Operacion de funciones

Números y Funciones
Operaciones con funciones:
Menú:
Composición de funciones:

2
Definición.
Una Función es una relación en la que cada
elemento de la variable independiente x,
que se conocerá como Dominio de la función le
corresponde un solo elemento del conjunto
de valores de la variable dependiente y
denominado Rango de la función.
Dominio; Rango; Función.

Operaciones con funciones: La Suma
La suma de funciones está definida por: ( )( ) )()( xgxfxgf +=+
Calcule la suma de las funciones: ( )
4
)(,2
−
=+=
x
x
xgxxf
La función resultante:
N° x f(x) g(x) f(x) + g(x) f(Integrada)
1 -24 -22 0,86 -21,14 -21,14
2 -20 -18 0,83 -17,17 -17,17
3 -16 -14 0,80 -13,20 -13,20
4 -12 -10 0,75 -9,25 -9,25
5 -8 -6 0,67 -5,33 -5,33
6 -4 -2 0,50 -1,50 -1,50
7 0 2 0,00 2,00 2,00
8 4 6
9 8 10 2,00 12,00 12,00
10 12 14 1,50 15,50 15,50
11 16 18 1,33 19,33 19,33
12 20 22 1,25 23,25 23,25
13 24 26 1,20 27,20 27,20
Suma de dos funciones
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30 -20 -10 0 10 20 30
x; Dominio
y;Rango
f(x) g(x) f(x) + g(x)
Asíntota de la
suma: x = 4; y = 6
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función
compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4 e y = 6.
Respuestas: y = 6; x = 4; x = 4;
3
( )( ) ( )( ) 4y;
4
8
4
42
4
2,
2
≠
−
−−
=
−
+−+
=
−
+++ x
x
xx
x
xxx
x
x
xxgf
( )( ) ( )( ) 4y;
4
8
4
42
4
2,
2
≠
−
−−
=
−
+−+
=
−
+++ x
x
xx
x
xxx
x
x
xxgf

Operaciones con funciones: La Resta o Diferencia
La resta o diferencia de funciones está definida por:
Calcule la diferencia de las funciones:
( )( ) )()( xgxfxgf −=−
( )
4
)(,2
−
=+=
x
x
xgxxf
4
La función resultante:
Diferencia de funciones. Ej: 1,20
N° x f(x) g(x) f(x)-g(x) f(Integrada) Diferencia
1 -6 -4 0,60 -4,60 -4,60 0,00
2 -5 -3 0,56 -3,56 -3,56 0,00
3 -4 -2 0,50 -2,50 -2,50 0,00
4 -3 -1 0,43 -1,43 -1,43 0,00
5 -2 0 0,33 -0,33 -0,33 0,00
6 -1 1 0,20 0,80 0,80 0,00
7 0 2 0,00 2,00 2,00 0,00
8 1 3 -0,33 3,33 3,33 0,00
9 2 4 -1,00 5,00 5,00 0,00
10 3 5 -3,00 8,00 8,00 0,00
11 4 6 0,00
12 5 7 5,00 2,00 2,00 0,00
13 6 8 3,00 5,00 5,00 0,00
La diferencia entre funciones
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x: Dominio
y;Rango f(x) g(x) f(x)-g(x)
La función g(x) es racional, no está definida para x = 4. La función
compuesta, o suma de funciones es asíntota en x = 4.
Respuestas:; x = 4. ( )( ) ( )( ) 4y;
4
83
4
42
4
2,
2
≠
−
−−
=
−
−−+
=
−
−++ x
x
xx
x
xxx
x
x
xxgf
( )( ) ( )( ) 4y;
4
83
4
42
4
2,
2
≠
−
−−
=
−
−−+
=
−
−++ x
x
xx
x
xxx
x
x
xxgf

Euler - Matemáticas I
Tema:
12 5Operaciones con funciones. Acotación
Final
Suma y diferencia de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas
funciones se define:
• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g)
• Diferencia: (f − g) (x) = f(x) − g(x). Por tanto: Dom(f − g) = Dom(f) ∩
Dom(g)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
x
f(x) f(x) + g(x)
f(x) =
x
1 + x2 : Dom(f) = R
g(x) =
1
x
: Dom(g) = R – {0}
(f + g) (x) = f(x) + g(x) =
=
x
1 + x2 +
1
x
:
Dom(f + g) = R – {0}
g(x)
1

Operaciones con funciones: El Producto
El producto de funciones está definida por: ( )( ) )()( xgxfxgf ×=×
Calcule el producto de las funciones: ( )
4
)(,2
−
=+=
x
x
xgxxf
La función resultante: Espacio para la
fórmula
6
N° x f(x) g(x) f(x) x g(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -2,40 -2,40
2 -5 -3 0,56 -1,67 -1,67
3 -4 -2 0,50 -1,00 -1,00
4 -3 -1 0,43 -0,43 -0,43
5 -2 0 0,33 0,00 0,00
6 -1 1 0,20 0,20 0,20
7 0 2 0,00 0,00 0,00
8 1 3 -0,33 -1,00 -1,00
9 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -15,00 -15,00
11 4 6
12 5 7 5,00 35,00 35,00
13 6 8 3,00 24,00 24,00
El producto de funciones
-20
-10
0
10
20
30
40
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;Rango f(x) g(x) f(x) x g(x)
La ecuación no esta definida para x = 4.
Respuestas:; x = 4.

Operaciones con funciones: El Cociente
El cociente de funciones está definida por:
Calcule el cociente de las funciones:
( ) ( )
( )
0)(; ≠=





xg
xg
xf
x
g
f
<>
fórmula
Cociente de funciones.
N° x f(x) g(x) (f / g)(x) f(Integrada)
1 -6 -4 0,60 -6,67 -6,67
2 -5 -3 0,56 -5,40 -5,40
3 -4 -2 0,50 -4,00 -4,00
4 -3 -1 0,43 -2,33 -2,33
5 -2 0 0,33 0,00 0,00
6 -1 1 0,20 5,00 5,00
7 0 2 0,00
8 1 3 -0,33 -9,00 -9,00
9 2 4 -1,00 -4,00 -4,00
10 3 5 -3,00 -1,67 -1,67
11 4 6 0,00
12 5 7 5,00 1,40 1,40
13 6 8 3,00 2,67 2,67
Cociente de funciones
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;Rango
f(x) g(x) (f / g)(x)
La función g(x) no está de finida para x = 4, mientras que la función
integrada no está definida para x = 0. Las asíntotas son x = 4 y x = 0
respectivamente.
Respuesta: x = 0; x = 4; x = 0; x = 4.

Euler - Matemáticas I
Tema:
12 8Operaciones con funciones. Acotación
Final
Producto y cociente de dos funciones
funciones se define:
• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x).
•Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) ∩ Dom(g)
funciones y g(x) ≠ 0 se define:
• Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto:
• Dom(f / g) = Dom(f) ∩ Dom(g) − {x ∈ R : g(x) ≠ 0}
4

Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para dividirdividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
=− 27
7:21 yy
=bba 4:25 23
21− 7: ( )( )7
y 2
y : 5
3y−=
25 4ba3
b 3
4
25
a=

PolinomiosPolinomios
Un polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y
si no tiene parte literal se llama términotérmino
independienteindependiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina gradogrado del polinomio.
21373 523
−+− xyzyxxy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal

El valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10437)( 34
−+−= xxxxP
=−⋅+⋅−⋅= 10242327)2( 34
P
( ) ( ) ( ) =−−⋅+−⋅−−⋅=− 10141317)1(
34
P
Ejemplo:
861082411210883167 =−+−=−+⋅−⋅=
( ) 4104371041317 −=−−+=−−−⋅−⋅=

El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34
−+−= xxxxP
10437)( 34
+−+−=− xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:

Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245
++−= xxxxP
87223)( 234
−+−−= xxxxxQ
)()( xQxP +
5
2x 4
x− 2
7x+ 1+
4
3x 3
2x− 2
2x− x7+ 8−
775222 2345
−++−+ xxxxx
+

Para restarrestar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245
++−= xxxxP
87223)( 234
−+−−= xxxxxQ
)()( xQxP −
5
2x 4
x− 2
7x+ 1+
4
3x− 3
2x+ 2
2x+ x7− 8+
979242 2345
+−++− xxxxx
+

Para multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
3245
2por172)( xxxxxP ++−=
)(2 3
xPx ⋅
3
2x
3578
21424 xxxx ++−
×
172 245
++− xxx

El producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: 43)(152)( 23
−=+−= xxQxxxP
)()( xQxP ⋅
43 2
−x
4203236 235
−++− xxxx
×
152 3
+− xx
4208 3
−+− xx
235
3156 xxx +−
+

Para dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
245
2796)( xxxxP +−=
( ) ( ) ( )
932
3:273:93:63:)(
23
2224252
+−=
=+−=
xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3
−=
( )
3
27 5 7 5
( ): 2
2 2 2 2
x y xy
Q x x x y y
x x
− = − = − +
− −

Para dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 2811122)( 243
+−−+−=
23)( 2
−+= xxxQ
3
2x−4
x 2
11x− x28+ 12− 2
x x3+ 2−

2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
3
2x−4
x 2
11x− x28+ 12− 2
x x3+ 2−
2
x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
2
x4
x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx
−+
×
−+
234
23 xxx +−−

3
2x−4
x 2
11x− x28+ 12− 2
x x3+ 2−
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2
x
234
23 xxx +−−
122895 23
−+−− xxx
x5−
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2
+−−
−×
−+
xxx 10155 23
−+

6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
3
2x−4
x 2
11x− x28+ 12− 2
x x3+ 2−
2
x
234
23 xxx +−−
122895 23
−+−− xxx
x5−
xxx 10155 23
−+
12186 2
−+ xx
6+
12186 2
+−− xx
0

3
2x−4
x 2
11x− 2
x x3+ 2−
2
x x5− 6+
Polinomio dividendo
=)(xD
3
2x−4
x 2
11x− x28+ 12− 2
x x3+ 2−
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
=)(xd
=)(xc
=)(xr
2
x x5− 6+
0

Regla de RuffiniRegla de Ruffini
La regla de Ruffiniregla de Ruffini es un algoritmo que
permite obtener fácilmente el cociente y el resto
de la división de un polinomio por un binomio de
la forma x-a. Veamos el algoritmo con un
ejemplo.
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.
532)( 23
−−+= xxxxD
1)( −= xxd

532)( 23
−−+= xxxxD 1)( −= xxd
2º) Se colocan los
coeficientes de cada término.
Si no apareciese algún
término entre el de mayor
grado y el de menor se coloca
un 0.
2 1 3− 5−
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en
d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término
de mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del término
siguiente y se suman .
2
2

5º) El resultado de la suma
se vuelve a multiplicar por el
número situado a la izquierda
y se repite el proceso.
2 1 3− 5−
1
2
2
3
3
0
0
5−
El último número (recuadro rojo) se corresponde
con el resto de la división mientras que el resto de
números de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.
xxxc 32)( 2
+= 5)( −=xr
532)( 23
−−+= xxxxD 1)( −= xxd

Funciones compuestas o anidadas.
[ ]( ) ( )( )xgfxgf =
4
)(,2)(
−
=+=
x
x
xgxxf
N° x f(x) g(x) f(g(x)) f(sintética)
1 -6 -4 0,60 2,60 2,60
2 -5 -3 0,56 2,56 2,56
3 -4 -2 0,50 2,50 2,50
4 -3 -1 0,43 2,43 2,43
5 -2 0 0,33 2,33 2,33
6 -1 1 0,20 2,20 2,20
7 0 2 0,00 2,00 2,00
8 1 3 -0,33 1,67 1,67
9 2 4 -1,00 1,00 1,00
10 3 5 -3,00 -1,00 -1,00
11 4 6
12 5 7 5,00 7,00 7,00
13 6 8 3,00 5,00 5,00
Funciones integradas
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x; Dominio
y;Rango
f(x) g(x) f(g(x))
26
El cociente de funciones está definida por:
Calcule la coposición de las funciones:
fórmula
La función compuesta f(g(x)) se hace asintótica igual que la función
cociente g(x) en x = 4.
Respuestas: x = 4; f(g(x)): g(x)

Composición de funcionesDefinición
Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo
g”) es la función definida mediante
(f ° g) (x) = f(g(x))
El dominio de f ° g consiste de todos los números y del
dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f
.
f °
g
f (g(x))
g
f

Ejemplos de composición
( ) xxf = ( ) xxg +=1
( )( ) ( )( ) ( ) xxgxgfxgf +=== 1
( )( ) ( )( ) ( ) 11 +=+== xxfxfgxfg 
( )( ) ( )( ) ( ) 4/1
xxxfxffxff ====
( )( ) ( )( ) ( ) 2111 +=++=+== xxxgxggxgg 

Operacion de funciones

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