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Este documento define y explica los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio. Define el vector tangente (T) como la dirección de la tangente a la curva. Define el vector normal (N) como perpendicular a T y apuntando hacia la dirección de mayor curvatura. Define el vector binormal (B) como el producto vectorial de T y N, perpendicular a ambos. Explica cómo calcular T, N y B para una curva dada por su ecuación parametrizada r(t). Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cál
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- 1. ZNCTBY0XVector tangente, normal y binormalDefiniciones:Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dtes un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar tcomo la longitud de arco smedida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha.La variación de T respecto de ses una medida de la curvatura de C y viene dada por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva.El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.
- 2. DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIORecordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.Cálculo del vector tangente unitarioEJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:Se calcula la primera derivada de por tanto el vector tangente unitario es:Cuando t=1, el vector tangente unitario es:Ver figura de la siguiente diapositiva
- 3. La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)
- 4. Cálculo del vector normal principal (unitario)EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por:Derivando la función dada vemos que:De donde se deduce que el vector tangente unitario es:vector tangente unitarioAhora derivando T (t) respecto de t, tenemos:Por lo tanto el vector normal principal es:
- 5. Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuaciónCuando t = 1, el vector normal principal es:Tal como se muestra en la figura de la derecha:DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMALEl vector unitario B definido por el producto vectorial: perpendicular al plano formado por T y N,se llama binormala la curva C.Cálculo del vector binormalPara calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N
- 6. Instittutotecnologico superior de alamo-temapache