Sol02

2 ÁLGEBRA DE MATRICES

Página 47

REFLEXIONA Y RESUELVE

Elección de presidente

■ Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación,
analiza algunas características de los participantes y opina quién crees que de-
bería ser presidente.
A B C D E F

( )
A 1 –1 –1 –1 –1 –1
B –1 0 1 0 –1 0
C 0 1 1 1 0 0
D –1 0 1 0 –1 0
E –1 1 1 1 –1 0
F –1 0 0 0 –1 0

De la tabla podemos deducir muchas cosas:

— Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

— B solo tiene un candidato (el C).

— Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).

— El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros.

— Al candidato E no le prefiere ninguno de los otros consejeros. De hecho, es el úni-
co que no se considera idóneo para el cargo.

— Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados.

— Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente.
— ...
Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo
menos, eso piensan sus compañeros del consejo).

Unidad 2. Álgebra de matrices
1

Vuelos internacionales

■ Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos que hay el martes des-
de el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información
recogida en el diagrama.
B C
B1
C1
B2
B3
C2
B4

C1 C2
B1 3 2
B2 1 0
B3 1 0
B4 0 2

Conexiones de vuelos

■ Supón que una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y lle-
gar el martes a C.
A B

A1 B1
B2
A2
B3
A3 B4

¿Cuántas posibles combinaciones tiene por cada punto de salida y cada punto
de llegada? Es decir, ¿de cuántas formas puede ir de A1 a C1, de A1 a C2, de
A2 a C1, etc.?
Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en
cada caso, cómo llegas a la respuesta.
C1 C2
A1 5 2
A2 2 2
A3 0 2

2

UNIDAD 2

Página 49
1. Escribe las matrices traspuestas de:

( ) ( )
3 1 1 3 5 –1
A= 2 5
7 6
B=
2 5 7
4 1 0 ( ) C= 0 2 4 1
6 1 0 3

( )
7 4 1

( )
1 7 4
2 1 0
D= E = 7 –1 0 F = (5 4 6 1)
0 1 7
4 0 3
6 3 2

( )
1 0 6
At = (
3 2 7
1 5 6 )
2 4
Bt = 5 1
7 0 ( ) Ct =
3
5
–1
2
4
1
1
0
3

()
5
Dt
(7 2 0 6
= 4 1 1 3
1 0 7 2 ) Et
( )
1 7 4
= 7 –1 0
4 0 3
Ft =
4
6
1

2. Escribe una matriz X tal que X t = X; esto es, que sea simétrica.

Por ejemplo, X =
( 1 2 –1
2 3 0 .
–1 0 4 )
3. Escribe una matriz que describa lo siguiente:

( )
2 1 0 0 0
0 1 0 2 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 1 0

3

1. Sean las matrices:

A= ( 1 0 –2
4 1 –3 ) B= (
–1 0 1
–4 1 3 )
C= ( 7 1 –1
8 –10 0 ) D= ( –3 1 5
6 2 4 )
Calcula E = 2A – 3B + C – 2D.

E= ( 2 0 –4
8 2 –6
– ) (
–3 0 3
–12 3 9
+
7 1 –1
8 –10 0 ) (
–
–6 2 10
12 4 8
=
18 –1 –18
16 –15 –23 ) ( ) ( )
Página 53
2. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

( )
7 0

( ) ( )
2 7 1 5 1 –1 1
A= ( 1 2
–2 5
3
1 ) B=
–1
0
1
1
C= 6 3 0
–2 –5 1
0
0
D= 0 5 2
2 3 –3
3 4

( )
7 14 21
A·C= ( 8 –2 4 5
24 –4 –1 –10
; ) A·D= ( 7 18 –4
0 30 5
; ) B·A=
–3
–2
–5
3 –2
5 1
26 13

( )
22 28
C · B = 39 3 ;
–9 –4 (
–6 –1 2 5
D · C = 26 5 2 0 ;
28 38 –1 10 ) D·D=
( 3 –3 –4
4 31 4
–4 4 17 )
3. Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 Ò 3 que, multiplicada por
cualquier matriz cuadrada A (3 Ò 3), la deje igual.
Es decir: A · I3 = I3 · A = A
La matriz I3 que verifica la igualdad anterior se llama matriz unidad de orden 3.
Una vez que sepas cuál es su fisonomía, sabrás obtener la matriz unidad de
cualquier orden.

( )
1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1

4

UNIDAD 2

Página 54
1. Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, to-
mando:

a = 3, b = 6 A= ( 3 5 –1
2 –3 0 ) B= ( 7 –2 1
4 6 8 )
PROPIEDAD 2

9A = ( 27 45 –9
18 –27 0 ) °
§
§
¢
3A + 6A =
6 –9 0(
9 15 –3
+
18 30 –6
12 –18 0
= ) (
27 45 –9 §
18 –27 0 §
£
) ( )
9A = 3A + 6A

PROPIEDAD 3

3(A + B) = 3 ( 10 3 0
6 3 8
= ) (
30 9 0
°
§
18 9 24
§
)
¢
3A + 3B =
6 –9 0(
9 15 –3
+
21 –6 3
12 18 24
= ) (
30 9 0 §
18 9 24 §
£
) ( )
3(A + B) = 3A + 3B

Página 55
2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:

()
1

( )
1 4
A= 0 5
1 6
B= ( –1 5 6 7
3 0 9 –2 ) C= ( 4 1 6 0
0 –1 5 5 ) D=
2
–5
3

A · (B + C) = A · ( 3 6 12 7
3 –1 14 3 ) (
15 2 68 19°
§
= 15 –5 70 15
21 0 96 25
§
§
§
¢
)
(
11 5 42 –1

17 5 60 –5
4 –3 26 20

4 –5 36 30 )(
15 2 68 19 §

21 0 96 25 §
§
A · B + A · C = 15 0 45 –10 + 0 –5 25 25 = 15 –5 70 15 §
£
)( )
A · (B + C) = A · B + A · C
–24 °
3 6 12 7
(B + C) · D =
3 –1 14 3 (
·D= §
–60 §
§
( ) )
¢
B·D+C·D=
0
–48
+
–24
–12
= ( ) ( ) ( )
–24 §
–60 §
§
£
(B + C) · D = B · D + C · D

5

1. Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguien-
tes matrices o averigua que no la tiene:

a) ( ) 1 1
0 1
b) ( ) 1 2
3 4
c) ( )
1 2
–2 – 4

a) ( 1
0
1 1
1 0 | 0
1 ) (1.ª) – (2.a)
(2.ª) ( 1
0 |
0 1
1 0
–1
1 )
( ) (
Así,
1
0
1
1
–1
=
1
0
–1
1 )
b) ( | )
1
3
2 1
4 0
0
1
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.a) ( 1
0
2 1
|
–2 –3
0
1 ) (1.ª) + (2.a)
(2.ª)

( | )
1
0
0 –2
1 –3
1
1
(1.ª)
(–1/2) · (2.ª) ( | 1
0
0 –2 1
1 3/2 –1/2 )
( ) (
Así,
1
3
2
4
–1
=
–2 1
3/2 –1/2 )
c) ( | )1 2 1
–2 –4 0
0
1
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a) ( 1
0 |
2 1
0 2
0
1 )
En la parte de la izquierda, la 2.a fila está compuesta de ceros. Por tanto, la matriz

( 1 2
–2 –4 )
no tiene inversa.

2. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la
tiene:

( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 1 3
a) 4 5 6 b) 0 1 2 c) 1 2 1
7 8 9 1 2 4 2 0 0

1
a) 4
7 ( 2
5
8
3 1
6 0
9 0
| 0
1
0
0
0
1 ) (1.ª)
(2.ª) – 4 · (1.a)
(3.ª) – 7 · (1.ª) ( 1 2 3 1 0
0 –3 –6 –4 1
0 –6 –12 –7 0
| 0
0
1 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)

( 1 2 3 1 0 0
0 –3 –6 –4 1 0
0 0 0 1 –2 1
| )
En la parte de la izquierda, la 3.a fila está compuesta de ceros. Por tanto, la ma-
1
triz 4
7 ( ) 2
5
8
3
6 no tiene inversa.
9

6

UNIDAD 2

1
b) 0
1( 2
1
2
3 1
2 0
4 0
| 0
1
0
0
0
1 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª) ( 1
0
0
2
1
0
|
3 1 0
2 0 1
1 –1 0
0
0
1 ) (1.ª) – 3 · (3.a)
(2.ª) – 2 · (3.a)
(3.ª)

( 1
0
0
2
1
0
|
0 4 0 –3
0 2 1 –2
1 –1 0 1 ) (1.ª) – 2 · (2.a)
(2.ª)
(3.ª) ( 1
0
0
0
1
0
|
0 0 –2 1
0 2 1 –2
1 –1 0 1 )
( ) ( )
Así,
1
0
1
2
1
2
3
2
4
–1
=
0 –2 1
2 1 –2 .
–1 0 1

1
c) 1
2( | ) 1
2
0 ( | )
3 1
1 0
0 0
0
1
0
0
0
1
(1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
1 1 3 1 0
0 1 –2 –1 1
0 –2 –6 –2 0
0
0
1
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (2.ª)

( | )
1
0
0
1 3 1 0
1 –2 –1 1
0 –10 –4 2
0
0
1
(1.ª)
–5 · (2.ª) + (3.a)
–(1/10) · (3.ª)

( | )
1 1 3 1
0 –5 0 1
0
–3
0
1
0 0 1 2/5 –1/5 –1/10
(1.ª) – 3 · (3.a)
–(1/5) · (2.ª)
(3.ª)

( | 1
0
0
1
1
0 ) ( |
0 –1/5 3/5 3/5
0 –1/5 3/5 –1/5
1 2/5 –1/5 –1/10
(1.ª) – (2.a)
(2.ª)
(3.ª)
1
0
0
0
1
0
0 0 0 2/5
0 –1/5 3/5 –1/5
1 2/5 –1/5 –1/10 )
( ) (
1
Así, 1
2 )
1
2
0
3
1
0
–1 0 0 2/5
= –1/5 3/5 –1/5
2/5 –1/5 –1/10

Página 59
3. Calcula x, y, z, t para que se cumpla:

( )( ) ( )
2 –1
0 1
·
x y
z t
=
5 1
0 2

( )( ) (
2 –1 x y
0 1 z t
=
2x – z 2y – t
z t
=
5 1
0 2 ) ( )
5 °
2x – z = 5 x=
2 §
§
3 §
2y – t = 1 y= §
2 ¢
§
Solución: ( ) (
x y
z t
=
5/2 3/2
0 2 )
z=0 z=0 §§
§
t=2 t=2 £

7

4. Para las matrices A = ( ) ( ) ( )
1 0
2 7
, B=
–1 5
4 –1
, C=
4 0
1 1
, comprueba:

a) A · (B + C ) = (A · B ) + (A · C )
b) (A + B ) · C = (A · C ) + (B · C )
c) A · (B · C ) = (A · B ) · C

( ) ( )
£
3 5 3 5 §
a) A · (B + C ) = A · =
5 0 41 10 §
¢
§ A · (B + C ) = A · B + A · C
A·B+A·C=
–1 5
26 3
+ ( ) (
4 0
15 7
=
3 5
41 10 ) ( ) §
°

( ) ( )
£
0 5 5 5
b) (A + B) · C = ·C= §
6 6 30 6 §
¢
§ (A + B) · C = A · C + B · C
A·C+B·C=
4 0
15 7
+ ( ) (
1 5
15 –1
=
5 5
30 6 ) ( ) §
°

£
c) A · (B · C ) = A · ( ) (
1 5
15 –1
=
1 5
107 3 )
§
§
¢
§ A · (B · C ) = (A · B) · C
(A · B) · C = ( ) (
–1 5
26 3
·C=
1 5
107 3 ) §
°

5. Sean A = ( )
3 0
5 –1
y B=
0 6
1 –3 ( )
. Encuentra X que cumpla: 3 · X – 2 · A = 5 · B

3X = 5B + 2A = ( 0 30
) (
5 –15
+
6 0
10 –2
= ) (
6 30
15 –17
8 X=
2
)
10
5 –17/3 ( )
6. Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 Ò 2 que cumplan:

£
2A + B = ( )
1 4
2 0
A–B= ( )
–1 2
1 0

2A + B = ( )
1 4 §
§
2 0 ¢
( )Sumando: 3A =
0 6
8 A= ( )
0 2

( )
§
–1 2 § 3 0 1 0
A–B=
1 0 °

B=A– ( ) ( ) ( ) ( )
–1 2
1 0
=
0 2
1 0
–
–1 2
1 0
=
1 0
0 0

Solución: A =( ) ( )
0 2
1 0
, B=
1 0
0 0

8

UNIDAD 2

7. Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:

2X – 3Y = ( )
1 5
4 2
y X–Y= ( )
–1 0
3 6
£

( ) ( )
§ £
1 5 1 5
2X – 3Y = § 2X – 3Y = §
4 2 ¢ 4 2 §
¢
§
§ §

( ) ( )
–1 0 ° 2 0 §
X–Y= –2X + 2Y = °
3 6 –6 –12

Sumando: –Y = ( 3 5
–2 –10 ) 8 Y= ( –3 –5
2 10 )
X= ( )
–1 0
3 6
+Y=
–1 0
3 6
+
–3 –5
2 10( ) (
=
–4 –5
5 16 ) ( )
Solución: X = ( –4 –5
5 16
, Y=) (
–3 –5
2 10 )
8. Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:

X· ( )( )
1 1
0 1
=
1 1
0 1
·X

X= ( )x y
z t

X·( ) ( )( ) (
1 1
0 1
=
1 1
0 1
·
1 1
0 1
=
x x+y
z z+t )
( ) ( )( ) (
1 1
0 1
·X=
1 1
0 1
·
x y
z t
=
x+z y+t
z t )
x=x+z ° °
§ §
x+y=y+t § x=t§
¢ ¢
z=z § §
§ §
z+t=t £ z = 0£

Solución: X = ( ) x y
0 x
, donde x e y son números reales cualesquiera.

9

9. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:

A= ( )
1 2
0 3
B= ( )
–4 7
3 0
C= ( )
1 –1
3 2
a) (A · B ) + (A · C )
b) (A – B ) · C
c) A · B · C

a) A · B + A · C = ( ) ( ) ( )
2 7
9 0
+
7 3
9 6
=
9 10
18 6

b) (A – B ) · C = ( )( ) ( )
5 –5
–3 3
·
1 –1
3 2
=
–10 –15
6 9

c) A · B · C = ( )( ) ( )
2 7
9 0
·
1 –1
3 2
=
23 12
9 –9

10. Dada la matriz A = ( )
1 2
0 1
, comprueba que (A – I )2 = 0.

(A – I ) 2 = ( )( ) ( )
0 2
0 0
·
0 2
0 0
=
0 0
0 0

11. Halla la inversa de estas matrices:

( ) ( )
1 0 0 1 2 3
a) ( )
7 3
2 1
b) ( )
3 –2
–8 5
c) 0 2 0
0 0 1
d) 0 1 2
0 1 1

a) ( )( ) ( )
7 3
2 1
x y
z t
=
1 0
0 1
8 ( 7x + 3z 7y + 3t
2x + z 2y + t
=) ( )
1 0
0 1

7x + 3z = 1 ° x = 1 7y + 3t = 0 ° y = –3
¢ ¢
2x + z = 0 £ z = –2 2y + t = 1 £ t = 7

Por tanto, la inversa es ( 1 –3
–2 7
. )
b) ( 3 –2
–8 5 )( ) ( )
x y
z t
=
1 0
0 1
8 ( 3x – 2z 3y – 2t
–8x + 5z –8y + 5t
= ) ( )
1 0
0 1

3x – 2z = 1 ° x = –5 3y – 2t = 0 ° y = –2
¢ ¢
–8x + 5z = 0 £ z = –8 –8y + 5t = 1 £ t = –3

Por tanto, la inversa es ( –5 –2
–8 –3
. )
10

UNIDAD 2

( )( ) ( ) (
1
c) 0
0
0
2
0
0
0
1
a
d
g
b
e
h
c

i
1
f = 0
0
0
1
0
0
0
1
8
a b c
2d 2e 2f
g h i )(1
= 0
0
0
1
0
0
0
1 )
a = 1, b = 0, c = 0, 2d = 0, 2e = 1, 2f = 0, g = 0, h = 0, i = 1
1 0 0

( )
Por tanto, la inversa es 0 1/2 0 .
0 0 1

( )(
1
d) 0
0
2
1
1
3
2
1
a
d
g
b
e
h
c
f
i )( ) 1
= 0
0
0
1
0
0
0
1
8

8
( a + 2d + 3g
d + 2g
d+g
b + 2e + 3h
e + 2h
e+h
c + 2f + 3i
f + 2i
f+i )( )1
= 0
0
0
1
0
0
0
1

a + 2d + 3g = 1 ° a = 1 b + 2e + 3h = 0 ° b = –1 c + 2f + 3i = 0 ° c = –1
§ § §
d + 2g = 0 ¢ d = 0 e + 2h = 1 ¢ e = –1 f + 2i = 0 ¢ f = 2
§ § §
d + g = 0£ g = 0 e + h = 0£ h = 1 f + i = 1 £ g = –1

1 –1 –1

(
Por tanto, la inversa es 0 –1 2 .
0 1 –1 )
Página 62
1. Calcula el rango de las siguientes matrices:

( ) ( )
1 4 –1 1 3 –1
A = –1 3 2 B = 2 –1 5
2 2 0 1 10 – 8

( )
1 0 2 1 –1

( )
1 –2 0 –3
0 2 –1 1 2
C = –1 3 1 4 D=
–1 1 3 2 0
2 1 5 –1
0 8 7 9 4

( )
1 4 –1
A = –1 3 2
2 2 0
(1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª) ( ) 1 4 –1
0 7 1
0 –6 2
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª) ( )
1 4 –1
0 7 1 8 ran (A) = 3
0 –20 0

( )
1 3 –1
B = 2 –1 5
1 10 –8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª) ( ) 1 3 –1
0 –7 7
0 7 –7
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª) ( )
1 3 –1
0 –7 7 8 ran (B) = 2
0 0 0

11

(
1 –2 0 –3
C = –1 3 1 4
2 1 5 –1 ) (1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª) ( 1 –2 0 –3
0 1 1 1
0 5 5 5 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 5 · (2.ª)

( 1 –2 0 –3
0 1 1 1
0 0 0 0 ) 8 ran (C ) = 2

( ) ( )
1 0 2 1 –1 (1.ª) 1 0 2 1 –1 (1.ª)
0 2 –1 1 2 (2.ª) 0 2 –1 1 2 (2.ª)
D=
–1 1 3 2 0 (3.ª) + (1.ª) 0 1 5 3 –1 –2 · (3.ª) + (2.ª)
0 8 7 9 4 (4.ª) 0 8 7 9 4 (4.ª) – 4 · (2.a)

( ) ( )
1 0 2 1 –1 (1.ª) 1 0 2 1 –1
0 2 –1 1 2 (2.ª) 0 2 –1 1 2
8 ran (D) = 3
0 0 –11 –5 4 (3.ª) 0 0 –11 –5 4
0 0 11 5 –4 (4.ª) + (3.a) 0 0 0 0 0

Página 63
1. Expresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones:

° x – 2y – 3z – 2t = –19
° x + z = 10 §
§ ° 2x – y = 7 § y + 2z + t = 12
a) ¢ 2x + 3y = 17 b) ¢ c) ¢
§
3x + 4y + z = 32 £ x – 2y = 11 § 2y + 3z + t = 16
£ §
£ 3x – 2y + t= 5

( )() ( )
a) x + z = 10 ° 1 0 1 x 10
§
2x + 3y = 17 ¢ 2 3 0 · y = 17
§
3x + 4y + z = 32 £ 3 4 1
123
z
{
32
{
A · X = C

b) 2x – y = 7 ° 2 –1
¢ ( )() ( )
x – 2y = 11 £ 1 –2
1 3
2
·
x
y
{
=
7
11
{
A · X = C

( )() ( )
c) x – 2y – 3z – 2t = –19 ° 1 –2 –3 –2 x –19
§
y + 2z + t = 12 § 0 1 2 1 y 12
¢ · =
2y + 3z + t = 16 § 0 2 3 1 z 16
§ 3 –2 0 1 t 5
3x – 2y + t = 5 £ 1442 4 4 3 { 1 3
2
A · X = C

12

UNIDAD 2

2. Comprueba que las inversas de las matrices asociadas a los sistemas del ejerci-
cio anterior son las que damos a continuación:

( )
–1 – 6 3 1

(
3/2 2 –3/2
a) –1 –1 1
–1/2 –2 3/2 ) b) (
2/3 –1/3
1/3 –2/3 ) c)
1 –3 –12
2 3 10
–3 –6
5 1
–3 –1
1 1

Resuelve con ellas, matricialmente, los sistemas del ejercicio 1.

a) Comprobamos que es la inversa:

( )(
1 0 1 3/2 2 –3/2
A · A –1 = 2 3 0 · –1 –1
3 4 1
1
–1/2 –2 3/2
1 0 0
= 0 1 0 =I
0 0 1 )( )
Resolvemos el sistema:

X = A –1 · C =
( 3/2 2 –3/2
–1 –1 1
–1/2 –2 3/2
10 1
· 17 = 5
32 9 )( ) ()
Solución: x = 1, y = 5, z = 9

b) Comprobamos que es la inversa:

B · B–1 = ( )(
2 –1
1 –2
·
2/3 –1/3
1/3 –2/3
=
1 0
0 1
=I ) ( )

X = B–1 · C = ( 2/3 –1/3
1/3 –2/3
· )( ) ( )
7
11
=
1
–5
Solución: x = 1, y = –5

c) Comprobamos que es la inversa:

( )( )( )
–1 –6 3 1 1 –2 –3 –2 1 0 0 0
1 –3 –12 5 1 0 1 2 1 0 1 0 0
C· C–1 = · = =I
2 3 10 –3 –1 0 2 3 1 0 0 1 0
–3 –6 1 1 3 –2 0 1 0 0 0 1


( )( ) ( ) ()
–1 –6 3 1 –19 0 0
1 –3 –12 5 1 12 1 –2 –1
X = C–1 ·D= · = =
2 3 10 –3 –1 16 2 10 5
–3 –6 1 1 5 6 3

Solución: x = 0, y = –1, z = 5, t = 3

13

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Operaciones con matrices

1 Dadas las matrices A = ( ) 7 –2
3 1
y B= ( )
–3 0
–2 2
, calcula:

1
a) –2A + 3B b) A·B c) B · (–A) d) A · A – B · B
2

a) ( –23 4
–12 4 ) b) ( –17/2 –2
–11/2 1 ) ( ) c)
21 –6
8 –6
d) ( 43 –16
24 –5 ) ( ) (
–
9 0
2 4
=
34 –16
22 –9 )
2 Efectúa el producto (–3 2) ( )( )
1 –1 0
5 2 1
.

(7 7) ()
0
1
= (7)

3 a) ¿Son iguales las matrices A = () 2
3
y B = (2 3)?

b) Halla, si es posible, las matrices AB; BA; A + B; At – B.

a) No, A tiene dimensión 2 Ò 1 y B tiene dimensión 1 Ò 2. Para que dos matri-
ces sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término.

b) A · B = ( ) 4 6
6 9
; B · A = (1 3); A + B no se puede hacer, pues no tienen la mis-

ma dimensión.
A t – B = (2 3) – (2 3) = (0 0)

4 Dadas las matrices A = ( 1 –2 1
3 0 1 ) y B= ( 4 0 –1
–2 1 0 )
comprueba que:

a) (A + B)t = At + B t
b) (3A)t = 3At

( )
£
5 1
( )
§
5 –2 0 t §
a) (A + B) t = = –2 1 §
1 1 1
0 1 §
(A + B) t = A t + B t
¢
§
1 3

( )( )( )
4 –2 5 1 §
§
A t + B t = –2 0 + 0 1 = –2 1 §
°
1 1 –1 0 0 1

14

UNIDAD 2

( )
£
3 9
( )
§
3 –6 3 t §
b) (3A) t = = –6 0 §
9 0 3
3 3 §
(3A) t = 3A t
¢
§

( )( )
1 3 3 9 §
§
3A t = 3 –2 0 = –6 0 §
°
1 1 3 3

5 Calcula 3AAt – 2I, siendo A = ( ) 3 1
5 2
.

3A A t – 2I = 3 ( 3 1
5 2)( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 2
–
2 0
0 2
=3
10 17
17 29
–
2 0
0 2
=

= ( 30 51
51 87
–) ( ) ( )
2 0
0 2
=
28 51
51 85

6 Dadas las matrices A = ( ) ( ) 3 –1
2 –3
y B=
–1 2
0 1
, comprueba que (A · B)t = B t · A t.
£

( ) ( )
§
–3 5 –3 –2
A·B= 8 (A · B) t = §
–2 1 5 1 §
¢
§ (A · B) t = B t · A t

( ) ( ) ( )
§
–1 0 3 2 –3 –2
Bt · At = · = §
2 1 –1 –3 5 1 °

7 Calcula, en cada caso, la matriz B que verifica la igualdad:

a) ( ) ( )
3 –1 5
1 0 3
+B=
4
0
0
2
6
2
b) 2 ( –1 4
–3 –2)– 3B = (
–5 4
0 –1 )
a) B = ( ) ( ) (
4 0 6
0 2 2
–
3 –1 5
1 0 3
=
1 1 1
–1 2 –1 )
b) 2 ( ) ( )
–1 4
–3 –2
– 3B =
–5 4
0 –1
8 3B = 2 ( –1 4
–3 –2
– ) (
–5 4
0 –1
=
3 4
–6 –3 ) ( )
B= ( )1 4/3
–2 –1

( )
8 Comprueba que la matriz A =
–1 2
3 –1
verifica (A + I )2 = 6I.

A= ( )
–1 2
3 –1 ( ) ( ) ( )
8 A+I=
–1 2
3 –1
+
1
0
0
1
=
0
3
2
0

(A + I )2 =( )( ) ( )
0
3
2
0
·
0
3
2
0
=
6
0
0
6
= 6I

Luego (A + I )2 = 6I

15

9 Dada la matriz:

( 3 0 8
A = 3 –1 6
–2 0 –5 )
comprueba que (A + I )2 = 0 y expresa A2 como combinación lineal de A
e I.

A+I=
( )( )( )
3 0 8 1 0 0 4 0 8
3 –1 6 + 0 1 0 = 3 0 6
–2 0 –5 0 0 1 –2 0 –4

(A + I )2
( )( ) ( )
4 0 8
= 3 0 6
–2 0 –4
4 0 8 0 0 0
3 0 6 = 0 0 0
–2 0 –4 0 0 0

Expresamos A 2 como combinación lineal de A e I:
(A + I ) 2 = 0 8 (A + I ) (A + I ) = A 2 + A + A + I = A 2 + 2A + I = 0 8
8 A 2 = –2A – I

Ecuaciones con matrices

s10 Halla las matrices X e Y que verifican el sistema:

2X + Y =
£
( )
1 4
2 0
, X–Y=
1 –1
1 0 ( )
( )
1 4 §
2X + Y = §
2 0 §
¢
§ Sumando las dos ecuaciones, queda:
1 –1
( )
§
X–Y= §
1 0 °

3X = ( )
2 3
3 0
8 X= ( 2/3 1
1 0 )
Despejamos Y en la 2.a ecuación:

Y=X– ( ) ( ) ( ) (
1 –1
1 0
=
2/3 1
1 0
–
1 –1
1 0
=
–1/3 2
0 0 )
Por tanto, X = ( ) ( )
2/3 1
1 0
e Y=
–1/3 2
0 0
.

s11 Calcula X tal que X – B 2 = A · B, siendo:

( ) ( )
1 0 1
A= 1 1 0
0 0 2
1 0 –1
B= 1 1 1
0 0 1

16

UNIDAD 2

X = A · B + B2
£

( )
1 0 0 §
§
A·B= 2 1 0 §
0 0 2

( ) 2 0 –2
§
¢
§ X= 4 2 1

( )
1 0 –2 0 0 3
§
§
B2 = 2 1 1 §
0 0 1 °

s12 Determina los valores de m para los cuales X = ( )
m 0
0 2
verifique:

5
X2 – X+I=0
2

X2 –
5
2
X+I=
m 0
0 2 ( )( ) ( ) ( )
m 0
0 2
–
5 m 0
2 0 2
+
1 0
0 1
=

( ) ( ) ( ) (
2
= m 0 –
0 4
5 m 0
2 0 2
+
1 0
0 1
2
= m – (5/2)m + 1
0 ) ( )
0 = 0 0
0 0 0

Tiene que cumplirse que:
5
m2 – m + 1 = 0 8 2m 2 – 5m + 2 = 0 8
2
5 ± √25 – 16 5 ± 3 m=2
8 m= = 1
4 4 m=—
2
1
Hay dos soluciones: m1 = 2; m2 =
2

s13 Resuelve:

( )( ) ( )( )
1 –1 x
3 2 y
=
1 x 3
y –1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) (
1 –1
3 2
x
y
=
1 x
y –1
3
2
8
x–y
3x + 2y
=
3 + 2x
3y – 2 ) 8

x – y = 3 + 2x ° x + y = –3 °
8 ¢ ¢
3x + 2y = 3y – 2 £ 3x – y = –2 £

Sumando:
–5 5 –7
4x = –5 8 x = 8 y = –3 – x = –3 + =
4 4 4

–5 –7
Solución: x = ; y=
4 4

17

s14 Halla dos matrices A y B tales que:

8 4 7

(
2A + 3B = 18 11 –6
8 3 13 )
(
9 –2 16
–A + 5B = 17 1 –10
9 5 13 )
(
8 4 7
2A + 3B = 18 11 –6
8 3 13 )
(
18 –4 32
–2A + 10B = 34 2 –20
18 10 26 ) Multiplicamos por 2 la 2.a ecuación.

(
26 0 39
13B = 52 13 –26
26 13 39 ) Sumamos miembro a miembro.

2
B= 4
2 ( 0 3
1 –2
1 3 ) Multiplicamos por
1
13
.

Despejamos A en la 2.a ecuación:

( 9 –2 16 10 0 15

)(
9 –2 16 1
A = 5B – 17 1 –10 = 20 5 –10 – 17 1 –10 = 3
9 5 13 10 5 15 9 5 13 1 )( )( 2
4
0
–1
0
2 )
1
Solución: A = 3
1 ( 2
4
0
–1

) ( 2
0 , B= 4
2 2
0 3
1 –2
1 3 )
15 Dadas las matrices:

M= ( ) 1 5
–1 3
y N=
1 0
3 0 ( )
halla dos matrices X e Y que verifiquen:
X – 2M = 3N; M + N – Y = I

X = 3N + 2M = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) (
1
3
0
0
+2
1
–1
5
3
=
3
9
0
0
+
2 10
–2 6
=
5
7
10
6 )
Y=M+N–I= ( ) ( ) ( ) ( )
1
–1
5
3
+
1
3
0
0
–
1
0
0
1
=
1
2
5
2

18

UNIDAD 2

Matriz inversa

16 Comprueba que la matriz inversa de A es A–1:

( )
1 2 1
A= 0 1 0
2 0 3 (
3 – 6 –1
A–1 = 0 1 0
–2 4 1 )
A · A –1 = I

17 Dada la matriz A =( ) 1 –1
0 2
, prueba cuál de las siguientes matrices es su in-

versa:

(
M= ) ( )
3/2
1/2
3/2
1/2
N=
1
0
1/2
1/2

A·M= ( )(
1
0
–1
2 ) ( )
·
3/2
1/2
3/2
1/2
=
1
1
1
1
. M no es inversa de A.

A·N= ( )( ) ( )
1
0
–1
2
·
1
0
1/2
1/2
=
1
0
0
1
. N es la inversa de A.

18 Halla las matrices inversas de A = ( ) ( )
1 2
–1 0
, B=
–1 0
2 4
1 0 1

( )
y C= 0 1 0 .
0 1 1

| A | = 2 8 A –1 = 0
1/2 ( –1
1/2 )
| B | = –4 8 B –1 = –1
1/2 ( 0
1/4 )
1 1 –1
|C | = 1 8 C –1 = 0 1 0
0 –1 1 ( )
Página 69

Rango de una matriz
19 Estudia el rango de las matrices siguientes:

A= ( 1 –2 3 4
–2 4 –6 8 ) B= ( 1 3
–1 0
0
0 ) ( )
1 –2 3
C = –2 4 –6
12 –24 36

( )
1 2 3
D= 2 4 0
3 6 0 (
1 0 3 0
E= 0 2 0 3
0 1 0 1 ) ( )
0 0 1
F= 1 0 0
0 1 0

19

A= ( 1 –2 3
–2 4 –6
4
8 ) (1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª) ( 1
0
–2
0
3
0
4
16 ) 8 ran (A ) = 2

B= ( 1
–1
3
0
0
0 ) 8 ran (B ) = 2

( )
1 –2 3
C = –2 4 –6
12 –24 36
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a)
(3.ª) – 12 · (1.ª) ( 1
0
0
–2
0
0
3
0
0 ) 8 ran (C ) = 1

1
D= 2
3 ( ) 2
4
6
3
0
0
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.ª) ( 1
0
0
2
0
0
3
–6
–9 ) (1.ª)
(2.ª)
6 · (3.ª) – 9 · (2.ª)

( )1
0
0
2
0
0
3
–6
0
8 ran (D ) = 2

1
E= 0
0 ( ) 0
2
1
3
0
0
0
3
1
(1.ª)
(2.ª)
–2 · (3.ª) + (2.ª) ( 1
0
0
0
2
0
3
0
0
0
3
1 ) 8 ran (E ) = 3

0
F= 1
0 ( ) 0
0
1
1
0
0
8 ran (F ) = 3

s20 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de colum-
nas que son L.I.:

( ) ( )
1 –3 –1 –1 1 1 1 1

(
1 1 1 2
A = 2 3 5 11
1 –1 6 29 ) ( ) 2 1 3
B = 4 2 –1
6 3 2
C=
1
1
3
5 3 3
1 1 1
7 5 5
D=
1
1
1
–1 1 –1
1 –1 –1
1 1 –1

(
1 1 1 2
A = 2 3 5 11
1 –1 6 29 ) (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª) ( 1 1 1 2
0 1 3 7
0 –2 5 27 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 2 · (2.ª)

( 1 1 1 2
0 1 3 7
0 0 11 41 ) 8 ran (A) = 3

Hay 3 columnas linealmente independientes en A.

( )
2 1 3
B = 4 2 –1
6 3 2
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.ª) ( ) 2 1 3
0 0 –7
0 0 –7
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª) ( )
2 1 3
0 0 –7 8 ran (B) = 2
0 0 0

Hay 2 columnas linealmente independientes en B.

20

UNIDAD 2

( ) ( )
1 –3 –1 –1 (3.ª) 1 1 1 1 (1.ª)
1 5 3 3 (2.ª) 1 5 3 3 (2.ª) – (1.a)
C=
1 1 1 1 (1.ª) 1 –3 –1 –1 (3.a) – (1.ª)
3 7 5 5 (4.ª) 3 7 5 5 (4.ª) – 3 · (1.a)

( ) ( )
1 1 1 1 (1.ª) 1 1 1 1
0 4 2 2 (2.ª) 0 4 2 2
8 ran (C ) = 2
0 –4 –2 –2 (3.ª) + (2.a) 0 0 0 0
0 4 2 2 (4.ª) – (2.a) 0 0 0 0

Hay dos columnas linealmente independientes en C.

( ) ( )
1 1 1 1 (1.ª) 1 1 1 1
1 –1 1 –1 (2.ª) – (1.a) 0 –2 0 –2
D= 8 ran (D) = 4
1 1 –1 –1 (3.ª) – (1.a) 0 0 –2 –2
1 1 1 –1 (4.ª) – (1.a) 0 0 0 –2

Las cuatro columnas de D son linealmente independientes.

PARA RESOLVER

s21 Comprueba que A2
5 –4 2
= 2A – I, siendo A = 2 –1 1
– 4 4 –1
( ) e I la matriz unidad

de orden 3. Utiliza esa igualdad para calcular A4.

( )
£
9 –8 4 §
A2 = A · A =
§
4 –3 2 §
–8 8 –3 §
A2 = 2A – I
¢

( )( )( )
§
10 –8 4 1 0 0 9 –8 4 §
§
2A – I = 4 –2 2 – 0 1 0 = 4 –3 2 §
–8 8 –2 0 0 1 –8 8 –3 °

Calculamos A 4:

A 4 = (A 2 ) 2 = (2A – I ) 2 = (2A – I )(2A – I ) = 4A 2 – 2A – 2A + I 2 =

= 4(2A – I ) – 4A + I = 8A – 4I – 4A + I = 4A – 3I =

=4
( 5 –4 2

) ( )
1 0 0
2 –1 1 – 3 0 1 0 =
–4 4 –1 0 0 1

=
( 20 –16 8

–16 16 –4
3 0 0

0 0 3 )( )(
17 –16 8
8 –4 4 – 0 3 0 = 8 –7 4
–16 16 –7 )
21

s22 Dada la matriz A = ( )
1 2
2 1
, halla una matriz B tal que A · B =
0 3
3 0
. ( )
A·B= ( )
0 3
3 0
8 A –1 AB = A–1 · ( )
0 3
3 0
8 B=A· ( )
0 3
3 0

Calculamos A –1: | A | = –3; A –1 =
–1 1 –2
3 –2 1 ( )
Por tanto:

B=
–1 1 –2
3 –2 1 (
·
0 3
3 0
= )( ) (
1 –2
–2 1
·
0 –1
–1 0
=
2 –1
–1 2 )( ) ( )
0 2 –1

( )
s23 Dada la matriz A = 0 0 1 , prueba que A3 es la matriz nula.
0 0 0
Demuestra después que la matriz I + A + A2 es la matriz inversa de I – A.
☛ Multiplica I + A + A2 por I – A.

( )
0 0 2

0 0 0
0 0 0
A2 = 0 0 0 ; A3 = A2 · A = 0 0 0
0 0 0 ( )
Veamos que I + A + A 2 es la inversa de I – A:

(I + A + A 2) (I – A) = I – A + A – A 2 + A 2 – A 3 = I – A 3 = I – 0 = I.

Como (I + A + A 2) · (I – A) = I, entonces I + A + A 2 es la inversa de I – A.

s24 Calcula An y B n siendo:

A= 0 1
0 0(
1 1/7 1/7
0
1 ) B= ( )
1 0
0 3

• A2 = A · A = 0 1 0
0 0 1 (
1 1/7 1/7

)(1 1/7 1/7

0 0 1 )(
1 2/7 2/7
0 1 0 = 0 1 0
0 0 1 )
1 2/7 2/7
A3 = A2 · A = 0 1 0
0 0 1 ( )( 1 1/7 1/7

0 0 1 )(
1 3/7 3/7
0 1 0 = 0 1 0
0 0 1 )
(
1 n/7 n/7

)
Así, A n = 0 1 0 . Lo probamos por inducción:
0 0 1
Acabamos de comprobar que para n = 2 (primer caso relevante), funciona.

22

UNIDAD 2

Suponemos que es cierto para n – 1:

0 (
1 n – 1/7 n – 1/7
An = An – 1 · A = 0 1
0
0
1 )(
1 1/7 1/7 1 n/7 n/7
· 0 1 0 = 0 1 0
0 0 1 0 0 1 )( )
• B2 = ( )( ) ( ) ( )
1 0
0 3
1 0
0 3
=
1 0
0 32
=
1 0
0 9

( )( ) ( ) ( )
B3 = B2 · B =
1 0
0 9
1 0
0 3
=
1 0
0 27
=
1 0
0 33

( )
Por tanto, B n =
1 0
0 3n
. Lo probamos por inducción:

Igual que en el caso anterior, para n = 2 se cumple.
Suponemos que es cierto para n – 1:

Bn = Bn – 1 · B = ( 1 0
0 3n – 1 )( ) ( )
·
1 0
0 3
=
1 0
0 3n

4 5 –1

( )
s25 Dada la matriz A = –3 – 4 1 , calcula A2, A3, …, A128.
–3 – 4 0

(
4 4 1

0 1 –1 ) 1 0 0

( )
A 2 = A · A = –3 –3 –1 ; A 3 = A 2 · A = 0 1 0 = I; A 4 = A 3 · A = I · A = A
0 0 1

( 4 4 1
A 128 = A 42 · 3 + 2 = (A 3) 42 · A 2 = I 42 · A 2 = I · A 2 = A 2 = –3 –3 –1
0 1 –1 )
26 Determina, si es posible, un valor de k para que la matriz (A – k I)2 sea la
matriz nula, siendo:

( ) 0 –1 –2
A = –1 0 –2
1 1 3

( )( )( )
0 –1 –2 k 0 0 –k –1 –2
A – k I = –1 0 –2 – 0 k 0 = –1 –k –2
1 1 3 0 0 k 1 1 3–k

( )( ) (
–k –1 –2
(A – k I ) 2 = –1 –k –2
1 1 3–k
–k –1 –2 k2 – 1
–1 –k –2 = 2k – 2
1 1 3–k 2 – 2k
2k – 2
k2 – 1
2 – 2k
4k – 4
4k – 4
k 2 – 6k + 5
=
)
( )
0 0 0
= 0 0 0
0 0 0
8 k=1

23

27 Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:

( ) ( )
1 –2 1
A= 0 1 0
–1 3 0
1 0 0
B = –1 1 –1
2 1 1

• A=
( )
1 –2 1
0 1 0
–1 3 0

( 1 –2 1
0 1 0
–1 3 0 ) 1
0
0 (
0
1
0
0
0
1
(1.ª) + 2 · (2.a)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
1 0 1 1 2 0
0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 1 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)

( 1
0
0
0
1
0 )
1
0
1 (
1 2 0
0 1 0
1 –1 1
(1.ª) – (3.a)
(2.ª)
(3.ª)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0 3 –1
0 1 0
1 –1 1 )
A –1 =
( ) 0 3 –1
0 1 0
1 –1 1

( )( ) ( )
Comprobación:
1 –2 1
0 1 0
–1 3 0
0 3 –1
0 1 0 =
1 –1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

( )
1 0 0
• B = –1 1 –1
2 1 1

( 1 0 0 1
–1 1 –1 0
2 1 1 0 ) (0
1
0
0
0
1
(1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
1 0 0 1 0 0
0 1 –1 1 1 0
0 1 1 –2 0 1 ) (1.ª)
(2.ª) + (3.a)
(3.ª)

( 1
0
0
0
2
1 )
0 1 0
0 –1 1
1 –2 0 ( 0
1
1
(1.ª)
(2.ª)
2 · (3.ª) – (2.ª)
1
0
0
0
2
0
0 1 0 0
0 –1 1 1
2 –3 –1 1 ) (1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª) : 2

( 1
0
0
0
1
0
0
0
1 )1 0
–1/2 1/2
–3/2 –1/2
0
1/2
1/2

1

(
B –1 = –1/2
–3/2 ) 0
1/2
–1/2
0
1/2
1/2

( )(
1 0 0
Comprobación: –1 1 –1
2 1 1 )( 1
–1/2
–3/2
0
1/2
–1/2
0
1/2 =
1/2
1
0
0
0
1
0
0
0
1 )
24

UNIDAD 2

28 Halla la matriz X en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) A 2X – B = AX, siendo:

(
1 0 –1
A= 2 1 0
–1 1 –1 ) ( 2 –1 0
B = 1 3 –1
0 1 –1 )
b) ABX = ()
4
2
, siendo:

A= ( –2 –1 1
–1 0 1 ) ( )
1 –1
B= 2 0
–2 1

a) A 2X – B = AX 8 A 2X – AX = B 8 (A 2 – A )X = B 8 X = (A 2 – A )–1 · B
123
C

A2 =
( )( ) ( )
1 0 –1 1 0 –1
2 1 0 · 2 1 0 =
–1 1 –1 –1 1 –1
2 –1 –2
4 1 –2
0 2 2

C= (A 2
( )( )(
– A) =
2 –1 –2 1 0 –1 1 –1 –1
4 1 –2 – 2 1 0 = 2 0 –2
0 2 2 –1 1 –1 1 1 1 )
|
1 –1 –1
|C | = 2 0 –2 = 4
1 1 1
|
C11 = | 0 –2 | = 2;
1 1
C12 = – | 2 –2 | = –4;
1 1
C13 = | 2 0| = 2
1 1

= –|
1 1|
=|
1 1|
= –|
1 1|
–1 –1 1 –1 1 –1
C21 = 0; C22 = 2; C23 = –2

=|
0 –2 |
= –|
2 –2 |
=|
2 0|
–1 –1 1 –1 1 –1
C31 = 2; C32 = 0; C33 =2

Adj (C ) =
( 2 –4 2

2 0 2 ) 2 0 2
0 2 –2 ; [Adj (C )]t = –4 2 0
2 –2 2 ( )
C –1 =
( 1/2
–1
1/2
0
1/2
–1/2
1/2

)
0 = (A 2 – A )–1
1/2

X = C –1 · B =
( 1/2
–1
1/2
0
1/2
–1/2
1/2

1/2 )(
2 –1 0

0 1 –1
1

)(
0

1/2 –3/2
–1/2
0 · 1 3 –1 = –3/2 5/2 –1/2
0 )
25

b) Como A · B · X = ()
4
2
, BX = A –1
4
2 () ò X = B –1 A –1 () 4
2
Además, sabemos que B –1 A –1 = (AB )–1.

)( )(
1 –1
Tenemos que AB = ( –2 –1 1
–1 0 1
2 0 =
–2 1
–6 3
–3 2 ) y que | AB | = –12 + 9 = –3.

Así:

(AB )–1 = ( –2/3
–1 ) 1
2
Por tanto:

X = (AB )–1 () (
4
2
=
–2/3
–1
1
2 )( ) ( )
4
2
=
–2/3
0

s29 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k :

( ) ( ) ( ) (
1 –1 –1
M = 1 –1 2
2 1 k
2 –1 4
N = –2 1 3
1 k 2
1 3 2 –1
P= 2 6 4 k
4 12 8 – 4
–1 1 0 2
Q= 1 3 1 0
2 10 3 k )
( )
1 –1 –1
M = 1 –1 2
2 1 k ( ) (1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
1 –1 –1
0 0 3
0 3 k+2
8 ran (M ) = 3
para cualquier valor de k.

( )
2 –1 4
N = –2 1 3
1 k 2 ( ) (1.ª)
(2.ª) + (1.a)
2 · (3.ª) – (1.ª)
2
0
–1
0
0 1 + 2k
4
7
0
8 1 + 2k = 0 si k = –
1
2

1
• Si k = – , ran (N ) = 2.
2
1
• Si k ? – , ran (N ) = 3.
2

(
1 3 2 –1
P= 2 6 4 k
4 12 8 –4 ) (1.ª)
(3.ª) : 4
(2.ª) ( 1 3 2 –1
1 3 2 –1
2 6 4 k ) (1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª) ( 1 3 2 –1
0 0 0 0
0 0 0 k+2 )
• Si k = –2 8 ran (P) = 1
• Si k ? –2 8 ran (P) = 2

Q=
( –1 1 0 2
1 3 1 0
2 10 3 k ) (1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) + 2 · (1.ª) ( –1 1 0 2
0 4 1 2
0 12 3 k + 4 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.ª)

( –1 1 0 2
0 4 1 2
0 0 0 k–2 )
• Si k = 2 8 ran (Q) = 2
• Si k ? 2 8 ran (Q) = 3

26

UNIDAD 2

s30 En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen
4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 gran-
des, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes.

Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 crista-
les y 6 bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas
de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de
cada tipo de ventana.

b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de ca-
da tipo de vivienda.

P G C B
L3 4
a) L4 5
L5 6 ( ) 3
4 ; P 2
5 G 4 ( )
4
6

P G C B
C B
L3 4
b) L4 5
L5 6 ( ) 3

( )
L3 20 34
( )
4 · P 2 4 = L4 26 44
5 G 4 6 L5 32 54

Página 70
s31 Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas (O).
De cada tipo se hacen cuatro modelos: M1, M2, M3 y M4.
T O

( )
M1 300 200
M2 400 250
M3 250 180
M4 500 300

Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo.

El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2% en el modelo M1, el 5% en
el M2, el 8% en el M3 y el 10% en el M4.

Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opa-
cas, buenas y defectuosas, que se producen.

T O

( )
M1 M2 M3 M4 M1 300 200 T O T O

(
D 0,02 0,05 0,08 0,1 · M2
B 0,98 0,95 0,92 0,9 M3
M4
) 400
250
500
250 = D
180
300
(96 60,9 ≈ D
B 1 354 869,1 ) (96 61
B 1 354 869 )
27

s32 Halla todas las matrices X de la forma
( )
a 1 0
0 b 1
0 0 c
1 0 1

( )
tales que X 2 = 0 1 0 .
0 0 1

X2
( )( ) (
a 1 0
= 0 b 1
0 0 c
a 1 0 a2 a + b 1
0 b 1 = 0
0 0 c 0
b
0
2
1 0 1
b+c = 0 1 0
c2 0 0 1 )( )
a2 = 1 ° a = ±1 °
§ §
a+b=0§ a = –b §
§ §
b2 = 1 ¢ b = ±1 ¢ a = 1 8 b = –1 8 c = 1
§ § a = –1 8 b = 1 8 c = –1
b+c=0 § c = –b §
§ c = ±1 §
c2 = 1 £ £

Hay dos soluciones:
( ) (
1 1 0
0 –1 1
0 0 1
y
–1 1 0
0 1 1
0 0 –1 )
s33 Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A · X = X · A,

siendo A = ( )
1 1
0 1
. Después, calcula A 2 + 2A–1 · X.
£ £

X= ( )
a b
8
§
§
¢
§
A·X= ( )( ) (
1 1 a b
0 1 c d
=
a+c b+d
c d ) §
§
¢
§ han de ser iguales.
c d
( )( ) ( )
§ §
a b 1 1 a a+b
° X·A= = °
c d 0 1 c c+d

a+c=a ° c=0 °

d=c+d
§
b+d=a+b¢ d=a
§
£ c=0
§
¢
§
£
X= ( )
a b
0 a
, con a, b é Á

A 2 + 2A –1 · X = ( ) ( )( ) ( ) (
1 2
0 1
+2
1 –1
0 1
a b
0 a
=
1 2
0 1
+2
a b–a
0 a
= )
= (
1 + 2a
0 ) 2 + 2b – 2a
1 + 2a
(Observamos que la matriz que hemos obtenido también es de las que conmutan
con A).

s34 Sean A y B las matrices dadas por:

( ) ( )
5 2 0
A= 2 5 0
0 0 1
a b 0
B= c c 0
0 0 1
a) Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b, c
para que se verifique A · B = B · A.
b) Para a = b = c = 1, calcula B10.

28

UNIDAD 2

( )( ) (
5 2 0
a) A · B = 2 5 0
0 0 1
a b 0 5a + 2c 5b + 2c 0
c c 0 = 2a + 5c 2b + 5c 0
0 0 1 0 0 1 )
a b 0
B·A= c c 0
0 0 1 ( )( ) ( 5 2 0
2 5 0 =
0 0 1
5a + 2b 2a + 5b 0
7c
0
7c
0
0
1 )
Para que A · B = B · A, debe cumplirse que:
5a + 2c = 5a + 2b ° c=b °
§ §
5b + 2c = 2a + 5b § c=a §
¢ ¢ a=b=c
2a + 5c = 7c § 7c = 7c §
§ §
2b + 5c = 7c £ 7c = 7c £

( )
1 1 0
b) B = 1 1 0
0 0 1

( )(
1 1 0
B2 = 1 1 0
0 0 1
1 1 0 2 2 0
1 1 0 = 2 2 0
0 0 1 0 0 1)( )
( 2 2 0
B3 = B2 · B = 2 2 0
0 0 1 )( ) ( ) (
1 1 0 4 4 0 22
1 1 0 = 4 4 0 = 22
0 0 1 0 0 1 0
22
22
0
0
0
1 )
(2 2 0
B4 = B2 · B2 = 2 2 0
0 0 1 )( ) ( ) (
2 2 0 8 8 0 23
2 2 0 = 8 8 0 = 23
0 0 1 0 0 1 0
23
23
0
0
0
1 )
Así,
(
B 10
29
= 29
0
29
29
0
0
)
0 .
1

s35 Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su
traspuesta. Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal:

☛ Haz A · At = I.
A=
( 3/5 x

0 0
0
y –3/5 0
1 )
Si A –1 = A t, ha de ser A · A t = I; entonces:

A· At =
(3/5 x

0 0 1
0

)(
3/5 y

0 0 1
0
y –3/5 0 · x –3/5 0 =
)
( 9/25 + x 2
= (3/5)y – (3/5)x
0
(3/5)y – (3/5)x
y 2 + 9/25
0
0
0
1)( )
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1

29

9 ° x 2 = 16 ° x = ± 4 °
+ x2 = 1 §
25 § 25 § 5
§ § ¢
3 3 § § y=x §
y– x=0 ¢ y=x ¢ £
5 5 § §
9 § 16 §
y2 + = 1 § y2 = §
25 £ 25 £

4 4 4 4
Hay dos soluciones: x1 = , y1 = ; x2 = – , y2 = –
5 5 5 5

s36 Resuelve la siguiente ecuación matricial:

( ) ( ) ( ) 1 1
3 4
·X·
4 –2
–1 0
=
6 4
22 14

( ) ( )( ) ( )
1 1
3 4
–1
=
4 –1
–3 1
;
4 –2
–1 0
–1
=
0 –1
–1/2 –2

Por tanto:

( ) (
1 1
3 4
·X·
4 –2
–1 0
=
6 4
22 14 ) ( ) 8 X= ()( 4 –1
–3 1
·
6 4
)(
22 14
·
0 –1
–1/2 –2
= )
( )(
=
2 2
4 2
·
0 –1
–1/2 –2
=
–1 –6
–1 –8) ( )
Solución: X = ( )
–1 –6
–1 –8

CUESTIONES TEÓRICAS

s37 Justifica por qué no es cierta la igualdad:
(A + B) · (A – B) = A2 – B2
cuando A y B son dos matrices cualesquiera.
(A + B) · (A – B) = A 2 – AB + BA – B 2
Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB = BA; y, en general, no es
cierto para dos matrices cualesquiera.

s38 Sea A una matriz de dimensión 2 Ò 3:
a) ¿Existe una matriz B tal que A · B sea una matriz de una sola fila?
b) ¿Y para B · A ?
Pon un ejemplo para cada caso, siendo:

A= ( 1 0 0
2 1 0 )
30

UNIDAD 2

a) No; A · B tendrá 2 filas necesariamente. Por ejemplo, tomando A = ( 1 0 0
2 1 0 )
1

()
y B = 2 , tenemos que: A · B =
0
1
4 ()
b) Sí; si tomamos una matriz de dimensión 1 Ò 2 (ha de tener dos columnas para
poder multiplicar B · A), el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo:

Si A = ( 1 0 0
2 1 0 ) y B = (1 2), entonces B · A = (5 2 0)

s39 Sean A y B dos matrices cuadradas de igual orden. Si A y B son simétri-
cas, ¿lo es también su producto A · B ?
Si la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contra-
ejemplo.
Si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su produc-
to, A · B, no tiene por qué ser una matriz simétrica. Por ejemplo:

( ) ( )
1 2 0
Si A = 2 1 1
0 1 1
y B=
–1 3 1
3 –1 0
1 0 –1
8
( )
5 1 1
A·B= 2 5 1
4 –1 –1
no es simétrica.

( )0 3 4
s40 Dada la matriz A = 1 – 4 –5 , prueba que se verifica A3 + I = 0 y utiliza
–1 3 4
esta igualdad para obtener A10.
☛ Haz A10 = (A3)3 · A y ten en cuenta que A3 = – I.

A2 =
(
–1 0 1

) (
–1 0 0
1 4 4 ; A 3 = 0 –1 0
–1 –3 –3 0 0 –1 ) 8 A3
( )
0 0 0
+I= 0 0 0
0 0 0

Obtenemos A 10 (teniendo en cuenta que A 3 + I = 0 8 A 3 = –I ):

(
0 –3 –4
A 10 = (A 3 ) 3 · A = (–I ) 3 · A = –I · A = –A = –1 4 5
1 –3 –4 )
s41 Sea A una matriz de dos filas y dos columnas cuyo rango es 2. ¿Puede va-
riar su rango si le añadimos una fila o una columna?
No, porque el número de filas linealmente independientes coincide con el núme-
ro de columnas linealmente independientes. Si añadimos una fila, A seguiría te-
niendo dos columnas; y si añadimos una columna, A seguiría teniendo dos filas.
Por tanto, el rango seguirá siendo 2.

31

s42 Una matriz de 3 filas y 3 columnas tiene rango 3.
a) ¿Cómo puede variar el rango si quitamos una columna?
b) Si suprimimos una fila y una columna, ¿podemos asegurar que el rango
de la matriz resultante será 2?
a) Tendrá rango 2.
b) No. Podría ser 2 ó 1. Por ejemplo:
1 1 1
Si en A = 0 1 1
0 0 1 ( ) suprimimos la 1.a fila y la 3.a columna, queda ( )
0 1
0 0
,

que tiene rango 1 (A tenía rango 3).

43 Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que aij = 0 si i ? j (A es una
matriz diagonal).
Prueba que el producto de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.

( ) ( )
a11 0 0 b11 0 0
Si A = 0 a22 0 y B= 0 b22 0 , su producto es:
0 0 a33 0 0 b33

( )
a11b11 0 0
A·B= 0 a22b22 0 , que también es una matriz diagonal.
0 0 a33b33

s44 Definimos la traza de una matriz cuadrada A de orden 2 como:
tr (A) = a11 + a22
Prueba que si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, entonces:
tr (A · B ) = tr (B · A)

Si A = (a11 a12
a21 a22 ) y B= ( b11 b12
b21 b22); entonces:

°
A·B= ( a11b11 + a12b21
a21b11 + a22b21
a11b12 + a12b22
a21b12 + a22b22 ) 8 §
§
§
§
8 tr (A · B) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22 §
§
¢
B·A= ( b11a11 + b12a21
b21a11 + b22a21
b11a12 + b12a22
b21a12 + b22a22 ) 8
§
§
§
§
8 tr (B · A) = a11b11 + a21b12 + a12b21 + a22b22 §
§
£
Por tanto, tr (A · B) = tr (B · A).

32

UNIDAD 2

Página 71

PARA PROFUNDIZAR
45 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden.
De la igualdad A · B = A · C no puede deducirse, en general, que B = C.
a) Prueba esta afirmación buscando dos matrices B y C distintas tales que:

A · B = A · C, siendo A = ( )
1 1
1 1
b) ¿Qué condición debe cumplir la matriz A para que de A · B = A · C se pue-
da deducir que B = C ?

a) Por ejemplo, si B = ( )
1 –1
2 3
y C= ( )
3 1
0 1
, entonces:

A·B= ( )3 2
3 2
= A · C, pero B ? C.

b) Debe existir A –1.

s46 a) Si A es una matriz regular de orden n y existe una matriz B tal que
AB + BA = 0, probar que BA–1 + A–1B = 0.

b) Si A = ( –3 –2
4 3 )
, halla una matriz B ? 0 tal que AB + BA = 0.

a) Multiplicamos por A –1 por la izquierda en la igualdad:
AB + BA = 0 8 A –1AB + A –1BA = 0 8 B + A –1BA = 0
Ahora multiplicamos la igualdad obtenida por A –1 por la derecha:
BA –1 + A –1BAA –1 = 0 8 BA –1 + A –1B = 0

b) Si B = ( ) a b
c d
, entonces:

A·B= ( )( ) (
–3 –2
4 3
·
a b
c d
=
–3a – 2c
4a + 3c
–3b – 2d
4b + 3d )
B·A= ( )( ) (
a b
c d
·
–3 –2
4 3
=
–3a + 4b
–3c + 4d
–2a + 3b
–2c + 3d )
Así:

AB + BA = ( –6a + 4b – 2c
4a + 4d
–2a – 2d
) ( )
4b – 2c + 6d
=
0 0
0 0

–6a + 4b – 2c =0 ° 3a – 2b + c =0
§ a + d=0°
–2a – 2d = 0 § d = –a
¢ a + d=0¢ £
4a + 4d = 0 §
§ 2b – c + 3d = 0 8 3a – 2b + c = 0 8
4b – 2c + 6d = 0 £ 8 c = –3a + 2b

33

Por tanto: B = ( a b
–3a + 2b –a )
, a?0 y b?0

Por ejemplo, con a = 1 y b = 1, queda B = ( 1 1
–1 –1).

s47 Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de I y de – I, cuya inversa
coincida con su traspuesta.

Sea A = ( )
a b
c d
. Si su inversa, A–1, coincide con su traspuesta, At, ha de tenerse que

A · At = I. Es decir:

A · At = ( )( ) (
a b
c d
·
a c
b d
2 2
= a + b ac + bd =
ac + bd c 2 + d 2
1 0
0 1 ) ( )
a2 + b2 = 1 °
§
ac + bd = 0 ¢ Por ejemplo, obtenemos, entre otras:
§
c2 + d2 = 1 £
0 1 0 –1
;
1 0 1 0
; ( )( )( )( )
0 1
;
0 –1
–1 0 –1 0

s48 a) Obtén la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimétrica
(A t = –A ).
b) Los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son ce-
ros. Demuéstralo.

a) Si A = ( )
a b
c d
, entonces A t =
a c
b d ( ) y –A = ( –a –b
–c –d )
.

Para que A t = –A, ha de ser:
a = –a ° a = 0
§
( ) (
a c
b d
=
–a –b
–c –d ) 8
c = –b § c = –b
¢
b = –c §
§
d = –d £ d = 0

Por tanto, una matriz antisimétrica de orden 2 es de la forma ( )
0 b
–b 0
.

b) • Si A = (aij )n Ò n, los elementos de su diagonal principal son aii , i = 1, 2, …, n.

• La traspuesta es A t = (aji)n Ò n; los elementos de su diagonal principal también
serán aii (los mismos que los de A).

• La opuesta de la traspuesta es –A t = (aji)n Ò n; los elementos de su diagonal
principal serán –aii.

• Para que –A t = A, han de ser aii = –aii; por tanto, aii = 0, i = 1, …, n (es
decir, los elementos de la diagonal principal son ceros).

34

UNIDAD 2

49 Una matriz cuadrada es mágica de suma k cuando la suma de los elemen-
tos de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es, en todos los ca-
sos, igual a k.

¿Cuánto vale k si una matriz mágica es antisimétrica? Halla todas las ma-
trices mágicas antisimétricas de orden 3.

• Hemos visto en el ejercicio anterior que, en una matriz antisimétrica, los elemen-
tos de la diagonal principal son ceros. Por tanto, si la matriz es antisimétrica,
k = 0.

• Buscamos las matrices mágicas antisimétricas de orden 3: (sabemos que, en es-
te caso, la suma ha de ser cero).

Veamos cómo es una matriz antisimétrica de orden 3:

( )
a b c
A= d e f
g h i ( )
a d g
8 At = b e h
c f i
· A antisimétrica si A t = –A; es decir:

( )( )
a d g –a –b –c ° a = –a b = –d c = –g
§
b e h = –d –e –f 8 ¢ d = –b e = –e f = –h
c f i –g –h –i §
£ g = –c h = –f i = –i

Luego, una matriz antisimétrica de orden 3 es de la forma:

(
0 b
A = –b 0
–c –f
c
f
0 )
Para que A sea mágica, ha de tenerse que:
b + c = 0 ° –b – c = 0 °
§ § ° c = –b
–b + f = 0 ¢ b – f = 0 ¢ , es decir: ¢
§
–c – f = 0 £ c + f = 0 £
§ £f= b

Por tanto, las matrices mágicas antisimétricas de orden 3 son de la forma:

(
0 b –b

)
A = –b 0 b , con b é Á.
b –b 0

50 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 0.

Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma:

( )
a b c
A= b d e
c e f
(pues A = A t ). Para que sea mágica con k = 0, ha de ser:

35

) )
a+b+ c =0°
§ 1 1 1 0 0 0 0 (1.ª)
b +d+e =0§ 0 1 0 1 1 0 0 (2.ª)
§
c +e+f=0¢ 0 0 1 0 1 1 0 8 (3.ª)
§ 1 0 0 1 0 1 0 (4.ª) – (1.a)
a +d +f=0§
0 0 2 1 0 0 0 (5.ª)
2c + d =0§
£

) )
1 1 1 0 0 0 0 (1.ª)
0 1 0 1 1 0 0 (2.ª)
0 0 1 0 1 1 0 8 (3.ª)
0 –1 –1 1 0 1 0 (4.ª) + (2.a)
0 0 2 1 0 0 0 (5.ª)

) )
1 1 1 0 0 0 0 (1.ª)
0 1 0 1 1 0 0 (2.ª)
0 0 1 0 1 1 0 8 (3.ª)
0 0 –1 2 1 1 0 (4.ª) + (3.a)
0 0 2 1 0 0 0 (5.ª) – 2 · (3.a)

) )
1 1 1 0 0 0 0 (1.ª)
0 1 0 1 1 0 0 (2.ª)
0 0 1 0 1 1 0 8 (3.ª)
0 0 0 2 2 2 0 (4.ª) : 2
0 0 0 1 –2 –2 0 (5.ª) + (4.a)

) )
°a + b + c =0 8 a = –b – c = –f
1 1 1 0 0 0 0 §
0 1 0 1 1 0 0 § b + d+e =0 8 b = –e = f
§
0 0 1 0 1 1 0 8 ¢ c +e+f =0 8 c=0
0 0 0 1 1 1 0 §
§ d+e+f =0 8 e = –f
0 0 0 3 0 0 0 §
£ 3d =0 8 d=0

Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 0, es de la forma:

A=
( –f f 0

)
f 0 –f , con f é Á
0 –f f

51 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 3.

a b c
Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A = b d e
c e f ( )
Para que sea mágica con k = 3, ha de ser:

36

UNIDAD 2

) )
a+b+ c =3°
§ 1 1 1 0 0 0 3 (1.ª)
b +d+e =3§ 0 1 0 1 1 0 3 (2.ª)
§
c +e+f=3¢ 0 0 1 0 1 1 3 8 (3.ª)
§ 1 0 0 1 0 1 3 (4.ª) – (1.a)
a +d +f=3§
0 0 2 1 0 0 3 (5.ª)
2c + d =3§
£

) )
1 1 1 0 0 0 3 (1.ª)
0 1 0 1 1 0 3 (2.ª)
0 0 1 0 1 1 3 8 (3.ª)
0 –1 –1 1 0 1 0 (4.ª) + (2.a)
0 0 2 1 0 0 3 (5.ª)

) )
1 1 1 0 0 0 3 (1.ª)
0 1 0 1 1 0 3 (2.ª)
0 0 1 0 1 1 3 8 (3.ª)
0 0 –1 2 1 1 3 (4.ª) + (3.a)
0 0 2 1 0 0 3 (5.ª) – 2 · (3.a)

) ) ) )
1 1 1 0 0 0 3 (1.ª) 1 1 1 0 0 0 3
0 1 0 1 1 0 3 (2.ª) 0 1 0 1 1 0 3
0 0 1 0 1 1 3 8 (3.ª) 0 0 1 0 1 1 3
0 0 0 2 2 2 6 (4.ª) : 2 0 0 0 1 1 1 3
0 0 0 1 –2 –2 –3 (5.ª) + (4.a) 0 0 0 3 0 0 3

°a + b + c =3 8 a=3–b–c=3–f–1=2–f
§
§ b + d+e =3 8 b=3–d–e=3–1–2+f=f
§
¢ c +e+f =3 8 c=3–e–f=3–2+f–f=1
§
§ d+e+f =3 8 e=3–d–f=3–1–f=2–f
§ 3d =3 8 d=1
£

Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 3, es de la forma:

A=
( 2–f
f
1
f
1
2–f
1
2 – f , con f é Á
f )
2 0 1
Por ejemplo, con f = 0, queda: A = 0 1 2
1 2 0 ( )

37

AUTOEVALUACIÓN

1. Calcula la matriz M = P 2 – 3P – 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y

P= ( )
–1 3
2 1
.

P2 = P · P = ( )( ) ( )
–1 3
2 1
–1 3
2 1
=
7 0
0 7
°
§
§
§
§ M= ( ) ( ) ( )
7 0
–
–3 9
–
2 0

3P = 3 ( ) ( )
–1 3
2 1
=
–3 9
6 3
§
¢
§
§ M=
0 7

( )
8 –9
6 3 0 2

§ –6 2
2I = 2 ( ) ( )
1 0
0 1
=
2 0
0 2
§
§
£

2. Calcula las matrices A y B que verifican:

A+B= ( 3 2 1
3 1 3 )
2A – 2B = ( –6 0 2
2 2 2 )
1
• Multiplicamos por los dos miembros de la segunda ecuación y sumamos
2
después las dos ecuaciones:

A–B= ( –3 0 1
1 1 1 )
A + B + (A – B ) = 2A = ( 0 2 2
4 2 4 ) 8 A= ( 0 1 1
2 1 2 )
• Despejamos B en la primera ecuación:

B= ( 3 2 1
3 1 3
– ) (
0 1 1
2 1 2
=
3 1 0
1 0 1 ) ( )

38

UNIDAD 2

1 2 1
3. a) Halla la inversa de la matriz siguiente: A = 0 1 0
2 0 3 ( )
b) Calcula la matriz X que verifica XA = B, siendo A la matriz anterior y
B = (1 –1 0).
Resolución

(
1 2 1 1 0 0
a) A = 0 1 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1 ) (1.ª) – 2 · (2.a)
(2.ª)
(3.ª) ( 1 0 1 1 –2 0
0 1 0 0 1 0
2 0 3 0 0 1 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (1.a)

( 1
0
0
0
1
0
1 1 –2 0
0 0 1 0
1 –2 4 1 ) (1.ª) – (3.a)
(2.ª)
(3.ª) ( 1
0
0
0
1
0
0 3 –6 –1
0 0 1 0
1 –2 4 1 )
(
3 –6 –1
A –1 = 0 1 0
–2 4 1 )
b) XA = B 8 XAA –1 = BA –1 8 X = BA –1
3 –6 –1

(
X = (1 –1 0) 0 1 0 = (3 –7 –1)
–2 4 1 )
4. Determina a y b de forma que la matriz A = ( )
2 –1
a b
verifique A2 = A.

A2 = A · A = ( )( ) (
2 –1
a b
2 –1
a b
=
4–a –2 – b
2a + ab –a + b 2 )
°4 – a = 2 8 a=2
§
A2 = A 8 ( 4–a –2 – b
2a + ab –a + b 2 ) ( )
=
2 –1
a b
§ –2 – b = –1
8 ¢
§ 2a + ab = a
§
8
8
b = –1
4–2=2
2 8
£ –a + b = b –2 + 1 = –1

Por tanto, a = 2 y b = –1.

5. Halla el valor de k para que el rango de la matriz A sea 2.

(
5 –5 – 6
A = –5 3 –1
0 k 7 )
(
5 –5 –6
A = –5 3 –1
0 k 7 ) (1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) ( 5 –5 –6
0 –2 –7
0 k 7 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.a) ( 5 –5 –6
0 –2 –7
0 k–2 0 )
Para que ran (A) = 2, ha de ser k – 2 = 0; es decir, k = 2.

39

6. Razona si es posible añadir una fila a la matriz de forma que la nueva matriz
tenga rango 4.

( 1 2 0 3
0 1 –1 –2
2 7 –3 0 )
Calculemos el rango de la matriz dada:

( 1 2 0 3
0 1 –1 –2
2 7 –3 0 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (1.a) ( 1 2 0 3
0 1 –1 –2
0 3 –3 –6 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.a) ( 1 2 0 3
0 1 –1 –2
0 0 0 0 )
Tiene rango 2; luego, añadiendo una fila, la matriz resultante no podrá tener rango 4
(tendría rango 2 ó 3).

( )
7. Calcula A22 – 12A2 + 2A, siendo A =
1 a
0 1
.

A= ( )
1 a
0 1 ( )( ) ( )
8 A2 =
1 a
0 1
1 a
0 1
=
1
0
2a
1

( )( ) ( )
A3 = A2 · A =
1
0
2a
1
1 a
0 1
=
1
0
3a
1

( )( ) ( )
A4 = A2 · A2 =
1
0 ( )
2a
1
1
0
2a
1
=
1
0
4a
1
8 An =
1 na
0 1

A22 = ( )
1 22a
0 1

( ) ( ) ( )
A22 – 12A2 + 2A =
1 22a
0 1
– 12
1
0
2a
1
+2
1 a
0 1
=

( =) ( )
1 – 12 + 2 22a – 24a + 2a
0 1 – 12 + 2
=
–9 0
0 –9

8. La tabla adjunta muestra la cantidad de vitaminas A, B y C que posee cada uno
de los productos P, Q, R, S por unidad de peso:
A B C

( )
P 1 2 0
Q 1 0 2
R 2 1 0
S 1 1 1
a) Queremos elaborar una dieta en la que entren todos los productos, de mane-
ra que contenga 20 unidades de vitamina A, 25 de vitamina B y 6 de C.
¿Es posible hacerlo? ¿De cuántas formas?

40

UNIDAD 2

b) Obtén, en función de la cantidad de Q que entre en la dieta, las cantidades
de los otros productos.
¿Entre qué valores habría de estar la cantidad de producto Q?
a) Llamemos (x y z t ) a las cantidades de cada uno de los productos P, Q, R y S
que intervienen en la dieta.
Para que la dieta tenga las cantidades de vitaminas requeridas, debe cumplirse la
siguiente igualdad:
A B C

( )
P Q R S P 1 2 0 A B C
(x y z t ) · Q 1 0 2 = (20 25 6)
R 2 1 0
S 1 1 1

Multiplicando e igualando las matrices, llegamos al sistema:
° x + y + 2z + t = 20
§
¢ 2x + z + t = 25
§
£ 2y +t = 6

Mediante el método de Gauss, podemos comprobar que el sistema es compatible
indeterminado.
Por ello, pueden elaborarse infinitas dietas de los productos P, Q, R, S con las vi-
taminas exigidas.

b) Resolvemos el sistema en función de y (cantidad de producto Q que interviene
en la dieta).
Hacemos y = l y obtenemos las soluciones (8 + l, l, 3, 6 – 2l), que nos
indican la cantidad de P, Q, R y S que forman cada una de las posibles dietas.
Para que estas cantidades no sean negativas, l debe variar entre 0 y 3. Es decir:
0<l<3

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