Sol06

6 DERIVADAS.
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

Página 151

REFLEXIONA Y RESUELVE

Tangentes a una curva

y = f (x )

5

3

–5 3 9 14

■ Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14).
–3
f ' (3) = 0; f' (9) = ; f' (14) = 1
4

■ Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva.

La derivada también es positiva en x = – 4, x = –2, x = 0…

■ Di otro punto en el que la derivada es cero.

La derivada también es cero en x = 11.

■ Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa.

La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

■ Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x é [a, b ], entonces
f' (x) > 0”.

Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x é [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.

Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación
1

Función derivada

■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo com-
portamiento responde al de la derivada de f (x).

• En el intervalo (a, b), f (x)
es decreciente. Por tanto, su
derivada es negativa. Es lo y = f (x )
que le pasa a g (x) en (a, b).
• La derivada de f en b es 0:
f' (b) = 0. Y también es b
g(b) = 0. a

• En general:
g (x) = f' (x) = 0 donde f (x)
tiene tangente horizontal.
y = g (x ) = f ' (x )
g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) b
es creciente. a
g (x) = f' (x) < 0 donde f (x)
es decreciente.

■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas
de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden.
Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1 2 3
1) B
2) A
3) C

La derivada se anula en los
puntos de tangente horizontal,
es positiva donde la función es
creciente, y es negativa donde
A B C
la función decrece.

2

UNIDAD 6

Página 153

° 2 – 3x, x Ì 2
1. f (x) = ¢ 2 ¿Es derivable en x0 = 2?
£ x – 3, x > 2

lím f (x) = lím – (2 – 3x) = –4
x 8 2– x82

lím f (x) = lím + (x2 – 3) = 1
x 8 2+ x82

La función no es continua en x = 2, pues lím f (x) ? lím + f (x).
x 8 2– x82
Por tanto, tampoco es derivable en x = 2.

° 2 – 3x, x Ì 2
2. f (x) = ¢ 2 ¿Es derivable en x0 = 2?
£ x – 8, x > 2

lím f (x) = lím – (2 – 3x) = –4
x 8 2– x82

lím f (x) = lím + (x2 – 8) = –4
x 8 2+ x82

La función es continua, pues: lím f (x) = lím + f (x) = f (2) = –4.
x 8 2– x82

° –3 si x < 2
f' (x) = ¢
£ 2x si x > 2
f' (2–) = –3 ? f' (2+) = 4
Por tanto, f (x) no es derivable en x = 2.

Página 157
1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1–x 1–x
a) f (x) =
1+x
b) f (x) =
√ 1+x

1–x 1 – tg x
c) f (x) = ln d) f (x) =
1+x 1 + tg x

1 – tg x
e) f (x) =
√ 1 + tg x
f ) f (x) = ln √e tg x

g) f (x) = √3 x + 1 h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1

3

2 + 1) 3
k) f (x) = 7 sen (x l) f (x) = sen (3x5 – 2√x + √2x )
3
m) f (x) = √sen x + x 2 + 1 n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2

a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x = –2
(1 + x) 2 (1 + x) 2 (1 + x) 2

b) Utilizamos el resultado obtenido en a):
1 –2 –1
f' (x) = · =
2
1–x (1 + x) √ (1 – x)(1 + x) 3
2
√ 1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):

f' (x) = 1 · –2 = –2(1 + x) = –2
1 – x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 2 1 – x2
1+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente:
f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:
–1 1
f' (x) = – = –1 – x – 1 + x = –2
1–x 1+x 1 – x2 1 – x2
2 2
d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) =
(1 + tg x) 2

2 2
= (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x)
(1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):
2
f' (x) = –2 · D [tg x] = –2 · (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x)
(1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2

e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):
2 – (1 + tg 2 x)
f' (x) = 1 · – 2(1 + tg x) =
1 – tg x (1 + tg x) 2 √ (1 – tg x)(1 + tg x) 3
2
√ 1 + tg x
También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b).

tg x
f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 =
2
1 + tg 2 x
f' (x) =
2

g) f (x) = √3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2
1 ln 3 √3 x + 1
f' (x) = 3 (x + 1) / 2 · · ln 3 = ·
2 2

4

UNIDAD 6

h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)]

f' (x) = 2 [ cos x
·
1
sen x ln 10
+
–sen x
cos x
·
1
ln 10
=
2
ln 10
· ]
cos 2 x – sen 2 x
sen x · cos x
=

4 cos 2 x – sen 2 x 4 cos 2x 4
= · = · =
ln 10 2sen x · cos x ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x

De otra forma:

f (x) = log (sen x · cos x) 2 = 2 log
( sen 2x
2 )
1 4
f' (x) = 2 · · cos 2x =
ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x
2
i) f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x
f' (x) = 1
— — — —
cos √ x + 1 · cos √ x – 1 sen √ x + 1 · (– sen √ x – 1 )
j) f' (x) = + =
2 √x + 1 2 √x – 1
— — — —
cos √ x + 1 · cos √ x – 1 sen √ x + 1 · sen √ x – 1
= –
2 √x + 1 2 √x – 1
2 + 1) 2 + 1)
k) f' (x) = 7sen(x · ln 7 · D [sen (x 2 + 1)] = 7sen (x · ln 7 · 2x · cos (x 2 + 1)
3
l)
3
f' (x) = cos (3x 5 – 2 √x + √2x ) · 15x 4 – ( 1 √2
+ 3
√ x 3√ x2 )
1 cos x + 2x
m) f' (x) = · (cos x + 2x) =
2 √ sen x + x 2 +1 2 √ sen x + x 2 + 1

1 + 2(3 – x) · (–1)
3
[
n) f' (x) = 2cos √x + (3 – x) 2 · –sen √x + (3 – x) 2 ·
3
] 3
√ (x + (3 – x) 2 )2
=

3 — — 3 — —
–2 cos √ x + ( 3 – x) 2 sen √ x + ( 3 – x) 2 · (2x – 5)
= 3 =
3 √x + (3 – x)2 )2
3
(5 – 2x) · sen (2 √x + (3 – x) 2)
= 3
3 √(x + (3 – x)2 )2

2. Halla las derivadas 1.a, 2.a y 3.a de las siguientes funciones:
a) y = x 5 b) y = x cos x c) y = sen2 x + cos2 x + x
a) y = x 5
y' = 5x 4; y'' = 20x 3; y''' = 60x 2

5

b) y = x cos x
y' = cos x – x sen x
y'' = –sen x – sen x – x cos x = –2sen x – x cos x
y''' = –2cos x – cos x + x sen x = –3cos x + x sen x
c) y = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x
y' = 1; y'' = 0; y''' = 0

— 3—
3. Calcula f' (1) siendo: f (x) = √x √3x · e 4
5
2 √ 3x 2
—3— 15
1/2 1/3 1/3
f (x) = √x √3x · e 4 = x · 3 · x · e =
4 3 2/15 · e 4
· x 13/30 =
√ 9 · e 4 · x 13/30
5 1/5 · x 2/5
2 √ 3x 2 2·3 2 2
15 15
f' (x) =
√ 9 · e 4 · 13 x –17/30 = 13 √ 9 · e 4 30 x 17
√
3 30 60
15
13 √ 9 · e 4
Por tanto: f' (1) =
60

4. Calcula f' (π/6) siendo: f (x) = (cos2 3x – sen2 3x) · sen 6x

sen 12x
f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x = cos 6x · sen 6x =
2
12cos 12x
f' (x) = = 6cos 12x
2

6 ( )
Por tanto: f' π = 6 · cos 12π = 6 · cos (2π) = 6 · 1 = 6
6

5. Calcula f' (0) siendo:

1
f (x) = ln √x 2 + x + 1 – · (2x + 1)2
√3

1 1 1
f (x) = ln √x 2 + x + 1 – (2x + 1)2 = ln (x 2 + x + 1) – (2x + 1)2
√3 2 √3
1 4 4(2x + 1)
f' (x) = · 2x + 1 – · (2x + 1)2 = 2x + 1 – =
2 x2 + x + 1 √3 2x 2 + 2x + 2
√3
— —
2x + 1 8x + 4 –16x3 – 24x2 + (2 √ 3 – 24)x + √ 3 – 8
= – = —
2x 2 + 2x + 2 √3 √ 3 (2x 2 + 2x + 2)
—
√3 – 8
Por tanto: f' (0) = —
2√3

6

UNIDAD 6

Página 158
1. Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función:
° x 2 – 3x, x Ì 3
f (x) = ¢
£ 3x – 9, x > 3

• Continuidad en x0 = 3:

lím f (x) = lím (x 2 – 3x) = 0 ° lím f (x) = f (3) = 0
x 8 3– x83 § x83
§
lím + f (x) = lím (3x – 9) = 0 ¢ Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3.
§
x83 x83 §
£
• Derivabilidad en x0 = 3:

lím f' (x) = lím – (2x – 3) = 3 = f' (3 –) °
x 8 3– x83 §
§ Las derivadas laterales existen
lím + f' (x) = lím + (3) = 3 = f' (3 +) ¢ y coinciden.
§
x83 x83 §
£

Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Además, f' (3) = 3.

2. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en Á:
° x 2 – mx + 5, x Ì 0
f (x) = ¢ 2
£ –x + n, x>0

• Si x ? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polino-
mios.

• Continuidad en x = 0:

lím f (x) = lím (x 2 – mx + 5) = 5 °
x 8 0– x80 §
§
§ Para que f (x) sea continua en x = 0,
lím + f (x) = lím (–x 2 + n) = n ¢ ha de ser: n = 5
x80 x80 §
§
f (0) = 5 §
£

• Derivabilidad en x = 0:

lím f' (x) = lím – (2x – m) = – m = f' (0–) °
x 8 0– x80 §
§ Para que sea derivable en x = 0, ha
¢ de ser: – m = 0 8 m = 0
lím + f' (x) = lím + (–2x) = 0 = f' (0+) §
x80 x80 §
£

Por tanto, f (x) es derivable en Á para m = 0 y n = 5.

7

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Definición de derivada

1 Halla la tasa de variación media (T.V.M.) de las siguientes funciones en los
intervalos: [–3, –1]; [0, 2]; [2, 5]; [1, 1 + h]:

a) f (x) = x 2 + 1 b) f (x) = 7x – 5 c) f (x) = 3 d) f (x) = 2x

¿En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? ¿Qué tipo de funciones son?

a) f (x) = x 2 + 1
f (–1) – f (–3)
En [–3, –1] 8 T.V.M. = = –4
2

f (2) – f (0)
En [0, 2] 8 T.V.M. = =2
2

f (5) – f (2)
En [2, 5] 8 T.V.M. = =7
3

f (1 + h) – f (1) h2 + 2h
En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = = =h+2
h h
b) f (x) = 7x – 5
f (–1) – f (–3)
En [–3, –1] 8 T.V.M. = =7
2

f (2) – f (0)
En [0, 2] 8 T.V.M. = =7
2

f (5) – f (2)
En [2, 5] 8 T.V.M. = =7
3

f (1 + h) – f (1) 7h
En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = = =7
h h
c) f (x) = 3
f (–1) – f (–3)
En [–3, –1] 8 T.V.M. = =0
2

f (2) – f (0)
En [0, 2] 8 T.V.M. = =0
2

f (5) – f (2)
En [2, 5] 8 T.V.M. = =0
3

f (1 + h) – f (1)
En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = =0
h

8

UNIDAD 6

d) f (x) = 2x
f (–1) – f (–3) 3
En [–3, –1] 8 T.V.M. = =
2 16

f (2) – f (0) 3
En [0, 2] 8 T.V.M. = =
2 2

f (5) – f (2) 28
En [2, 5] 8 T.V.M. = =
3 3

f (1 + h) – f (1) 21 + h – 2 2(2h – 1)
En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = = =
h h h

La función b) f (x) = 7x – 5 es una función afín y la T.V.M. es constante.
La función c) f (x) = 3 es una función afín y la T.V.M. es 0 (constante).

2 Halla la T.V.M. de la función f (x) = –x 2 + 5x – 3 en el intervalo [2, 2 + h] y,
con el resultado obtenido, calcula f ' (2).

f (x) = –x 2 + 5x – 3 en [2, 2 + h]
f (2 + h) – f (2) –h2 + h
= = –h + 1
h h
f' (2) = lím (–h + 1) = 1
h80

3 Utilizando la definición de derivada, calcula f ' (3) en las siguientes funciones:
3x – 2
a) f (x) =
7
b) f (x) = x 2 – 4

c) f (x) = (x – 5)2

2+x
d) f (x) =
x

f (3 + h) – f (3) (3h/7) 3
a) f' (3) = lím = lím =
h80 h h80 h 7

f (3 + h) – f (3) h2 + 6h
b) f' (3) = lím = lím =6
h80 h h80 h

f (3 + h) – f (3) h2 – 4h
c) f' (3) = lím = lím = –4
h80 h h80 h

f (3 + h) – f (3) –2h –2
d) f' (3) = lím = lím 2 = 9
h80 h h 8 0 9h + 3h

9

4 Calcula la función derivada de las siguientes funciones, utilizando la defini-
ción:
5x + 1
a) f (x) =
2
b) f (x) = 3x 2 – 1

1
c) f (x) =
x–2

d) f (x) = x 2 – x
5(x + h) + 1 5x + 1
—— – —
f (x + h) – f (x) 2 2
a) f' (x) = lím = lím =
h80 h h80 h

5h
2 5
= lím =
h80 h 2

f (x + h) – f (x) [3(x + h)2 – 1] – (3x 2 – 1)
b) f' (x) = lím = lím =
h80 h h80 h

3h2 + 6xh
= lím = 6x
h80 h
1 1
—— – —
f (x + h) – f (x) x+h–2 x–2
c) f' (x) = lím = lím =
h80 h h80 h

–h –1 –1
= lím = lím =
h80 (x – 2) · (x + h – 2) · h h 8 0 (x – 2) · (x + h – 2) (x – 2)2

f (x + h) – f (x) [(x + h)2 – (x + h)] – (x 2 – x)
d) f' (x) = lím = lím =
h80 h h80 h

h2 + 2xh – h
= lím = 2x – 1
h80 h

5 Calcula, aplicando la definición de derivada, f ' (2), f ' (–1) y f ' (x), siendo
x–1
f (x) = .
x
2+h–1–—
———— 1 1+h 1
——— – —
f (2 + h) – f (2) 2+h 2 = lím 2 + h 2 =
• f' (2) = lím = lím
h80 h h80 h h80 h
2 + 2h – 2 – h
2 (2 + h) h 1 1
= lím = lím = lím =
h80 h h80 2 (2 + h) h h80 2 (2 + h) 4

10

UNIDAD 6

–1 + h – 1
————— – 2
f (–1 + h) – f (–1) –1 + h
• f' (–1) = lím = lím =
h80 h h80 h

–1 + h – 1 + 2 – 2h –h
= lím = lím =
h80 (–1 + h) h h80 (–1 + h) h

–1 –1
= lím = =1
h80 –1 + h –1
x+h–1–x–1
———— ——
f (x + h) – f (x) x+h x
• f' (x) = lím = lím =
h80 h h80 h

x2 + x h – x – x2 + x – x h + h
(x + h)x h
= lím = lím =
h80 h h80 (x + h) x h

1 1
= lím = 2
h80 (x + h) x x

6 Comprueba, utilizando la definición de derivada, que la función f (x) = √x
no tiene derivada en x = 0.

Intentamos hallar f' (0) usando la definición de derivada:
f (0 + h) – f (0) √h – 0 √h
f' (0) = lím = lím = lím =
h80 h h80 h h80 h

1 1
= lím = = ±@
h80 √h 0

Por tanto, f (x) = √x no tiene derivada en x = 0.

7 Halla la tasa de variación media de la función f (x) = e x en el intervalo
[2; 2,001] y comprueba que su valor está muy próximo a e 2.
f (2,001) – f (2) e 2,001 – e 2
T.V.M. [2; 2,001] = = › 7,3928
2,001 – 2 0,001
e 2 › 7,3891. Los dos valores están muy próximos.

° 2x – 3 si x < 2
8 Dada f (x) = ¢ , halla f ' (1) y f ' (3) utilizando la definición
£ x – 1 si x Ó 2
de derivada.

f (1 + h) – f (1) [2 (1 + h) – 3] – (–1)
• f' (1) = lím = lím =
h80 h h80 h
2 + 2h – 3 + 1 2h
= lím = lím = lím 2 = 2
h80 h h80 h h80

11

f (3 + h) – f (3) (3 + h – 1) – 2 3+h–1–2
• f' (3) = lím = lím = lím =
h80 h h80 h h80 h

= lím 1 = 1
h80

Reglas de derivación

9 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
x2 – 3 x+1
a) y = b) y =
x2 + 3 (2 – x)2
3x 2
( )
x 4
c) y = d) y = 0,5 –
x + √x 10

2x · (x2 + 3) – (x2 – 3) · 2x 12x
a) y' = = 2
(x2 + 3)2 (x + 3)2

(2 – x)2 + (x + 1) · 2 (2 – x) x+4
b) y' = =
(2 – x)4 (2 – x)3

—

c) y' =
6x · (x + √ x ) – 3x2 · 1 – —
—
1
—
2 √x
( ) —
2 2 √—
= 15x + 6x · — x
(x + √ x )2 2√ x · (x + √ x )2

d) y' =
–4
10 (
· 0,5 –
x
10 )
3
=
–2
5 (
· 0,5 –
x
10 )3

10 Halla la derivada de estas funciones:
x3 x2 + 1 1 – x2
( )
3 x
a) y = b) y = c) y = d) y =
(x + 1)2 x (2x + 1)3 x2– 4x + 4

3x2 · (x + 1)2 – x3 · 2 · (x + 1) x2 · (x + 3)
a) y' = 4 =
(x + 1) (x + 1)3

b) y' = 3 · ( x2 + 1
x )
2
·
2x · x – (x 2 + 1)
x2
=3· ( x2 + 1
x ) 2
·
x2 – 1
x2

(2x + 1)3 – x · 3(2x + 1)2 (2x + 1) – 6x 1 – 4x
c) y' = 6 = 4 =
(2x + 1) (2x + 1) (2x + 1)4

–2x (x 2 – 4x + 4) – (1 – x 2)(2x – 4) –2x (x – 2)2 – (1 – x 2) · 2(x – 2)
d) y' = = =
(x 2 – 4x + 4)2 (x – 2)4

–2x (x – 2) – (1 – x 2) · 2 4x – 2
= =
(x – 2)3 (x – 2)3

12

UNIDAD 6

11 Deriva las funciones siguientes:
(1 – x)2
a) y = e 4x (x – 1) b) y = c) y = √2x d) y = ln (2x – 1)
ex

a) y' = 4 · e4x · (x – 1) + e4x · 1 = e4x · (4x – 3)

–2 · (1 – x) · ex – (1 – x)2 · ex –2 · (1 – x) – (1 – x)2 –x2 + 4x – 3
b) y' = 2x = x =
e e ex
2x · ln2 2x – 1 · ln2
c) y' = =
2 √ 2x √ 2x
2
d) y' =
2x – 1

12 Deriva estas funciones:
ln x 2
a) y = ln (x 2 – 1) b) y = ln √1 – x c) y = d) y = e x +1
ex
2x
a) y ' =
x2 – 1
–1
— —
2 √1 – x –1
b) y ' = — =
√1 – x 2(1 – x)

1 1
— · e x – ln x · e x — – ln x
x x 1 – x · ln x
c) y ' = = =
e 2x ex x · ex
2+1
d) y ' = 2x e x

13 Calcula la derivada de estas funciones:
sen 2 x
a) y = sen x cos 2 x b) y =
1 + cos 2 x
c) y = sen 2 x 2 d) y = cos 3 (2x + 1)

a) y' = cos x cos 2 x – 2cos x sen x sen x = cos 3 x – 2sen 2 x cos x =
= cos 3 x – 2(1 – cos 2 x) cos x = cos 3 x – 2cos x + 2cos 3 x = 3cos 3 x – 2cos x

2sen x cos x (1 + cos 2 x) + 2cos x sen x sen 2 x
b) y' = =
(1 + cos 2 x)2
2sen x cos x + 2sen x cos 3 x + 2cosx sen 3 x
= =
(1 + cos 2 x)2
2sen x cos x (1 + cos 2 x + sen 2 x) 4sen x cos x
= 2 x)2 =
(1 + cos (1 + cos 2 x)2

13

c) y' = 2x · 2sen x 2 · cos x 2 = 4x sen x 2 cos x 2
d) y' = 3cos 2 (2x + 1) · [–sen (2x + 1) · 2] = –6sen (2x + 1) cos 2 (2x + 1)

14 Deriva las funciones siguientes:
1 1 + 2x
√
3 —
a) y = log2 b) y = √sen x 2 c) y = d) y = √ x + √ x
x 1 – 2x

a) y = log2 1 – log2 x
1 1 –1
y' = – · =
x ln 2 x ln 2

2x · cos x 2
b) y' = 3
3 √sen 2 x 2

2 · (1 – 2x) + (1 + 2x) · 2
—————— —— 4
(1 – 2x)2 (1 – 2x)2 2
c) y' = = = =
1 + 2x 1 + 2x
2 · ——
1 – 2x √ 2 · ——
1 – 2x
(1 – 2x)2 ·
√ √
1 + 2x
1 – 2x

2 2
= =
1 + 2x √(1 – 2x)3(1 + 2x)
√ (1 – 2x)4 ·
1 – 2x

1
1+— — — —
2 √x 2√ x + 1 2√ x + 1
d) y' = —— = — —— = ———
2 · √x + √ x 4√ x · √x + √ x 4 · √ x 2 + x √x

15 Halla la derivada de:
x
√
—
a) y = √ x √x b) y = ln
x+1

x–1
c) y = ln (sen √e x ) d) y =
√ x+1
☛ b) Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar.
— 4 3 3
a) y = √ √x 2 · x = √x 3 = x 3/4 8 y' = · x –1/4 4
4 4 · √x
1
b) y = · (ln x – ln (x + 1))
2

y' =
1
·
2 x
1
(
–
1
x+1
=
1
2x 2 + 2x )
—
(1/2) · e x/2 · cos ex/2 e x/2 · cos √e x
c) y = ln (sen e x/2 ) 8 y' = x/2 = —
sen e 2 · sen √e x

14

UNIDAD 6

—1 – x 2 1
x + —— +
(x + 1) 1 1
d) y' = = = =
x–1
2· ——
√
x+1
(x + 1)2 ·
√
x–1
x+1 √
(x + 1)4 ·
x–1
x+1

1
=
√(x – 1) · (x + 1)3

Página 163

Continuidad y derivabilidad

16 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los
puntos que se indican, y represéntalas:
° 3x – 1 si x < 1
a) f (x) = ¢ 2 en x = 1
£ x + x si x Ó 1

° –x 2 si x < 0
b) f (x) = ¢ 2 en x = 0
£x si x Ó 0

° 2x – 1 si x < 3
c) f (x) = ¢ 2 en x = 3
£ x – 4 si x Ó 3

° 3x – 2 si x Ì 2
d) f (x) = ¢ en x = 2
£ 3x + 1 si x > 2

a) Continuidad en x = 1:

lím f (x) = lím – (3x – 1) = 2 °
x 8 1– x81 §
§ f (x) es continua
lím + f (x) = lím + (x2 + x) = 2 ¢ Gráfico:
x81 x81 § en x = 1.
§
f (1) = 2 £
10
9
8
Derivabilidad en x = 1: 7
6
° 3 si x < 1
5
f' (x) = ¢ 4
£ 2x + 1 si x > 1 3
2
f' (1–) = 3
£ 1
¢ f (x) es derivable en x = 1 y f ' (1) = 3. –3–2 –1
° 1 2 3 4 5
f' (1+) = 3 –1
–2
–3
–4
–5

15

b) Continuidad en x = 0:

lím f (x) = lím – –x2 = 0 °
x 8 0– x80 §
§ f (x) es continua
lím + f (x) = lím + x2 = 0 ¢ en x = 0.
x80 x80 § Gráfico:
§
f (0) = 0 £
5
4
3
1
° –2x si x < 0 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
f' (x) = ¢ –1
£ 2x si x > 0 –2
–3
–4
f' (0–) = 0
£
–5
¢
° f (x) es derivable en x = 0 y f' (0) = 0.
f' (0+) = 0

c) Continuidad en x = 3:
Gráfico:
lím f (x) = lím – (2x – 1) = 5 °
x 8 3– x83 § 12
§ f (x) es continua 11
lím + f (x) = lím + (x2 – 4) = 5 ¢ 10
x83 x83 § en x = 3. 9
§ 8
f (3) = 5 £ 7
6
5
3
° 2 si x < 3 2
f' (x) = ¢ 1
£ 2x si x > 3 –3–2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
f' (3–) = 2
£
¢
° f (x) no es derivable en x = 3.
f' (3+) = 6

Gráfico:
10
d) Continuidad en x = 2: 9
8
7
lím f (x) = lím – (3x – 2) = 4 °
§
f (x) no es continua 6
x 8 2– x82 § en x = 2 (tiene una 5
¢ 4
lím + f (x) = lím + (3x + 1) = 7 § discontinuidad de 3
x82 x82 § salto finito).
£ 2
1
Derivabilidad en x = 2: –3–2 –1 1 2 3 4
–1
Como f (x) no es continua en x = 2, tampoco es –2
–3
derivable en ese punto. –4
–5

16

UNIDAD 6

17 Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
° ln (x – 1) si x < 2
f (x) = ¢
£ 3x – 6 si x Ó 2

Continuidad en x = 2:
lím f (x) = lím – ln (x – 1) = ln 1 = 0 °
x 8 2– x82 §
§
lím + f (x) = lím + (3x – 6) = 0 ¢ f (x) es continua en x = 2.
x82 x82 §
§
f (2) = 0 £

Derivabilidad en x = 2:
° 1
§ —---- si x < 2
f' (x) = ¢ x – 1
§ 3 si x > 2
£
f' (2–) = 1 Como las derivadas laterales no coinciden, f (x) no es derivable
£
¢
f' (2+) = 3 en x = 2.
°

s18 Considera la siguiente función:
°0 si x < 0
§ 2
f (x) = ¢ x si 0 Ì x < 1
§
£ x si x Ó 1
a) Estudia su continuidad.
b) Estudia su derivabilidad.

a) • Si x ? 0 y x ? 1 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 0:
lím f (x) = lím 0 = 0 °
x 8 0– x80 §
2 = 0
§ lím f (x) = f (0). Por tanto, la función es
lím + f (x) = lím x ¢ x80
x80 x80 § continua en x = 0.
§
f (0) = 0 £

• En x = 1:
lím f (x) = lím x 2 = 1
x 8 1– x81 °
§
lím + f (x) = lím x = 1 § xlím 1 f (x) = f (1). Por tanto, la función es
¢ 8
x81 x81 § continua en x = 1.
§
f (1) = 1 £

La función es continua en Á.

17

b) • Si x ? 0 y x ? 1 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos:
° 0 si x < 0
f' (x) = § 2x
¢ si 0 < x < 1
§ 1 si x > 1
£

• En x = 0:
f' (0 –) = 0 = f' (0+). Por tanto, f (x) es derivable en x = 0; y f' (0) = 0.

• En x = 1:
f' (1–) = 2 ? f' (1+) = 1. Por tanto, f (x) no es derivable en x = 1.
La función es derivable en Á – {1}. Su derivada es:
° 0 si x < 0
f' (x) = § 2x
¢ si 0 Ì x < 1
§ 1 si x > 1
£

19 Prueba que la función f (x) =|x + 1| no es derivable en x = –1.
° –x – 1 si x Ì –1
f (x) = | x + 1| = ¢
£ x + 1 si x Ó –1
f (x) es una función continua, pues está formada por dos funciones continuas, si
x ? –1.

• En x = –1:

lím f (x) = lím (–x – 1) = 0 °
x 8 –1– x 8 –1– §
§
lím f (x) = lím (x + 1) = 0 ¢ f es continua en x = –1.
x 8 –1 + x 8 –1 + §
§
f (–1) = 0 £
• Su derivada, si x ? –1, es:
° –1 si x < –1
f' (x) = ¢
£ 1 si x > –1
Las derivadas laterales en x = –1 son:
f' (–1+) = 1 ° No coinciden; por tanto, f (x) no es derivable
¢
f' (–1–) = –1 £ en x = –1.

20 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
° x2 – 1 si x Ì 1
f (x) = ¢
£x – 1 si x > 1

Continuidad:
Si x ? 1 8 f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones
continuas.

18

UNIDAD 6

En x = 1 8 lím f (x) = lím – (x2 – 1) = 0 °
x 8 1– x81 §
§
lím + f (x) = lím + (x – 1) = 0 ¢ f (x) es continua en x = 1.
x81 x81 §
§
f (1) = 0 £

Por tanto, f (x) es una función continua.
Derivabilidad:
Si x ? 1: f (x) es derivable y su derivada es:
° 2x si x < 1
f' (x) = ¢
£ 1 si x > 1
En x = 1: Hallamos las derivadas laterales:
f' (1+) = 1 °
¢ No coinciden; por tanto, f (x) no es derivable en x = 1.
f' (1–) = 2 £

° e –x si x Ì 0
21 Dada la función f (x) = ¢
£1 – x si x Ó 0
Estudia su continuidad y su derivabilidad.

Continuidad:
Si x ? 0: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x = 0:
lím f (x) = lím – e–x = 1 °
x 8 0– x80 §
§
lím + f (x) = lím + (1 – x) = 1 ¢ f (x) es continua en x = 0.
x80 x80 §
§
f (0) = 1 £


Derivabilidad:
° –e–x si x < 0
f' (x) = ¢
£ –1 si x > 0
f' (0–) = –1 °
¢ Coinciden; luego, f (x) es derivable en x = 0.
f' (0+) = –1 £
Por tanto, f (x) es una función derivable.
° –e –x si x < 0
Su derivada es f ' (x) = ¢
£ –1 si x Ó 0

19

22 ¿En qué puntos no son derivables las funciones siguientes?:
a) f (x) = | x 2 – 4 | b) f (x) = | 2x – 3 |

a) f (x) = | x 2 – 4 |

f (x) es una función continua, pues es la composición de funciones continuas.
La definimos a trozos:
° x2 – 4 si x < –2
§
f (x) = ¢ –x2 + 4 si –2 Ì x Ì 2
§ 2
£ x – 4 si x>2
Si x ? –2 y x ? 2, f' (x) es derivable y su derivada es:
° 2x si x < –2
§
f' (x) = ¢ –2x si –2 < x < 2
§
£ 2x si x>2

En x = –2: Hallamos las derivadas laterales:

f' (–2–) = –4 °
¢ f (x) no es derivable en x = –2.
f' (–2+) = 4 £

f' (2–) = –4 °
¢ f (x) no es derivable en x = 2.
f' (2+) = 4 £
Por tanto, f (x) no es derivable en los puntos (–2, 0) y (2, 0).

° –2x + 3 si x < 3/2
b) f (x) = | 2x – 3 | = ¢
£ 2x – 3 si x Ó 3/2
f(x) es una función continua pues es la composición de dos funciones continuas
(y = 2x – 3 e y = | x | ).
3 ° –2 si x < 3/2
En x ? , f(x) es derivable y su derivada es f'(x) = ¢
2 £ 2 si x > 3/2

() ()
3 3 – 3 +
En x = , f no es derivable porque f' = –2 y f' =2
2 2 2

PARA RESOLVER

° 3x – 1 si x Ì 2
23 Dada f (x) = ¢ 2 :
£ x + 1 si x > 2
a) Calcula f' (1) y f' (3). b) Comprueba que f' (2–) ? f' (2+).

Si x ? –2: f(x) es una función continua, pues está formada por polinomios, que
son funciones continuas.

20

UNIDAD 6

En x = 2:
lím f (x) = lím – (3x – 1) = 5 °
x 8 2– x82 §
lím f (x) = lím + (x 2 + 1) = 5 § f (x) es continua en x = 2.
¢
x 8 2+ x82 §
§
f (2) = 5 £


° 3 si x < 2
f' (x) = ¢
£ 2x si x > 2
a) f' (1) = 3; f' (3) = 6
b) f' (2–) = 3 °
¢ no coinciden
f' (2+) = 4 £

24 Esta es la gráfica de una función y = f (x).
Calcula, observándola:
2
f ' (–1), f' (1) y f' (3)
¿En qué puntos no es derivable? –2 2 4

• En x = –1, la recta tangente a f es horizontal; su pendiente es 0. Por tanto,
f ' (–1) = 0.
• En x = 1, f es una función constante. Luego f ' (1) = 0.
• En x = 3, f es una recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 5). Calculamos su
pendiente:
5–1
m= = 2. Por tanto, f ' (3) = 2.
4–2
• No es derivable en x = 0 ni en x = 2, porque en ellos observamos que:
f ' (0–) ? f ' (0+) y f ' (2–) ? f ' (2+)

25 ¿Cuántos puntos que no tengan derivada hay en la función y = |x 2 + 6x + 8|?
–6 ± √36 – 32 –6 ± √4 –6 ± 2 x = –2
x 2 + 6x + 8 = 0 8 x = = =
2 2 2 x = –4

° x 2 + 6x + 8 si x < –4 ° 2x + 6 si x < –4
§ 2 – 6x – 8 si –4 Ì x Ì –2
§
y = ¢ –x y' = ¢ –2x – 6 si –4 < x < –2
§ 2 §
£ x + 6x + 8 si x > –2 £ 2x + 6 si x > –2

La función es continua, pues es el valor absoluto de una función continua.

21

En x = –4 8 y' (– 4–) = –2 ? y' (– 4+) = 2

En x = –2 8 y' (– 2–) = –2 ? y' (– 2+) = 2

La función no es derivable en x = –4 ni en x = –2; es decir, en (–4, 0) y en (–2, 0).

Son dos puntos “angulosos”.

s26 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á:

° ax 2 + 3x si x Ì 2
f (x) = ¢ 2
£ x – bx – 4 si x > 2

Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua.

• Si x ? 2 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios.

• En x = 2 debe cumplirse que lím f (x) = f (2):
x82

lím f (x) = lím (ax 2 + 3x) = 4a + 6 °
x 8 2– x82 §
§
lím f (x) = lím (x 2 – bx – 4) = –2b ¢
x82 + x82 §
§
f (2) = 4a + 6 £

Para que sea continua, ha de ser 4a + 6 = –2b; es decir, 2a + 3 = –b, o bien
b = –2a – 3.

Derivabilidad:

• Si x ? 2 8 la función es derivable. Además:

° 2ax + 3 si x < 2
f' (x) = ¢
£ 2x – b si x > 2

• En x = 2 debe cumplirse que f ' (2–) = f ' (2+):

f' (2–) = 4a + 3 °
¢
f' (2+) = 4 – b £

Para que sea derivable, ha de ser 4a + 3 = 4 – b; es decir, b = – 4a + 1.
Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas:

b = –2a – 3 ° –2a – 3 = – 4a + 1 8 2a = 4 8 a = 2
¢
b = – 4a + 1 £ b = –7

Por tanto, para que f (x) sea derivable en todo Á, ha de ser a = 2 y b = –7.

22

UNIDAD 6

27 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no
son derivables:
a) b) c)

2 2
1
1 –2 2 –2 2
–2 –2

¿Alguna de ellas es derivable en todo Á?

a) No es derivable en x = –1 (tiene un punto “anguloso”), ni en x = 2 (no está
definida la función).

b) Es derivable en todo Á.

c) No es derivable en x = 0 (tiene un punto “anguloso”).

s28 Calcula a y b para que f (x) sea continua y derivable:

° x3 – x si x Ì 0
f (x) = ¢
£ ax + b si x > 0

Continuidad:
• En x ? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos polinomios.
• En x = 0:

lím f (x) = lím (x 3 – x) = 0 °
x 8 0– x80 §
§
lím + f (x) = lím (ax + b) = b ¢ Para que sea continua ha de ser b = 0.
x80 x80 §
§
£
f (0) = 0

Derivabilidad:

Si x ? 0: 8 La función es derivable. Además:

° 3x 2 – 1 si x < 0
f' (x) = ¢
£ a si x > 0

En x = 0:

f ' (0–) = –1 °
¢ Para que sea derivable, ha de ser a = –1.
f ' (0+) = a £

Por tanto, f (x) será continua y derivable si a = –1 y b = 0.

23

s29 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
°ex si x Ì 0
§
f (x) = ¢ 1 si 0 < x < 3
§ 2 + 3x + 2 si x Ó 3
£ –x
Continuidad:
Si x ? 0 y x ? 3: es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x = 0:
£
lím f (x) = lím e x = 1 §
§
x 8 0– x80 §
lím f (x) = lím 1 = 1
¢ lím f (x) = f (0). La función es continua en x = 0.
§ x80
x 8 0+ x80 §
§
f (0) = 1 °

En x = 3:
£
§
lím f (x) = lím 1 = 1 §
x 8 3– x83 §
¢
lím f (x) = lím (–x2 + 3x +2) = 2 § lím f (x) ? lím f (x) = f (0).
x 8 3– x 8 3+
x 8 3+ x83 §
§
f (3) = 2 ° No es continua en x = 3.

La función es continua en Á –{3}.

Derivabilidad:
Si x ? 0 y x ? 3, es derivable y:
° ex x<0
§
f' (x) = ¢ 0 0<x<3
§
£ –2x + 3 x>3
En x = 0:
f' (0–) = 1 ? f' (0+) = 0 8 No es derivable en x = 0.
En x = 3: no es derivable, pues no es continua.
La función es derivable en Á –{0, 3}.

Página 164
30 Averigua para qué valores de x es f ' (x) = 0 en cada una de las siguientes
funciones:
x 2(3x – 8)
a) f (x) = b) f (x) = x 4 + 2x 2
12
1
c) f (x) = d) f (x) = e x (x – 1)
x2 + 1

24

UNIDAD 6

3x3 – 8x2 9x2 – 16x
a) f (x) = 8 f' (x) =
12 12
x=0
f' (x) = 0 8 9x2 – 16x = 0 8 x (9x – 16) = 0 16
x = ——
9

b) f' (x) = 4x 3 + 4x = 4x (x 2 + 1)
f' (x) = 0 8 4x (x 2 + 1) = 0 8 x = 0

c) f' (x) = –2x
(x 2 + 1)2
f' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0

d) f' (x) = e x (x – 1) + e x · 1 = e x (x – 1 + 1) = e x x
f' (x) = 0 8 x = 0

31 Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en
cada una de las siguientes funciones:
x2 + 1 x3
a) f (x) = b) f (x) =
x2 – 1 x2 – 1
2x 2 – 3x x2 + 1
c) f (x) = d) f (x) =
2–x x

Debemos hallar los puntos en los que f' (x) = 0 en cada caso:
2x (x 2 – 1) – (x 2 + 1) · 2x 2x 3 – 2x – 2x 3 – 2x –4x
a) f' (x) = = = 2
(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x – 1) 2
f' (x) = 0 8 –4x = 0 8 x = 0 8 y = –1 8 Punto (0, –1)

3x 2 (x 2 – 1) – x 3 · 2x 3x 4 – 3x 2 – 2x 4 x 4 – 3x 2
b) f' (x) = 2 – 1) 2
= 2 – 1) 2
=
(x (x (x 2 – 1) 2
f' (x) = 0 8 x 4 – 3x 2 = 0 8 x 2 (x 2 – 3) = 0

x = 0 8 (0, 0)
—
(
x = –√ 3 8 –√ 3,
— –3√3
2 )
x2 – 3 = 0
—
(
x = √ 3 8 √ 3,
— 3√3
2 )
(4x – 3) (2 – x) – (2x 2 – 3x) · (–1) 8x – 4x 2 – 6 + 3x + 2x 2 – 3x
c) f' (x) = 2
= =
(2 – x) (2 – x) 2
–2x 2 + 8x – 6
=
(2 – x) 2

25

f' (x) = 0 8 –2x 2 + 8x – 6 = 0 8 x 2 – 4x + 3 = 0

– 4 ± √ 16 – 12 4 ± √4 4±2 x = 1 8 (1, –1)
x= = = =
2 2 2 x = 3 8 (3, –9)

2x · x – (x 2 + 1) · 1 2x 2 – x 2 – 1 x2 – 1
d) f' (x) = 2
= 2
=
x x x2
x = –1 8 (–1, –2)
f' (x) = 0 8 x 2 – 1 = 0
x = 1 8 (1, 2)

32 Averigua si en las siguientes funciones existen puntos en los que f ' (x) = 0:
2x – 3 6x
a) f (x) = b) f (x) =
x+1 x2+1

c) f (x) = ln (x + 1) d) f (x) = 10 – (x – 2)4

a) f' (x) = 2 (x + 1) – (2x – 3) · 1 = 2x + 2 – 2x + 3 = 5
(x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2
f' (x) ? 0 para cualquier valor de x.

6 (x 2 + 1) – 6x · 2x 6x 2 + 6 – 12x 2 –6x 2 + 6
b) f' (x) = 2 + 1) 2
= 2 + 1) 2
=
(x (x (x 2 + 1) 2

x = –1 8 (–1, –3)
f' (x) = 0 8 –6x 2 + 6 = 0 8 x 2 = 1
x = 1 8 (1, 3)

1
c) f' (x) = ? 0 para cualquier valor de x.
x+1

d) f' (x) = –4 (x – 2) 3
f' (x) = 0 8 x = 2 8 (2, 10)

33 Las siguientes funciones tienen algún punto donde la derivada no existe.
Hállalos en cada caso:
3
a) f (x) = √x 2 b) f (x) = √x + 2

c) f (x) = √x 2 – 1 d) f (x) =|x – 3|

e) f (x) = | 4x2– 5 | f) f (x) =|x 2 – 2x|

2 –1/3 2
a) f (x) = x 2/3; Dom f = Á 8 f' (x) = x = 3
3 3 √x
f' (x) no existe si x = 0; es decir, f (x) no es derivable en x = 0.

26

UNIDAD 6

1
b) f' (x) =
2√x + 2
f' (x) no existe si x = –2; el dominio de f (x) es [–2, +@).

Por tanto, en los puntos en los que la función está definida, no es derivable en
x = –2.

c) El dominio de la función es (– @, –1] « [1, +@).
2x x
f' (x) = =
2√x 2 –1 √x 2 –1
En los puntos en los que f (x) está definida, no es derivable en x = –1, ni en
x = 1.

° –x + 3 si x < 3 ° –1 si x < 3
d) f (x) = ¢ ; f' (x) = ¢
£ x – 3 si x Ó 3 £ 1 si x > 3

f (x) es continua en Á; pero no es derivable en x = 3, pues sus derivadas
laterales no coinciden:

f ' (3–) = –1 °
¢ Son distintas.
f' (3+) = 1 £

° –4x + 5 5
§— 2
si x < —
4 ° –2 si x < 5/4
e) f (x) = ¢ f' (x) = ¢
§—4x – 5 5 £ 2 si x > 5/4
si x Ó —
£ 2 4
5
f (x) es continua en Á; pero no es derivable en x = , pues sus derivadas
4
laterales no coinciden:

f ' (5/4–) = –2 °
¢ Son distintas.
f' (5/4+) = 2 £

° x2 – 2x si x<0 ° 2x – 2 si x<0
§ §
f) f (x) = ¢ –x2 + 2x si 0ÌxÌ2 f' (x) = ¢ –2x + 2 si 0<x<2
§ 2 §
£ x – 2x si x>2 £ 2x – 2 si x>2

f (x) es continua en Á; pero no es derivable en x = 0, ni en x = 2, pues sus
derivadas laterales no coinciden:

f' (0–) = –2 °
¢ Son distintas.
f' (0+) = 2 £

f' (2–) = –2 °
¢ Son distintas.
f' (2+) = 2 £

27

34 Esta es la gráfica de una función y = f (x).
Estudia su continuidad y su derivabilidad.
2
f (x) es continua en Á –{3}. En x = 3, presenta una
discontinuidad de salto finito. –2 2 4

f (x) es derivable en Á –{0, 3}. En x = 0 hay un punto anguloso (las derivadas
laterales no coinciden), en x = 3 no es continua, por tanto, no puede ser deriva-
ble.

35 Considera esta función:
° x 2 – 5x + m si x Ì 1
f (x) = ¢ 2
£ –x + nx si x > 1
Calcula m y n para que f sea derivable en todo Á.

Continuidad:
• Si x ? 1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funcio-
nes continuas.

• En x = 1:
£
lím f (x) = lím (x 2 – 5x + m) = –4 + m §
x 8 1– x 8 1– §
§
¢
lím f (x) = lím (–x 2 + nx) = –1 + n §
x 8 1+ x 8 1+ §
§
f (1) = –4 + m °

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser – 4 + m = –1 + n.

Derivabilidad:

• Si x ? 1: f (x) es derivable y su derivada es:

° 2x – 5 si x < 1
f' (x) = ¢
£ –2x + n si x > 1

• En x = 1: Para que f (x) sea derivable en x = 1, las derivadas laterales han
de coincidir, es decir:

f' (1–) = –3 °
+) = –2 + n ¢
–3 = –2 + n
f' (1 £

Uniendo las dos condiciones anteriores tenemos que:

–4 + m = –1 + n ° m = n + 3 ° m = 2
¢ ¢
–3 = –2 + n £ n = –1 £ n = –1

28

UNIDAD 6

36 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:
° x 2 + 2x – 1 si x Ì 1
f (x) = ¢
£x + 1 si x > 1
¿Existe algún punto en el que f ' (x) = 0?
Represéntala gráficamente.

Continuidad:
• En x ? 1: La función es continua, pues está formada por dos polinomios.
• En x = 1:
£
lím f (x) = lím (x 2 + 2x – 1) = 2 §
x 8 1– x81 §
§ lím f (x) = f (1).
¢ x81
lím f (x) = lím (x + 1) = 2 §
x 8 1+ x81 § Por tanto, la función es
§ continua en x = 1.
f (1) = 2 °

La función es continua en todo Á.

Derivabilidad:

• Si x ? 1: La función es derivable. Además:
° 2x + 2 si x < 1
f' (x) = ¢
£1 si x > 1

• En x = 1:
f' (1–) = 4 ? f' (1+) = 1
La función no es derivable en x = 1.
Por tanto, la función es derivable en Á – {1}.

Puntos en los que f' (x) = 0:
f' (x) = 2x + 2 si x < 1
2x + 2 = 0 8 x = –1
f' (x) = 1 si x > 1 8 f' (x) ? 0 si x > 1
Por tanto, la derivada se anula en x = –1.

Gráfica de f (x):

1

–1 1
–1

29

37 Halla a y b para que la función f (x) sea continua:
° 2x + a si x < –1
§
f (x) = ¢ ax + b si –1 Ì x < 0
§ 2
£ 3x + 2 si 0 Ì x
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f .

• Si x ? –1 y x ? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios.

• En x = –1:
£
lím f (x) = lím (2x + a) = –2 + a §
x 8 –1– x 8 –1 §
§ Para que sea continua, ha de ser
¢
lím +
f (x) = lím (ax + b) = –a + b § –2 + a = –a + b, es decir:
x 8 –1 x 8 –1 §
§ b = 2a – 2
f (–1) = –a + b °

• En x = 0:
£
§
lím f (x) = lím (ax + b) = b §
x 8 0– x80 §
¢
lím f (x) = lím (3x 2 + 2) = 2 § Para que sea continua, ha de ser b = 2.
x 8 0+ x80 §
§
°
f (0) = 2

Por tanto, f (x) será continua si a = 2 y b = 2.
Para estos valores, queda:
° 2x + 2 si x < –1
§
f (x) = ¢ 2x + 2 si –1 Ì x < 0 ; es decir:
§ 2
£ 3x + 2 si 0 Ì x

° 2x + 2 si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ 3x + 2 si x Ó 0

Derivabilidad:

• Si x ? 0: Es derivable. Además:

° 2 si x < 0
f' (x) = ¢
£ 6x si x > 0

• En x = 0:
f' (0–) = 2 ? f' (0+) = 0
La función no es derivable en x = 0.
Por tanto, es derivable en Á – {0}.

30

UNIDAD 6

38 Calcula f ' (0), siendo:

e x + e –x
f (x) = ln
√ 2x + 1

☛ Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar.

Hallamos f' (x) y después sustituimos en x = 0.

1
f (x) = [ln (e x + e –x ) – ln (2x + 1)]
2

f' (x) =
1
2 [ e x – e –x –
e x + e –x
2
2x + 1 ]
1
f' (0) = · (–2) = –1
2

39 Halla la pendiente de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos
indicados:
π
a) y = sen x cos x en x =
4
b) y = x ln x en x = e

x2
c) y = en x = 0 y x = 1
ex
2 –1
d) y = e x en x = 1

Debemos hallar la derivada en los puntos indicados en cada caso:

a) y' = cos x · cos x + sen x (–sen x) = cos 2 x – sen 2 x

( ) ( ) (√ )
2 2
√2 2
y' π = – =0
4 2 2

1
b) y' = 1 · ln x + x · = ln x + 1; y' (e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2
x

2x e x – x 2 · e x e x (2x – x 2) 2x – x 2
c) y' = = =
(e x ) 2 (e x ) 2 ex
1
y' (0) = 0; y' (1) =
e

2
d) y' = 2x e x – 1; y' (1) = 2

31

40 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j:

f' 2 h'
j'
2
2 2
2
–2 2 –2 2
g' 2 4

a) ¿Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal?
b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica
de primer grado?
c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?

a) Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada.

f tiene un punto de tangente horizontal en x = –2, pues f' (–2) = 0.

j tiene dos puntos de tangente horizontal en x = 1 y en x = 3, pues
j' (1) = j' (3) = 0.

g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal.

b) La derivada de una función polinómica de primer grado es una función cons-
tante. Por tanto, es g'.

c) La derivada de una función polinómica de segundo grado es una función poli-
nómica de primer grado. Por tanto, es f '.

Página 165

CUESTIONES TEÓRICAS

s41 Una función polinómica de tercer grado, ¿cuántos puntos de derivada nula
puede tener?
¿Puede tener uno o ninguno?

La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica
de segundo grado.

Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto, con derivada nula.

Por ejemplo:

x=1 °
f (x) = x 3 – 3x 8 f' (x) = 3x 2 – 3 = 0 ¢ Dos puntos
x = –1 £

f (x) = x 3 8 f' (x) = 3x 2 = 0 8 x = 0 8 Un punto

f (x) = x 3 + 3x 8 f' (x) = 3x 2 + 3 ? 0 para todo x 8 Ninguno

32

UNIDAD 6

s42 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un
punto de tangente horizontal.

Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en
un punto.

43 Si una función tiene un punto anguloso en x = a, ¿qué podemos decir de
f ' (a)?

f' (a) no existe.

44 Sea f una función de la que sabemos que:
f (2 + h) – f (2) f (2 + h) – f (2)
f ' (2 –) = lím = –1 f ' (2+) = lím =1
h8 0– h h8 0+ h
¿Es f derivable en x = 2?

No, pues las derivadas laterales no coinciden.

45 La función f (x) = √x – 3 es continua en x = 3 y f ' (3) = +@. ¿Cómo es la
recta tangente a f en x = 3?

Es una recta vertical.

46 Prueba que la función f (x) = x + |x – 3| no es derivable en x = 3.

°x – x + 3 si x < 3 ° ° 3 si x < 3
f (x) = ¢ ¢= ¢
£x + x – 3 si x Ó 3 £ £ 2x – 3 si x Ó 3

° 0 si x < 3
f' (x) = ¢
£ 2 si x > 3
f' (3–) = 0 ? f' (3+) = 2. Por tanto, la función no es derivable en x = 3.

PARA PROFUNDIZAR

47 ¿Cuáles de estas gráficas a) b)
representan la función
f y su derivada f' ? 2
2
Justifica tu respuesta.
2 2

c) d)

2 2

2 2

33

a) La función en rojo es una recta que tiene pendiente 3. Por tanto, su derivada es
y = 3 (la recta verde).

Luego estas gráficas sí representan a una función y su derivada.

b) La función en rojo es un polinomio de 2.° grado, una parábola. Su derivada es
una recta. En x = 0, la función tiene un máximo; la derivada se anula. Para
que la recta fuera la derivada, tendría que pasar por (0, 0).

No representan, por tanto, a una función y su derivada.

c) La función tiene que ser un polinomio de 3.er grado porque tiene dos extremos
relativos. Su derivada será un polinomio de 2.° grado, una parábola. En x = 1,
la función tiene un máximo; la derivada se anula, f ' (1) = 0, y tendría que
pasar por (1, 0).

Estas tampoco representan a una función y su derivada.

d) La función en rojo es una recta de pendiente 0. Por tanto, su derivada es y = 0,
la recta en verde.

En este caso, las gráficas representan a una función y su derivada.

48 La función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y
f '' (1) = 0. Calcula a, b y c.

f' (x) = 3x 2 + 2ax + b; f'' (x) = 6x + 2a

f (1) = 1 8 1 + a + b + c = 1 ° a = –3
§
f' (1) = 0 8 3 + 2a + b = 0 ¢ b = 3
§
f'' (1) = 0 8 6 + 2a = 0 £ c=0

Por tanto: f (x) = x 3 – 3x 2 + 3x

2x
49 Halla los puntos de la función y = en los que la pendiente de la recta
x–1
tangente es igual a –2.

Buscamos los puntos en los que f' (x) = –2:

2 (x – 1) – 2x · 1 2x – 2 – 2x –2
f' (x) = = =
(x – 1)2 (x – 1)2 (x – 1)2

–2
f' (x) = –2 8 = –2 8 –2 = –2 (x – 1)2
(x – 1)2

(x – 1)2 = 1 8 x 2 – 2x + 1 = 1 8 x 2 – 2x = 0 8 x (x – 2) = 0

x = 0 8 (0, 0)
x = 2 8 (2, 4)

34

UNIDAD 6

Página 165

AUTOEVALUACIÓN
1. Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
5 x
a) y = 3x √2x + 1 b) y = c) y =
√x (x + 2)2

( ) ( )
1–x 2 x
d) y = e) y = e 2x + 1 f) y = ln +1
1+x 3

2 3(2x + 1) + 3x 9x + 3
a) y' = 3 √2x + 1 + 3x — = — = —
2√ 2x + 1 √ 2x + 1 √ 2x + 1
1
–5 · — —
2√ x –5
b) y' = x = —
2x √x

(x + 2)2 – x · 2(x + 2) x + 2 – 2x –x + 2
c) y' = = =
(x + 2)4 (x + 2)3 (x + 2)3

d) y' = 2 ( )
1 – x –1(1 + x) – (1 – x)
1+x (1 + x) 2 =2
1–x
( )
–2
1 + x (1 + x)
–4(1 – x)
2 = (1 + x)3

e) y' = 2e 2x + 1
1
—
3 1 x+3 1
f) y' = = : =
x 3 3 x+3
—+1
3

2. Aplica la definición de derivada para hallar f ' (2) siendo f (x) = x 2 – 5x.

f (2 + h) – f (2)
f ' (2) = lím
h80 h

• f (2 + h) = (2 + h)2 – 5(2 + h) = h 2 – h – 6

• f (2) = 22 – 5 · 2 = –6

• f (2 + h) – f (2) = h 2 – h

f (2 + h) – f (2) h2 – h
• = =h –1
h h

f ' (2) = lím (h – 1) = –1
h80

35

3. Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función:
° x 2 + 2x – 1 si x Ì 1
§
f (x) = ¢ 4
§— si x > 1
£x + 1
¿Existe algún punto en el que f ' (x) = 0?

f (x) es continua si x < 1 y si x > 1, porque las funciones que la definen lo son.
Estudiamos la continuidad en x = 1.
lím f (x) = lím (x 2 + 2x – 1) = 2
x 8 1– x 8 1–
lím f (x)
x81 lím lím 4
x 8 1+ f (x) = x 8 1+ =2
x+1

f (1) = 1 + 2 – 1 = 2
Como lím f (x) = f (1) = 2, f es continua en x = 1.
x81

Por tanto, f es continua en Á.
° 2x + 2 si x < 1
§
Hallamos f ' (x) = ¢ –4
§— 2
si x > 1
£ (x + 1)
f es derivable si x < 1 y si x > 1.
Estudiamos su derivabilidad en x = 1.

f ' (1–) = 2 · 1 + 2 = 4 °
§
–4 Como f ' (1–) ? f ' (1+), no existe f ' (1).
f ' (1+) = — = –1 ¢2 §
(1 + 1) £
f es derivable en Á – {1}.
Veamos si f ' (x) = 0 tiene solución:
2x + 2 = 0 8 x = –1
–4
= 0 no tiene solución.
(x + 1)2
Por tanto, f ' (x) = 0 cuando x = –1.

4. Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable:

° ax + b si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ x – 3x + 2 si x Ó 0

Representa la función para los valores de a y b que has hallado.

Para que f sea derivable en x = 0, debe ser continua en ese punto.

36

UNIDAD 6

lím (ax + b) = b °
x 8 0– §
lím f (x) ¢
x80 2 – 3x + 2) = 2
lím (x §
x80 +
£

Para que lím f (x) = f (0) = 2, debe ser b = 2.
x80

Si b = 2, f es continua en Á.

°a si x < 0
f ' (x) = ¢
£ 2x – 3 si x > 0

Veamos si f es derivable en x = 0:
f ' (0 –) = a °
¢ Para que exista f ' (0), debe ser a = –3.
f ' (0 +) = –3 £ Y

Si a = –3, f es derivable en Á.

° –3x + 2 si x < 0 1
f (x) = ¢ 2
£ x – 3x + 2 si x Ó 0 1 X

5. ¿En qué puntos no es derivable la función f (x) = |x 2 – 4x + 3|? Justifica tu
respuesta.

Definimos la función por intervalos. Para ello, hacemos:

4 ± √16 – 12 x=1
x 2 – 4x + 3 = 0 8 x =
2 x=3

° x 2 – 4x + 3 si x Ì 1
§
f (x) = ¢ –x 2 + 4x – 3 si 1 < x < 3
§ 2
£ x – 4x + 3 si x Ó 3

Hallamos f ' (x):

° 2x – 4 si x < 1
§
f ' (x) = ¢ –2x + 4 si 1 < x < 3
§
£ 2x – 4 si x > 3

Estudiamos la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 3:

f ' (1 –) = 2 · 1 – 4 = –2 °
¢ Como f ' (1 –) ? f ' (1 +), no existe f ' (1).
f ' (1 +) = –2 · 1 + 4 = 2 £
f ' (3–) = –2 · 3 + 4 = –2 °
¢ Como f ' (3 –) ? f ' (3 +), no existe f ' (3).
f ' (3+) = 2 · 3 – 4 = 2 £

f no es derivable ni en x = 1, ni en x = 3.

37

6. Observando la gráfica de esta función f, estudia su derivabilidad. Halla, si
existen, f ' (– 4), f ' (0), f ' (3).

2

2

• f es discontinua en x = 1. Por tanto, no es derivable en x = 1.

En x = –2 observamos que f ' (–2–) ? f ' (–2+): tampoco es derivable.

Luego f es derivable en Á – {–2, 1}.

• f ' (–4) = 0 porque en ese punto la función es constante.

f ' (0) = 0 porque en x = 0 la tangente es horizontal.

f ' (3) = –1 porque –1 es la pendiente de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 0):
2–0
m= = –1
1–3

38

Sol06

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