Funciones elementales

ESTUDIO DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones lineales Funciones afines Funciones cuadráticas Funciones de proporcionalidad inversa Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones con radicales Función valor absoluto Funciones trigonométricas

1.- Funciones lineales Ecuación general y = mx Su representación gráfica es una recta La función pasa siempre por el origen de coordenadas (0,0) m=pendiente de la recta (se obtiene de la forma m=y/x) si m>0 la función es creciente si m<0 la función es decreciente m ≠ 0 siempre

1.- Funciones lineales. Representación gráfica

2.- Funciones afines Ecuación general y = mx+n Su representación gráfica es una recta La función pasa siempre por el punto (0,n) m=pendiente de la recta. Se obtiene a partir de dos puntos (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) de la forma m=(y 2 -y 1 /x 2 -x 1 ) si m>0 la función es creciente si m<0 la función es decreciente m,n ≠ 0 siempre n=ordenada en el origen (punto de corte de la función con el eje de ordenadas)

2.- Funciones afines Representación gráfica y=-3x+2

3.- Funciones cuadráticas Ecuación general y = ax 2 +bx+c Su representación gráfica es una parábola a≠0 siempre. Si no sería una función lineal. Coordenadas del vértice ->(-b/2a, f(-b/2a)) Valores de los parámetros de la ecuación Si a>0 -> función cóncava (ramas hacia arriba). El vértice es un mínimo absoluto Si a<0 -> función convexa (ramas hacia abajo). El vértice es un máximo absoluto. El parámetro c indica el único punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas (0,c)

3.- Funciones cuadráticas. Representación gráfica

4.- Funciones de proporcionalidad inversa Ecuación general y = k/x Su representación gráfica es una hipérbola K es un número real y k≠0 siempre Valores de los parámetros de la ecuación Si k>0 -> función decreciente. Si k<0 -> función creciente.

4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Estudio de la función Dominio: Dom(f)= R- {0} Recorrido: Im(f)= R- {0} No tiene puntos de corte con los ejes Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función Es contínua en todo el dominio No tiene ni máximos ni mínimos Tiene simetría impar (con respecto al origen). f(-x)=- f(x)

4.- Funciones de proporcionalidad inversa. Representación gráfica k>0. Decreciente k<0. Creciente

5.- Funciones exponenciales Ecuación general y = a x Primer caso. a>1 Dominio: Dom(f)= R Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio No tiene puntos de corte con el eje x Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1) Siempre pasa por el punto (1,a) Son contínuas y crecientes en todo el dominio. No tiene ni máximos ni mínimos Cuando x->∞, la función también tiende a ∞ Cuando x->-∞, la función tiende a 0

5.- Funciones exponenciales (a>1) . Representación gráfica

5.- Funciones exponenciales Segundo caso 0<a<1 Dominio: Dom(f)= R Imagen: Im(f)= (0,∞). Son positivas en todo el dominio No tiene puntos de corte con el eje x Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1) Siempre pasa por el punto (1,a) Son contínuas y decrecientes en todo el dominio. No tiene ni máximos ni mínimos Cuando x->∞, la función tiende a 0 Cuando x->-∞, la función tiende a ∞

5.- Funciones exponenciales (0<a<1) . Representación gráfica

6.- Funciones logarítmicas Ecuación general y = log a x Primer caso. a>1 Dominio: Dom(f)=(0,∞) Imagen: Im(f)= R . No cortan al eje de ordenadas (eje Y) Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0) Siempre pasan por el punto (a,1) Son contínuas y crecientes en todo su dominio No tiene ni máximos ni mínimos Cuando x->∞, la función también tiende a ∞ Cuando x->0, la función tiende a - ∞

5.- Funciones logarítmicas (a>1) . Representación gráfica

5.- Función y=ln x. Representación gráfica

6.- Funciones logarítmicas Ecuación general y = log a x Primer caso. 0<a<1 Dominio: Dom(f)=(0,∞) Imagen: Im(f)= R . No cortan al eje de ordenadas (eje Y) Cortan al eje de abcisas en el punto (1,0) Siempre pasan por el punto (a,1) Son contínuas y decrecientes en todo su dominio No tiene ni máximos ni mínimos Cuando x->∞, la función también tiende a - ∞ Cuando x->0, la función tiende a ∞

5.- Funciones logarítmicas (0<a<1) . Representación gráfica

5.- Funciones logarítmicas Representación gráfica Las funciones logarítmicas son recíprocas con sus respectivas funciones exponenciales.

7.- Funciones con radicales Ecuación general y = n √x m En este caso se tiene que cumplir que: m,n sean números naturales n ≥2 Las características de estas funciones van a depender de la paridad de los valores de m y n. Se estudiarán los cuatro casos posibles: n par, m par n par, m impar n impar, m par n impar, m impar

7.- Funciones con radicales. n par, m par Ecuación general y = n √x m Dominio: Dom(f) = R . Tienen simetría par: f(x) = f(- x) El punto de corte con los ejes es el (0,0) Tienen en común el punto (1,1) Son positivas y contínuas en todo su dominio No tienen ni máximos ni mínimos Son siempre convexas Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n par, m par. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n impar, m par Ecuación general y = n √x m Dominio: Dom(f) = R . Tienen simetría par: f(x) = f(- x) El punto de corte con los ejes es el (0,0) Tienen en común el punto (1,1) Son positivas y contínuas en todo su dominio No tienen ni máximos ni mínimos Son siempre convexas Son decrecientes de (-∞,0) y crecientes de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n impar, m par. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n par, m impar Ecuación general y = n √x m Dominio: Dom(f) = [0, ∞] No tienen simetría El punto de corte con los ejes es el (0,0) Tienen en común el punto (1,1) Son contínuas y crecientes en todo el dominio No tienen máximos ni mínimos Son siempre positivas Son cóncavas en todo su dominio

7.- Funciones con radicales. n par, m impar. Representación gráfica

7.- Funciones con radicales. n impar, m impar Ecuación general y = n √x m Dominio: Dom(f) = [0, ∞] Presenta simetría impar f(- x)=- f(x) El punto de corte con los ejes es el (0,0) Tienen en común los puntos (1,1) y (-1,-1) Son contínuas y crecientes en todo el dominio No tienen máximos ni mínimos Tienen un punto de inflexión en el (0,0) Son cóncavas de (-∞,0) y convexas de (0,∞)

7.- Funciones con radicales. n impar, m impar. Representación gráfica

8.- Función valor absoluto Ecuación general y = |x| Se pueden reescribir de la siguiente forma Dominio: Dom(f)= R . Recorrido: Im(f)=[0, ∞) El punto de corte con los ejes es el (0,0) Contínua y positiva en todo su dominio Decreciente de (-∞,0) y creciente de (0,∞)

8.- Función valor absoluto Presenta simetría par: f(x) = f(- x) Tiene un mínimo absoluto en (0,0)

8.- Función valor absoluto. Representación gráfica

9.- Funciones trigonométricas Son aquellas que asocian a cada valor de x , en radianes , alguna de sus razones trigonométricas. Las funciones trigonométricas principales que estudiaremos serán sen x, cos x y tg x. Recordemos algunos valores importantes de estas funciones

9.- Funciones trigonométricas Circunferencia goniométrica. Es una circunferencia centrada en el origen de coordanadas del plano cartesiano y de radio unidad.

9.1.- Funcion seno Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1] Función periódica de periodo 2π; sen x=sen(x+2π) Es una función impar (simétrica respecto al origen) Creciente en (0,π/2)U(3π/2,2π) y decreciente en (π/2, 3π/2) Máximo en (π/2,1) y mínimo en (3π/2,-1)

9.1.- Funcion seno El periodo de la función f(x)=sen 2x es la mitad (π) El periodo de la función f(x)=sen x/2 es el doble (4π)

9.2.- Funcion coseno Dominio: Dom(f)= R; Recorrido: Im(f)=[-1,1] Función periódica de periodo 2π; cos x=cos(x+2π) Es una función par (simétrica respecto al eje de ordenadas) Creciente en (π,2π) y decreciente en (0,π) Máximo en (0,1) y mínimo en (π,-1)

9.2.- Funcion coseno Diferentes variaciones de la función coseno

9.3.-Comparación de las funciones seno y coseno

9.4.- Funcion tangente Dominio: Dom(f)= R -{π/2+kπ} Recorrido: Im(f)= R Función periódica de periodo π; tg x=tg (x+π) Es una función impar (simétrica respecto al eje de ordenadas) Es siempre creciente y no tiene puntos extremos Presenta una discontinuidad de salto infinito en (π/2+Kπ)

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