Definición de derivada
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La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto y se calcula como el límite de la razón entre los incrementos de la función cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. El documento explica cómo calcular la derivada de diferentes funciones usando esta definición y determinar las pendientes tangentes en puntos específicos.
Definición de derivada
- 1. DEFINICION DE DERIVADA. La expresión h )x(f)hx(f Límm o0 0h T −+ = → se utiliza para calcular la pendiente de una recta tangente a la curva de f ( x ) , para un valor de x = c. Pero, la expresión h )x(f)hx(f Lím)x('f 0h −+ = → se utiliza para calcular la pendiente de una recta tangente a la curva de f ( x ) , para cualquier valor de x. Donde f ‘ ( x ) se conoce como derivada de f ( x ) , y se lee f prima de x. Así, la derivada de f ( x ) es la fórmula que se utiliza para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de f ( x ), para cualquier valor de x. Ejercicios: Determine la derivada de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de la definición. Luego, determine las pendientes que, en cada caso, se pidan. 1. f ( x ) = x 2 + 1 ; ( a ) x = 2 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1 Solución: * Partiendo de la fórmula para encontrar la derivada: h )x(f)hx(f Lím)x('f 0h −+ = → Se empieza determinando cada componente de la misma. Se encuentra la evaluación del primer término del numerador. 1hhx2x .cuadradoelrdesarrolladebeSe1)hx()hx(f 22 2 +++= ++=+ Se realiza la resta del numerador, y dividiendo entre h : quedadohaqueloalímiteaplicaSehx2 fracciónlasimplificaSe h )hx2(h numeradorelencomúnfactorsacaSe h hhx2 xposeennoqueosmintércancelanSe h 1x1hhx2x )x(fdeparéntesiselrimesupSe h )1x(1hhx2x h )x(f)hx(f 2 222 222 += + = + = ∆ −−+++ = +−+++ = −+ Se aplica límite a la expresión obtenida, y se evalúa: x20x2)hx2(Lím)x('f 0h =+=+= →
- 2. Como la tendencia es de x∆ , el término 2x permanece intacto. La derivada es: f ‘ ( x ) = 2x Con este resultado se puede determinar cuanta pendiente se desee, evaluando en ella. a) Para x = 2 mT = f ‘ ( 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 mT = 4 b) Para x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 0 mT = 0 c) Para x = – 1 mT = f ‘ ( – 1 ) = 2 ( – 1 ) = – 2 mT = – 2 Ahora: Encuentre la derivada de f ( x ) = 4 – x 2 Luego, determine la pendiente de la recta tangente en: a) x = 1 , b) x = 0 , c) x = – 2 Respuestas: f ‘ ( x ) = – 2x a) mT = – 2 , b) mT = 0 , c) mT = 4 2. f ( x ) = 2x2 – 3x + 5 ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2 Solución: * Se obtiene )hx(f + 5h3x3h2h4x2x 5h3x3)hh2xx(2 5)hx(3)hx(2)hx(f 22 22 2 ++−++= ++−++= ++−+=+ * Aplicando en la fórmula de definición: )3h24x(Lím hlasnsimplificaSe h )3h24x(h Lím numeradorelencomúnfactorsacaSe h h3h2h4x Lím opuestososmintércancelanSe h 5x3x25h3x3h2h4x2x Lím paréntesislosrimensupSe h )5x3x2(5h3x3h2h4x2x Lím h )x(f)hx(f Lím)x('f 0h 0h 2 0h 222 0h 222 0h 0h ++= ++ = ++ = −+−++−++ = +−−++−++ = −+ = → → → → → → * Evaluando el límite. 34x)x('f += ++=++= → 3)0(24x)3h24x(Lím)x('f 0h
- 3. * Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes. ( a ) x = 1 mT = f ‘ ( 1 ) = 4 ( 1 ) + 3 mT = 7 ( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 4 ( 0 ) + 3 mT = 3 ( c ) x = – 2 mT = f ‘ ( – 2 ) = 4 ( – 2 ) + 3 mT = – 5 3. f ( x ) = 2x 5 − ; ( a ) x = 3 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1 Solución: * Se obtiene )hx(f + 2hx 5 )hx(f −+ =+ * Aplicando en la fórmula de definición: )2x()2hx( 5 Lím hlasnsimplificaSe )2x()2hx(h h5 Lím mediosyextremosnmultiplicaSe 1 h )2x()2hx( h5 Lím opuestossignosconosmintércancelanSe h )2x()2hx( 10h5x510x5 Lím indicadosproductosefectúanSe h )2x()2hx( )2hx(5)2x(5 Lím solaunaenfraccioneslasconviertenSe h 2x 5 2hx 5 Lím h )x(f)hx(f Lím)x('f 0h 0h 0h 0h 0h 0h 0h −−+ − = −−+ − = −−+ − = −−+ +−−− = −−+ −+−− = − − −+= −+ = → → → → → → → * Evaluando el límite. 2 )2x( 5 )x('f − − = −− − = −−+ − = −−+ − = → )2x()2x( 5 )2x()20x( 5 )2x()2hx( 5 Lím)x('f 0h * Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.
- 4. ( a ) x = 3 mT = f ‘ ( 1 ) = 1 5 )1( 5 )21( 5 22 − = − − = − − mT = – 5 ( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 4 5 )2( 5 )20( 5 22 − = − − = − − mT = – 4 5 ( c ) x = – 1 mT = f ‘ ( – 2 ) = 9 5 )3( 5 )21( 5 22 − = − − = −− − mT = – 9 5 4. f ( x ) = 3x + ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2 Solución: * Se obtiene )hx(f + 3hx)hx(f ++=+ * Aplicando en la fórmula de definición: 3x3hx 1 Lím hlasnsimplificaSe )3x3hx(h h Lím opuestososmintércancelanSe )3x3hx(h 3x3hx Lím paréntesisrimensupSe )3x3hx(h )3x(3hx Lím radicalesrimensupSe )3x3hx(h )3x()3hx( Lím 3x3hx 3x3hx . h 3x3hx Lím aciónracionalizaplicaSe h 3x3hx Lím h )x(f)hx(f Lím)x('f 0h 0h 0h 0h 22 0h 0h 0h 0h ++++ = ++++ = ++++ −−++ = ++++ +−++ = ++++ +−++ = ++++ +++++−++ = +−++ = −+ = → → → → → → → → * Evaluando el límite. 3x2 1 )x('f + = +++ = ++++ = ++++ = → 3x3x 1 3x30x 1 3x3hx 1 Lím)x('f 0h * Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.
- 5. ( a ) x = 1 mT = f ‘ ( 1 ) = )2(2 1 42 1 312 1 == + = mT = 4 1 ( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 32 1 302 1 = + = mT = 32 1 ( c ) x = – 2 mT = f ‘ ( – 2 ) = )1(2 1 12 1 322 1 == +− = mT = 2 1