Funciones

FUNCIONES
La relación de correspondencia aparece frecuentemente
en la vida diaria:
A cada libro de una biblioteca le corresponde un
número de hojas.
A cada ser humano le corresponde una fecha de
nacimiento
En el registro de la temperatura ambiental de un día, a
cada instante le corresponde una temperatura.
El nivel de ganancias de una fábrica depende de su
producción.
El área de un círculo depende de la longitud de su radio.
Estos ejemplos de correspondencia involucran dos
conjuntos D y E. A veces la correspondencia se ilustra con
diagramas como:
x
D
y
E

Los ejemplos indican que a cada “x” en D le corresponde
uno solo un “y” en E.
Sin embargo a varios elementos de D les puede
corresponder un mismo elemento de E
Cada uno de los ejemplos anteriores de correspondencia
es una función que se define como:
Una función f de un conjunto D a un conjunto E, es una
correspondencia que asigna a cada elemento “x” de D un
elemento único “y” de E.
El elemento “y” de E es el valor (funcional) de f en x y se
denota por f(x), se lee “f de x”
El conjunto D se llama DOMINIO de la función. El
CONTRADOMINIO de f es el subconjunto de E que consta
de todos los valores posibles f(x) para x en D. También se
llama rango o imagen de la función.
X1
X2
D
y1
E

Si se piensa en una función f como en una máquina, la
entrada va a ser el valor de x y la salida el valor de f(x).
Por ejemplo al tener la función f(x)= 2x + 5, se puede
evaluar con los siguientes valores:
a. f(3)= 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11
b. f(0)= 2(0) + 5 = 0 + 5 = 5
c. f(-1)= 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3
d. f(a + h)= 2(a + h) + 5 = 2a + 2h + 5
Cuando x es igual 3 entonces f(x) = 11, se puede
representar gráficamente de la siguiente forma:
Es muy importante comprender que la salida f(x)
asociada con una entrada x debe de ser única. Se van a
presentar dos ejemplos para poder distinguir en cuál
situación se tiene representada una función.

1.
El precio de un artículo en una tienda departamental
depende de su código de barras.
Código
Barras
100001000 100001005 100001011 100001023
Precio $122 $55 $100 $55
En esta situación se sabe que el código de barras no
puede estar repetido dentro de una tienda
departamental, puede ser que el precio sea el mismo
en varios artículos pero eso no importa, el valor de la
función puede repetirse, lo que no puede repetirse es
que para un valor de x se tengan dos valores de y.
2. El número telefónico de una persona en Chihuahua
depende de su nombre.
Nombre
Lucía
Pérez
Garza
Lucía
Pérez
Garza
Pedro
Ramírez
Ulloa
Teléfono 121-89-10 123-15-12 125-14-65
Aquí se puede tener para el mismo nombre dos
números telefónicos diferentes, de manera que no
cumple con la regla de una función.
Encontrar el dominio de una función.

Dada la función y = f(x), la variable “x” es la variable
independiente y la variable “y” es la variable dependiente.
El dominio de una función es un conjunto de posibles
valores de “x” y la imagen o rango es el conjunto
correspondiente de los valores de “y”, cuando adopta todos
los posibles valores de x.
Si se tiene f(x)= 2x, el dominio son todos los números
reales, ya que a x se le puede dar cualquier valor numérico.
La imagen también va a ser todos los números reales, ya que
f(x) va a tomar también cualquier valor real.
Es importante hacer notar que el dominio puede estar
restringido por operaciones matemáticas, por ejemplo si la x
se encuentra en el denominador, hay que tomar en cuenta que
no podemos dividir entre 0, también cuando se tiene raíz
cuadrada, no existe la raíz de un número negativo.
El dominio se puede restringir de acuerdo al problema,
si la función representa el total a pagar al comprar refrescos,
se dice que el valor de x debe de ser mayor o igual a cero ya
que no se puede comprar un número de refrescos negativo.
Encontrar el dominio de la siguiente función:

Para esta función se tiene que tomar en cuenta primero
que no existe la raíz de un número negativo, por lo tanto x - 3
debe de ser ≥ 0, pero además, como se encuentra en el
denominador, tampoco el denominador puede ser 0, de
manera que el dominio debe de ser tal que x - 3 > 0.
x – 3 > 0 despejamos, x > 3.
Por lo tanto el dominio de x son los números reales
mayores a 3, que se puede escribir de la siguiente forma:
(3, )
Ejemplos:
Función Dominio Observaciones
En esta función, x puede
ser cualquier número real.
Dado que la x está elevada
al cuadrado, se le pueden
dar valores negativos, ya
que lo de adentro de la raíz
siempre va a ser positivo.
En el denominador se
tienen las restricciones de
que x tiene que ser
diferente de -2 y de 3.

Dado que por la raíz se
tiene la restricción de que
x tiene que ser mayor que
1, la restricción de x
diferente de -2 no se tiene
que especificar.
INTERVALOS
Conjunto de valores comprendidos entre otros dos
llamados límites inferior y superior a, b.

Se pueden representar en una recta numérica.
INTERVALOS CERRADOS: [a, b] ó a ≤ X ≥ b
a ≤ X ≥ b
INTERVALOS ABIERTOS: (a, b) ó a < X > b
a < X > b
INTERVALOS SEMIABIERTOS:
(a, b] ó a < X ≥ b
a < X ≥ b
[a, b) ó a ≤ X > b
a ≤ X > b
Gráficas de Funciones

La gráfica de una función f es el conjunto de todos los
puntos (x, y) en el plano xy tales que x esté en el dominio
de f y y = f(x).
Para graficar una función se va a generar una tabla
dándoles valores a x y obteniendo los valores
correspondientes de y. Posteriormente se van a ver
técnicas para graficar funciones.
Graficar la función
Se le dan valores a x para encontrar los valores
correspondientes de la función.
x -3 -1 0 1 3
y =
f(x)
-5 3 4 3 -5
Al graficar estos puntos y unirlos, queda la siguiente
gráfica:

Gráficas de funciones básicas
A continuación se presentan las gráficas de 6 funciones
que son básicas y se pueden utilizar para graficar otras
funciones.

Al conocer estas gráficas se puede saber el tipo de curva
que vamos a tener al graficar una función, por ejemplo si la
gráfica es con x a la potencia 1, se va a tener una línea, si
tiene raíz, va a ser la parte de una curva, si sólo es una
constante se va a tener una línea horizontal, etc.
Ejemplo:
En este caso la función está definida por intervalos y por lo
tanto se va a graficar la función por partes.
Se genera una tabla de valores para cada intervalo:
Si x < -1:
x -4 -3 -2 -1.1
-x-1 3 2 1 0.1

Si la función siempre va a ser 0, por lo tanto no se
necesita generar tabla para este intervalo.
Si x > 1:
x 1.1 2 3 4
x+1 2.1 3 4 5
Se grafican los puntos y queda lo siguiente:
En esta gráfica, en el segundo intervalo para , se
tiene incluido el valor de x = -1 y de x = 1, por lo tanto al
graficar el valor de x =1 se utiliza un punto lleno para
especificar que el valor de y = 0 corresponde a x = 1. En el
tercer intervalo para x > 1 se tiene un punto vacío porque
los valores de x empiezan justo después de x = 1 pero no
lo incluyen.
Ejercicios:
1. Graficar la función

2. Graficar la función
Una vez que realices las graficas puedes verificar tus
respuestas con las graficas que se presentan al final del
documento.
Prueba de la recta vertical.
Al tener la gráfica de una ecuación se puede utilizar la
prueba de la línea vertical para ver si la ecuación
representa una función.
Prueba de la recta vertical. Una curva en el plano
xy es la gráfica de una función y = f(x), si y sólo si
cada recta vertical la intersecta cuando más en un
punto.
Si se gráfica la ecuación representada por la línea roja,
se puede observar que al pintar una línea vertical en el lado
derecho, tiene dos intersecciones con la curva de la
ecuación, por lo tanto la ecuación no representa una
función.

Al graficar la ecuación y = 2x representada por la línea roja,
se puede observar que al pasar una línea vertical de
izquierda a derecha sobre la gráfica, sólo se tiene una
intersección con la gráfica de la función, por lo tanto sí
representa una función.
Utilizar la computadora para graficar funciones.
Existen varias herramientas para graficar funciones en la
computadora, para los objetivos de este curso se va a

utilizar la aplicación WinPlot que es un software
desarrollado en una universidad y es gratuito.
Al abrir la aplicación se debe de seleccionar en el menú la
opción "2-dim" para poder hacer una gráfica. Después en la
opción del menú "Equa" seleccionar y=f(x) y aparecerá una
ventana en donde se va a definir la función, por ejemplo
para f(x) = 10 x3
se debe de teclear 10x^3 y seleccionar el
botón de "OK". Enseguida aparecerá la gráfica en la
ventaja donde están los ejes x y y. Para hacer alejamientos
o acercamientos se pueden revisar las opciones del menú
"View".
En los ejercicios que se pida utilizar una calculadora gráfica
o la computadora, pueden utilizar esta aplicación para
graficar las funciones.
Esta aplicación es muy práctica pero también es importante
que se aprenda a graficar las funciones en papel.

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