Sol05

5 LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD

Página 127

REFLEXIONA Y RESUELVE

Visión gráfica de los límites

■ Describe análogamente las siguientes ramas:

a)
lím f (x) = 3
x 8 +@

b)
lím f (x) no existe
x 8 +@

c)
lím f (x) = 3
x 8 +@

d)

lím f (x) = +@
x 8 +@

e)
lím f (x) = –@
x 8 +@

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad
1

f)

lím f (x) = +@
x 8 –@

g)

lím f (x) = 2
x 8 –@

h) 1

1 lím f (x) = +@
x 8 –1–

2 lím f (x) = –@
x 8 –1+

2

i)
1
1 lím f (x) = 5
x 8 4–

2
2 lím f (x) = 2
x 8 4+

j)
lím f (x) = –2
x82

2

UNIDAD 5

Página 129
1. Si u (x) 8 2 y v (x) 8 –3 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@ de:
a) u (x) + v (x) b) v (x)/u (x)
c) 5u (x) d) √v (x)
3
e) u (x) · v (x) f ) √u (x)

v (x) –3
a) x lím [u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1
8 +@
b) x lím u(x) = 2
8 +@

u(x) = 5 2 = 25
c) x lím 5
8 +@
d) x lím √v (x)
8 +@
no existe

3 3
e) x lím [u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6
8 +@
f) x lím √u (x) = √2
8 +@

2. Si u (x) 8 –1 y v (x) 8 0 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@ de:
a) u (x) – v (x) b) v (x) – u (x)
c) v (x)/u (x) d) log2 v (x)
3
e) u (x) · v (x) f ) √u (x)

a) lím [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1 b) lím [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1
x 8 +@ x 8 +@

v (x) 0
c) lím = =0
x 8 +@ u(x) –1

° – @ si v (x) 8 0+
d) lím log2 v (x) = ¢
x 8 +@ £ no existe si v (x) 8 0–

e) lím [u (x) · v (x)] = –1 · 0 = 0
x 8 +@

3 3
f) lím √u (x) = √–1 = –1
x 8 +@

Página 130
3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±@) cuando x 8 +@:

a) 3x 5 – √x + 1 b) 0,5x c) –1,5x

d) log2 x e) 1/(x 3 + 1) f ) √x

g) 4x h)4–x i) – 4x

a) lím (3x 5 – √x + 1) = +@ 8 Sí
x 8 +@

3

b) lím 0,5x = 0 8 No c) lím (–1,5 x ) = – @ 8 Sí
x 8 +@ x 8 +@

d) lím log2 x = +@ 8 Sí e) lím 1 = 0 8 No
x 8 +@ x 8 +@ x3 + 1

f) lím √x = +@ 8 Sí g) lím 4 x = +@ 8 Sí
x 8 +@ x 8 +@

h) lím 4 –x = 0 8 No i) lím –4x = – @ 8 Sí
x 8 +@ x 8 +@

4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
log2 x √x x2 3x 5 1,5x 4x
b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:
log2 x 3x 5 √x
lím lím 2 lím x
x 8 +@ √ x x 8 +@ x x 8 +@ 1,5

a) log2 x √x x 2 3x 5 1,5x 4 x

log2 x
b) lím =0
x 8 +@ √x
3x 5
lím = +@
x 8 +@ x2
√x
lím =0
x 8 +@ 1,5 x

Página 131
5. Si, cuando x 8 +@, f (x) 8 +@, g (x) 8 4, h (x) 8 –@, u (x) 8 0, asigna,
siempre que puedas, límite cuando x 8 +@ a las expresiones siguientes:

a) f (x) – h (x) b) f (x) f (x) c) f (x) + h (x)

d) f (x) x e) f (x) · h (x) f ) u (x)u (x)

g) f (x)/h (x) h)[–h (x)]h (x) i) g (x) h (x)

j) u (x)/h (x) k) f (x)/u (x) l) h (x)/u (x)

m) g (x)/u (x) n)x + f (x) ñ) f (x) h (x)

o) x + h (x) p) h (x) h (x) q) x –x

a) lím
x 8 +@
( f (x) – h (x)) = +@ – (– @) = +@ + @ = +@
b) lím f (x) f (x) = (+@) +@ = +@
x 8 +@

4

UNIDAD 5

c) lím
x 8 +@
( f (x) + h (x)) = (+@) + (– @) 8 Indeterminado

d) lím f (x) x = +@+@ = +@
x 8 +@

e) lím
x 8 +@
( f (x) · h (x)) = (+@) · (– @) = – @
f) lím u (x) u(x) = (0)(0) 8 Indeterminado
x 8 +@

f (x)
g) lím = (+@) 8 Indeterminado
x 8 +@ h (x) (– @)

h) lím [–h (x)] h (x) = [+@] – @ = 0
x 8 +@

i) lím g (x) h (x) = 4 – @ = 0
x 8 +@

lím u (x) = 0
j) =0
x 8 +@ h (x) –@

k) lím f (x) = +@ = ±@
x 8 +@ u (x) (0)

l) lím h (x) = – @ = ±@
x 8 +@ u (x) (0)
g (x) 4
m) lím = = ±@
x 8 +@ u (x) (0)

n) lím
x 8 +@
(x + f (x)) = +@ + (+@) = +@
ñ) lím f (x) h(x) = (+@) – @ = 0
x 8 +@

o) lím
x 8 +@
(x + h (x)) = (+@) + (– @) 8 Indeterminado

p) lím h (x) h (x) = (– @) – @ 8 No existe
x 8 +@

q) lím x –x = (+@) – @ = 0
x 8 +@

Página 132
6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 5 (página anterior).
Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si
es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite:
a) f (x) + h (x) b) f (x)/h (x)
c) f (x)–h (x) d) f (x) h (x)
e) f (x) u (x) f ) u (x) h (x)
g) [ g (x)/4] f (x) h) g (x) f (x)

5

a) lím
x 8 +@
( f (x) + h (x)) = (+@) + (– @). Indeterminado.

f (x)
b) lím = (+@) . Indeterminado.
x 8 +@ h(x) (– @)

c) lím f (x) –h (x) = (+@) +@ = +@
x 8 +@

d) lím f (x) h (x) = (+@) – @ = 0
x 8 +@

e) lím f (x) u (x) = (+@) (0). Indeterminado.
x 8 +@

f) lím u (x) h (x) = 0 – @ = ±@
x 8 +@

[ ]
g (x) f (x)
g) lím = (1)(+@). Indeterminado.
x 8 +@ 4

h) lím g (x) f (x) = 4 +@ = +@
x 8 +@

Página 133
1. Calcula los siguientes límites:
3x 4 – 6x + 1 3x 4 – 6x + 1
a) lím 3 2 b) lím 3 2
x 8 +@ 5x + 3x x 8 +@ –5x + 3x

6x 2 – 3x 5x 4 – 6x + 2
c) lím 3 d) lím 4
x 8 +@ x + 1 x 8 +@ 3x + x – 1

a) lím 3x 4 – 6x + 1 b) lím 3x 4 – 6x + 1
= +@ = –@
x 8 +@ 5x 3 + 3x 2 x 8 +@ –5x 3 + 3x 2

c) lím 6x 2 – 3x d) lím 5x 4 – 6x + 2 5
=0 =
x 8 +@ x3 + 1 x 8 +@ 3x 4 + x + 1 3

2. Calcula:
(3x + 1)2 (x – 1)x (3x + 1)2x
a) lím b) lím
x 8 +@ x 3 – (x + 3)3 3
x 8 +@ x – 10x
3
x 3 – 5x + 3 √8x 3 – 5x
c) lím
x 8 +@ √ x 2 – 2x
d) lím
x 8 +@ 3x

a) lím (3x + 1)2 (x – 1)x 9x 4 – 3x 3 – 5x 2 – x
= lím =
x 8 +@ x 3 – (x + 3)3 x 8 +@ x 3 – (x 3 + 9x 2 + 27x + 27)

9x 4 – 3x 3 – 5x 2 – x = –@
= lím
x 8 +@ –9x 2 – 27x – 27

6

UNIDAD 5

b) lím (3x + 1)2 x 9x 3 + 6x 2 + x
= lím =9
x 8 +@ x 3 – 10x x 8 +@ x 3 – 10x

x 3 – 5x + 3
c) lím
x 8 +@ √ x 2 – 2x
= +@

3 3
d) lím
√ 8x 3 – 5x √ 8x 3 2x 2
= lím = lím =
x 8 +@ 3x x 8 +@ 3x x 8 +@ 3x 3

Página 134
3. Sin operar, di el límite, cuando x 8 +@, de las siguientes expresiones:
3
a) (x 2 – √2x + 1 ) b) (x 2 – 2x )

c) √x 2 + 1 – √x d) 3x – 2x
3
e) 5x – √x 8 – 2 f ) √x – log5 x 4
3
a) lím
x 8 +@
(x 2 – √2x + 1 ) = +@ b) lím (x 2 – 2 x ) = – @
x 8 +@

c) lím
x 8 +@
( √x 2 + 1 – √x ) = +@ d) lím (3 x – 2 x ) = +@
x 8 +@
3
e) lím
x 8 +@
(5 x – √x 8 – 2 ) = +@ f ) lím
x 8 +@
( √x – log5 x 4 ) = +@

4. Calcula el límite, cuando x 8 +@, de las siguientes expresiones:
3x 3 + 5 4x 3 – x x3 x
a) – b) –
x+2 x–2 2x 2 + 1 2
3x + 5 x 2 – 2 2
– 5x + 1
c) – d) (x + 5)x
2 x
x2 + x
( ) ( )
3x + 5 x x–2
e) f)
2x + 1 2x – 3

a) lím
x 8 +@
( 3x 3 + 5
x+2
–
4x 3 – x
x–2 )
= lím
x 8 +@
(3x 3 + 5)(x – 2) – (4x 3 – x)(x + 2)
(x + 2)(x – 2)
=

= lím 3x 4 – 6x 3 + 5x – 10 – 4x 4 – 8x 3 + x 2 + 2x =
x 8 +@ x2 – 4

= lím –x 4 – 14x 3 + x 2 + 7x – 10 = – @
x 8 +@ x2 – 4

b) lím
x 8 +@
( x3
2x 2 + 1
–
x
2 )
x 8 +@
3 2

2(2x 2 + 1) x 8 +@
3 3
= lím 2x – x (2x + 1) = lím 2x – 2x – x =
4x 2 + 2

= lím –x =0
x 8 +@ 4x 2 + 2

7

c) lím
x 8 +@
( 3x + 5 x 2 – 2
2
–
x
= lím
x 8 +@
)
3x 2 + 5x – 2x 2 + 4
2x
= lím
x 8 +@
x 2 + 5x + 4
2x
= +@

2
d) lím (x + 5)x – 5x + 1 = (+@)+@ = +@
x 8 +@

( ) ( )
3x + 5 x +@
3
e) lím = = +@
x 8 +@ 2x + 1 2
x2 + x
f) lím
x 8 +@
( x–2
2x – 3 ) ( ) =
1
2
+@
=0

Página 135
1. Halla el lím de las siguientes expresiones:
x 8 –@

5x 4 – 6x + 2 √x 3 – 5x + 3
a) b)
3x 4 + x – 1 x 2 – 2x

5x 4 – 6x + 2 5x 4 + 6x + 2 5
a) lím 4 + x – 1 = lím 4 =
x 8 –@ 3x x 8 +@ 3x – x – 1 3

√x 3 – 5x + 3 √–x 3 + 5x + 3
b) lím = lím
x 8 –@ x 2 – 2x x 8 +@ x 2 + 2x
No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x 8 –@.

2. Halla el lím de las siguientes expresiones:
x 8 –@

√x 2 – 5x + 3 3x 3 + 5 4x 3 – x
a) b) – c) 3 x
3x – 2 x+2 x–2

√x 2 – 5x + 3 √x 2 + 5x + 3 √x 2 x 1
a) lím = lím = lím = lím =–
x 8 –@ 3x – 2 x 8 +@ –3x – 2 x 8 +@ –3x x 8 +@ –3x 3

3x 3 + 5 4x 3 – x –3x 3 + 5 –4x 3 – x
b) lím
x 8 –@
( x+2
–
x–2
= lím
x 8 +@
)
–x + 2
–
–x – 2
= ( )
3x 4 – 5x + 6x 3 – 10 – 4x 4 + x 2 + 8x 3 – 2x
= lím =
x 8 +@ x2 – 4

–x 4 + 14x 3 + x 2 – 7x – 10
= lím = –@
x 8 +@ x2 – 4

1
c) lím 3x = lím 3–x = lím =0
x 8 –@ x 8 +@ x 8 +@ 3x

8

UNIDAD 5

Página 137

1. Si lím f (x) = 3 y lím g (x) = 2, di el valor del límite cuando x tiende a 1
x81 x81

de las siguientes funciones:

a) f (x) + g (x) b) f (x) · g (x)

f (x)
c) d) f (x) g (x)
g (x)

e) √g (x) f ) 4 f (x) – 5 g (x)

a) lím
x8 1
( f (x) + g (x)) = 3 + 2 = 5 b) lím
x8 1
( f (x) · g(x)) = 3 · 2 = 6

f (x) 3
c) lím = d) lím f (x) g (x) = 3 2 = 9
x 8 1 g(x) 2 x8 1

e) lím √g(x) = √2 f ) lím (4f (x) – 5g(x)) = 12 – 10 = 2
x8 1 x8 1

2. Si lím f (x) = l y lím g (x) = m, entonces lím [ f (x) + g (x)] = l + m.
x8a x8a x8a

Enuncia las restantes propiedades de los límites de las operaciones con fun-
ciones empleando la notación adecuada.

Si lím f (x) = l y lím g (x) = m, entonces:
x8 a x8 a

1) lím [ f (x) + g(x)] = l + m
x8 a

2) lím [ f (x) – g(x)] = l – m
x8 a

3) lím [ f (x) · g(x)] = l · m
x8 a

f (x) l
4) lím = (Si m ? 0).
x 8 a g(x) m

5) Si f (x) > 0, lím
x8 a
[ f (x)g (x)] = l m
n n
6) Si n es impar, o si n es par y f (x) Ó 0 8 lím √f (x) = √l
x8 a

7) Si a > 0 y f (x) > 0, lím [loga f (x)] = loga l
x8 a

9

3. Si lím p (x) = +@, lím q (x) = +@, lím r (x) = 3 y lím s (x) = 0, di, en los
x82 x82 x82 x82

casos en que sea posible, el valor del lím de las siguientes funciones:
x82

[Recuerda que las expresiones (+@)/(+@), (+@) – (+@), (0) · (+@), (1)(+@),
(0)/(0) son indeterminaciones].
r (x) p (x)
a) 2p (x) + q (x) b) p (x) – 3q (x) c) d)
p (x) p (x)
s (x) p (x)
e) f) g) s (x) · p (x) h) s (x) s (x)
q (x) q (x)

i ) p (x) r (x) j ) r (x) s (x) k)
3 – r (x)
s (x)
l) [ ]
r (x)
3
s (x)

m) r (x) p (x) n) r (x) –q (x) ñ) ( r (x)
3 ) p (x)
o) ( )
r (x)
3
–p (x)

a) lím [2p (x) + q (x)] = +@ + (+@) = +@
x8 2

b) lím [p (x) – 3q (x)] = (+@) – (+@). Indeterminado.
x8 2

r (x) 3
c) lím = =0
x 8 2 p (x) +@

p (x)
d) lím = lím 1 = 1
x 8 2 p (x) x8 2

s (x) 0
e) lím = =0
x8 2 q (x) +@

p (x)
f ) lím = (+@) . Indeterminado.
x8 2 q (x) (+@)

g) lím [s (x) · p (x)] = (0) · (+@). Indeterminado.
x8 2

h) lím s (x) s (x) = (0)(0). Indeterminado.
x8 2

i) lím p (x) r (x) = +@3 = +@
x8 2

j) lím r (x) s (x) = 3 0 = 1
x8 2

3 – r (x) 3–3 (0)
k) lím = = . Indeterminado.
x8 2 s (x) (0) (0)

l) lím
x8 2 3( )
r (x) s (x)
= 10 = 1

10

UNIDAD 5

m) lím r (x) p (x) = 3 +@ = +@
x8 2

n) lím r (x) –q (x) = 3 –@ = 0
x8 2

ñ) lím
x8 2 3( )
r (x) p (x)
= (1)(+@). Indeterminado.

o) lím
x8 2 ( )
r (x)
3
–p (x)
= (1)(–@). Indeterminado.

Página 138

4. Calcula los límites siguientes:
x 3 – 2x 2 + 2x + 5
a) lím
x 8 –1 x 2 – 6x – 7

x 3 – 5x + 1
b) lím
x84 x 3 + 2x 2– 3x

3 2 2
a) lím x – 2x + 2x + 5 = lím (x + 1)(x – 3x + 5) =
x 8 –1 x 2 – 6x – 7 x 8 –1 (x + 1)(x – 7)

lím x 2 – 3x + 5 9 –9
= = =
x 8 –1 x–7 –8 8

b) lím x 3 – 5x + 1 = 45 = 15
x 8 4 x 3 + 2x 2 – 3x 84 28

x 2 – 5x + 2 x 3 + 2x + 1
5. Calcula: lím
x80
( x 2 + 2x
–
x3 + x )
x 2 – 5x + 2 x 3 + 2x + 1 x 2 – 5x + 2 x 3 + 2x + 1
lím
x80
( x 2 + 2x –
x 3 + x = lím
x80
)x (x + 2) (
–
x (x 2 + 1)
= )
2 2 3
= lím (x + 1)(x – 5x + 2) – (x + 2)(x + 2x + 1) =
x80 x (x + 2)(x 2 + 1)

4 3 2 2 4 2 3
= lím x – 5x + 2x + x – 5x + 2 – x – 2x – x – 2x – 4x – 2 =
x80 x (x + 2)(x 2 + 1)

= lím –7x 3 + x 2 – 10x = lím x (–7x 2 + x – 10) =
x80 x (x + 2)(x 2 + 1) x 8 0 x (x + 2)(x 2 + 1)

= lím –7x 2 + x – 10 = –10 = –5
x80 (x + 2)(x 2 + 1) 2·1

11

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Límites cuando x 8 ±@

1 Sabemos que lím f (x) = +@, lím g (x) = –@ y lím h (x) = 3.
x 8 +@ x 8 +@ x 8 +@

¿En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para x 8 + @?
En los casos en que no la haya, di el límite:
a) f (x) + g (x) b) g (x) + h (x)
f (x) f (x)
c) d)
h (x) g (x)
e) [h (x)] g (x) f ) [3 – h (x)] · f (x)

a) lím
x 8 +@
( f (x) + g (x)) = x lím ( f (x) + x lím (g (x)) =
8 +@ 8 +@

= (+@) + (–@) = (+@) – (+@) 8 Indeterminación

b) lím
x 8 +@
( g (x) + h (x)) = x lím g (x) + x lím h (x) = –@ + 3 = –@
8 +@ 8 +@

f (x) +@
c) lím = = +@
x 8 +@ h (x) 3
f (x) (+@)
d) lím = 8 Indeterminación
x 8 +@ g (x) (–@)
1
e) lím [h (x)] g (x) = 3 –@ = =0
x 8 +@ 3+@

f) lím [3 – h (x)] · f (x) = (0) · (+ @) 8 Indeterminación
x 8 +@

2 Calcula los límites cuando x 8 –@ de las siguientes funciones:
2x + 5 10x – 5
a) f (x) = b) g (x) =
2–x x2 + 1

3x 2 – 4 x 3 + 2x
c) h (x) = d) i (x) =
2x + 3 7 + 5x 3
2x + 5 –2x + 5
a) lím = lím = –2
x 8 –@ 2–x x 8 +@ 2 + x

b) lím 10x – 5 = 0
x 8 –@ x2 + 1

12

UNIDAD 5

3x 2 – 4 3x 2 – 4
c) lím = lím = –@
x 8 –@ 2x + 3 x 8 +@ –2x + 3

d) lím x 3 + 2x = lím –x 3 – 2x = 1
x 8 –@ 7 + 5x 3 x 8 +@ 7 – 5x 3 5

3 Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y
del denominador:
√3x 2 + 6x 5x 2 – 7
a) lím
x 8 +@ 2x + 1
b) lím
x 8 +@ √ x+1

1 + √x 3x
c) lím d) lím
x 8 +@ 2x – 3 x 8 +@ √x 3 + 2

a) lím
√ 3x2 + 6x = lím √3 x = √3
x 8 +@ 2x + 1 x 8 +@ 2x 2

5x2 – 7
b) lím
x 8 +@ √ x + 1 = +@

1 + √x
c) lím =0
x 8 +@ 2x – 3
3x
d) lím =0
x 8 +@ √ x3 + 2

4 Calcula estos límites comparando los órdenes de infinito:
x2 + 1
a) lím (e x – x 3) b) lím x
x 8 +@ x 8 +@ e
ln (x 2 + 1)
c) lím (√x 2 + x – √x + 7 ) d) lím
x
x 8 +@ x 8 +@

a) lím (e x – x 3) = +@
x 8 +@

Porque e x es un infinito de orden superior a x 3.
x2 + 1
b) lím x =0
x 8 +@ e

Porque e x es un infinito de orden superior a x 2 + 1.

c) lím (√x 2 + x – √x + 7 ) = +@
x 8 +@

Porque √x 2 + x es de mayor grado que √x + 7 .

ln (x 2 + 1)
d) lím =0
x 8 +@ x
Porque cualquier polinomio, x, es de orden superior a un logaritmo, ln (x 2 + 1).

13

5 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados
obtenidos:
a) lím (0,5x + 1)
x 8 –@

b) lím 2x + 1
x 8 –@

a) lím (0,5 x + 1) = lím (0,5–x + 1) = +@
x 8 –@ x 8 +@

b) lím 2 x + 1 = lím 2 –x + 1 = 0
x 8 –@ x 8 +@

6 Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x 8 +@:
5x 2 – 2x + 1
a) f (x) =
(2x – 1)2

x+1
b) g (x) =
log x

3 + 2√x
c) h (x) =
√2x + 1
3x
d) i (x) =
2x +1

5x 2 – 2x + 1 5x 2 – 2x + 1 5
a) lím 2 = lím 2 – 4x + 1 = 4
x 8 +@ (2x – 1) x 8 +@ 4x

x+1
b) lím = +@
x 8 +@ log x
—
3 + 2√x 2 √x 2
c) lím = lím — — = = √2
x 8 +@ √2x + 1 x 8 +@ √2 √x √2
3x 3x
d) lím
x 8 +@ 2x
= lím
+ 1 x 8 +@ 2 x = lím
3
x 8 +@ 2
() x
= +@

Límites en un punto

7 Calcula los siguientes límites:
3x + 6 x 2 + 4x + 3
a) lím b) lím
x 8 –2 x2 + 4x + 4 x 8 –3 x+3

x4 –1 5x 2 + 15x
c) lím 2–1 d) lím
x81 x x80 x 3 – 3x 2

14

UNIDAD 5

3x + 6 (0)
a) lím = . Indeterminación.
x 8 –2 x 2 + 4x + 4 (0)

Simplificamos la fracción dividiendo por x + 2:

3x + 6 3(x + 2) 3
= =
x 2 + 4x + 4 (x + 2)2 x+2
3
lím = –@
3x + 6 3 x8 –2 – x+2
lím = lím = ±@
x 8 –2 x 2 + 4x + 4 x 8 –2 x+2 3
lím = +@
x 8 –2+ x+2

x 2 + 4x + 3 (0)
b) lím = . Indeterminación.
x 8 –3 x+3 (0)

Simplificamos la fracción:

x 2 + 4x + 3 (x + 3)(x + 1)
x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) 8 = =x+1
x+3 x+3

x 2 + 4x + 3
lím = lím (x + 1) = –2
x 8 –3 x+3 x 8 –3

x4 – 1 (0)
c) lím = . Indeterminación.
x81 x2 – 1 (0)

Simplificamos la fracción:

x4 – 1 (x 2 + 1)(x 2 – 1)
2 – 1 = = x2 + 1
x x2 – 1

x4 – 1
lím = lím (x 2 + 1) = 2
x81 x2 – 1 x 8 1

5x 2 + 15x (0)
d) lím = . Indeterminación.
x80 x 3 – 3x 2 (0)

Simplificamos la fracción para resolver el límite:

5x 2 + 15x 5x (x + 3) 5(x + 3)
= 2 =
x 3 – 3x 2 x (x – 3) x (x – 3)
5(x + 3)
lím = +@
5x 2+ 15x 5(x + 3) 15 x8 0– x (x – 3)
lím = lím = = ±@
x80 x 3 – 3x 2 x80 x (x – 3) 0 5(x + 3)
lím = –@
x 8 0+ x (x – 3)

15

8 Si lím p (x) = +@, lím q (x) = –@,
x82 x82

lím r (x) = 3, lím s (x) = 0,
x82 x82

di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes límites:
s (x)
a) lím b) lím [s (x) · q (x)]
x82 p (x) x82

c) lím [r (x)] q (x) d) lím [p (x) – 2q (x)]
x82 x82

s (x) 0
a) lím = =0
x82 p (x) +@

b) lím [s (x) · q (x)] = (0) · (– @) 8 Indeterminado
x82

c) lím [s (x)] p (x) = 0 +@ = 0
x82

d) lím [p (x) – 2q (x)] = +@ – 2 (– @) = (+@) + (+@) = +@
x82

9 Calcula:
x2 + 3 1
a) lím
x80
( x3
–
x )
b) lím
x81
[ 2
–
1
(x – 1)2 x (x – 1) ]
a) lím
x80
( x2 + 3
x 3
–
1
x
= lím
x80
)x2 + 3 – x2
x3
= lím
3
x 8 0 x3
=
3
(0)
.

Hallamos los límites laterales:
3 3
lím = – @; lím = +@.
x 8 0– x3 x 8 0+ x3

b) lím
x81 [ 2
–
1
(x – 1)2 x (x – 1)
= lím
]
2x – (x – 1)
x 8 1 x (x – 1)2
= lím
2x – x + 1
x 8 1 x (x – 1)2
=

x+1 2
= lím 2
=
x81 x (x – 1) 0

lím x+1 lím x+1
= +@; = +@.
x 8 1– x (x – 1)2 x 8 1+ x (x – 1)2

16

UNIDAD 5

10 Calcula:
(x – 1)2 x 2 – 7x + 6
a) lím b) lím
x81 x – 5 x81 x–1
x2 +x–2 x 3 – 3x 2
c) lím d) lím
x81 2x 2 – 2x x80 x2 – x

(x – 1)2 0
a) lím = lím =0
x81 x–5 x81 –4

x 2 – 7x + 6 (x – 6)(x – 1)
b) lím = lím = lím (x – 6) = –5
x81 x–1 x81 x–1 x81

x2 + x – 2 (x + 2)(x – 1) x+2 3
c) lím 2 – 2x = lím = lím =
x81 2x x81 2x (x – 1) x 8 1 2x 2

x 3 – 3x 2 x 2(x – 3) x (x – 3) 0
d) lím 2 – x = lím x (x – 1) = lím = =0
x80 x x80 x80 x–1 –1

Página 146

Continuidad
11 Averigua si las siguientes funciones son continuas en x = 2:
° 3x – 2 si x < 2 ° x2 – 1 si x Ì 2
a) f (x) = ¢ b) f (x) = ¢
£6 – x si x Ó 2 £ 2x + 1 si x > 2

a) lím f (x) = lím (3x – 2) = 4 °
x 8 2– x 8 2– §
§ f (x) es continua en x = 2,
lím f (x) = lím (6 – x) = 4 §
¢ puesto que lím f (x) = f (2).
x 8 2+ x 8 2+ §
§ x8 2
f (2) = 6 – 2 = 4 §
£

b) lím f (x) = lím – (x 2 – 1) = 3 °
x 8 2– x8 2 § f (x) no es continua en x = 2,
§
¢
lím f (x) = lím (2x + 1) = 5 § puesto que no existe xlím2 f (x).
8
x 8 2+ x 8 2+ §
£

12 Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes:
° 2x si x < 2
a) f (x) = ¢
£4 si x Ó 2

° 1/x si x < 1
b) f (x) = ¢
£ 2x – 1 si x Ó 1

a) • Si x ? 2 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas.

17

• En x = 2: lím f (x) = lím 2x = 4 °
x 8 2– x 8 2– §
§
lím f (x) = lím 4 = 4 ¢ pues lím f (x) = f (2) = 4.
§
x 8 2+ x 8 2+ § x8 2
§
f (2) = 4 £

Por tanto, f (x) es continua en todo Á.

b) El dominio de la función es Dom = Á – {0}.
• Si x ? 0 y x ? 1 8 La función es continua.
• En x = 0: es discontinua, puesto que f (x) no está definida para x = 0.
Además, lím f (x) = – @ y lím f (x) = +@.
x 8 0– x 8 0+
Hay una asíntota vertical en x = 0.
1 °
• En x = 1: lím f (x) = lím =1
§
x 8 1– x 8 1– x §
lím f (x) = lím (2x – 1) = 1 ¢ pues lím f (x) = f (1) = 1.
x 8 1+ x 8 1+ §
§ x8 1
§
f (1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1 £

s13 Estudia la continuidad y representa gráficamente la función f (x):
° –x 2 + 5x si 0 Ì x Ì 5
f (x) = ¢
£x – 5 si 5 Ì x Ì 10

Dominio = [0, 10]

• Continuidad: Si x é [0, 5) « (5, 10], es continua, pues está formada por
funciones continuas.

lím f (x) = lím (–x 2 + 5x) = 0 °
x 8 5– x 8 5– § lím f (x) = f (5).
§
§ x85
En x = 5 8 lím f (x) = lím (x – 5) = 0 ¢
x 8 5+ x 8 5+ § Es continua.
§
f (5) = 0 §
£
• Gráfica:

7
6
5
4
3
2
1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18

UNIDAD 5

14 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráfica-
mente:
°1 si x < 0
§
a) f (x) = ¢ x + 1 si 0 < x < 1
§ 2
£ x – 2x si 1 Ì x

° 3x – x 2 si x Ì 3
§
b) f (x) = ¢ x – 3 si 3 < x < 6
§
£0 si x Ó 6

°1 si x < 0
§
a) f (x) = ¢ x + 1 si 0 < x < 1
§ 2
£ x – 2x si 1 Ì x

• Continuidad:
— Si x ? 0 y x ? 1 8 Es continua, pues está formada por funciones
continuas.

° lím – f (x) = lím – 1 = 1 °
§ x80 x80 §
§ ¢ lím f (x) = 1
— En x = 0 8 ¢ lím f (x) = lím (x + 1) = 1 § x80
§ x80 + x80 +
£
§
£ No existe f (0).

Hay una discontinuidad evitable en x = 0.

° lím – f (x) = lím – (x + 1) = 2
§ x81 x81
§
— En x = 1 8 ¢ lím f (x) = lím (x 2 – 2x) = –1
§ x 8 1+ x 8 1+
§
£ f (1) = –1

Discontinuidad de salto finito en x = 1.

• Gráfica:

3
2
1

1 2 3
–1

19

° 3x – x 2 si x Ì 3
§
b) f (x) = ¢ x – 3 si 3 < x < 6
§
£0 si x Ó 6

• Continuidad:
continuas.
2
° lím – f (x) = lím – (3x – x ) = 0 °
§ x83 x83 §
§ §
— En x = 3 8 ¢ lím f (x) = lím (x – 3) = 0 ¢ lím f (x) = f (3)
§ x 8 3+ x 8 3+ § x83
§ §
£ f (3) = 0 £

f (x) es continua en x = 3.

° xlím6– f (x) = xlím6– (x – 3) = 3
§ 8 8
§ lím
— En x = 6 8 ¢ f (x) = lím 0 = 0
§ x 8 6+ x 8 6+
§
£ f (6) = 0
• lím f (x) = lím 0=0
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (3x – x 2) = –@
x 8 –@ x 8 –@

• Gráfica:

3
2
1

1 2 3 4 5 6

15 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean
continuas:
°x + 1 si x Ì 2 °x + k si x Ì 0
a) f (x) = ¢ b) f (x) = ¢ 2
£k – x si x > 2 £x – 1 si x > 0

° 2x + k si x < –1
c) f (x) = ¢
£ –kx – 2 si x Ó –1

20

UNIDAD 5

a) • Si x ? 2, la función es continua.
• En x = 2:
lím f (x) = lím (x + 1) = 3 °
x 8 2– x 8 2– §
§
§
lím f (x) = lím (k – x) = k – 2 ¢ Para que sea continua, ha de ser:
x 8 2+ x 8 2+ § k–2=3 8 k=5
§
§
f (2) = 2 + 1 = 3 £

b) • Si x ? 0, la función es continua.
• En x = 0:
lím f (x) = lím (x + k) = k °
x 8 0–
§
x 8 0– §
§
2 – 1) = –1 ¢ Para que sea continua, ha de ser: k = –1
lím f (x) = lím (x
x8 0 + x8 0 + §
§
f (0) = 0 + k = k §
£

c) • Si x ? –1, la función es continua.

• En x = –1:
lím f (x) = lím (2x + k) = –2 + k °
§
x 8 –1– x 8 –1– § Para que sea continua ha de
§ ser: –2 + k = k – 2. Esto se
lím f (x) = lím (–kx – 2) = k – 2 ¢
x 8 –1+ x 8 –1+ § cumple para cualquier valor
§ de k.
f (–1) = k – 2 §
£
La función es continua para cualquier valor de k.

PARA RESOLVER

16 a) Calcula el límite de la función f (x) cuando x 8 0, x 8 2, x 8 3,
x 8 +@, x 8 –@:
x–3
f (x) = 2
x – 5x + 6
b) Representa gráficamente los resultados.

x–3 x–3
a) f (x) = =
x 2 – 5x + 6 (x – 3)(x – 2)

lím f (x) = –3 = –1
x80 6 2

1 1
lím f (x) = lím = .
x82 x82 x – 2 (0)

21


lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 2– x 8 2+

1
lím f (x) = lím =1
x83 x83 x–2

lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 +@ x 8 –@

b)

1

1 2 3
–1

x2 – 9
17 a) Calcula el límite de la función y = 2 en aquellos puntos en los que
x – 3x
no está definida.

b) Halla su límite cuando x 8 + @ y cuando x 8 – @.
c) Representa la función con la información que has obtenido.
d) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de la función?

a) El dominio de la función es:
Dom = Á – {0, 3}, pues el denominador se anula en:
x=0
x 2 – 3x = 0 8 x (x – 3) = 0
x=3

2 (x + 3)(x – 3)
y= x –9 =
x 2 – 3x x (x – 3)
x+3 3
lím =
x8 0 x (0)

x+3
lím = –@
x 8 0– x
x+3
lím = +@
x 8 0+ x
x+3 6
lím = =2
x8 3 x 3

22

UNIDAD 5

x+3 x+3
b) lím = 1; lím =1
x 8 +@ x x 8 –@ x

c)

2
1

1 2 3

d) La función es discontinua en x = 0 (tiene una asíntota vertical) y en x = 3 (no
está definida; tiene una discontinuidad evitable).

18 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea con-
tinua:

° x4 – 1 ° x2 – 1
§— si x ? 1 §— si x < 1
a) f (x) = ¢ x – 1 b) f (x) = ¢ x – 1
§ §
£k si x = 1 £k si x Ó 1

a) • Si x ? 1, la función es continua.
• Si x = 1:
4 3 2
lím f (x) = lím x – 1 = lím (x + x + x + 1)(x – 1) =
x81 x81 x – 1 x81 (x – 1)

= lím (x 3 + x 2 + x + 1) = 4
x81

f (1) = k
Para que sea continua, ha de ser k = 4.

b) Para x ? 1, f (x) es continua.
Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser lím f (x) = f (1):
x81

x2 – 1 (x + 1) (x – 1)
lím f (x) = lím = lím = lím (x + 1) = 2
x 8 1– x 8 1– x–1 x81 – (x – 1) x 8 1–

lím f (x) = lím k = k
x 8 1+ x 8 1+

f (1) = k
Ha de ser k = 2.

23

s19 Estudia la continuidad de estas funciones para los distintos valores del pa-
rámetro a:
° x 2 + ax si x Ì 2 ° e ax si x Ì 0
a) f (x) = ¢ b) f (x) = ¢
£ a – x 2 si x > 2 £ x + 2a si x > 0

a) • En x ? 2, la función es continua.
• En x = 2:
lím f (x) = lím (x 2 + ax) = 4 + 2a °
§
x 8 2– x 8 2– § Para que sea continua, ha de ser:
§
lím f (x) = lím (a – x 2) = a – 4 ¢ 4 + 2a = a – 4 8 a = –8
§
x 8 2+ x 8 2+ §
§
f (2) = 4 + 2a £
Por tanto, la función es continua si a = –8, y es discontinua (en x = 2) si
a ? –8.

b) • En x ? 0, la función es continua.
• En x = 0:
lím f (x) = lím e ax = 1 °
x 8 0– x 8 0– §
§ Para que sea continua, ha de ser:
§
lím f (x) = lím (x + 2a) = 2a ¢ 1
x8 0 + x8 0 + § 1 = 2a 8 a =
§ 2
f (0) = 1 §
£

1 1
Por tanto, la función es continua si a = , y es discontinua (en x = 0) si a ? .
2 2

x 4 – 3x 3 + 2x 2
20 Sea la función f (x) = .
x2 – x
a) Calcula: lím f (x); lím f (x); lím f (x); lím f (x)
x80 x81 x 8 +@ x 8 –@

b) ¿Cuál es la función que coincide con f (x) excepto en x = 0 y en x = 1?
c) ¿En qué puntos no es continua f (x) ?
x 4 – 3x 3 + 2x 2 x 2 (x – 2)(x – 1)
f (x) = 2 – x =
x x (x – 1)

a) lím f (x) = lím [x (x – 2)] = 0
x80 x80

lím f (x) = lím [x (x – 2)] = –1
x81 x81

lím f (x) = +@
x 8 +@

lím f (x) = +@
x 8 –@

24

UNIDAD 5

b) g (x) = x (x – 2) = x 2 – 2x

c) En x = 0 y en x = 1 la función no está definida (hay discontinuidades
evitables).

Página 147
21 Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x 8 + @:
x 2 – 5x 3x
a) f (x) = ( x+1
–
2 )
b) g (x) = ( 2x + 1
x–3 ) 1–x

3x 2
(
c) h (x) = 1,2x –
x+1 )
d) i (x) = ( 3x + 4
2x + 5 ) x–1

a) lím
x 8 +@
( x 2 – 5x
x+1
–
3x
2
= lím
x 8 +@
) 2(x + 1) (
2x 2 – 10x – 3x (x + 1)
= )
2x 2 – 10x – 3x 2 – 3x –x 2 – 13x
= lím = lím = –@
x 8 +@ 2x + 2 x 8 +@ 2x + 2

( )
1 – x
2x + 1 1
b) lím = 2–@ = =0
x 8 +@ x–3 2∞

c) lím
x 8 +@
(1,2 x –
3x 2
x+1
= +@ )
( ) ( )
x – 1 +@
3x + 4 3
d) lím = = +@
x 8 +@ 2x + 5 2

s22 Dada la función:
1
° — + b si x Ì –1
§ x2
§
f (x) = ¢ 3x 2 + 4 si –1 < x < 1
§
§ –x 3 + 8 si x ≥ 1
£
calcula el valor de b para que f (x) sea continua en x = –1.
¿Es continua en x = 1?
• Para que f (x) sea continua en x = –1, ha de tenerse que:
lím f (x) = f (–1)
x 8 –1

25

lím
x8 –1–
f (x) = lím
x8 –1–
(1
x2 )
+b =1+b §
°
§
§
lím f (x) = lím (3x 2 + 4) = 7 ¢ Ha de ser 1 + b = 7; es decir, b = 6.
x 8 –1+ x 8 –1+ §
§
§
f (–1) = 1 + b £

• Veamos que la función también es continua en x = 1:

lím f (x) = lím (3x 2 + 4) = 7 °
x 8 1– x 8 1– §
§
§
lím f (x) = lím (–x 3 + 8) = 7 ¢ lím f (x) = f (1)
x 8 1+ x 8 1+ § x81
§
f (1) = 7 §
£

Por tanto, f (x) es continua en x = 1.

s23 Estudia la continuidad, representa y halla los límites para x 8 +@ y
x 8 –@ de la función:
° 2x si x < 1
§
f (x) = ¢ 2 si 1 Ì x Ì 2
§ 2
£ –x + 4x si x > 2

• Continuidad:
continuas.

lím f (x) = lím 2x = 2 °
§
x 8 1– x 8 1– § lím f (x) = f (1).
§ x81
— En x = 1 8 lím f (x) = lím 2=2 ¢
x 8 1+ x 8 1+ § f (x) es continua en x = 1.
§
§
f (1) = 2 £

lím f (x) = lím 2=2 °
x 8 2– x 8 2–
§ f (x) no tiene límite
§
2 + 4x) = 4 §
en x = 2, por lo
— En x = 2 8 lím f (x) = lím (–x ¢
x 8 2+ x 8 2+ § tanto no es conti-
§ nua en ese punto.
f (2) = 2 §
£


• lím f (x) = lím (–x 2 + 4x) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím 2x = 2–@ = 0
x 8 –@ x 8 –@

26

UNIDAD 5

• Gráfica:

4
3
2
1

0 1 2 3 4 5 6

s24 Considera la siguiente función:
° x 2 + 2x + 1 si x < –1
§
f (x) = ¢ 2x + 2 si –1 Ì x Ì 2
§ 2
£ –x + 8x si x > 2
Estudia su continuidad y represéntala gráficamente.

• Continuidad:
— Si x ? –1 y x ? 2 8 Es continua, pues está formada por funciones
continuas.
lím f (x) = lím (x 2 + 2x + 1) = 0 ° lím f (x) = f (–1)
§
x 8 –1– x 8 –1– § x 8 –1
§
— En x = –1 8 lím f (x) = lím (2x + 2) = 0 ¢
x 8 –1 + x 8 –1 + § f (x) es continua
§
§ en x = –1.
f (–1) = 0 £

lím f (x) = lím (2x + 2) = 6 °
§ f no tiene límite
x 8 2– x 8 2– §
§
2 + 8x) = 12 ¢ en x = 2, luego
— En x = 2 8 lím f (x) = lím (–x
x82 + x82 + § no es continua en
§
§ ese punto.
f (2) = 6 £


• Gráfica:

16
14
12
10
8
6
4
2

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

27

25 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas:
° –2x + 5 si x < 5/2
a) f (x) = |2x – 5| = ¢
£ 2x – 5 si x Ó 5/2

° x2 – 4 si x Ì –2
§
b) f (x) = |x 2 – 4| = ¢ –x 2 + 4 si –2 < x < 2
§ 2
£x – 4 si x Ó 2

° –x 2 si x < 0
c) f (x) = x|x| = ¢ 2
£x si x Ó 0

° –2x + 5 si x < 5/2
a) f (x) = | 2x – 5 | = ¢
£ 2x – 5 si x Ó 5/2

5
• Si x ? , la función es continua, pues está formada por funciones polinómicas
2
(continuas).
5
• En x = :
2

lím f (x) = lím (–2x + 5) = 0 °
x 8 (5/2)– x 8 (5/2)– §
§
§
lím f (x) = lím (2x – 5) = 0 ¢§
x 8 (5/2)+ x 8 (5/2)+ §
§
f (5/2) = 0 £

Como lím
x 8 5/2
f (x) = f ()
5
2
5
, f (x) es continua en x = .
2

• Gráfica:

Y

5
4
3
2
1
1 5 X

° x2 – 4 si x Ì –2
§
b) f (x) = | x 2 – 4 | = ¢ –x 2 + 4 si –2 < x < 2
§ 2
£x – 4 si x Ó 2
• Si x ? –2 y x ? 2, f es continua, por estar formada por funciones polinó-
micas (continuas).

28

UNIDAD 5

• En x = –2:

lím f (x) = lím (x 2 – 4) = 0 °
x 8 –2– x 8 –2– §
§
§
lím f (x) = lím (–x 2 + 4) = 0 ¢
x 8 –2+ x 8 –2+ §
§
§
f (–2) = 0 £

Como lím f (x) = f (–2), f es continua en x = –2.
x 8 –2

• En x = 2:

lím f (x) = lím (–x 2 + 4) = 0 °
x 8 2– x 8 2– §
§
lím f (x) = lím (x 2 – 4) = 0 §¢
x 8 2+ x 8 2+ §
§
§
f (2) = 0 £

Como lím f (x) = f (2), f es continua en x = 2.
x82

• Gráfica:

Y

5
4
3
2
1
–2 2 X

° –x 2 si x < 0
c) f (x) = x | x | = ¢ 2
£x si x Ó 0

• Si x ? 0, f es continua pues está formada por funciones polinómicas
(continuas).

• En x = 0:

lím f (x) = lím (–x 2) = 0 °
x 8 0– x 8 0– §
§
§
lím f (x) = lím (–x 2) = 0 ¢
x80 + x80 + §
§
§
f (0) = 0 £

x80

29

• Gráfica:
Y
4

1
–2 –1 1 2 X
–1

–4

s26 Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de
euros) en relación con el valor x (en cientos de euros) de lo vendido por
cada uno.
Dicho incentivo sigue la función:

° 0,01 x si 0 Ì x Ì 100
f (x) = § 30x
¢ —— si x > 100
§ 2x + 2 300
£
a) Estudia la continuidad de f (x). Indica si el incentivo recibido por un
empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es
ligeramente superior o inferior a 10 000 €.
b) ¿Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como
incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta.

a) Dom = [0, +@)

— Si x ? 100 8 La función es continua, pues está formada por funciones
continuas en los intervalos definidos.

° lím – f (x) = lím – 0,01x = 1 (100 €)
§ x 8 100 x 8 100
§
§ 30x
— En x = 100 8 ¢ lím f (x) = lím = 1,2 (120 €)
§ x 8 100 + x 8 100 + 2x + 2 300
§
§
£ f (100) = 1 (100 €)

Hay una discontinuidad de salto finito en x = 100.

Como lím f (x) ? lím f (x), el incentivo recibido por un empleado sí es
x 8 100– x 8 100+

sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior
a 10 000 € (x = 100).

30x
b) lím f (x) = lím = 15 8 1 500 €
x 8 +@ x 8 +@ 2x + 2 300

30

UNIDAD 5

s27 Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de
una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante
15 000t + 10 000
los próximos años, por la función f (t) = , siendo t el
2t + 2
número de años transcurridos. Se pide:
a) Tamaño actual de la población.
b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño
de la población? Justifica la respuesta.

a) f (0) = 5 000 individuos.
15 000t + 10 000
b) lím f (t ) = lím = 7 500
t 8 +@ t 8 +@ 2t + 2
Se estabilizaría en 7 500 individuos.

s28 La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la
construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá
dada por la siguiente función:
° 2 + t2 si 0 Ì t Ì 1
§
P (t ) = ¢ 8t 2 – t – 1
§ —— si t > 1
£ 2t 2
P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la
construcción. Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería
elevar la altura del paseo marítimo.
a) ¿Es P (t ) una función continua?
b) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por cau-
sa de la profundidad de la arena?
c) Haz una gráfica aproximada de P (t ).
a) Las funciones que definen P (t ) son continuas en el intervalo en que están de-
finidas. Estudiamos la continuidad en x = 1:

lím P (t ) = lím (2 + t 2 ) = 3 °
t 8 1– t 8 1– §
2 – t – 1 ¢ lím P (t ) = 3 = P (1)
8t
= 3§
t81
lím P (t ) = lím
t 8 1+ t 8 1+ 2t 2 £

Por tanto, P (t ) es continua.
8t 2 – t – 1
b) Calculamos lím P (t ) = lím =4
t 8 +@ t 8 +@ 2t 2

8t 2 – t – 1
Observamos que < 4 para cualquier valor de t mayor que 1.
2t 2
Por tanto, la profundidad nunca llega a superar los 4 metros y no será necesa-
rio elevar la altura del paseo.

31

c) Y

4
3
2
1
1 2 3 4 X

Página 148
s29 Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) que
se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de
entrenamiento de los deportistas (x, en días), es:
° 300
§ —, 0 Ì x Ì 30
§ x + 30
T (x) = ¢
§ ——— 1 125
§ + 2, x > 30
£ (x – 5)(x – 15)
a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.
b) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba
en menos de 1 minuto? ¿Y en menos de 2?
° 300
§ —, 0 Ì x Ì 30
§ x + 30
T (x) = ¢
§ ——— 1 125
§ + 2, x > 30
£ (x – 5)(x – 15)
300
a) • La función y = es continua, salvo en x = –30; pero, como solo la
x + 30
consideramos en 0 Ì x Ì 30, será continua en el intervalo (0, 30).
1 125
• La función y = + 2 es continua, salvo en x = 5 y en x = 15;
(x – 5)(x – 15)
pero como la estamos considerando para x > 30, es continua en el intervalo
(30, +@).
• Por tanto, si x ? 30 (x é [0, 30) « (30, +@)), la función T (x) es continua.
• Si x = 30, tenemos que:
300 °
lím T (x) = lím =5 §
x8 30– x8 30– x + 30 §
§
lím
x 8 30+
T (x) = lím
x 8 30+
( 1 125
(x – 5)(x – 15) ) ¢ T (x) es continua en x = 30.
+2 = 5§
§
§
T (30) = 5 £

• Por tanto, T (x) es continua en su dominio.

32

UNIDAD 5

b) T (0) = 10 minutos; y, a mayor tiempo de entrenamiento, menos tardan en
realizar la prueba. Además:

lím
x 8 +@
T (x) = lím
x 8 +@
( 1 125
(x – 5)(x – 15) )
+2 =2

Por tanto, ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de
1 minuto, ni en menos de 2 minutos.

30 El grupo de estudios de una empresa ha comprobado que las pérdidas o
ganancias de esta se ajustan a la función:
2x – 4
y=
x+2
donde x son los años de vida de la empresa (x Ó 0) e y viene expresada
en cientos de miles de euros.
a) Representa la función.
b) ¿En qué año deja de tener pérdidas?
c) ¿Están limitados sus beneficios? Si lo están, ¿cuál es su límite?

a)
2
1

1 2 3 4 5 6
–1
–2

2x – 4
b) = 0 ò 2x – 4 = 0 ò x = 2 (y la función es creciente).
x+2
Deja de tener pérdidas en el 2.° año (x = 2).
2x – 4
c) lím = 2 8 200 000 €
x 8 +@ x+2
El beneficio está limitado a 200 000 €.

31 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de
producto cobra 5 €. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades,
disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades cobra:

° 5x si 0 < x Ì 10
C (x) = ¢
2 + 500 si x > 10
£ √ax
a) Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el
número de unidades que se compran.
b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas”
unidades?
☛ El precio de una unidad es C (x)/x.

33

a) lím C (x) = lím (5x) = 50
x 8 10– x 8 10–

lím C (x) = lím √ax 2 + 500 = √100a + 500
x 8 10+ x 8 10+

C (10) = 50
Para que sea continua, ha de ser:

√100a + 500 = 50 8 100a + 500 = 2 500 8 100a = 2 000 8 a = 20

C (x) √ax 2 + 500 √20x 2 + 500
b) lím = lím = lím = √20 › 4,47 €
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ x

CUESTIONES TEÓRICAS

x2 – 4
32 Sea la función f (x) = .
x–2
El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿Cómo
elegir el valor de f (2) para que la función f sea continua en ese punto?

x2 – 4 (x – 2)(x + 2)
lím f (x) = lím = lím = lím (x + 2) = 4
x82 x82 x–2 x82 (x – 2) x82

Para que f sea continua en x = 2, debemos elegir f (2) = 4.

33 Expresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación
gráfica de cada caso:
a) Podemos conseguir que f (x) sea mayor que cualquier número K, por
grande que sea, dando a x valores tan grandes como sea necesario.
b) Si pretendemos que los valores de g (x) estén tan próximos a 1 como que-
ramos, tendremos que dar a x valores suficientemente grandes.
c) Podemos conseguir que h (x) sea mayor que un número K, por grande
que sea, dando a x valores suficientemente próximos a 2.

a) lím f (x) = +@
x 8 +@

b) lím g (x) = 1 2
x 8 +@

1
c) lím h (x) = +@
x82

34

UNIDAD 5

34 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que
para 0 < x Ì 1 es:
x2 + x
g (x) =
x
¿Cuánto vale g (0)?

Si g es continua en x = 0, debe verificar que lím g (x) = g (0). Hallamos el
x 8 0+
límite:

x2 + x x (x + 1)
lím g (x) = lím = lím = lím (x + 1) = 1
x 8 0+ x 8 0+ x x80 + x x 8 0+

Por tanto, g (0) = 1.

35 Escribe una definición para cada una de estas expresiones y haz una repre-
sentación de f:
a) lím f (x) = 3 b) lím f (x) = –@
x 8 –@ x 8 +@

c) lím f (x) = +@ d) lím f (x) = –@
x 8 2– x 8 2+

a) Podemos conseguir que f (x) esté tan próximo a 3 como queramos sin más
que darle a x valores suficientemente “grandes y negativos”.
b) Podemos conseguir que f (x) sea “tan negativo” como queramos sin más que
tomar x tan grande como sea necesario.
c) Podemos conseguir que f (x) tome valores tan grandes como queramos sin
más que darle a x valores tan próximos a 2 (pero menores que 2) como sea
necesario.
d) Podemos conseguir que f (x)
tome valores tan “grandes y 3
negativos” como queramos sin
más que darle a x valores tan
próximos a 2 (pero mayores 1 2
que 2) como sea necesario.

36 Si una función no está definida en x = 3, ¿puede ocurrir que lím f (x) = 5 ?
x83
¿Puede ser continua la función en x = 3?

Sí, puede ser que lím f (x) = 5, por ejemplo:
x83

(x – 3)(x + 2) (x – 3)(x + 2)
f (x) = es tal que lím = 5; y f (x) no está definida
x–3 x83 x–3
en x = 3.
Sin embargo, f (x) no puede ser continua en x = 3 (pues no existe f (3)).

35

37 De una función continua, f, sabemos que f (x) < 0 si x < 2 y f (x) > 0 si
x > 2. ¿Podemos asegurar que no tiene límite en x = 2? Pon ejemplos.

lím f (x) = 0
x82

Por ejemplo: f (x) = x 2 – 4, g (x) = x – 2.

38 Sea P un polinomio: P (x) = ax 2 + bx + c
P (x) – P (0)
Prueba que tiene límite en 0 y calcula su valor.
x

P (x) – P (0) ax 2 + bx + c – c ax 2 + bx
lím = lím = lím =
x80 x x80 x x80 x
x (ax + b )
= lím = lím (ax + b ) = b
x80 x x80

Página 149
39 Calcula, sobre la gráfica de esta función:
Y
a) lím f (x) b) lím f (x) 4
x 8 ±@ x 8 –1
2
c) lím f (x) d) lím f (x)
x8 2– x8 2+
–4 –2 2 4 X

a) lím f (x) = 3 b) lím f (x) = –@
x 8 ±@ x 8 –1

c) lím f (x) = +@ d) lím f (x) = –@
x 8 2– x 8 2+

40 Halla, observando la gráfica de esta función, los siguientes límites:
a) lím f (x) b) lím f (x)
x 8 +@ x 8 –@
Y
c) lím f (x) d) lím f (x)
x 8 2– x 8 2+

e) lím f (x) f ) lím f (x)
x 8 –2 – x 8 –2 +

a) lím f (x) = +@ b) lím f (x) = –@ –4 –2 2 4 X
x 8 +@ x 8 –@

c) lím f (x) = –@ d) lím f (x) = +@
x 8 2– x 8 2+

e) lím f (x) = –@ f) lím f (x) = +@
x 8 –2 – x 8 –2 +

36

UNIDAD 5

PARA PROFUNDIZAR

41 Estudia la continuidad de estas funciones:

|x|
a) y = 2x + . ¿Qué tipo de discontinuidad tiene?
x

°x si x Ì –1
b) y = ¢
£ |x – 2| si x > –1

a) En x = 0, la función no está definida, luego es discontinua.

° 2x – 1 si x < 0
Como: y = ¢ , entonces:
£ 2x + 1 si x > 0

lím (2x – 1) = –1; lím (2x + 1) = 1
x 8 0– x 8 0+

Por tanto, hay una discontinuidad de salto finito en x = 0.

°x si x Ì –1
§
b) y = ¢ –x + 2 si –1 < x < 2
§
£ x – 2 si x Ó 2

• En x ? –1 y x ? 2: la función es continua pues está formada por funciones
continuas.

• En x = –1:

lím f (x) = lím x = –1 °
x 8 –1– x 8 –1– §
§
§
lím f (x) = lím (–x + 2) = 3 ¢
x 8 –1+ x 8 –1+ §
§
f (–1) = –1 §
£

Como lím f (x) ? lím f (x), f no tiene límite en x = –1.
x 8 –1– x 8 –1+

Es discontinua en x = –1.

• En x = 2:

lím f (x) = lím (–x + 2) = 0 °
x 8 2– x 8 2– §
§
§
lím f (x) = lím (x – 2) = 0 ¢
x82 + x82 + §
§
§
f (2) = 0 £

x82

37

|x|
42 Dada f (x) = , justifica que lím f (x) = 1 y lím f (x) = –1.
x+1 x 8 +@ x 8 –@

Definimos f (x) por intervalos:

° –x
§— si x Ì 0
x+1
f (x) = ¢
§— x
si x > 0
£ x+1

x
lím f (x) = lím =1
x 8 +@ x 8 +@ x+1

–x
lím f (x) = lím = –1
x 8 –@ x 8 –@ x+1

43 Calcula los siguientes límites:
a) lím ( √x 2 + 3x – x)
x 8 +@

☛ Multiplica y divide por √x 2 + 3x + x

b) lím √x 2 + 2 – √x 2 – 4
x 8 –@

c) lím
x80 ( √x + 9 – 3
x2 )
d) lím
x82 ( 1 – √3 – x
x–2 )
—— ——
(√x 2 + 3x – x)(√x 2 + 3x + x )
a) lím ( √x 2 + 3x – x) = lím —— =
x 8 +@ x 8 +@ √x 2 + 3x + x
x 2 + 3x – x 2 3x
= lím = lím =
x 8 +@ √x 2 + 3x + x x 8 +@ √x 2 + 3x + x
3x 3x 3x 3
= lím = lím = lím =
x 8 +@ √x 2 +x x 8 +@ x + x x 8 +@ 2x 2

b) lím √x 2 + 2 – √x 2 – 4 = lím ( √x 2 + 2 – √x 2 – 4 ) =
x 8 –@ x 8 +@
— — — —
(√x 2 + 2 – √x 2 – 4 )(√x 2 + 2 + √x 2 – 4 ) x 2 + 2 – (x 2 – 4)
= lím — — = lím — — =
x 8 +@ √x 2 + 2 + √x 2 – 4 x 8 +@ √x 2 + 2 + √x 2 – 4

x2 + 2 – x2 + 4 6
= lím — — = lím — — =0
x 8 +@ √x 2 + 2 + √x 2 – 4 x 8 +@ √x 2 + 2 + √x 2 – 4

38

UNIDAD 5

— —

c) lím
x80 ( √x + 9 – 3
x2 ) = lím
x80
(√x + 9 – 3)(√x + 9 + 3)
—
x 2 (√x + 9 + 3)
=

x+9–9 x
= lím — = lím — =
x80 x2 (√x + 9 + 3) x80 x2 (√x + 9 + 3)
1 1
= lím — =
x80 x (√x + 9 + 3) (0)

1 1
lím — = –@; lím — = +@
x8 0– x (√x + 9 + 3) x8 0+ x (√x + 9 + 3)

— —

d) lím
x82 ( 1 – √3 – x
x–2 ) = lím
x82
(1 – √ 3 – x)(1 + √ 3 – x) =
—
(x – 2)(1 + √ 3 – x)
1 – (3 – x)
= lím — =
x82 (x – 2)(1 + √ 3 – x)
1–3+x
= lím — =
x82 (x – 2)(1 + √ 3 – x)
x–2
= lím — =
x82 (x – 2)(1 + √ 3 – x)
1 1 1
= lím — = =
x82 1 + √3 – x 1+1 2

Página 149

AUTOEVALUACIÓN

1. Calcula los siguientes límites:
√x 2 + 1
a) lím b) lím (2 + e x )
x 8 +@ 1–x x 8 –@

ex ln x
c) lím d) lím
x 8 +@ x2 x 8 +@ x

√x 2 + 1
a) lím = –1 b) lím (2 + e x ) = 2 + 0 = 2
x 8 +@ 1–x x 8 –@

ex ln x
c) lím = +@ d) lím =0
x 8 +@ x2 x 8 +@ x

39

x 2 – 2x
2. Halla el límite de la función f (x) = cuando x 8 2, x 8 –2, x 8 +@ y
2x 2 – 8
x 8 – @. Representa gráficamente la información que obtengas.
x 2 – 2x (0)
• lím 2 – 8 = (0) . Indeterminación.
x82 2x

x 2 – 2x x (x – 2) x (x – 2) x
Simplificamos la fracción: = = =
2x 2 – 8 2(x 2 – 4) 2(x + 2)(x – 2) 2(x + 2)

x 2 – 2x x 2 1
lím = lím = =
x82 2x 2 – 8 x 8 2 2(x + 2) 8 4

x 2 – 2x 8 x < –2, y 8 +@
• lím
2x 2 – 8 = 0 = ±@
x 8 –2 x > –2, y 8 –@
x 2 – 2x 1
• lím =
x 8 +@ 2x 2 – 8 2
x 2 – 2x 1
• lím =
x 8 –@ 2x 2 – 8 2

Y

1
1/2
–2 2 X
–1

° e –x + 1 si x Ì 0
3. Dada la función f (x) = ¢
£ – x 2 + 3x + 2 si x > 0

a) Estudia su continuidad.

b) Halla lím f (x) y lím f (x).
x 8 –@ x 8 +@

a) Tanto si x < 0 como si x > 0, f (x) es continua, por estar definida mediante fun-
ciones continuas.
Estudiamos la continuidad en x = 0.
lím e –x + 1 = 1 + 1 = 2
x 8 0–
lím f (x) 8 lím f (x) = 2
x80 lím –x 2 + 3x + 2 = 2 x80
x 8 0+

f (0) = e 0 + 1 = 2
Como lím f (x) = f (0), f es continua en x = 0. Luego f es continua en Á.
x80

40

UNIDAD 5

b) lím f (x) = lím e –x + 1 = e (+@) + 1 = +@
x 8 –@ x 8 –@

lím f (x) = lím (–x 2 + 3x + 2) = – @
x 8 +@ x 8 +@

4. a) Calcula a y b para que f sea continua:
° –2x + a si x Ì –2
§
f (x) = ¢ x 2 – 5 si –2 < x < 1
§
£ bx + 3 si 1 Ì x
b) Representa la función obtenida.

a) • f es continua si x < –2, si –2 < x < 1 y si 1 < x, por estar definida por
funciones continuas.
• Para que f sea continua en x = –2, debe cumplirse que lím f (x) = f (–2).
x 8 –2
f (–2) = –2(–2) + a = 4 + a

lím (–2x + a) = 4 + a °
x 8 –2– §
lím f (x) ¢ Por tanto, 4 + a = –1 8 a = –5
2 – 5) = 4 – 5 = –1 §
x 8 –2 lím (x
x 8 –2+ £

• Para que f (x) sea continua en x = 1, debe ser lím f (x) = f (1).
x81

f (1) = b · 1 + 3 = b + 3

lím (x 2 – 5) = –4 °
x 8 1– §
lím f (x) ¢ Por tanto, b + 3 = –4 8 b = –7
x81 lím (bx + 3) = b + 3 §
x 8 1+ £

° –2x – 5 si x Ì –2
§
b) f (x) = ¢ x 2 – 5 si –2 < x < 1
§
£ –7x + 3 si 1 Ì x

Y

1
1 X

41

5. Observa la gráfica de la función y = f (x) y di el valor de los siguientes límites:
a) lím f (x) b) lím f (x) c) lím f (x) d) lím f (x)
x 8 –1 x82 x 8 +@ x 8 –@

Y
3
2
1
3
–3 –2 –1 1 2 X
–1
–2

a) lím f (x) = 3
x 8 –1

lím f (x) = 0 °
x 8 2– §
b) lím f (x) ¢ f no tiene límite cuando x 8 2
x82 lím f (x) = –2 §
x 8 2+ £

c) lím f (x) = +@
x 8 +@

d) lím f (x) = 1
x 8 –@

42

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