![Funciones reales. Propiedades locales.
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
Gráfica O(x)
1
Gráfica P(x)
1
Gráfica Q(x)
2
Gráfica O(x): Sí, ...
Dom (O) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 5 ; x ≠ - 3 ;
x ≠ - 1 ; x ≠ 1 ; x ≠ 3 }
Dom (O)=(- 6, - 5) U (- 5, - 3) U (- 3, -
1) U (- 1, 1) U (1, 3) U (3, 5) U (5, 6)
Im (O) = (-∞, + ∞)
Gráfica P(x): Sí, ...
Dom (P) = {∀x ∈ ℜ / - 4 < x ≤ 4}
Dom (P) = (- 4, + 4]
Im (P) = (-1.5, 1.5]
Gráfica Q(x): Sí, ...
Dom (Q) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (Q) = (- ∞, + ∞)
Im (O) = [1, + ∞)
Gráfica R(x)
2
Gráfica S(x)
5
Gráfica T(x)
1
Gráfica R(x): Sí, ...
Dom (R) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ - 4}
Dom (R) = (- 4, + ∞)
Im (R) = (-∞, + ∞)
Gráfica S(x): Sí, ...
Dom (S) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (S) = (- ∞, + ∞)
Im (S) = (-∞, + ∞)
Gráfica T(x): Sí, ...
Dom (T) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ 1;x ≠ 3.5}
Dom (T) =
(-∞, 1) U (1, 3.5) U (3.5, + ∞)
Im (T) = (-∞, 2]
Gráfica U(x)
5
Gráfica V(x)
1
Gráfica W(x)
100
- 10
Gráfica U(x): Sí, ...
Dom (U) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ 0}
Dom (U) = [0, + ∞)
Im (D) = (-∞, 15]
Gráfica V(x): No, ...
(Ejemplo, para x = - 2, tiene 2
imágenes)
Gráfica W(x): Sí, ...
Dom (W) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ 0}
Dom (W) = [0, + ∞)
Im (D) = [- 10, + ∞)
Gráfica X(x)
30
Gráfica Y(x)
2
Gráfica Z(x)
1
Gráfica X(x): Sí, ...
Dom (X) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (X) = (- ∞, + ∞)
Im (X) = (-∞, 65]
Gráfica Y(x): No, ...
(Ejemplo, para x = 2, tiene 2
imágenes)
Gráfica Z(x): Sí, ...
Dom (Ñ) = {∀x ∈ ℜ / - 2 ≤ x ≤ 2}
Dom (Ñ) = [- 2, 2]
Im (X) = [0, 2]
Gráfica A1(x)
1
Gráfica A2(x)
1
Gráfica A3(x)
1
Gráfica A1(x): Sí, ...
Dom (A1) =
= (- 5, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞)
Im (A1) = (- 1, + ∞)
Gráfica A2(x): Sí, ...
Dom (A2) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0 }
Dom (A2) = (- ∞, 0) U (0, + ∞)
Im (A2) = (0, + ∞)
Gráfica A3(x): Sí, ...
Dom (A3) = (- ∞, - 2] U [2, + ∞)
Im (A3) = [0, + ∞)](https://image.slidesharecdn.com/funcionesblog02-170227130449/85/Funciones-blog02-1-320.jpg)
![Funciones Reales. Dominio y recorrido.
Teoría y problemas resueltos
Gráfica A4(x)
1
Gráfica A5(x)
1
Gráfica A6(x)
1
Gráfica A4(x): Sí, ...
Dom (A4) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ 0;x ≠ 3}
Dom (A4) = (- ∞, 0) U (0, 3) U (3, + ∞)
Im (A4) = (-∞, + ∞) - {0}
Gráfica A5(x): Sí, ...
Dom (A5) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ -2 ; x ≠ 3}
Dom (A5)
= (- ∞, - 2) U (- 2, 3) U (3, + ∞)
Im (D) = (-∞, + ∞)
Gráfica A6(x): Sí, ...
Dom (A6) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0 }
Dom (A6) = (- ∞, 0) U (0, + ∞)
Im (D) = (-∞, + ∞) - {0}
Gráfica A7(x)
1
Gráfica A8(x)
1
Gráfica A9(x)
1
Gráfica A7(x): Sí, ...
Dom (A7) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 2 ; x ≠ 1}
Dom (A7) =
= (- ∞, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞)
Im (A7) = (-∞, 0) ∨ [1.1, + ∞)
Gráfica A8(x): Sí, ...
Dom (A8) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 1 ; x ≠ 2}
Dom (A8) =
(- ∞, - 1) U (- 1, 2) U (2, + ∞)
Im (A8) = (- ∞, + ∞)
Gráfica A9(x): Sí, ...
Dom (A9) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 2 ; x ≠ 1}
Dom (A9) =
= (- ∞, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞)
Im (A9) = (-∞, - 2] ∨ (0, + ∞)
Gráfica A10(x)
3
Gráfica A11(x)
3
Gráfica A12(x)
Gráfica A10(x): Sí, ...
Dom (A10) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (A10) = (- ∞, + ∞)
Im (A10) = (- ∞, + ∞)
Gráfica A11(x): Sí, ...
Dom (A11) = {∀x ∈ ℜ}
Dom (A11) = (- ∞, + ∞)
Im (A11) = (- 1, + ∞)
Gráfica A12(x): Sí, ...
Dom (A12) = (- ∞, + ∞)
Im (A12) = (- ∞, + ∞)
Sarah Brewer: “Dionysus: y=2sin2x+cosx”, 2010](https://image.slidesharecdn.com/funcionesblog02-170227130449/85/Funciones-blog02-2-320.jpg)
![Funciones reales. Propiedades locales.
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ACTIVIDAD 2
(a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta.
Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable
independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la
variable dependiente.
(b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones.
Dom (f) = ∀x∈ℜ
Im(f) = ∀y∈ℜ
(c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos?
No tiene
(d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos?
No tiene
(e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas).
(0, 0)
(f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas).
(0, 0)
(g) Indica los intervalos con función creciente.
(– ∞, + ∞)
(h) Indica los intervalos con función decreciente.
Nunca es decreciente
(i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)?
f(0) = 0
f(3) = 6
f(– 2) = – 3
(j) ¿Para qué valores f(x) = 3?
x ≅ 1.5
(k) Señala las discontinuidades.
No presenta discontinuidades. Es continua en todo su dominio
(l) Señala si, en algún momento, la función es constante.
La función no es constante en ningún momento
ACTIVIDAD 3
(a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta.
Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable
independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable
dependiente.
(b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones.
Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = [1, + ∞]
(c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? ∃/
(d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? (0, 1)
(e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). ∃/
(f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 1)
(g) Indica los intervalos con función creciente. (0, + ∞)
(h) Indica los intervalos con función decreciente. (– ∞, 0)
(i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)?
f(0) = 1 ; f(3) = 9 , f(– 2) = 4
(j) ¿Para qué valores f(x) = 3? x ≅ – 1.4 x ≅ 1.4
(k) Señala las discontinuidades.
No presenta discontinuidades. Es continua.
(l) Señala si, en algún momento, la función es constante
La función no es constante en ningún momento](https://image.slidesharecdn.com/funcionesblog02-170227130449/85/Funciones-blog02-3-320.jpg)
Funciones blog02
- 1. Funciones reales. Propiedades locales. © Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com Gráfica O(x) 1 Gráfica P(x) 1 Gráfica Q(x) 2 Gráfica O(x): Sí, ... Dom (O) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 5 ; x ≠ - 3 ; x ≠ - 1 ; x ≠ 1 ; x ≠ 3 } Dom (O)=(- 6, - 5) U (- 5, - 3) U (- 3, - 1) U (- 1, 1) U (1, 3) U (3, 5) U (5, 6) Im (O) = (-∞, + ∞) Gráfica P(x): Sí, ... Dom (P) = {∀x ∈ ℜ / - 4 < x ≤ 4} Dom (P) = (- 4, + 4] Im (P) = (-1.5, 1.5] Gráfica Q(x): Sí, ... Dom (Q) = {∀x ∈ ℜ} Dom (Q) = (- ∞, + ∞) Im (O) = [1, + ∞) Gráfica R(x) 2 Gráfica S(x) 5 Gráfica T(x) 1 Gráfica R(x): Sí, ... Dom (R) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ - 4} Dom (R) = (- 4, + ∞) Im (R) = (-∞, + ∞) Gráfica S(x): Sí, ... Dom (S) = {∀x ∈ ℜ} Dom (S) = (- ∞, + ∞) Im (S) = (-∞, + ∞) Gráfica T(x): Sí, ... Dom (T) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ 1;x ≠ 3.5} Dom (T) = (-∞, 1) U (1, 3.5) U (3.5, + ∞) Im (T) = (-∞, 2] Gráfica U(x) 5 Gráfica V(x) 1 Gráfica W(x) 100 - 10 Gráfica U(x): Sí, ... Dom (U) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ 0} Dom (U) = [0, + ∞) Im (D) = (-∞, 15] Gráfica V(x): No, ... (Ejemplo, para x = - 2, tiene 2 imágenes) Gráfica W(x): Sí, ... Dom (W) = {∀x ∈ ℜ / x ≥ 0} Dom (W) = [0, + ∞) Im (D) = [- 10, + ∞) Gráfica X(x) 30 Gráfica Y(x) 2 Gráfica Z(x) 1 Gráfica X(x): Sí, ... Dom (X) = {∀x ∈ ℜ} Dom (X) = (- ∞, + ∞) Im (X) = (-∞, 65] Gráfica Y(x): No, ... (Ejemplo, para x = 2, tiene 2 imágenes) Gráfica Z(x): Sí, ... Dom (Ñ) = {∀x ∈ ℜ / - 2 ≤ x ≤ 2} Dom (Ñ) = [- 2, 2] Im (X) = [0, 2] Gráfica A1(x) 1 Gráfica A2(x) 1 Gráfica A3(x) 1 Gráfica A1(x): Sí, ... Dom (A1) = = (- 5, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞) Im (A1) = (- 1, + ∞) Gráfica A2(x): Sí, ... Dom (A2) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0 } Dom (A2) = (- ∞, 0) U (0, + ∞) Im (A2) = (0, + ∞) Gráfica A3(x): Sí, ... Dom (A3) = (- ∞, - 2] U [2, + ∞) Im (A3) = [0, + ∞)
- 2. Funciones Reales. Dominio y recorrido. Teoría y problemas resueltos Gráfica A4(x) 1 Gráfica A5(x) 1 Gráfica A6(x) 1 Gráfica A4(x): Sí, ... Dom (A4) = {∀x ∈ ℜ/x ≠ 0;x ≠ 3} Dom (A4) = (- ∞, 0) U (0, 3) U (3, + ∞) Im (A4) = (-∞, + ∞) - {0} Gráfica A5(x): Sí, ... Dom (A5) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ -2 ; x ≠ 3} Dom (A5) = (- ∞, - 2) U (- 2, 3) U (3, + ∞) Im (D) = (-∞, + ∞) Gráfica A6(x): Sí, ... Dom (A6) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ 0 } Dom (A6) = (- ∞, 0) U (0, + ∞) Im (D) = (-∞, + ∞) - {0} Gráfica A7(x) 1 Gráfica A8(x) 1 Gráfica A9(x) 1 Gráfica A7(x): Sí, ... Dom (A7) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 2 ; x ≠ 1} Dom (A7) = = (- ∞, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞) Im (A7) = (-∞, 0) ∨ [1.1, + ∞) Gráfica A8(x): Sí, ... Dom (A8) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 1 ; x ≠ 2} Dom (A8) = (- ∞, - 1) U (- 1, 2) U (2, + ∞) Im (A8) = (- ∞, + ∞) Gráfica A9(x): Sí, ... Dom (A9) = {∀x ∈ ℜ / x ≠ - 2 ; x ≠ 1} Dom (A9) = = (- ∞, - 2) U (- 2, 1) U (1, + ∞) Im (A9) = (-∞, - 2] ∨ (0, + ∞) Gráfica A10(x) 3 Gráfica A11(x) 3 Gráfica A12(x) Gráfica A10(x): Sí, ... Dom (A10) = {∀x ∈ ℜ} Dom (A10) = (- ∞, + ∞) Im (A10) = (- ∞, + ∞) Gráfica A11(x): Sí, ... Dom (A11) = {∀x ∈ ℜ} Dom (A11) = (- ∞, + ∞) Im (A11) = (- 1, + ∞) Gráfica A12(x): Sí, ... Dom (A12) = (- ∞, + ∞) Im (A12) = (- ∞, + ∞) Sarah Brewer: “Dionysus: y=2sin2x+cosx”, 2010
- 3. Funciones reales. Propiedades locales. © Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com ACTIVIDAD 2 (a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta. Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente. (b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones. Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = ∀y∈ℜ (c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? No tiene (d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? No tiene (e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). (0, 0) (f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 0) (g) Indica los intervalos con función creciente. (– ∞, + ∞) (h) Indica los intervalos con función decreciente. Nunca es decreciente (i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)? f(0) = 0 f(3) = 6 f(– 2) = – 3 (j) ¿Para qué valores f(x) = 3? x ≅ 1.5 (k) Señala las discontinuidades. No presenta discontinuidades. Es continua en todo su dominio (l) Señala si, en algún momento, la función es constante. La función no es constante en ningún momento ACTIVIDAD 3 (a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta. Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente. (b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones. Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = [1, + ∞] (c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? ∃/ (d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? (0, 1) (e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). ∃/ (f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 1) (g) Indica los intervalos con función creciente. (0, + ∞) (h) Indica los intervalos con función decreciente. (– ∞, 0) (i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)? f(0) = 1 ; f(3) = 9 , f(– 2) = 4 (j) ¿Para qué valores f(x) = 3? x ≅ – 1.4 x ≅ 1.4 (k) Señala las discontinuidades. No presenta discontinuidades. Es continua. (l) Señala si, en algún momento, la función es constante La función no es constante en ningún momento
- 4. Funciones Reales. Dominio y recorrido. Teoría y problemas resueltos ACTIVIDAD 4 (a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta. Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente. (b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones. Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = ∀x∈ℜ (c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? (0, 1) (d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? ∃/ (e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). (– 1.4, 0) (1.4, 0) (f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 1) (g) Indica los intervalos con función creciente. (– ∞, 0) (h) Indica los intervalos con función decreciente. (0, + ∞) (i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)? f(0) = 1 ; f(3) = – 3 , f(– 2) = – 1 (j) ¿Para qué valores f(x) = 3? Nunca toma este valor (k) Señala las discontinuidades. No presenta discontinuidades. Es continua. (l) Señala si, en algún momento, la función es constante La función no es constante en ningún momento ACTIVIDAD 5 (a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta. Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente. (b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones. Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = ∀x∈ℜ (c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? (– 0.6, – 0.8) (d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? (0, - 1) (e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). (0.7, 0) (f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 1) (g) Indica los intervalos con función creciente. (– ∞, – 0.6) v (0, + ∞) (h) Indica los intervalos con función decreciente. (– 0.6, 0) (i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)? f(0) = – 1 ; f(3) = Valor elevado que no se aprecia , f(– 2) = – 5 (j) ¿Para qué valores f(x) = 3? x ≅ 1.5 (k) Señala las discontinuidades. No presenta discontinuidades. Es continua. (l) Señala si, en algún momento, la función es constante La función no es constante en ningún momento ACTIVIDAD 6 (a) ¿Se trata de una función? Razona la respuesta. Sí, se trata de una función ya que para cada valor de la variable independiente que tiene imagen, le corresponde 1 y sólo 1 de la variable dependiente. (b) Indica el dominio y el recorrido de las funciones. Dom (f) = ∀x∈ℜ Im(f) = ∀x∈ℜ (c) ¿Cuál o cuáles son los máximos relativos? (0, 2) (d) ¿Cuál o cuáles son los mínimos relativos? (0.8, 1.5) (e) Señala los puntos de corte con el eje OX (abscisas). (– 0.8, 0) (f) Señala los puntos de corte con el eje OY (ordenadas). (0, 2) (g) Indica los intervalos con función creciente. (– ∞, 0) v (0.8, + ∞) (h) Indica los intervalos con función decreciente. (0, 0.8) (i) ¿Cuánto vale, aproximadamente, f(0), f(3), f(– 2)? f(0) = 2 ; f(3) = 16 , f(– 2) = – 12 (j) ¿Para qué valores f(x) = 3? x = 1.2 (k) Señala las discontinuidades. No presenta discontinuidades. Es continua. (l) Señala si, en algún momento, la función es constante La función no es constante en ningún momento.