Apunte 2. coordenadas_polares
- 1. Introducci´on a las Coordenadas Polares M. I. Caicedo Departamento de F´ısica, USB 1. La Base de Vectores M´oviles Consideremos una part´ıcula puntual que describe una trayectoria circular de radio R, sean: θ el ´angulo que forman el eje x y r(t) el vector de posicin de la part´ıcula. Un ejercicio elemental de geometr´ıa nos permite expresar el vector de posici´on en la forma: r(t) = R cosθ(t)ˆi + senθ(t) ˆj (1) en donde estamos destacando que, en vista de que la part´ıcula se mueve sobre un c´ırculo de radio R (i.e. |r(t) = R|, toda la dependencia temporal de r(t) tiene que estar en el ´angulo. Es facil darse cuenta de que podemos rescribir el vector de posici´on en la forma r(t) = R ˆur(t) (2) donde el vector ˆur(t) est´a dado por ˆur(t) ≡ cosθ(t)ˆi + senθ(t) ˆj (3) uθ ^ ^ur y x θ Figura 1: Los vectores polares ˆur y ˆuθ. N´otese que se deben entender como vectores m´oviles cuyo origen est´a localizado en el punto en que se encuentra la part´ıcula Arriesg´andonos a estar llamando la atenci´on sobre algo demasiado obvio notemos que ˆur(t) es un vector que tiene tres propiedades: 1
- 2. 1. es un vector unitario 2. en cada instante de tiempo ˆur es paralelo al vector de posici´on r y en consecuencia: 3. es un vector variable (su dependencia en el tiempo es impl´ıcita ya que est’ asociada al hecho de que ˆur depende en forma expl´ıcita del angulo θ. En vista de la ´ultima de estas propiedades podemos calcular la derivada temporal de ˆur obteniendo el resultado: ˙ˆur(t) = dˆur(t) dt = ˙θ(t) −senθ(t)ˆi + cosθ(t) ˆj , (4) esta expresi´on contiene dos factores. El primero ( ˙θ) proviene de la aplicaci´on de la regla de la cadena para la diferenciacin de funciones compuestas, mientras que el segundo, a saber, el vector: ˆuθ(t) ≡ −senθ(t)ˆi + cosθ(t) ˆj (5) es un nuevo con algunas propiedades bonitas, a saber 1. al igual que su pariente ˆur(t), es un vector unitario dependiente del tiempo. 2. ˆuθ(t) es ortogonal al vector ˆur(t) 3. La orientaci´on de ˆuθ(t) es en el sentido en que aumenta el ´angulo θ. La derivada temporal de ˆuθ(t) est´a dada por dˆuθ(t) dt = − ˙θ(t) cosθ(t)ˆi + senθ(t) ˆj = − ˙θ(t) ˆur(t) (6) Ahora bien1 , como ˆur y ˆuθ son vectores ortonormales constituyen una base del plano, de manera que todo vector w en el plano x − y puede escribirse como combinaci´on lineal de ambos vectoreas, es decir, en la forma W = Wr ˆur + Wθ ˆuθ (7) 2. Velocidad y Aceleraci´on en Coordenadas Polares 2.1. Movimiento circular Estamos interesados en encontrar expresiones para la velocidad y la aceleraci´on de una part´ıcula en movimien- to circular. Para ello utilizaremos los vectores que acabamos de introducir y las relaciones entre ellos. Recordando que la posici´on de la part´ıcula est´a dada por r = R ˆur (8) y diferenciando obtenemos: v = R ˙ur = R ˙θ ˆuθ (9) como bien sabemos, la velocidad es tangente a la trayectoria lo que queda claramente evidenciado en la f´ormula que acabamos de encontrar, en que la velocidad es proporcional al vector ˆuθ que efectivamente es tangente al 1de ahora en adelante y solo para simplificar las f´ormulas no escribiremos expl´ıcitamente la dependencia en t 2
- 3. c´ırculo de radio R. La cantidad R ˙θ no es otra cosa que la rapidez instant´anea del movimiento circular y a veces es denominada velocidad tangencial. An´alogamente, derivando la velocidad (v) se obtiene la siguiente expresi´on para la aceleraci´on de un movimien- to circular: dv dt = R d ˙θ dt ˆuθ + R ˙θ ˙ˆuθ = = −R ˙θ2 ˆur + R ¨θ ˆuθ (10) El primer t´ermino (−R ˙θ2 ˆur) radial y con sentido hacia el centro de coordenadas, es denominado aceleraci´on centr´ıpeta, mientras que el segundo (R¨θ ˆuθ) es conocido como aceleraci´on tangencial. Para dar una interpretaci´on f´ısica a cada uno de estos t´erminos consideremos la velocidad instant´anea de una part´ıcula en movimiento circular en dos instantes muy cercanos t y t + ∆t, esto es, queremos comparar v(t) y v(t + ∆t). En vista de que a es la aceleraci´on instant´anea y de que ∆t es un intervalo temporal muy corto podemos poner v(t + ∆t) ≈ v(t) + a(t) ∆t = = v(t) + −R( ˙θ(t))2 ) ˆur(t) + R¨θ(t) ˆuθ(t) ∆t = = R ˙θ(t) + ¨θ(t) ∆t ˆuθ(t) − R( ˙θ(t))2 ∆t ˆur(t) (11) en la ´ultima l´ınea salta a la vista que la aceleraci´on centr´ı peta es la componente de la aceleraci´on responsable del cambio de direcci´on del vectro de velocidad instant´anea. Por otra parte, si calculamos la rapidez v(t + ∆t) encontramos: v(t + ∆t) = v(t + ∆t).v(t + ∆t) (12) al calcular el producto S = v(t + ∆t).v(t + ∆t) resulta: S = R2 ˙θ2 + 2 ˙θ¨θ ∆t + (ters)(∆t)2 (13) donde la expresi´on (ters)(∆t)2 engloba a todos los t´erminos con un factor ∆t2 que -por ser ∆t un intervalo muy corto- es despreciables. En definitiva S ≈ R2 ˙θ2 + 2 ˙θ¨θ ∆t (14) y de all´ı sigue que2 v(t + ∆t) = R ˙θ(t) 1 + 2 ¨θ ˙θ ∆t ≈ v(t) 1 + ¨θ∆t ˙θ (15) ´o: v(t + ∆t) − v(t) v(t) ≈ ¨θ ˙θ ∆t (16) f´ormula en que se aprecia que los cambios en la rapidez provienen de la aceleraci´on tangencial. 2si 0 ≤ x << 1 ocurre que √ 1 + x ≈ 1 + 1 2 x 3
- 4. 2.2. El caso general Consideremos ahora un movimiento general en el plano. Es claro que si se escoge un origen fijo, la posici´on de la part´ıcula expresada en los sistemas de coordenadas cartesiano y polar ser´a: r = x(t)ˆi + y(t)ˆj = r ˆur (17) donde ahora debemos entender que el factor r (la magnitud del vector de posici´on de la part´ıcula) es variable en general. Usando las propiedades de la base polar podemos expresar la velocidad de la part´ıcula en la forma v = ˙r ˆur + r ˙θ ˆuθ (18) el primer t´ermino en esta expresi´on es la velocidad radial, es decir, la rapidez con que var´ıa la distancia entre la part´ıcula y el origen de coordenadas. Derivando una vez m´as y reordenando un poco los t´erminos, encontramos que la aceleraci´on en coordenadas polares est´a dada por: a = (¨r − r ˙θ2 ) ˆur + (r¨θ + 2 ˙r ˙θ) ˆuθ (19) Vale la pena observar que si el m´odulo del vector de posici´on es constante es decir si consideramos un movimiento circular r(t) = R las f´ormulas que acabamos de encontrar se reducen a las queencontramos en la subsecci´on anterior. 3. Una Aplicaci´on: El P´endulo Vamos a dar un ejemplo sencillo de la aplicaci´on de las coordenadas polares. Nuestro objetivo es estudiar las ecuaciones de movimiento de un p´endulo. Un p´endulo simple no es otra cosa que una masa suspendida de un techo por un cable ideal y que realiza un movimiento en un plano. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢ £££££££££££££££££££££££££££££££££££££££££ θ M l Figura 2: El P´endulo. Observe que ya hemos escogido el sentido en que mediremos el ´angulo θ. Es claro que las ´unicas fuerzas que act´uan sobre el p´endulo son el peso y la fuerza ejercida por el cable, de manera que la segunda ley de Newton para este sistema es senci9llamente: T + w = Ma (20) 4
- 5. Para atacar el problema debemos expresar la tensi´on, el peso y la aceleraci´on como combinaciones lineales de una base del plano del movimiento. Con este fin escogemos el origen de coordenadas en el punto de suspensi´on del p´endulo y utilizamos coordenadas polares. La tensi´on est´a dirigida a lo largo del cable de suspensi´on, y ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¢¡¢¢¡¢£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¥¡¥¦¡¦ w T θ Figura 3: El diagrama de cuerpo libre para M en consecuencia es radial, por lo tanto: T = T ˆur donde T es una inc´ognita del problema. El peso se puede descomponer en la base polar sin mayor problema y se obtiene: w = M g (cosθ ˆur − senθ ˆuθ) (21) Por otra parte, si usamos el argumento de que la cuerda es inextensible podemos asegurar que el movimiento de la masa es a lo largo de un arco de c´ırculo de radio , de manera que su aceleraci´on est´a dada por la f´ormula a = − ˙θ2 ˆur + ¨θ ˆuθ (22) En definitiva, en la base polar la segunda ley de Newton para M se expresa como: (T + M g cosθ ) ˆur − senθ ˆuθ = − ˙θ2 ˆur + ¨θ ˆuθ (23) de donde siguen inmediatamente las ecuaciones de movimiento T + g cosθ = −M ˙θ2 (24) −M g senθ = M ¨θ (25) que se pueden reescribir en la forma: ¨θ = − g senθ (26) T = − gcosθ + M ˙θ2 (27) Nota Importante: recuerde que estas notas no constituyen una biblia ni nada por el estilo, siempre debe leer otra bibliograf´ıa 5