosxosxf
- 18. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 18 Función tangente Es la función real de variable real que a cada número real x diferente de Zπ, π kk 2 , le asigna la tangente del ángulo que mide x radianes , y se escribe: rad sen tan RRDom x x x xxfx f f tan cos )( : i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf Zπ, 2 :R-R kkxx . ii) Rango: RRg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π , es decir , xx tanπtan para todo fDomx Zkπ,0tan0)( kxxxf .
- 19. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 19 Función secante Es la función real de variable real que a cada número real x diferente de Zπ, 2 π kk , le asigna la secante del ángulo que mide x radianes , y se escribe: radsec RRDom x x xxfx f f sec cos 1 )( : i) Dominio: 0)cos(:R-RDom xxf Zπ, 2 :R-R kkxx ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π2 , es decir , xx secπ2sec para todo fx Dom 0)( xf para todo fx Dom .
- 20. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 20 Función cosecante Es la función real de variable real que a cada número real x diferente de Zπ, kk , le asigna la cosecante del ángulo que mide x radianes , y se escribe: rad sen csc RRDom x x xxfx f f csc 1 )( : i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Zπ,:R-R kkxx . ii) Rango: ,11,Rg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π2 , es decir, scxx cπ2csc para todo fx Dom . 0)( xf para todo fx Dom .
- 21. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 21 Función cotangente Es la función real de variable real que a cada número real x diferente de Zπ, kk , le asigna la cotangente del ángulo que mide x radianes , y se escribe: radan sen cotan RRDom x x x xxfx f f cot cos )( : i) Dominio: 0)sen(:R-RDom xxf Zπ,:R-R kkxx ii) Rango: RRg f . iii) Gráfica: Es periódica, de período π , es decir , xx cotanπcotan para todo fx Dom . Zkkπ 2 π 0cotan0)( xxxf .
- 22. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 22 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Función arco seno La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo 2 π , 2 π donde ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su inversa es la función arco seno, definida por xaxf rcsen)( o por xxf -1 sen)( tal que xyyxa senrcsen y 2 π 2 π y con 11 x y se escribe: xxxfx f 1 senarcsen)( 2 π , 2 π -1,1-: i) Dominio: 1,1Dom f . ii) Rango: 2 π , 2 π Rg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función arco seno contiene al punto 2 π ,1 ya que 2 π 1rcsen a . La gráfica de la función arco seno contiene al punto 0,0 ya que 0)0(rcsen a . La gráfica de la función arco seno contiene al punto 2 π ,1 ya que 2 π 1rcsen a . La gráfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero como se muestra a continuación.
- 23. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 23 Función arco coseno La función coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo π,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su inversa es la función arco coseno, definida por xaxf rccos)( o por xxf -1 cos)( , tal que xyyxa cosrccos y π0 y con 11 x y se escribe: xxxfx f 1 cosarccos)( π,01,-1: i) Dominio: 1,1Dom f . ii) Rango: π,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero. La gráfica de la función arco coseno contiene al punto 0,1 ya que 0)1(arccos . La gráfica de la función arco coseno contiene al punto π,1 ya que π1rccos a . La gráfica de la función arco coseno contiene al punto 2 π ,0 ya que 2 π 0arccos .
- 24. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 24 Función arco tangente La función tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo 2 π , 2 π donde ella es creciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su inversa es la función arco tangente, definida por xaxf rctan)( o por xxf -1 tan)( tal que xyyxa tanrctan y 2 π 2 π y con Rx y se escribe xxxfx f 1 tanarctan)( 2 π , 2 π R: i) Dominio: RDom f . ii) Rango: 2 π , 2 π Rg f . iii) Gráfica: La gráfica crece de izquierda a derecha desde el tercer cuadrante hacia el primero. La gráfica de la función arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan . La gráfica de la función arco tangente contiene al punto 0,0 ya que 0)0(arctan .
- 25. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 25 Función arco secante La función secante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto 2 π3 ,π 2 π ,0 donde ella es inyectiva, tenemos que admite inversa sobre su rango, su inversa es la función arco secante, definida por xaxf rcsec)( o por xxf -1 sec)( , tal que xyyxa secrcsec y 1si 2 π3 πó1si 2 π 0 xyxy y se escribe: xxf(xx f 1 secarcsec) 2 3π ,π 2 π ,0,11,: i) Dominio: El dominio de la función arco secante es el conjunto ,11, , es decir ,11,Dom f . ii) Rango: El rango de la función arco secante es el conjunto 2 π3 ,π 2 π ,0 , es decir, 2 π3 ,π 2 π ,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función arco secante contiene al punto 0,1 ya que 01arcsec . La gráfica de la función arco secante contiene al punto π,1 ya que π1arcsec .
- 26. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 26 Función arco cosecante Función arco cosecante La función cosecante no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al conjunto 2 3π ,π 2 π ,0 donde ella es inyectiva tenemos que admite inversa sobre su rango. Su inversa es la función arco cosecante, definida por xaxf rccsc)( o por xscxf -1 c)( tal que xyscyxa crccsc y 1si 2 π3 πó1si 2 π 0 xyxy y se escribe xxf(xx f 1 cscarccsc) 2 3π ,π 2 π ,0,11,: i) Dominio: ,11,Dom f . ii) Rango: 2 3π ,π 2 π ,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función arco cosecante contiene al punto 2 π ,1 ya que 2 π 1rccsc a . La gráfica de la función arco cosecante contiene al punto 2 3π ,1 ya que 2 3π 1rccsc a .
- 27. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 27 Función arco cotangente La función cotangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo π,0 donde ella es decreciente, tenemos que es inyectiva y en consecuencia admite inversa sobre su rango. Su inversa es la función arco cotangente, definida por xaxf rccotan)( o por xxf -1 cotan)( tal que xyyxa cotanrccotan y π0 y con Rx y se escribe: xxxfx f 1 cotanarccotan)( π,0R: i) Dominio: RDom f . ii) Rango: π,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función arco cotangente contiene al punto 2 π ,0 ya que 2 π 0arccotan .
- 28. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 28 FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a La función real de variable real definida por x axf )( con 0a y 1a se denomina función exponencial de base a, y se escribe: x axfx f )( RR: i) Dominio: El dominio de la función exponencial de base a es el conjunto de los números reales, es decir, RDom f . ii) Rango: El rango de la función exponencial de base a es el conjunto de los números reales positivos, es decir, ,0Rg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función exponencial de base a contiene al punto 1,0 . Si 1a la gráfica crece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero. Si 10 a la gráfica decrece de izquierda a derecha desde el segundo cuadrante hacia el primero. 1a 10 a
- 29. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 29 Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable real definida por x xf 2)( Su base es 12 , por lo tanto la función es creciente Dominio Rango Gráfica RDom f ,0Rg f 2) Sea f la función real de variable real definida por x xf 2 1 )( Su base es 1 2 1 , por lo tanto la función es decreciente Dominio Rango Gráfica RDom f ,0Rg f 3) Sea f la función real de variable real definida por x xf e)( Su base es 1e , por lo tanto la función es creciente Dominio Rango Gráfica RDom f ,0Rg f
- 30. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 30 FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a Como la función exponencial de base a definida como x axf )( con 0a y 1a es inyectiva admite inversa, su inversa es la función logaritmo de base a definida por xxf alog)( para 0x tal que xayx y a log y se escribe: xayxxxfx f y aa logquetal,log)( R,0: i) Dominio: El dominio de la función logaritmo de base a es el conjunto de los números reales positivos, es decir, ,0Dom f . ii) Rango: El rango de la función logaritmo de base a es el conjunto de los números reales, es decir, RRg f . iii) Gráfica: La gráfica de la función logaritmo de base a contiene al punto 0,1 . Si 1a la gráfica crece de izquierda a derecha desde el cuarto cuadrante hacia el primero. Si 10 a la gráfica decrece de izquierda a derecha desde el primer cuadrante hacia el cuarto cuadrante. 1a 10 a
- 31. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 31 Ejemplos: 1) Sea f la función real de variable real definida por xxf 2log)( Su base es 12 , por lo tanto la función es creciente Dominio Rango Gráfica ,0Dom f Rf Rg 2) Sea f la función real de variable real definida por xxf 2 1log)( Su base es 1 2 1 , por lo tanto la función es decreciente Dominio Rango Gráfica ,0Dom f Rf Rg 3) Sea f la función real de variable real definida por xxf elog)( , denominada función logaritmo neperiano, y se denota por xxf ln)( Su base es 1e , por lo tanto la función es creciente Dominio Rango Gráfica ,0Dom f Rf Rg
- 32. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 32 FUNCIÓN COMPUESTA Sea f una función de dominio fDom y rango fRg y sea g una función de dominio gDom y rango gRg , tal que gfg DomR . La función compuesta fg es la función definida por )()( xfgxfg para toda fx Dom tal que gxf Dom)( , es decir, gffg xfx Dom)(:DomDom . Ejemplo: Sean f y g las funciones definidas por xxf 1)( y xxg )( . RDom f y ,0Domg xxgxfgxfg 11)()( y xxfxgfxgf 1)()( ,1Dom fg y ,0Dom gf Nota: Observa que la composición de funciones no es conmutativa.
- 33. Resumen tomado del Problemario Cálculo Diferencial e Integral, por publicar 33 EJERCICIOS 1. Indica el dominio, el rango y grafica las siguientes funciones reales de variable real: a) 4 3 )( xf b) 7)( xxf c) 7)( xxf d) 168)( 2 xxxf e) 168)( 2 xxxf f) 9)( 2 xxf g) 6 )( xxf h) 7 )( xxf i) x xf 3)( j) x xf 5 2 )( k) xxf 3log)( l) xxf 5 2log)( 2. Indica el dominio y grafica las siguientes funciones reales de variable real: a) 0si7 0si 4 3 )( xx x xf b) 2si168 2si7 )( 2 xxx xx xf c) 1si3 1si )( 6 x xx xf x d) πsi 4 3 πsicos )( x xx xf e) 3si9 3-si )( 2 xx xx xf f) 1-si 1-si )( 6 7 xx xx xf g) xx x xxx xf x 1silog 11si 5 2 1si168 )( 3 2 h) xx xx xx xf 0siln 0 2 π sicos 2 π sisen )( 3. Sean 2 )( xxf y xxg )( . Escribe las expresiones de: a) )(xgf b) )2( xg c) ))2(1 xf d) )(xgf e) )(4 x g f 4. Sean xxf cos)( y x xg 3)( . Escribe las expresiones de: a) )(3 xgf b) 2 )2()2( agaf c) )(xfg d) )(xgf 5. Sean x xf 1 )( y xxg ln)( . Escribe las expresiones de: a) )(xgf b) )(x f g c) xxg ln)( 2 d) )(xgf e) )(4 x g f