Factorizacion
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Este documento presenta los pasos para reconocer diferentes casos de factorización de polinomios. Explica los 10 casos comunes de factorización y cómo determinar qué caso se aplica según el número de términos del polinomio. Además, provee ejemplos resueltos paso a paso y una tabla resumiendo las características de los diferentes tipos de trinomios para facilitar su reconocimiento.
![Ejercicio 18
a6 + 1
PRIMER PASO: En este polinomio existen 2 términos.
SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos:
NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos.
Vemos que NO hay un factor común, No es diferencia de cuadrados porque el
signo debe ser negativo. Este ejercicio se lo puede resolver como caso IX o
X, según la respuesta del libro.
CASO IX (Suma o diferencia de cubos perfectos)
Primero le sacamos la raíz cubica a los 2 términos. Luego elevamos al cuadrado el primer
término a2 menos el producto de la primer por la segunda mas el cuadrado de la segunda.
2 términos
Factor Común (Caso I)
Diferencia de cuadrados
perfectos (Caso IV)
Suma o diferencia de cubos
perfectos (Caso IX)
Suma o diferencia de dos
potencias iguales (Caso X)
(a2+1)[(a2)2 - (a2)(1)+(1)2] = (a2+1)(a4 - a2 + 1)
CASO X (Suma o diferencia de dos potencias iguales)
Como están elevado a la potencia 6 les saco a los 2 términos la raíz sexta. Luego se eleva el primer término a un grado
menos de lo que estaban elevadas es decir grado 5, como es signo negativo los signos van a ir intercalados, el segundo
término es el primer termino a la cuarta y el segundo término a la primera, el tercer término será el primer termino a la
tercera y el segundo termino a la segunda, mientras el primer término va descendiendo el segundo término va ascendiendo,
ver ejercicio. Ven como los exponentes de “a” descienden mientas los exponentes de 1 ascienden
(a+1)[(a)5 - (a)4(1)+(a)3(1)2 - (a)2(1)3 + (a)(1)4 – (1)5]
(a+1)(a5 - a4+ a3 - a2 + a – 1)
En un examen las 2 respuestas son validas,
como saber si es caso X o IX, si se fijan en el
segundo termino de la respuesta siempre por el
caso X, va a tener el mismo numero de
elemento de la potencia inicial en este caso 6. si
es por el caso IX el segundo término siempre va
a tener 3 términos](https://image.slidesharecdn.com/factorizacion-150105105109-conversion-gate02/85/Factorizacion-5-320.jpg)
![Ejercicio 5 Ejercicio 14 Ejercicio 29
9x2 – 6xy + y2 4x4 +3x2y2+ y4 6x2 +19x – 20
3x y
2(3x)(y) = 6xy
Respuesta (3x – y)2
Primer y tercer termino son
cuadrados perfectos y positivos
36x2 + 19(6)x – 120
6
(6x + 24)(6x – 5)
6 x 1
(x + 4)(6x – 5)
El segundo término NO es el
doble producto de la raíz del
primer término por la raiz del
segundo: 2(2x2)(y2)=4x2y2
El ejercicio 14 queda descartado TCP, queda descartado de la forma x2+bx+c, se debería ver otra característica para ver que
tipo de trinomio es si ax2+bx+c o por adición y sustracción. Si lo resolvemos por la forma ax2+bx+c el 4 debemos multiplicarlo
para cada término y tendríamos 16x4 +3(4)x2y2+ 4y4 pero no va a ver 2 números que multiplicados den 4 y que sumados den
3, porque las alternativas son 4x1=4 y 2x2=4 pero 4+1=5 y 2+2=4, por eso no se lo puede resolver como este trinomio. Ahora
veamos por adición y sustracción, si notan en una de las características decía que las letras del primer y tercer término
estaban elevados a potencia par superior a 4.
4x4 +3x2y2+ y4
+x2y2 – x2y2
4x4 +4x2y2+ y4 – x2y2
(2x2 +y2)2 – x2y2
Vemos que los 3 primeros términos es un cuadrado perfecto
[(2x2 +y2) – xy] [(2x2 +y2)2 + xy]
(2x2 + y2 – xy)(2x2 + y2 + xy)](https://image.slidesharecdn.com/factorizacion-150105105109-conversion-gate02/85/Factorizacion-10-320.jpg)
Factorizacion
- 1. ESTE ES UN PROBLEMA QUE SE PRESENTA EN LA MAYORIA DE LOS ESTUDIANTES DEL DECIMO AÑO DE EDUCACION BASICA EN ADELANTE, ESTE TRABAJO ES PARA AYUDAR A QUE PUEDAN RECONOCER ESTOS CASOS DE FACTORIZACION, PERO PARA ESTO SE DEBEN CONOCER LOS 10 CASOS Y PRACTICAR…
- 2. PRIMER PASO: Determinar cuantos elementos existen en el polinomio (2 o mas términos). SEGUNDO PASO: Les voy a dar una tabla para que vean que los casos de factorización se aplican según la cantidad de términos: 2 términos 3 términos 4 términos Factor Común (Caso I) Factor Común (Caso I) Factor Común (Caso I) Diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV) Trinomio cuadrado perfecto (Caso III) Factor común por agrupación de términos (Caso II) Suma o diferencia de cubos perfectos (Caso IX) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción (Caso V) Combinación de los casos III y IV Suma o diferencia de dos potencias iguales (Caso X) Trinomio de la forma x2+bx+c (Caso VI) Cubo perfecto de binomios (Caso VIII) Trinomio de la forma ax2+bx+c (Caso VII) Ahora vamos a utilizar la tabla con ejemplos para diferenciar los ejercicios. NOTA: se debe conocer el procedimiento de cada caso, pero igual vamos a ver como se reconoce cada uno)
- 3. Pagina 171, ejercicios 106 de algebra de baldor 5a2 + a Ejercicio 1 PRIMER PASO: En este polinomio existen 2 términos. SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos: 2 términos Factor Común (Caso I) Diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV) Suma o diferencia de cubos perfectos (Caso IX) Suma o diferencia de dos potencias iguales (Caso X) NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos. Vemos que si hay un factor común que es la letra a. y resolveríamos. 5a2 + a = a(5a+1) POR QUÉ NO PUDIERON SER LOS OTROS CASOS: En el CASO IV los 2 términos deben ser cuadrados perfectos por lo que 5 no es cuadrado, CASO IX los 2 deben ser cubos, 5 no es cubo y “a” no esta elevada al cubo y CASO X las dos potencias deben ser iguales “a” esta elevado a la 2 en el primer termino y en el segundo “a” esta elevada a la 1.
- 4. Ejercicio 11 a3 - 3a2b + 5ab2 PRIMER PASO: En este polinomio existen 3 términos. SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos: 3 términos Factor Común (Caso I) Trinomio cuadrado perfecto (Caso III) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción (Caso V) Trinomio de la forma x2+bx+c (Caso VI) Trinomio de la forma ax2+bx+c (Caso VII) NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos. Vemos que si hay un factor común que es la letra a. y resolveríamos. a3 - 3a2b + 5ab2 = a(a2 – 3ab + 5b2) El trinomio a2 – 3ab + 5b2 no se lo puede resolver por caso de factorización, entonces ahí queda el ejercicio:
- 5. Ejercicio 18 a6 + 1 PRIMER PASO: En este polinomio existen 2 términos. SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos: NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos. Vemos que NO hay un factor común, No es diferencia de cuadrados porque el signo debe ser negativo. Este ejercicio se lo puede resolver como caso IX o X, según la respuesta del libro. CASO IX (Suma o diferencia de cubos perfectos) Primero le sacamos la raíz cubica a los 2 términos. Luego elevamos al cuadrado el primer término a2 menos el producto de la primer por la segunda mas el cuadrado de la segunda. 2 términos Factor Común (Caso I) Diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV) Suma o diferencia de cubos perfectos (Caso IX) Suma o diferencia de dos potencias iguales (Caso X) (a2+1)[(a2)2 - (a2)(1)+(1)2] = (a2+1)(a4 - a2 + 1) CASO X (Suma o diferencia de dos potencias iguales) Como están elevado a la potencia 6 les saco a los 2 términos la raíz sexta. Luego se eleva el primer término a un grado menos de lo que estaban elevadas es decir grado 5, como es signo negativo los signos van a ir intercalados, el segundo término es el primer termino a la cuarta y el segundo término a la primera, el tercer término será el primer termino a la tercera y el segundo termino a la segunda, mientras el primer término va descendiendo el segundo término va ascendiendo, ver ejercicio. Ven como los exponentes de “a” descienden mientas los exponentes de 1 ascienden (a+1)[(a)5 - (a)4(1)+(a)3(1)2 - (a)2(1)3 + (a)(1)4 – (1)5] (a+1)(a5 - a4+ a3 - a2 + a – 1) En un examen las 2 respuestas son validas, como saber si es caso X o IX, si se fijan en el segundo termino de la respuesta siempre por el caso X, va a tener el mismo numero de elemento de la potencia inicial en este caso 6. si es por el caso IX el segundo término siempre va a tener 3 términos
- 6. Ejercicio 20 16a2 – 24ab + 9b2 PRIMER PASO: En este polinomio existen 3 términos. SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos: 3 términos Factor Común (Caso I) Trinomio cuadrado perfecto (Caso III) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción (Caso V) Trinomio de la forma x2+bx+c (Caso VI) Trinomio de la forma ax2+bx+c (Caso VII) NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos. Vemos que si NO hay un factor común ni en letra o coeficiente (número). Entonces es uno de los 4 casos de trinomio. Siempre empecemos con el trinomio cuadrado perfecto. Mas adelante les voy a enseñar a reconocer los 4 tipos de trinomio. Primero vemos si el primer y tercer término tienen raíces cuadradas. 6a2 – 24ab + 9b2 4a 3bPrimer término: La raiz cuadrada de 16 es 4 y la raíz de a2 es a. Segundo término: La raíz cuadrada de 9 es 3 y la raíz de b2 es b. Luego multiplico los coeficientes (números) y el valor lo duplico 4x3=12 el doble es 24, y luego multiplico las letraa axb = ab 24ab Como si es igual al segundo elemento mi respuesta es (4a - 3b)2
- 7. Ejercicio 22 8a3 – 12a2 + 6a - 1 PRIMER PASO: En este polinomio existen 4 términos. SEGUNDO PASO: Revisando nuestra tabla tenemos los siguientes casos: NOTA: Siempre empiecen con factor común ya sea para 2,3 o 4 términos. Vemos que si NO hay un factor común ni en letra o coeficiente (número) ni factor común por agrupación de términos. Combinación de los casos III y IV no es los 3 primeros términos deben formar un TCP y el 8 no es cuadrado perfecto. Así que solo nos queda el CASO VIII Primero vemos si el primer y el cuarto término son cubos perfectos. Primer término: La raíz cubica de 8 es 2 y de a3 es a. Segundo término: La cúbica de 1 es 1. Para comprobar el segundo término es el triplo de la primera cantidad al cuadrado por la segunda 3(2a)2(1) = 3(4a2)(1)=12a2. Para comprobar el tercer término es el triplo pero ahora del primero por el segundo al cuadrado 3(2a)(1)2 = 3(2a)(1) = 6a 2a 1 Como coinciden el segundo y tercer termino y los signos pueden ser todos positivos o alternados en este caso como son alternados la respuesta va con signo negativo. (2a - 1)3 4 términos Factor Común (Caso I) Factor común por agrupación de términos (Caso II) Combinación de los casos III y IV Cubo perfecto de binomios (Caso VIII) 8a3 – 12a2 + 6a - 1
- 8. COMO RECONOCER LOS 4 TIPOS DE TRINOMIO Trinomio cuadrado perfecto (TCP) Trinomio de la forma x2+bx+c Trinomio de la forma ax2+bx+c Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Primer término y tercer término cuadrados perfectos y siempre son positivos El primer término solo lleva la parte literal (letra) elevada a potencia par El primer término su parte literal (letra) esta elevada a potencia par pero su coeficiente generalmente es un número que no es raíz cuadrada. Primer término y tercer término cuadrados perfectos y siempre están elevadas la parte literal a potencia par superior a 4. El segundo término puede ser positivo o negativo y es el doble producto de la raíz del primer término por la raíz del segundo termino El tercer termino puede o no ser cuadrado perfecto y llevar signo – o +, pero generalmente es un número que no es cuadrado perfecto. El segundo y tercer término puede ser positivo o negativo Al segundo término hay que siempre sumarle para que sea un cuadrado perfecto. El segundo término puede ser positivo o negativo El primer y tercer termino son siempre positivos. Vamos a ver con estas características como reconocer los trinomios con ejercicios del algebra de la miscelánea. NOTA: para cualquier tipo de trinomio el segundo término debe contener las letras del primer y tercer término a la mitad de sus exponentes: Ejemplo si el primer termino tiene m4 y el segundo termino n2, el segundo término debe tener m2 y n. Y deben estar siempre ordenados.
- 9. Ejercicio 5 Ejercicio 14 Ejercicio 29 9x2 – 6xy + y2 4x4 +3x2y2+ y4 6x2 +19x – 20 ANALICEMOS CADA UNO Primer y tercer termino son cuadrados perfectos y positivos Primer y tercer termino son cuadrados perfectos y positivos Primer término su coeficiente (número) no es cuadrado perfecto. El segundo término es el doble producto de la raíz del primer término por la raiz del segundo: 2(3x)(y)=6xy El segundo término NO es el doble producto de la raíz del primer término por la raiz del segundo: 2(2x2)(y2)=4x2y2 Tercer término es negativo. Veamos si con esa característica podemos determinar a que trinomio pertenecen, veamos nuestra tabla: Trinomio cuadrado perfecto (TCP) Trinomio de la forma x2+bx+c Trinomio de la forma ax2+bx+c Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Primer término y tercer término cuadrados perfectos y siempre son positivos El primer término solo lleva la parte literal (letra) elevada a potencia par El primer término su parte literal (letra) esta elevada a potencia par pero su coeficiente generalmente es un número que no es cuadrado perfecto. Primer término y tercer término cuadrados perfectos y siempre están elevadas la parte literal a potencia par superior a 4. El segundo término puede ser positivo o negativo y es el doble producto de la raíz del primer término por la raíz del segundo termino El tercer termino puede o no ser cuadrado perfecto y llevar signo – o +, pero generalmente es un número que no es cuadrado perfecto. El segundo y tercer término puede ser positivo o negativo Al segundo término hay que siempre sumarle para que sea un cuadrado perfecto. El segundo término puede ser positivo o negativo El primer y tercer termino son siempre positivos. Para el ejercicio 5 sabemos que es un trinomio cuadrado perfecto (TCP), ejercicio 29 sabemos que es un trinomio de la forma ax2+bc-x+c, el ejercicio 14 queda descartado TCP, queda descartado de la forma x2+bx+c, se debería ver otra característica para ver que tipo de trinomio es si ax2+bx+c o por adición y sustracción
- 10. Ejercicio 5 Ejercicio 14 Ejercicio 29 9x2 – 6xy + y2 4x4 +3x2y2+ y4 6x2 +19x – 20 3x y 2(3x)(y) = 6xy Respuesta (3x – y)2 Primer y tercer termino son cuadrados perfectos y positivos 36x2 + 19(6)x – 120 6 (6x + 24)(6x – 5) 6 x 1 (x + 4)(6x – 5) El segundo término NO es el doble producto de la raíz del primer término por la raiz del segundo: 2(2x2)(y2)=4x2y2 El ejercicio 14 queda descartado TCP, queda descartado de la forma x2+bx+c, se debería ver otra característica para ver que tipo de trinomio es si ax2+bx+c o por adición y sustracción. Si lo resolvemos por la forma ax2+bx+c el 4 debemos multiplicarlo para cada término y tendríamos 16x4 +3(4)x2y2+ 4y4 pero no va a ver 2 números que multiplicados den 4 y que sumados den 3, porque las alternativas son 4x1=4 y 2x2=4 pero 4+1=5 y 2+2=4, por eso no se lo puede resolver como este trinomio. Ahora veamos por adición y sustracción, si notan en una de las características decía que las letras del primer y tercer término estaban elevados a potencia par superior a 4. 4x4 +3x2y2+ y4 +x2y2 – x2y2 4x4 +4x2y2+ y4 – x2y2 (2x2 +y2)2 – x2y2 Vemos que los 3 primeros términos es un cuadrado perfecto [(2x2 +y2) – xy] [(2x2 +y2)2 + xy] (2x2 + y2 – xy)(2x2 + y2 + xy)
- 11. Para estos ejercicios se necesita practicar y rapidez mental abajo les dejare un link donde están resueltos los ejercicios, por favor úsenlos como guía y traten de seguir estos consejos, espero les haya servido cualquier comentario hacerlo saber para mejorar la presentación. GRACIAS