Dominio y rango

DOMINIO Y RANGO DE

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por

.

Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama
sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede
hacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el
elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta
relacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una función
también se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1,
mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante
la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir,
27=f(3).

CLASES DE FUNCIONES REALES
Las funciones definidas en el conjunto R, se denominan funciones reales. Veamos
algunas de ellas.

FUNCIÓN LINEAL

Toda función de la forma , en donde , son constantes, o

también ,es una función lineal y su repesentación grafica es una
linea recta, y lo que también podemos afirmar es que cuando nosotros deseamos
conocer la pendiente de la recta lo que tendremos que hacer sera ver al numero que
acompaña la x.

FUNCIÓN CONSTANTE

Toda función de forma , donde c es una constante, recibe el nombre de
función constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real x del
dominio, le asigna un mismo valor.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función , se llama función valor absoluto, y tiene la caracteristica
que la gráfica divide al primero y al segundo cuadrante.

FUNCIÓN PARTE ENTERA

La función , para , llamada función parte entera,
función escalonada o función mayor entero, tiene como dominio el conjunto R y el
rango lo conforman todos los enteros.

FUNCIÓN COMPUESTA
La definición indica que al calcular (f o g)(x), primero se aplica la función g a x, y después la
función f a g(x) El dominio de f o g es el conjunto de todos los numeros x en el dominio de g,
tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una
función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene
ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los
valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función
para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) = ,

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función
produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a
x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un
número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un
número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido
por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de
una función o de una expresión algebraica:

No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se
trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión
queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al
evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).
También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número,
positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es
decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado
por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención
en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que
cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y
lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando
la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración
radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de
crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

Ahora los invito a ver el siguiente video que ayuda a complementar la información
sobre dominio y rango de las funciones:

Función matemática
De Wikipedia, la enciclopedia libre

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En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de
números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada»
en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la
primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el áreaA de un
círculo es función de su radior: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A
= π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad
v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es
inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la
duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el
radio, la distancia) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se
refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un
único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un
único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,

+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el
conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son
las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada
palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las
letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

dondeA es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es
el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la
regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A,
es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es
suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio
por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles
f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para
obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada
valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o
como una gráfica que dé una imagen de la función.

Contenido
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1Historia
2Introducción
3Definición
4Notación. Imagen e imagen inversa
o 4.1Igualdad de funciones
5Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
6Álgebra de funciones
o 6.1Composición de funciones
o 6.2Función identidad
o 6.3Función inversa
o 6.4Restricción y extensión
7Representación de funciones
8Terminología, tradición y convenios
o 8.1La notación funcional
9Definición formal
10Véase también
11Referencias
12Enlaces externos

Historia

Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en ensiglo XVII.

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser
estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.1René
Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como
dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos
«función», «variable», «constante» y «parámetro».

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica
que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas
limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las
«dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837
Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una
correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número
en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la
dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su
expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una
mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones
sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún
fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin
derivada en ningún punto.

Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición
actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos
cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos
vinculados como el de relación binaria.

Introducción

Gráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s2.

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre
dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un
ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el
movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que
está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t,
la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un
experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en
un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia
recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:

Tiempo t (s) Distancia d (m)

0,0 0,0

0,5 0,1

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información.
Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando
la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede
utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este
caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t2,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que
existe una dependencia entre ambas magnitudes.

Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias
variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración
constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t;
en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia
entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función
que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la
semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

Definición

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos
de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntosA y B, una función (también aplicación o
mapeo) entre ellos es una asociación2f que a cada elemento de A
le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el
dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial)
de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o
conjunto final).

Esta definición es precisa, pero existe una definición formal más rigurosa, que construye
las funciones como un objeto concreto.

Ejemplos

Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a
cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominioR.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la
función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R {0}, y con
codominioR.
Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta.
Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de
la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en
géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}.
Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos
ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.
En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una
función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra
un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Notación. Imagen e imagen inversa

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el
sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominioB es:

También se dice que f es una función «de AaB» o «entre A y B». Por f(a) se resume la
operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a∈A, su
imagen.2

Dada una función f :A→B, el elemento de B que corresponde a un
cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a,
f(a). El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es
la imagen de la funciónf (también rango o recorrido de f). El
conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del
dominio, X⊆A, se denomina la imagen de X.

La imagen de una función f se denota por Im(f), la de un subconjunto X por f(X) o f[X],
y el dominio de una función f, también denominado conjunto de partida o conjunto
inicial, se denota por dom(f), D(f), Df, etc.

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son
necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen
de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b
del codominioB es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por

imagen:

La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y⊆B, es el
conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y:

Así la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto. En
general la preimagen tampoco tiene por qué contener un único elemento: una función
puede asignar el mismo objeto a varios elementos distintos del dominio.

Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada
número real x. La imagen de f es todo R, ya que todo número real posee una raíz
cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son
positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f−1(R+) = R+.
La función «inverso» es g: R {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo. El
recorrido de g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo
inverso sea 0, 1/x = 0.
La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) =
Género de m, para cada mamífero conocido m. En particular:

γ(Perro) = Canis, y γ−1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B ·
H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura. Como el área es
siempre un número positivo, el recorrido de A es R+.
La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó,
para cada votante a. En la imagen, puede comprobarse que la imagen de v no coincide
con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse
que, por ejemplo, v−1(Partido A) tiene 2 elementos.

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y
codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D, son iguales o idénticas si se cumple:

Tienen el mismo dominio: A = C
Tienen el mismo codominio: B = D
Asignan las mismas imágenes: para cada x∈A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Función no inyectiva y no suprayectiva

Función inyectiva y no suprayectiva

Función suprayectiva y no inyectiva

Función biyectiva

Artículos principales:Función inyectiva, función suprayectiva y función biyectiva

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios
objetos del dominio. Sin embargo algunas funciones se comportan de manera especial y
se las distingue.

Se dice que una función f : A→B es inyectiva las imágenes de elementos
distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

Una función f : A→B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es
igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún
elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por
imagen a b, por lo que la anti-imagen de este sólo contiene un elemento, a. Las
funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen
puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que la función tiene un
codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no
tiene sentido. Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una
biyección entre ambos conjuntos:

Una función f :A→B se dice biyectiva si es inyectiva y

suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos
del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una «pareja» en B, y a cada
elemento de B le corresponde uno solo en A: al menos uno por ser suprayectiva, y
precisamente uno por ser inyectiva.

Ejemplos.

La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que
tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
La función «inverso» g: R {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real
no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es
suprayectiva, dado que Im(g) = R {0}.
La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay
mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin
embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al
menos una especie de mamíferos.
La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva,
ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles
P y un conjunto de caras C.

Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades
similares a las de la multiplicación.

Composición de funciones

La composición g∘f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando
f(x) mediante g.

Artículo principal:Composición de funciones

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los «valores de salida» de
una de ellas como «valores de entrada» para la otra.

Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D para las que se cumple
que Im(f) ⊆C, la composición de g con f es la función g∘f : A→D
dada por (g∘f)(x) = g(f(x)), para cada x∈A.

Es decir, la composición g∘f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y
luego g sobre la imagen que se obtenga:

La condición Im(f) ⊆C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a
cabo.

Ejemplos

La imagen de la función «inverso» g es R {0} —puesto que todo número real no nulo
es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f,

que es R. La composición f∘g: R {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 =
1/x3.
Dadas las funciones reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1,
puede tomarse la composición en ambos órdenes, h1∘h2 y h2∘h1. Sin embargo, son
funciones distintas, ya que:

(h1∘h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y
(h2∘h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función
ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el
conjunto Or—. La función ω∘γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω∘γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω∘γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Función identidad

Artículo principal:Función identidad

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como
dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función
idA : A→A dada por idA(a) = a, para cada a∈A.

La función identidad también se denota como IA. La identidad actúa como un elemento
neutro al componer funciones, ya que no «hace nada».

Dada una función cualquiera f : A→B se tiene:

Función inversa

Artículo principal:Función inversa

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla resulte en la
identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A→B, se dice que g : B→A es la inversa o recíproca de f
si se cumple:

La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles. Si se componen dos funciones y el resultado es
la identidad, esto impone condiciones sobre el tipo de funciones que pueden ser:

1. Sean dos funciones f :A→B y g : B→A. Si g∘f = idA, entonces g es suprayectiva y
f es inyectiva.
2. En consecuencia, si una función f posee inversa f−1, tanto f como f−1 son
biyectivas.

Ejemplos.

Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso de quetzales y
rupias, la conversión está dada (en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca entre rupias y quetzales:
R(q) = 6,65 × q
La función cubo f(x) = x3 es invertible, ya que podemos definir la función inversa
mediante la raíz cúbica, f−1(x) = 3√x.
La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función
que asigna a cada día de la semana su antecesor:

Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes

Restricción y extensión

Artículo principal:Restricción de una función

La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que
a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restricción de una función es otra función definida en una parte del dominio de la
original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la función original es una
extensión de la nueva.

Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D, de forma que el dominio de g sea un
subconjunto del dominio de f, C⊆A, y cuyas imágenes coinciden en este
subconjunto:

se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es una
extensión de g.

La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C⊆A se denota por f|C.

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática:
ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la
segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se
dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales
casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son
todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la
función.

Ejemplo:

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada
para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones
discretas.

Ejemplo:
5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y/x -2 -1 0 1 2 3

Terminología, tradición y convenios

La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde
su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las
nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento
cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y
parámetro.

Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la
invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo
se decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable
real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio
como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio
eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables
dependientes.

Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan
funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran
subconjuntos de o se llamaban funciones de dos o tres variables (reales)
respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas
sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores
bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en
Física es usual la siguiente terminología.

Función escalar: Función del tipo
Campo escalar: Función del tipo
Función vectorial: Función del tipo
Campo vectorial: Función del tipo

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra
la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace

sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos
encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una
posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en
rigor la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son
subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La
expresión "la función " se debe entender como una abreviación de lo
siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación
funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado
dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y
cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical
nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para
indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la
composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si y
, podemos considerar a como la composición de las
funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición.
En efecto, f es una función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una
función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen
de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para
efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una
composiciónd de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .

Definición formal

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los
conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de
relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las
relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tales que no existen dos
pares ordenados distintos con la misma primera componente:

El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras
(segundas) componentes:

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto
potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es
importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:3

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el
codominio y el grafo de f, tales que:

1. G(f) ⊂A × B
2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a∈A, existe un b∈B tal que
(a, b) ∈G(f)
3. Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈G(f), entonces b = c.

De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas
por tener codominio distinto.

Dominio y rango

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