C.factoreo
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El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen: 1) encontrar un factor común en todos los términos, 2) agrupar términos con factores comunes, 3) reconocer trinomios cuadrados perfectos, 4) factorizar diferencias de cuadrados perfectos, y 5) convertir trinomios en cuadrados perfectos mediante suma y resta. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
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Caso 4
Diferencias de cuadrados perfectos.
Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados
con las raíces cuadradas de los términos originales.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de
estas raíces cuadradas por la diferencia entre el minuendo y el sustraendo.
EJEMPLO:
1-a²= (1+a) (1-a) = 1+a-a-a²
= 1-a²
16𝑥2
− 25𝑦4
= (4𝑥 + 5𝑦2
)(4𝑥 − 5𝑦2
)
= 16𝑥2
− 20𝑥𝑦2
+ 20𝑥𝑦2
− 25y4
= 16𝑥2
− 25𝑥𝑦4
Caso Especial:
(𝑎 + 𝑏)2
− c2
= [( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐][( 𝑎 + 𝑏) − 𝑐]
= ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
4𝑥2
− ( 𝑥 + 𝑦)2
= [2x+ ( 𝑥 + 𝑦)][2𝑥 − (𝑥 + 𝑦)]
= (2x + x + y)(2x− x − y)
= (3x+ y)(x− y)](https://image.slidesharecdn.com/casosdefactoreo-150325170013-conversion-gate01/85/C-factoreo-6-320.jpg)
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Caso 9
Suma o diferencia de cubos perfectos.
Sabemos que:
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑌 ∶
𝑎3−𝑏3
𝑎−𝑏
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor
del divisor por el cociente, tendremos:
𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)( 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
𝑎3
− 𝑏3
= ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)
La formula nos dice que
REGLA 1
La suma de todos dos cubos perfectos se descomponen en dos factores:
1- La suma de sus raíces cubicas
2- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las 2 raíces, mas el
cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula 2 indica:
REGLA 2
1- La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
2- La diferencia de sus raíces cubicas
3- El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, mas el
cuadrado de la segunda raíz
EJEMPLO:
𝑥3
+ 1 Al encontrarnos con este cubo perfecto, primero extraer raíz cúbica de
ambos.
x ,1 Luego efectuar la operación
𝑥3
+ 1 = (x + 1)[x2
− x(1)+ 12] = (x + 1)(x2
− x + 1)
= 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥2
− 𝑥 + 1
= 𝑥3
+ 1](https://image.slidesharecdn.com/casosdefactoreo-150325170013-conversion-gate01/85/C-factoreo-15-320.jpg)
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Al factorar
27𝑎3
+ 𝑏6
= 3a + b2
27𝑎3
+ 𝑏6
= (3a+ b2) = [(3a)2
− 3a(b2) + (b2
)2] = (3a + b2
)(9𝑎2
− 3ab2
+ b4
)
= 27a3
− 9a2
b2
+ 3ab4
+9a2
b2
− 3ab4
+ b6
= 27a3
+ b6
(a + 𝑏)3
+ 1 = ( 𝑎 + 𝑏) + 1
(a + 𝑏)3
+ 1 = [( 𝑎 + 𝑏) + 1][( 𝑎 + 𝑏)2
− ( 𝑎 + 𝑏)(1) + 12
]
= ( 𝑎 + 𝑏 + 1)(𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 𝑎 − 𝑏 + 1)}](https://image.slidesharecdn.com/casosdefactoreo-150325170013-conversion-gate01/85/C-factoreo-16-320.jpg)
C.factoreo
- 1. 1 CASO 1 Factor Común “Común” significa que están o que pertenezcan a todos. De tal manera que factor común tiene el significado de las cantidades que aparecen multiplicando en todos términos de la expresión dividiéndose en 2. Factor Común monomio Ejemplo: 𝑎2 + 2a = a(a + 2) = En este caso escribimos el factor común de este monomio el cual es “a” luego dividimos “a” sobre el monomio y el resultado dará: 𝑎2 + 2a = a(a + 2) Ejemplo 10𝑎2 + 5a + 15𝑎3 = 5𝑎(2𝑎 − 1 + 3𝑎2 ) En esta ecuación lo primero que se hiso fue escribir l factor común en este caso es “5a”, luego dividimos todo el monomio por el factor común y nos dio como resultado 𝟓𝒂(𝟐𝒂 − 𝟏 + 𝟑𝒂 𝟐 ). Factor Común polinomio X(a+b)+m(a+b) = Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el binomio (a+b). 𝒙(𝒂+𝒃) (𝒂+𝒃) = 𝒙 𝒎(𝒂+𝒃) (𝒂+𝒃) = 𝒎 = Dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b) y el resultado dio (x, y) 𝐱( 𝐚 + 𝐛) + 𝐦( 𝐚 + 𝐛) = ( 𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒎). 2x(a-1)-y(a-1) = primero tenemos que encontrar el factor común en este caso es (a+b). 𝟐𝒙(𝒂−𝟏) (𝒂−𝟏) = 𝟐𝒙 −𝒚(𝒂−𝟏) (𝒂−𝟏) = −𝒚 = Al dividir los dos términos de la expresión nos dio como resultado (2x, -y). 𝟐𝐱( 𝐚 − 𝟏) − 𝐲( 𝐚− 𝟏) = ( 𝒂 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝒚)
- 2. 2 CASO 2 Factor Común por Agrupación de términos El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos y de tres en tres) etc. Para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente para volver a factorizar por factor común. Ejemplo 2ac+bc+10a+5b = primero Formaremos dos grupos uno con los dos primero términos y el otro con los otros dos términos. 2ac+2bc + 10a+5b = Al factorizar el primer grupo se observa que “c” es el factor común y en el segundo grupo se observa que “5” es el factor común. 2ac+bc + 10a+5b=c(2a+b) + 5(2a+b) = Luego de resolver y factorar nos dará. 2ac+bc + 10a+5b=(2a+b)(c+5) = Es el resultado final al factorar, donde multiplicamos el factor común por el resultado de la división del primer y segundo grupo en este caso “c” y “5”. Pero en el caso que el factor este desordenado se tiene que agrupar los términos que tengan el mismo número o el mismo coeficiente. EJEMPLO 2ac+5b + 10a+bc Al ordenarlo quedaría de ambas formas las cuales son: 2ac+bc + 10a+5b C(2a+b) + 5(2a+b) (c+5)(2a+b) 10a+2ac + 5b+bc 2a(5+c) + b(5+c) (5+c)(2a+b) Donde nos ha dado la misma respuesta.
- 3. 3 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟔𝒚 Como se observa también puede agruparse por ambas maneras y al resolverlo el resultado daría siempre el mismo 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝒙( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) − 𝟐( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) = ( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)(𝒙 − 𝟐) 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝒙( 𝒙 − 𝟐) − 𝟑𝒚( 𝒙 − 𝟐) = ( 𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) Ejercicios: 1- 𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 2- 𝒂𝒎 − 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 3- 𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒙 − 𝟐𝒂𝒚 + 𝟒𝒃𝒚 4- 𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟐 5- 𝟒𝒂 𝟐 − 𝟏 − 𝒂 𝟐 + 𝟒𝒂
- 4. 4 CASO 3 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrada perfecta, cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Así 4a² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a En efecto: (2a)² =(-2a)(-2a)=4a² luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4a². Observe que (2a)² = 2a * 2a = 4a² y 2a multiplicado por si misma da 4a², y es la raíz cuadrada de 4a² Raíz Cuadrada de un monomio Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2. Así, la raíz cuadrada de 𝟗𝒂 𝟐 𝒃 𝟒 es de 3ab² porque (3ab²)² = 3ab² * 3ab², el resultado será 𝟗𝒂 𝟐 𝒃 𝟒 . La raíz cuadrada de 𝟑𝟔𝐲 𝟔 𝐲 𝟖 es 𝟔𝐱 𝟑 𝐲 𝟒 . Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Así 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b en efecto (𝑎 + 𝑏)2 = ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2ab + b2 Del propio modo, (2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 luego, 𝟒𝐱 𝟐 + 𝟏𝟐𝐱𝐲 + 𝟗𝐲 𝟐 es un trinomio cuadrado perfecto. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer término son cuadrados perfectos (o tiene raíz cuadrada exacta) y positivas. Y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
- 5. 5 Así, 𝒂 𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 + 𝟒𝒃 𝟐 es cuadrada perfecta por: Raíz cuadrada de a² -------a Raíz cuadrada de 4b²------2b Y el doble producto de estas raíces: 2 * a * 2b = 4ab, da como resultado el segundo término del trinomio anterior Cuando no es trinomio cuadrado perfecto. 𝟑𝟔𝐱 𝟐 − 𝟏𝟖𝐱𝐲 𝟒 + 𝟒𝐲 𝟖 6x 2y4 Este trinomio no es cuadrado perfecto porque al multiplicar el doble producto de estas raíces 𝟔𝒙 ∗ 𝟐𝒚 𝟒 ∗ 𝟐 = 𝟐𝟒𝒙𝒚 𝟒 Factorar un trinomio: m²+2m+1 =(m*1)(m*1)=(m*1)² m 1
- 6. 6 Caso 4 Diferencias de cuadrados perfectos. Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados con las raíces cuadradas de los términos originales. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre el minuendo y el sustraendo. EJEMPLO: 1-a²= (1+a) (1-a) = 1+a-a-a² = 1-a² 16𝑥2 − 25𝑦4 = (4𝑥 + 5𝑦2 )(4𝑥 − 5𝑦2 ) = 16𝑥2 − 20𝑥𝑦2 + 20𝑥𝑦2 − 25y4 = 16𝑥2 − 25𝑥𝑦4 Caso Especial: (𝑎 + 𝑏)2 − c2 = [( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐][( 𝑎 + 𝑏) − 𝑐] = ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐) 4𝑥2 − ( 𝑥 + 𝑦)2 = [2x+ ( 𝑥 + 𝑦)][2𝑥 − (𝑥 + 𝑦)] = (2x + x + y)(2x− x − y) = (3x+ y)(x− y)
- 7. 7 Combinación del Caso 3 y 4 Mediante estos términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo el caso 3 se obtiene una diferencia de cuadrados caso 4. EJEMPLOS: 𝐚 𝟐 + 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐 − 𝟏 = (𝐚 𝟐 + 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐 )− 𝟏 = (𝐚 + 𝐛) 𝟐 − 𝟏 = ( 𝐚 + 𝐛 + 𝟏)( 𝐚 + 𝐛 − 𝟏) 𝐚 𝟐 + 𝐦 − 𝟒𝐛 − 𝟐𝐚𝐦 𝐚 𝟐 − 𝟐𝐚𝐦 + 𝐦 − 𝟒𝐛 𝟐 = ( 𝐚 𝟐 − 𝟐𝐚𝐦 + 𝐦) − 𝟒𝐛 𝟐 = (𝐚 − 𝐦) 𝟐 − 𝟒𝐛 𝟐 = ( 𝐚 − 𝐦 + 𝟐𝐛)( 𝐚 − 𝐦 − 𝟐𝐛)
- 8. 8 Caso 5 Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Si vemos este trinomio 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟒 no es perfecto, la raíz cuadrada 𝒙 𝟒 es 𝒙 𝟐 ; la raíz cuadrada de 𝒚 𝟒 es 𝒚 𝟐 ; el doble producto de estas raíces es 2𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ; aquí notamos que no es trinomio cuadrado perfecto. Para convertir este trinomio en cuadrado perfecto, hay que lograr que el segundo término 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 se convierta en 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 , lo cual se conseguirá sumándole 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 , y tendremos: 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟒 +𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟒 + 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 = (𝒙 𝟒 + 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟒 )− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 = (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ) 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒇. 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒙𝒚)(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝒙𝒚) 𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐)(𝒙 𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 ) 𝟒𝒂 𝟒 + 𝟖𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟗𝒃 𝟒 (𝟐𝒂 𝟐 + 𝟑𝒃 𝟐 ) 𝟐 = 𝟒𝐚 𝟒 + 𝟏𝟐𝐚 𝟐 𝐛 𝟐 + 𝟗𝐛 𝟒 𝟐𝒂 𝟐 𝟑𝒃 𝟐
- 9. 9 𝟒𝒂 𝟒 + 𝟖𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟗𝒃 𝟒 +𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟒𝒂 𝟒 + 𝟏𝟐𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟗𝒃 𝟒 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = (𝟒𝒂 𝟒 + 𝟏𝟐𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟒 ) − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = (𝟐𝒂 𝟐 + 𝟑𝒃 𝟐 ) 𝟐 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = ( 𝟐𝒂 𝟐 + 𝟑𝒃 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)(𝟐𝒂 𝟐 + 𝟑𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃) = ( 𝟐𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒃 𝟐)(𝟐𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒃 𝟐 ) Factor de una suma o de dos cuadrados. Una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz pero hay suma de cuadrados que, sumándoles o restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse 𝑎4 + 4𝑏4 Para que se convierta en un trinomio debemos agregarle 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 , y restarle la misma cantidad. 𝑎4 + 4𝑏4 +𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝑎4 + 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 4𝑏4 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = (𝑎4 + 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 4𝑏4 ) − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = (𝒂 𝟐 + 𝟐𝒃 𝟐 ) 𝟐 − 𝟒𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = ( 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒃 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)(𝒂 𝟐 + 𝟐𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃) = ( 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃 𝟐)(𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃 𝟐 )
- 10. 10 Caso 6 Trinomio de la forma 𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝐜 Como se sabe para factorar este trinomio, se descompone en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término, luego buscamos dos numero que al sumarse den el segundo valor y al multiplicar den el tercer valor. EJEMPLO: 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 Primero debemos descomponerel trinomio en 2 binomios (X+3) (X+2) Resultado al descomponer el trinomio Si ambos tienen el mismo signo (+ +), (- -) se buscaran dos números que al sumarse de “x” cantidad y al multiplicarse den “y” cantidad, cuya suma será el valor absoluto del segundo término y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término. Pero si el signo no es el mismo se buscaran dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de este término es el segundo del primer binomio y el menor el segundo término del segundo binomio. EJEMPLOS: 𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓 = ( 𝒂 − 𝟓)(𝒂 + 𝟑) = 𝒂 𝟐 + 𝟑𝒂 − 𝟓𝒂 − 𝟏𝟓 = 𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = ( 𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑) = 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
- 11. 11 Caso 7 Trinomio de la forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝐜. Son trinomios de esta forma 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓 𝟑𝒂 𝟐 + 𝟕𝒂 − 𝟔 𝟏𝟎𝒏 𝟐 − 𝒏 − 𝟐 𝟕𝒎 𝟐 𝟐𝟑𝒎 + 𝟔, que se diferenciade los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1. Al Factorar: 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 Primero se multiplicamos el trinomio por el coeficiente de 𝒙 𝟐 que en este caso es 6 y dejamos indicado del producto de 6(7x): 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 ( 𝟔) = 𝟔( 𝟔𝒙 𝟐) + 𝟔( 𝟕𝒙) − 𝟔(𝟑) 𝟑𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕(𝟔𝒙) − 𝟏𝟖 Ya que dejamos indicada 7(6x) luego se escribirá de la siguiente manera (𝟔𝒙) 𝟐 + 𝟕(𝟔𝒙) − 𝟏𝟖 Al descomponer este trinomio por el caso anterior el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (𝟔𝒙) 𝟐 (6x-9) (6x+2) Para llegar hasta aquí buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -18 (6x-9) (6x+2) 6 Como al principio el trinomio se multiplico 6, ahora se tiene que dividir entre 6
- 12. 12 Pero cono ninguno de los binomios es divisible por 6 se descompone 6 en 2 * 3 y se divide (6x-9) entre 3 y (6x+2) entre 2 se tendrá: (6x−9)(6x+2) 2∗3 = (2x− 3)(3x + 1) = 6𝑥2 + 2x− 9x − 3 = 6𝑥2 − 7x − 3 = 6𝑥2 − 7x− 3 = (2x− 3)(3x+ 1) EJEMPLO: 𝟐𝟎𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟔 = (𝟐𝟎𝒙) 𝟐 − 𝟕( 𝟐𝟎𝒙) − 𝟏𝟖𝟎 (𝟐𝟎𝒙) 𝟐 − 𝟕( 𝟐𝟎𝒙) − 𝟏𝟖𝟎 = ( 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓)(𝟐𝟎𝒙 − 𝟖) 𝟐𝟎 ( 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓)(𝟐𝟎𝒙 − 𝟖) 𝟓 ∗ 𝟒 = ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐) = ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐) = 𝟐𝟎𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟐𝟎𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟔 = ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐)
- 13. 13 Casos Especiales Al factorar 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐 Al multiplicar por 15 (𝟏𝟓𝒙 𝟐 ) 𝟐 − 𝟏𝟏( 𝟏𝟓𝒙 𝟐) − 𝟏𝟖𝟎 Descomponer el Trinomio ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐 − 𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟗) El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐). ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐−𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐+𝟗) 𝟏𝟓 Dividiendo por 15 ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐 − 𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟗) 𝟓 ∗ 𝟑 = ( 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟒)(𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑) EJERCICIOS:
- 14. 14 CASO 8 Cubo Perfecto de binomio. En los productos notables se vio que: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a− b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones. 1- Tener cuatro términos 2- Que el primer y el último término sean cubos perfectos. 3- Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primero término multiplicado por la raíz cubica del último término 4- Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz del último. Raíz cubica de un monomio. La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Así la raíz cúbica de 𝟖𝒂 𝟑 𝒃 𝟔 es 2ab2 En efecto (2a𝑏2 )3 = 2ab2 ∗ 2ab2 ∗ 2ab2 = 𝟖𝒂 𝟑 𝒃 𝟔 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6x + 1 Es el cubo de un binomio 8𝑥3 = 2x Al sacar la raíz cubica a 8𝑥3 1 = 1 Al sacar la raíz cúbica de 1 3(2x)2(1) Segundo Termino 3(1)(2x)2 Tercer Termino Factorar una expresión que es el cubo de un binomio 1 + 12a + 48𝑎2 + 64𝑎3 = (1 + 4a)3 𝑎9 − 18𝑎6 𝑏5 + 108𝑎3 𝑏10 − 216b15 = (a3 − 6b5 )3
- 15. 15 Caso 9 Suma o diferencia de cubos perfectos. Sabemos que: 𝑎3+𝑏3 𝑎+𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑌 ∶ 𝑎3−𝑏3 𝑎−𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor del divisor por el cociente, tendremos: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)( 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 ) 𝑎3 − 𝑏3 = ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) La formula nos dice que REGLA 1 La suma de todos dos cubos perfectos se descomponen en dos factores: 1- La suma de sus raíces cubicas 2- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las 2 raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. La fórmula 2 indica: REGLA 2 1- La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores 2- La diferencia de sus raíces cubicas 3- El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz EJEMPLO: 𝑥3 + 1 Al encontrarnos con este cubo perfecto, primero extraer raíz cúbica de ambos. x ,1 Luego efectuar la operación 𝑥3 + 1 = (x + 1)[x2 − x(1)+ 12] = (x + 1)(x2 − x + 1) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝑥3 + 1
- 16. 16 Al factorar 27𝑎3 + 𝑏6 = 3a + b2 27𝑎3 + 𝑏6 = (3a+ b2) = [(3a)2 − 3a(b2) + (b2 )2] = (3a + b2 )(9𝑎2 − 3ab2 + b4 ) = 27a3 − 9a2 b2 + 3ab4 +9a2 b2 − 3ab4 + b6 = 27a3 + b6 (a + 𝑏)3 + 1 = ( 𝑎 + 𝑏) + 1 (a + 𝑏)3 + 1 = [( 𝑎 + 𝑏) + 1][( 𝑎 + 𝑏)2 − ( 𝑎 + 𝑏)(1) + 12 ] = ( 𝑎 + 𝑏 + 1)(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 𝑎 − 𝑏 + 1)}
- 17. 17 Caso 10 Suma o diferencia de dos potencias iguales - El número de monomios que lo conforman son 2 - La raíz del primer y segundo monomio tienen que ser raíz n-ésimas diferentes a las raíces cuadradas o cúbicas. - Valido para operar tanto en suma como en resta entre los monomios Pasos para desarrollar la factorización. - Organizar los monomios de mayor a menor exponente - Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo termino - Dividir la expresión original entre la suma o resta(de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces - Igualar este término a la suma de los (n-1). En donde se observa que el primer término comienza elevado a (n-1) y termina en 0 - Mientras que el segundo término comienza con 0 y termina en (n-1) - Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior - Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar EJEMPLOS: 𝑚5 + 𝑛5 𝑚 + 𝑛 = 𝑚4 − 𝑚3 𝑛 + 𝑚2 𝑛2 − 𝑚𝑛3 + 𝑛4 𝑚5 + 𝑛5 = ( 𝑚 + 𝑛)(𝑚4 − 𝑚3 𝑛 + 𝑚2 𝑛2 − 𝑚𝑛3 + 𝑛4 𝑎5 − 𝑏5 = a − b 𝑎5 − 𝑏5 𝑎 − 𝑏 = 𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎𝑏3 + 𝑏4 𝑎5 + 𝑏5 = (a + b)( 𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎𝑏3 + 𝑏4)