Sol08

8 REPRESENTACIÓN
DE FUNCIONES

Página 185

REFLEXIONA Y RESUELVE

Descripción de una gráfica

■ Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar
la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coor-
denados dibujados en papel cuadriculado.

(La solución está en el propio ejercicio).

■ Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva,
lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones:
• lím f (x) = – @
x 8 –@

• lím f (x) = 2
x 8 +@

• lím f (x) = – @
x 8 2–

• lím f (x) = +@
x 8 2+

• f (0) = 4; f' (0) = 0

• f (–5) = 0; f (1,75) = 0

• f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.

4

1

–5 1

Unidad 8. Representación de funciones
1

■ Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los aparta-
dos anteriores, la siguiente función:

• lím f (x) = –1
x 8 –@
• lím f (x) = – @
x 8 +@

• lím f (x) = +@
x 8 – 3–

• lím f (x) = +@
x 8 – 3+

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0
• f' (0) = 0
• f (4) = 4; f' (4) = 0

■ Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti.
Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero
para que la represente.
Representa tú la suya.
Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias
que observéis.
¿Hay algún error en la representación? ¿Hay, acaso, error en la descripción?
¿Es todo correcto?

Por ejemplo:
• lím f (x) = – @; lím f (x) = 2
x 8 –@ x 8 +@

• lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 – 4– x 8 – 4+
1
• f (–4) = 0; f' (–4) = 0
1 • f (1) = 0; f' (1) = 0

• f (0) = 1

2

UNIDAD 8

■ Observa esta gráfica:

• Halla la ordenada para las siguientes abscisas:
x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = – 400, x = 13, x = –199
• ¿En qué puntos no está definida esta función?
• ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta de
cómo es la gráfica?
• ¿Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad?

• f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1
f (12) = 0; f (– 400) = 0; f (13) = 1; f (– 199) = 1
(En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) = 1 y no existe f (x) en x = 4k + 2,
con k é Z).

• La función no está definida en los puntos de la forma x = 4k + 2, con k é Z.

• Bastaría con conocer la función para x é [0, 2), si supiéramos que es par y que es
periódica de período 4.

• Simetría 8 Es una función par (simétrica respecto al eje Y ).
Periodicidad 8 Es periódica de período 4.

Página 186
1. Halla el dominio de estas funciones:
a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3
3x 3 + 5
b) y =
x 2 – 5x + 4
x 3 + 2x
c) y =
x2 + 1

a) Dominio = Á
5 ± √ 25 – 16 5 ± √9 5±3 x=4
b) x 2 – 5x + 4 = 0 8 x = = =
2 2 2 x=1
Dominio = Á – {1, 4}

c) x 2 + 1 ? 0 para todo x 8 Dominio = Á

3

2. Halla el dominio de:
ex
a) y = √x 2 – 2x b) y = ln (x 2 + 1) c) y = ln (x 2 – 1) d) y =
x2
a) x 2 – 2x Ó 0 8 Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
b) x 2 + 1 > 0 para todo x 8 Dominio = Á
c) x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) U (1, +@)
d) x 2 = 0 8 x = 0 8 Dominio = Á – {0}

Página 187
3. Halla las simetrías y las periodicidades; di dónde son continuas y dónde deri-
vables:
a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1 b) y = √x 2 – 2x
x3 x3 – 1
c) y = d) y =
x2 – 1 x2
e) y = sen x + 1/2 (cos 2x)

a) f (–x) = 3(–x) 4 – 5(–x) 2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x)
Es una función par: simétrica respecto al eje Y.
No es periódica.
Es continua y derivable en Á.
b) Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
f (–x) = √x 2 – 2x . No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni res-
pecto al origen de coordenadas.
No es periódica.
Es continua en su dominio.
Es derivable en (– @, 0) « (2, +@).
c) Dominio = Á – {–1, 1}
–x 3
f (–x) = = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.
x2 – 1
No es periódica.
Es continua y derivable en su dominio.
d) Dominio = Á – {0}
–x 3 – 1
f (–x) = . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respec-
x2
to al origen de coordenadas.
No es periódica.
Es continua y derivable en su dominio.

4

UNIDAD 8

e) Dominio = Á
1
f (–x) = cos (–x) +
2
(cos (–2x)) = –sen x + 1 (cos (2x))
2
No es par ni impar.
Es periódica de período 2π.
Es continua y derivable en Á.

Página 188

4. Halla las ramas infinitas de:
x4
a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =
x2 –1
x3
c) y = d) y = x 4 – 8x 2 + 7
(x – 2)2
e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

a) y = 3x 5 – 20x 3
• lím f (x) = – @
x 8 –@
Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@
x 8 +@

x4
b) y =
x2 – 1
• Dominio = Á – {–1, 1}
f (x)
°
• lím f (x) = +@; lím § = –@
x 8 –@ x 8 –@ x §
§ Ramas parabólicas
¢
f (x) §
lím f (x) = +@; lím = +@ §
§
x 8 +@ x 8 +@ x £

• lím f (x) = +@; lím f (x) = – @ °
x 8 –1– x 8 –1+ §
¢ Asíntotas verticales: x = –1; x = 1
lím – f (x) = – @; lím + f (x) = +@ §
x81 x81 £

–1 1

5

c) y = x3 = x3 = x + 4 + 12x – 16
(x – 2)2 x 2 – 4x + 4 x 2 – 4x + 4
• Dominio = Á – {2}
• lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@
y = x + 4 es una asíntota oblicua.
12x – 16 ° f (x) – (x + 4) > 0 si x 8 +@
f (x) – (x + 4) = 8 ¢ f (x) – (x + 4) < 0
x 2 – 4x + 4 £ si x 8 – @

• lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
¢ x = 2 es asíntota vertical
lím f (x) = +@ §
x 8 2+ £

4

2

d) y = x 4 – 8x 2 + 7
• lím f (x) = +@
x 8 –@
Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@
x 8 +@

e) y = ln (x 2 + 1)
• Dominio = Á
• lím f (x) = +@ °
x 8 –@ §
f (x) §
ln (x 2 + 1) 2x = 0 §
lím = lím = lím
x 8 –@ x x 8 –@ x x 8 – @ x2 + 1 §
§
¢ Ramas parabólicas
• lím f (x) = +@ §
x 8 +@ §
§
f (x) ln (x 2 + 1)
2x = 0 §
lím = lím = lím §
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ x 2 + 1 £
• No hay asíntotas verticales.

6

UNIDAD 8

f) y = 2 x – 1 > 0 para todo x.
• Dominio = Á
• lím f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal cuando x 8 – @.
x 8 –@
f (x)
• lím f (x) = +@; lím = +@
x 8 +@ x 8 +@ x

• No hay asíntotas verticales.

Página 189
5. Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de:
a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5 b) y = ln (x 2 + 1)

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5. Dominio = Á
• f' (x) = 3x 2 – 12x + 9
• f' (x) = 0 8 3(x 2 – 4x + 3) = 0

4 ± √ 16 – 12 4 ± √4 4±2 x=3
x= = =
2 2 2 x=1
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un máximo en (1, 9) y un mí-
1 3 nimo en (3, 5).

• f'' (x) = 6x – 12
f'' (x) = 0 8 6x – 12 = 0 8 x = 2

Signo de f'' (x):
f '' < 0 f '' > 0
Hay un punto de inflexión en (2, 7).
2

b) y = ln (x 2 + 1). Dominio = Á

• f' (x) = 2x
x2 + 1

f' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
f'' (x) < 0 para x < 0 °
¢ Hay un mínimo en (0, 0).
f'' (x) > 0 para x > 0 £

7

2 2 2 2
• f'' (x) = 2(x + 1) – 2x · 2x = 2x + 2 – 4x = –2x + 2
(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2

x = –1
f'' (x) = 0 8 –2x 2 + 2 = 0 8 x 2 = 1
x=1

Signo de f'' (x):

f '' < 0 f '' > 0 f '' < 0

–1 1

Hay un punto de inflexión en (–1, ln 2) y otro en (1, ln 2).

6. Halla los puntos singulares de:
x2
a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y =
x2–1
x3
c) y = d) y = √x 2 – 2x
(x – 2)2

a) y = 3x 5 – 20x 3. Dominio = Á
f' (x) = 15x 4 – 60x 2
x=0
f' (x) = 0 8 15x 2 (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2
Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

Hay un máximo en (–2, 64), un mínimo en (2, –64), y un punto de inflexión en
(0, 0).

b) y = x 2 . Dominio = Á – {–1, 1}
x2 –1
2 2 3 3
f' (x) = 2x (x – 1) – x · 2x = 2x – 2x – 2x = –2x
(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2

f' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0

–1 0 1

Hay un máximo en (0, 0).

8

UNIDAD 8

c) y = x 3 . Dominio = Á – {2}
(x – 2) 2
2 2 3 2 3
f' (x) = 3x (x – 2) – x · 2(x – 2) = 3x (x – 2) – 2x =
(x – 2) 4 (x – 2) 3

3 2 3 3 2
= 3x – 6x – 2x = x – 6x
(x – 2) 3 (x – 2) 3

x=0
f' (x) = 0 8 x 2 (x – 6) = 0
x=6
Signo de f' (x):

f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 2 6

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y un mínimo en 6, ( 27
2 )
.

d) y = √x 2 – 2x . Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
2x – 2 x–1
f' (x) = =
2 √ x 2 – 2x √ x 2 – 2x
f' (x) = 0 8 x – 1 = 0 8 x = 1 è Dominio.
No hay puntos singulares.

Página 191
1. Representa estas funciones:
a) y = x 4 – 8x 2 + 7 b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2 c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x

a) y = x 4 – 8x 2 + 7
• Simetrías:
f (–x) = x 4 – 8x 2 + 7 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Ramas infinitas:
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

• Puntos singulares:
f' (x) = 4x 3 – 16x
x=0
f' (x) = 0 8 4x (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2

Puntos singulares: (0, 7); (–2, –9); (2, –9)

9

• Cortes con los ejes:
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = 7 8 Punto: (0, 7)
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 4 – 8x 2 + 7 = 0
–
8 ± √ 64 – 28 8 ± √ 36 8±6 x 2 = 7 8 x = ± √7
x2 = = =
2 2 2 x2 = 1 8 x = ± 1

Puntos: (– √7 , 0); (–1, 0); (1, 0); ( √7 , 0)

• Puntos de inflexión:
f'' (x) = 12x 2 – 16
4 2√3
f'' (x) = 0 8 12x 2 – 16 = 0 8 x 2 =
4
3
8 x=±
√ 3
=±
3

Puntos – ( 2 √ 3 –17
3
,
9 ) (y
2 √ 3 –17
3
,
9 )
• Gráfica:

7

2

–9

b) y = 3x 4 + 4x 3 – 36x 2
• Simetrías:
f (–x) = 3x 4 – 4x 3 – 36x 2. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y,
ni respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 12x 3 + 12x 2 – 72x
x=0
f' (x) = 0 8 12x (x 2 + x – 6) = 0 x=2
–1 ± √ 1 + 24
x= = –1 ± 5
2 2 x = –3
Puntos: (0, 0); (2, –64); (–3, –189)


10

UNIDAD 8

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 (3x 2 + 4x – 36) = 0

x2 = 0 8 x = 0
– 4 ± √ 16 + 432 – 4 ± √ 448 x ≈ 2,86
x= =
6 6 x ≈ – 4,19

Puntos: (0, 0); (2,86; 0); (– 4,19; 0)

f'' (x) = 36x 2 + 24x – 72
f'' (x) = 0 8 12(3x 2 + 2x – 6) = 0
– 2 ± √ 4 + 72 – 2 ± √ 76 x ≈ 1,12
x= =
6 6 x ≈ – 1,79

Puntos: (1,12; –34,82) y (–1,79; –107,22)

• Gráfica:

50

3

–200

c) y = x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 12x
• Simetrías:
f (–x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x.
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de
coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 4x 3 – 12x 2 – 4x + 12
f' (x) = 0 8 4(x 3 – 3x 2 – x + 3) = 0 8 4(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0
x=1 °
§
x = –1 ¢ Puntos (1, 7); (–1, –9); (3, –9)
§
x=3 £

11

— Con el eje X 8 y = 0 8 x(x 3 – 4x 2 – 2x + 12) = 0
x =0
x=2
x3 – 4x 2 – 2x + 12 = 0 8 (x – 2) (x 2 – 2x – 6) = 0 x ≈ 3,65
x ≈ –1,65
Puntos: (0, 0); (2, 0); (3,65; 0); (–1,65; 0)

f'' (x) = 12x 2 – 24x – 4
f'' (x) = 0 8 4(3x 2 – 6x – 1) = 0
6 ± √ 36 + 12 6 ± √ 48 x ≈ 2,15
x= =
6 6 x ≈ – 0,15

Puntos: (2,15; –1,83) y (–0,15; –1,74)

• Gráfica:

7

4

–9

2. Representa las siguientes funciones:

a) y = 3x 4 – 4x 3 – 16

b) y = x 3 – 3x

c) y = (1/4) x 4 – 2x 2

a) y = 3x 4 – 4x 3 – 16
• Simetrías:
f (–x) = 3x 4 + 4x 3 – 16. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y,
ni respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

12

UNIDAD 8

f' (x) = 12x 3 – 12x 2
x=0
f' (x) = 0 8 12x 2 (x – 1) = 0
x=1
Puntos: (0, –16); (1, –17)
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = –16 8 Punto: (0, –16)
— Con el eje X 8 y = 0 8 3x 4 – 4x 3 – 16 = 0 8
x=2
3x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = 0 8 tiene una sola raíz, que está entre –2 y –1;
pues, si g (x) = 3x 3 + 2x 2 + 4x + 8, g (–2) = –16 < 0 y g (–1) = 3 > 0.
Puntos (2, 0) y (k, 0), con k entre –2 y –1.
f'' (x) = 36x 2 – 24x
x=0
f'' (x) = 0 8 12x (3x – 2) = 0 2
x=—
3
Puntos: (0, –16) y ( 2 – 448
3
,
27 )
• Gráfica:

2

–20

b) y = x 3 – 3x
• Simetrías:
f (–x) = –x 3 + 3x = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = 3x 2 – 3
x = –1
f' (x) = 0 8 3(x 2 – 1) = 0
x=1
Puntos: (–1, 2); (1, –2)

13

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 3 – 3x = 0 8 x (x 2 –3) = 0

x= 0 °
– §
x= –√3 ¢ Puntos: (0, 0); (– √3 , 0); ( √3 , 0)
– §
x= √3 £

f'' (x) = 6x

f'' (x) = 0 8 6x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, 0)
• Gráfica:

1

–2

1 4
c) y = x – 2x 2
4

• Simetrías:
1
f (– x) = x 4 – 2x 2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
4

lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f' (x) = x 3 – 4x
x=0
f' (x) = 0 8 x (x 2 – 4) = 0 x = –2
x=2
Puntos: (0, 0); (–2, –4); (2, –4)


14

UNIDAD 8

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 ( 1 2
4
x –2 =0)
x=0
x = –2√ 2
x2 = 8
x = 2√ 2

Puntos: (0, 0); (–2 √2 , 0); (2 √2 , 0)

f'' (x) = 3x 2 – 4
4 2√3

f'' (x) = 0 8 3x 2 – 4 = 0
x=–
√ 3
=–
3

4 2√3
x=
√3
=
3

Puntos: – ( 2√3
3
,–
20
9
; )( 2√3
3
,–
20
9 )
• Gráfica:

2

–4

Página 193
1. Representa:
x3
a) y =
1 – x2

x 2 – 2x – 8
b) y =
x

x3
a) y = = – x + x . Dominio = Á – {–1, 1}
1 – x2 1 – x2

• Simetrías:
–x 3
1 – x2

15

• Asíntotas verticales:
lím f (x) = +@ °
x 8 – 1– §
¢ Asíntota vertical en x = –1.
lím f (x) = – @ §
x 8 – 1+ £

lím f (x) = +@ °
x 8 1– §
¢ Asíntota vertical en x = 1.
lím f (x) = – @ §
x81 + £

• Asíntota oblicua:
x3
= –x + x 8 y = – x es asíntota oblicua.
1 – x2 1 – x2

Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) – (– x) > 0 si x 8 – @ (curva por encima)
f (x) – (– x) < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)

3x 2 (1 – x 2) – x 3 · (–2x) 3x 2 – 3x 4 + 2x 4 –x 4 + 3x 2
f' (x) = 2 )2
= 2 )2
=
(1 – x (1 – x (1 – x 2 ) 2

x=0 –
f' (x) = 0 8 x 2 (–x 2 + 3) = 0 x = –√3
–
x = √3

(
Puntos: (0, 0); – √3 ,
3√ 3
2 )(
; √3 , –
3√ 3
2 )
Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

–1 1

16

UNIDAD 8

x 2 – 2x – 8 8
b) y = = x – 2 – . Dominio = Á – {0}
x x

• Simetrías:

x 2 + 2x – 8
f (–x) =
–x

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen.

lím f (x) = +@ °
x 8 0– §
lím f (x) = – @ §
x 8 0+ £

x 2 – 2x – 8 8
=x–2– 8 y = x – 2 es asíntota oblicua.
x x
f (x) – (x – 2) > 0 si x 8 – @ (curva por encima)
f (x) – (x – 2) < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)


f' (x) = 1 + 8 > 0 para todo x del dominio.
x2
La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares.

x = –2
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 – 2x – 8 = 0
x=4
Puntos: (–2, 0) y (4, 0)
— No corta el eje Y, pues no está definida en x = 0.
• Gráfica:

–2 4

17

2. Representa:
x2 – 9 x 3 + 2x
a) y = b) y =
x2 – 4 x2 + 1

x2 – 9
a) y = . Dominio = Á – {–2, 2}
x2 – 4
• Simetrías:
x2 – 9
f (–x) = = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
x2 – 4
lím f (x) = – @ °
x 8 – 2– §
¢ Asíntota vertical en x = –2.
lím f (x) = +@ §
x 8 – 2+ £
lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
lím f (x) = – @ §
x 8 2+ £

• Asíntota horizontal:
x2 – 9 5
2 – 4
=1– 8 y = 1 es asíntota horizontal.
x x 2 – 4

f (x) – 1 < 0 si x 8 – @ (curva por debajo)
f (x) – 1 < 0 si x 8 +@ (curva por debajo)

2x (x 2 – 4) – 2x (x 2 – 9) 2x (x 2 – 4 – x 2 + 9) 10x
f' (x) = 2 – 4) 2
= =
(x (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2

f' (x) = 0 8 10x = 0 8 x = 0 8 Punto: 0, ( ) 9
4
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y =
9
4
8 Punto: 0, ( ) 9
4
x = –3
— Con el eje X 8 y = 0 8 x 2 – 9 = 0
x=3
Puntos: (–3, 0) y (3, 0).

18

UNIDAD 8

• Gráfica:

1

–2 2

x 3 + 2x
b) y = . Dominio = Á
x2 + 1
• Simetrías:
– x 3 – 2x
x2 + 1
• No tiene asíntotas verticales.

x 3 + 2x
=x+ x 8 y = x es asíntota oblicua.
x2 + 1 x2 + 1

f (x) – x < 0 si x 8 – @ (curva por debajo)
f (x) – x > 0 si x 8 +@ (curva por encima)

(3x 2 + 2)(x 2 + 1) – (x 3 + 2x) · 2x 3x 4 + 3x 2 + 2x 2 + 2 – 2x 4 – 4x 2
f' (x) = 2 + 1) 2
= =
(x (x 2 + 1) 2

x4 + x2 + 2
=
(x 2 + 1) 2

–1 ± √ 1 – 8
f' (x) = 0 8 x 4 + x 2 + 2 = 0 8 x 2 = 8 No tiene solución.
2

No hay puntos singulares.

— Con el eje X 8 y = 0 8 x 3 + 2x = 0 8 x (x 2 + 2) = 0 8
8 x = 0 8 Punto: (0, 0)

19

(4x 3 + 2x)(x 2 + 1) 2 – (x 4 + x 2 + 2) · 2(x 2 + 1) · 2x
f'' (x) = =
(x 2 + 1) 4
(4x 3 + 2x)(x 2 + 1) – 4x (x 4 + x 2 + 2) 2x 3 – 6x 2x (x 2 – 3)
= 2 + 1) 3
= 2 + 1) 3
=
(x (x (x 2 + 1) 3

x=0 – °
f'' (x) = 0
– §
x = √3 £
§
( 4 )(
x = –√3 ¢ Puntos: (0, 0); – √3 , – 5 √ 3 ; √3 , 5 √ 3
4 )
• Gráfica:

1
1

Página 195
1. Representa:
2 ex
a) y = e 1 – x b) y = c) y = ln (x 2 + 4)
x2
2
a) y = e 1 – x
• Dominio: Á
• Simetría:
2
f (–x) = e 1 – x = f (x). Es una función par: es simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
lím f (x) = lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
2
y = 0 es asíntota horizontal. Además, como e 1 – x > 0 para todo x, la curva
se sitúa por encima de la asíntota.
2
f ' (x) = –2x · e 1 – x
f ' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, e)
2 2 2
f '' (x) = –2e 1 – x + (–2x) · (–2x)e 1 – x = (–2 + 4x 2 )e 1 – x

20

UNIDAD 8

f ' (x) = 0 8 4x 2 = 2 8 x = ±
√
1
2
› 0,7 8 f ( )
1
√2
= e 1/2 › 1,65

Puntos de inflexión: (–0,7; 1,65), (0,7; 1,65)

• Gráfica:

4
3
2
1
– 4 –3 –2 –1 1 2 3 4

ex
b) y =
x2
• Dominio: D = Á – {0}
• No es simétrica.

lím f (x) = +@ °
§
x 8 0– §
¢ Asíntota vertical: x = 0.
lím f (x) = +@ §
§
x 8 0+ £
• lím f (x) = 0. Además, f (x) > 0 para todo x del dominio.
x 8 –@

y = 0 es una asíntota horizontal cuando x 8 –@.
f (x)
lím f (x) = +@; lím = +@. Rama parabólica.
x 8 +@ x 8 +@ x

e x · x 2 – e x · 2x x · e x (x – 2) e x (x – 2)
f ' (x) = = =
x 4 x4 x3
e2
f ' (x) = 0 8 x = 2 8 Punto 2, ( )
4
• Gráfica:

1
1

21

c) y = ln (x 2 + 4)

• Dominio:
Como x 2 + 4 > 0 para todo x, D = Á.

• Simetrías:
f (–x) = ln (x 2 + 4) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


lím f (x) = lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@
2x
——
f (x) ln (x 2 + 4) x 2 + 4
lím = lím = lím =0
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ 1

Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo.
Tiene ramas parabólicas.

2x
f ' (x) =
x2+4
f ' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0 8 Punto (0, ln 4)

2(x 2 + 4) – 2x · 2x 2x 2 + 8 – 4x 2 8 – 2x 2
f '' (x) = = =
(x 2 + 4)2 (x 2 + 4)2 (x 2 + 4)2

x = –2 °
f '' (x) = 0 8 8 – 2x 2 = 0 ¢ Puntos: (–2, ln 8) y (2, ln 8)
x=2 £
• Gráfica:

1
1

2. Representa:
a) y = ln (x 2 – 1) b) y = √3 sen x + cos x

a) y = ln (x 2 – 1)
• Dominio:
x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) « (1, +@)

22

UNIDAD 8

• Simetrías:
f (–x) = ln (x 2 – 1) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
lím f (x) = – @; lím f (x) = – @
x 8 – 1– x 8 1+

x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.

• lím f (x) = lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

—2x
f (x) ln (x 2 – 1) x2 – 1 = 0
lím = lím = lím
x 8 +@ x x 8 +@ x x 8 +@ 1

Tiene ramas parabólicas.


f' (x) = 2x
x2 – 1

f' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
No tiene puntos singulares, pues la función no está definida en x = 0.

2 2 2 2
f'' (x) = 2(x – 1) – 2x · 2x = 2x – 2 – 4x = –2x – 2
(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2
No tiene puntos de inflexión.

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje X 8 y = 0 8 ln (x 2 – 1) = 0 8 x 2 – 1 = 1
x = –√ 2 °
x2 = 2 ¢ Puntos: (– √2 , 0) y ( √2 , 0)
x = √2 £

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

–1
1

23

b) y = √3 sen x + cos x

• Está definida, y es continua y derivable en todo Á.

• Es periódica de período 2π 8 solo la estudiamos en [0, 2π].

• No existe lím f (x) 8 no tiene asíntotas ni ramas parabólicas.
x 8 ±@

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje Y 8 x = 0 8 f (0) = 1 8 Punto (0, 1)

— Con el eje X 8 y = 0 8 √3 sen x + cos x = 0

–1 √3 5π 11π
√3 tg x + 1 = 0 8 tg x = =– 8 x= o x=
√3 3 6 6

Puntos ( )(
5π
6
,0;
11π
6
,0 )

f ' (x) = √3 cos x – sen x

f ' (x) = 0 8 √3 cos x – sen x = 0 8 √3 – tg x = 0 8

8 tg x = √3
π π
x = — 8 Punto —, 2
3 3 ( )
4π 4π
( )
x = — 8 Punto —, –2
3 3


f '' (x) = –√3 sen x – cos x = –f (x)

f '' (x) = 0 5 f (x) = 0

Los puntos de inflexión son los de corte con el eje X.

• Gráfica:

3
2
1

–2π –3π –π –π π π 3π 2π
— — — —
2 2 2 2
–2

24

UNIDAD 8

Página 197
1. Representa:

a) y = x – | x – 3| + | x + 1|
x 2 + 3x
b) y =
|x| + 1

c) y = | x – 5| x

a) Intervienen dos valores absolutos, | x + 1| y | x – 3| , que cambian de signo en las
abscisas x = –1 y x = 3, respectivamente.

Por tanto:

x < –1, | x + 1| = –x – 1 y | x – 3| = –x + 3 8 y = x + x – 3 – x – 1 = x – 4

–1 Ì x < 3, | x + 1| = x + 1 y | x – 3| = –x + 3 8 y = x + x – 3 + x + 1 = 3x – 2

x Ó 3, | x + 1| = x + 1 y | x – 3| = x – 3 8 y = x – x + 3 + x + 1 = x + 4

Representamos, pues, esta función:

°x – 4 si x < –1
§
y = x – | x – 3| + | x + 1| = ¢ 3x – 2 si –1 Ì x < 3
§
£x + 4 si x Ó 3

Y
4
–
4

x
+

=
x

y
=
y

1
1 X
2
3x –
y=

25

b) El único valor absoluto que interviene es | x | . La abscisa en donde cambia de
signo x es 0. Por tanto:
x 2 + 3x
x < 0, | x | = –x 8 y =
–x + 1

Y

x2 + 3x
y = ———
–x + 1

1
1 X

x 2 + 3x
x Ó 0, | x | = x 8 y =
x+1

Y

x2 + 3x
y = ———
x+1

1
1 X

Representamos, pues, esta función: Y

° x 2 + 3x
x2 + 3x §— –x + 1
si x < 0
y= =¢ 2 x2 + 3x
|x | + 1 §—x + 3x y = ———
si x Ó 0 |x| + 1
£ x+1
1
1 X

26

UNIDAD 8

c) El único valor absoluto que interviene es | x – 5| . La abscisa donde cambia de sig-
no x – 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la
derecha de 5:
x < 5 8 | x – 5| = –x + 5 8 y = (–x + 5)x = –x 2 + 5x
x Ó 5 8 | x – 5| = x – 5 8 y = (x – 5)x = x 2 – 5x

° –x 2 + 5x si x < 5
y = | x – 5| x = ¢ 2
£ x – 5x si x Ó 5

Y

1
1 X
5x
x –

y = –x +
y= 2

2 5x

27

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Descripción de una gráfica
1 Representa una función continua y derivable en Á tal que:

lím f (x) = +@, lím f (x) = – @, f ' (2) = 0
x 8 +@ x 8 –@

f (2) = 1, f ' (x) Ó 0 para cualquier x.

1
2

2 De una función y = f (x) tenemos esta información:

D = Á – {1, 4}; lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 1– x 8 1+

lím f (x) = –@; lím f (x) = +@; lím f (x) = 0
x 8 4– x 8 4+ x 8 ±@

(si x 8 +@, f (x) > 0; si x 8 – @, f (x) < 0)

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Represéntala.

–1
1 4
–1

28

UNIDAD 8

s3 Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes propie-
dades:
lím f (x) = – @, lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4

f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

5

3

s4 Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas,
sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

a) b)

2
–2 2

–1 1

c) d)
x
=
y

1
2

a) • Asíntotal horizontal: y = 2. Asíntota vertical: x = 0
lím f (x) = 2; lím f (x) = 2
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 2; si x 8 +@, f (x) < 2)

lím f (x) = – @; lím f (x) = – @
x 8 0– x 8 0+

• f (x) no tiene puntos singulares.
• Decrece en (– @, 0) y crece en (0, +@).

29

b) • Asíntotal horizontal: y = –2. Asíntota vertical: x = –2
lím f (x) = –2; lím f (x) = –2
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) > –2; si x 8 +@, f (x) > –2)
lím f (x) = +@; lím f (x) = – @
x 8 –2 – x 8 –2+

• Puntos singulares: f' (0) = 0; f (0) = –1. Máximo en (0, –1)
• Creciente en (– @, –2) « (–2, 0) y decreciente en (0, +@).
c) • Asíntota horizontal si x 8 +@: y = 0
lím f (x) = +@; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 +@, f (x) > 0)
f' (0) = 0; f (0) = 0. Mínimo en (0, 0)
f' (2) = 0; f (2) = 1. Máximo en (2, 1)
• Decreciente en (– @, 0) « (2, +@) y creciente en (0, 2).
d) • Asíntota vertical: x = 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = – @
x 8 2– x 8 2+
• Asíntota oblicua: y = x
(si x 8 – @, f (x) > x; si x 8 +@, f (x) < x)
• No tiene puntos singulares.
• Creciente en (– @, 2) « (2, +@).

Funciones polinómicas

5 Estudia las ramas infinitas y los puntos singulares de las siguientes funcio-
nes, y represéntalas:
3x 2 – 12x
a) y = –x 2 + 3x + 10 b) y =
4
c) y = (x + 1)2 + 3 d) y = –2x 2 + 12x – 9
e) y = x 3 – 9x f) y = –x 3 – 6x 2

a) y = –x 2 + 3x + 10
lím f (x) = lím (–x 2 + 3x + 10) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–x 2 + 3x + 10) = –@
x 8 –@ x 8 –@

30

UNIDAD 8

3 49
y ' = –2x + 3; y ' = 0 8 –2x + 3 = 0 8 x = , y=
2 4

y '' = –2 < 0. Máximo: ( 3 49
,
2 4 )
• Representación:

12

10

–2 1 2 5

3x 2 – 12x
b) y =
4
3x 2 – 12x
lím f (x) = lím = +@
x 8 +@ x 8 +@ 4
3x 2 – 12x
lím f (x) = lím = +@
x 8 –@ x 8 –@ 4

6x – 12 12 – 24
y' = ; y ' = 0 8 6x – 12 = 0 8 x = 2, y = = –3
4 4
3
y '' = > 0. Mínimo: (2, –3)
2

1
2 4

–3

31

c) y = (x + 1)2 + 3
lím f (x) = lím (x + 1)2 + 3 = +@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (x + 1)2 + 3 = +@
x 8 –@ x 8 –@

y ' = 2(x + 1); y ' = 0 8 2(x + 1) = 0 8 x = –1, y = 3
y '' = 2 > 0. Mínimo: (–1, 3)

4

–1 1

d) y = –2x 2 + 12x – 9
lím f (x) = lím (–2x 2 + 12x – 9) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–2x 2 + 12x – 9) = –@
x 8 –@ x 8 –@

y ' = –4x + 12; y ' = 0 8 –4x + 12 = 0 8 x = 3, y = 9
y '' = –4 < 0. Máximo: (3, 9)

9

3

1
3

32

UNIDAD 8

e) y = x 3 – 9x


lím f (x) = lím (x 3 – 9x) = +@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (x 3 – 9x) = –@
x 8 –@ x 8 –@

— —
x = √ 3, y = –6√ 3
y' = 3x 2 – 9; y ' = 0 8 3x 2 –9=0 8 x2 =3 — —
x = –√ 3, y = 6√ 3

— — — —
y '' (√ 3) = 6√ 3 > 0. Mínimo: (√ 3, –6√ 3)
y '' = 6x — — — —
y '' (–√ 3) = –6√ 3 < 0. Máximo: (–√ 3, 6√ 3)


10

2

–2 2

–10

f) y = –x 3 – 6x 2


lím f (x) = lím (–x 3 – 6x 2) = –@
x 8 +@ x 8 +@

lím f (x) = lím (–x 3 – 6x 2) = +@
x 8 –@ x 8 –@

33

y ' = –3x 2 – 12x; y ' = 0 8 –3x 2 – 12x = 0 8
x = 0, y = 0
8 –3x (x – 4) = 0
x = –4, y = –32
y '' (0) = –12 < 0. Máximo: (0, 0)
y '' = –6x – 12
y '' (–4) = 12 > 0. Mínimo: (–4, –32)

4
2
– 6 – 4 –2 2 4
–2
–4

–32

6 Estudia y representa las siguientes funciones:
x4 9 2
a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5 c) y = – x + 10
4 2
5x 4 – x 5
d) y = e) y = x 5 – 5x 3 f) y = (x – 1)3 – 3x
64
a) y = x 3 + 3x 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 3x 2 + 6x; 3x 2 + 6x = 0 8 x (3x + 6) = 0
x = 0, f (0) = 0 8 (0, 0) es un mínimo.
x = –2, f (–2) = –8 + 3 · 4 = 4 8 (–2, 4) es un máximo.

34

UNIDAD 8


4

–2

b) y = x 3 – 3x 2 + 5
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f (x) = 3x 2 – 6x; 3x 2 – 6x = 0 8 x (3x – 6) = 0
x = 0, f (0) = 5 8 (0, 5) es un máximo.
x = 2, f (2) = 1 8 (2, 1) es un mínimo.

5

1
2

x4 9 2
c) y = – x + 10
4 2
lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 +@ x 8 –@

4x 3 9
f ' (x) = – · 2x = x 3 – 9x; x 3 – 9x = 0 8 x (x 2 – 9) = 0
4 2

x = 0, f (0) = 10 8 Máximo en (0, 10).
x = –3, f (–3) = –41/4 8 Mínimo en (–3, –41/4).
x = 3, f (3) = –41/4 8 Mínimo en (3, –41/4).

35


10

–3 3

5x 4 – x 5
d) y =
64
lím f (x) = –@; lím f (x) = +@
x 8 +@ x 8 –@

1 1
f ' (x) = (20x 3 – 5x 4); (20x 3 – 5x 4) = 0 8
64 64

x = 0, f (0) = 0 8 Mínimo en (0, 0).
8 x 3(20 – 5x) = 0
x = 4, f (4) = 4 8 Máximo en (4, 4).

4

4

e) y = x 5 – 5x 3
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 5x 4 – 15x 2; 5x 4 – 15x 2 = 0 8 5x 2(x 2 – 3) = 0
x = 0 8 f (0) = 0
— — — — — — —
x = √3 8 f (√3) = √ 35 – 5√ 33 = 9√3 – 15√3 = –6√3
— — — — — — —
x = –√3 8 f (–√3) = –√ 35 + 5√ 33 = –9√3 + 15√3 = 6√3

36

UNIDAD 8

— — — —
Tiene un máximo en (–√3, 6√3 ), un mínimo en (√3, –6√3 ) y un punto de
inflexión en (0, 0).

10

–1

f) y = (x – 1)3 – 3x
lím f (x) = +@; lím f (x) = –@
x 8 +@ x 8 –@

f ' (x) = 3(x – 1)2 – 3; 3(x – 1)2 – 3 = 0 8
x = 0, f (0) = –1 8 Máximo en (0, –1)
8 (x – 1)2 = 1
x = 2, f (2) = –5 8 Mínimo en (2, –5)

2

–5

7 Estudia las ramas infinitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones.
Represéntalas gráficamente:
a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4
c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

a) y = 3 + (2 – x)3

lím f (x) = –@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = +@
x 8 –@

37

f ' (x) = –3(2 – x)2; –3(2 – x)2 = 0 8 x = 2; f (2) = 3

f' < 0 f' < 0
Signo de f ' : 2

f es decreciente en Á.
No tiene máximos ni mínimos.
Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6(2 – x); 6(2 – x) = 0 8 x = 2; f (2) = 3

f '' > 0 f '' < 0
Signo de f '': 2

El punto (2, 3) es un punto de inflexión con tangente horizontal ( f '' (2) = 0
y f ' (2) = 0).
• Gráfica:
Y

3

2 X

b) y = 2 – (x – 3)4

lím f (x) = –@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = –@
x 8 –@

f ' (x) = –4(x – 3)3; –4(x – 3)3 = 0 8 x = 3; f (3) = 2

f' > 0 f' < 0
Signo de f ' : 3

f es creciente en (–@, 3) y decreciente en (3, +@).
Tiene un máximo en (3, 2).

38

UNIDAD 8

f '' (x) = –12(x – 3)2; –12(x – 3)2 = 0 8 x = 3; f (3) = 2

f '' < 0 f '' < 0
Signo de f '': 3

• Gráfica:
Y

2

3 X

c) y = (x + 1)6 – 5

lím f (x) = +@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = +@
x 8 –@

f ' (x) = 6(x + 1)5; 6(x + 1)5 = 0 8 x = –1; f (–1) = –5

f' < 0 f' > 0
Signo de f ' : –1

Decreciente en (– @, –1). Creciente en (–1, +@).
Mínimo en (–1, –5).
f '' (x) = 30(x + 1)4; 30(x + 1)4 = 0 8 x = –1; f (–1) = –5

f '' > 0 f '' > 0
Signo de f '': –1


39

• Gráfica:
Y

–1 X

–5

d) y = 3 – (1 – x)3
lím f (x) = +@
x 8 +@
• Ramas infinitas
lím f (x) = –@
x 8 –@

f ' (x) = 3(1 – x)2; 3(1 – x)2 = 0 8 x = 1; f (1) = 3

f' > 0 f' > 0
Signo de f ' : 1

f es creciente en Á.
f '' (x) = –6(1 – x); –6(1 – x) = 0 8 x = 1; f (1) = 3

f '' < 0 f '' > 0
Signo de f '': 1

(1, 3) es un punto de inflexión con tangente horizontal, puesto que f ' (1) = 0.
• Gráfica:
Y

3

1 X

40

UNIDAD 8

Funciones racionales
8 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la
curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos:
1 –1 x
a) y = b) y = c) y =
x2 – 1 x2 + 1 x2 – 1
x2 – 1 x x2 – x + 1
d) y = e) y = f )y =
x 1 + x2 x2 + x + 1

a) y = 1
x2 –1

• Dominio: Á – {–1, 1}
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

y = 0 es asíntota horizontal.
(si x 8 – @, f (x) > 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = +@ °
x 8 – 1– §
¢ x = –1 es asíntota vertical.
lím f (x) = – @ §
x 8 –1 +
£
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
¢ x = 1 es asíntota vertical.
lím f (x) = +@ §
x81 +
£
• Gráfica:

1
–1 1

b) y = –1
x2 + 1

• Dominio: Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) < 0)

41

• Gráfica:

–1 1

–1

c) y = x
x2 – 1

• Dominio: Á – {–1, 1}
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = – @ °
x 8 – 1– §
lím f (x) = +@ §
x 8 – 1+ £
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím f (x) = +@ §
+
x81 £
• Gráfica:

–1
1

x2 – 1 1
d) y = =x–
x x

• Dominio: Á – {0}
• Asíntotas:
lím f (x) = +@ °
x 8 0– §
lím f (x) = – @ §
x80 +
£

42

UNIDAD 8

y = x es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) > x; si x 8 +@, f (x) < x)

• Gráfica:

2

2

e) y = x
1 + x2

• Dominio: Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)

• Gráfica:

1

–1 1

2
f) y = x – x + 1
x2 + x + 1

• Dominio:
–1 ± √ 1 – 4
x2 + x + 1 = 0 8 x = 8 No tiene solución.
2
D=Á
• Asíntotas:
lím f (x) = 1; lím f (x) = 1
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) > 1; si x 8 +@, f (x) < 1)

43

• Gráfica:

3

–1

9 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas,
posición y extremos relativos:
8 2x x3 x 2 – 2x + 2
a) y = 2x + b) y = c) y = d) y =
x (x + 1)2 x2 – 4 x–1

8
a) y = 2x +
x
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 0– § x = 0 es asíntota vertical.
¢
lím f (x) = +@ §
x80 +
£
y = 2x es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) < 2x; si x 8 +@, f (x) > 2x)

• Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos:

f' (x) = 2 – 8
x2

2x 2 – 8 = 0 8 x 2 = 4 x = –2
f' (x) = 0 8
x2 x=2

Signo de la derivada:
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

f (x) es creciente en (– @, –2) « (2, +@).
es decreciente en (–2, 0) « (0, 2).
tiene un máximo en (–2, –8).
tiene un mínimo en (2, 8).

44

UNIDAD 8

• Gráfica:

8

2

b) y = 2x
(x + 1) 2

• Dominio: Á – {–1}

• Asíntotas:

lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)


lím f (x) = – @ °
x 8 –1 – §
lím f (x) = – @ §
x 8 –1+ £

2
f' (x) = 2(x + 1) – 2x · 2(x + 1) = (x + 1)(2x + 2 – 4x) = –2x + 2
(x + 1) 4 (x + 1) 4 (x + 1) 3

f' (x) = 0 8 –2x + 2 = 0 8 x = 1

Signo de f' (x):

f' < 0 f' > 0 f' < 0

–1 1

f (x) es decreciente en (– @, –1) « (1, +@).

es creciente en (–1, 1).

tiene un máximo en 1, ( )
1
2
.

45

• Gráfica:

–1

c) y = x3 = x + 4x
x2–4 x2 – 4
• Dominio: Á – {–2, 2}
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 –2 – §
lím f (x) = +@ §
x 8 –2+ £
lím f (x) = – @ °
x 8 2– §
lím f (x) = +@ §
x 8 2+ £
(si x 8 – @, f (x) < x; si x 8 +@, f (x) > x)

2 2 3 4 2 4 4 2 2 2
f' (x) = 3x (x – 4) – x · 2x = 3x – 12x – 2x = x – 12x = x (x – 12)
(x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2

x=0 –
f' (x) = 0 8 x 2 (x 2 – 12) = 0 x = –√ 12
–
x = √ 12
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–√12 –2 0 2 √12

f (x) es creciente en (– @, – √12 ) « ( √12 , +@).
es decreciente en (– √12 , –2) « (–2, 2) « (2, √12 ).
tiene un máximo en (– √12 , –3 √3 ).
tiene un mínimo en ( √12 , 3 √3 ).

46

UNIDAD 8

• Gráfica:

2

2 4

x 2 – 2x + 2 1
d) y = =x–1+
x–1 x–1


• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím f (x) = +@ §
x 8 1+ £
y = x – 1 es asíntota oblicua.
(si x 8 – @, f (x) < x – 1; si x 8 +@, f (x) > x – 1)

2 2
f' (x) = 1 – 1 = (x – 1) – 1 = x – 2x + 1 – 1 =
(x – 1) 2 (x – 1) 2 (x – 1) 2

= x 2 – 2x = x (x – 2)
(x – 1) 2 (x – 1) 2

x=0
f' (x) = 0 8 x(x – 2) = 0
x=2
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

0 1 2

f (x) es creciente en (– @, 0) « (2, +@).
es decreciente en (0, 1) « (1, 2).
tiene un máximo en (0, –2).

47

• Gráfica:

2

2

Página 205
Funciones “a trozos”
10 Representa esta función:
° –x 2 – 2x + 2 si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ x – 2x + 2 si x Ó 0
Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus extremos
relativos. ¿Tiene algún punto de inflexión?

° –x 2 – 2x + 2 si x < 0
f (x) = ¢ 2
£ x – 2x + 2 si x Ó 0
• Si x < 0, es una parábola abierta hacia abajo:
Vértice: f ' (x) = –2x – 2; –2x – 2 = 0 8 x = –1, f (–1) = 3
2 ± √4 + 8
Cortes con el eje X : –x 2 – 2x + 2 = 0 8 x 2 + 2x – 2 = 0 8 x = –
2
x › 0,73 (no vale por ser 0,73 > 0)
x › –2,73
• Si x Ó 0, es una parábola abierta hacia arriba:
Vértice: f ' (x) = 2x – 2; 2x – 2 = 0 8 x = 1, f (1) = 1
2 ± √4 – 8
Cortes con el eje X : x 2 – 2x + 2 = 0 8 x = 8 No tiene solución.
2
No corta al eje X .
Corte con el eje Y : 0 – 2 · 0 + 2 = 2 8 (0, 2)
• Crecimiento y decrecimiento:
° –2x – 2 si x < 0
f ' (x) = ¢
£ 2x – 2 si x > 0
f ' (0–) = –2 = f ' (0+) Es derivable en x = 0.

48

UNIDAD 8

• Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–1 0 1

Crece en (– @, –1) « (1, +@).
Decrece en (–1, 1).
Tiene un máximo en (–1, 3) y un mínimo en (1, 1).


° –2 si x < 0
f '' (x) = ¢
£2 si x > 0
f '' (0–) ? f '' (0+). No existe f '' (0).
Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 0

0

La función es convexa en (–@, 0) y cóncava en (0, +@).
En (0, 2) tiene un punto de inflexión.


2

–1 1

11 Representa las siguientes funciones. Indica, en cada caso, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos, si los hay:
° –x 2 si x Ì 1 ° x2 – 1 si x < 1
a) f (x) = ¢ 2 b) f (x) = ¢ —
£x – 4 si x > 1 £√ – 1
x si x Ó 1

° 2x si x Ì 1 ° e –x + 1 si x < 1
§ d) f (x) = ¢
c) f (x) = ¢ 2 si x Ó 1
§— si x > 1 £ 2x – 2
£x

° –x 2 si x Ì 1
a) f (x) = ¢ 2
£x – 4 si x > 1

49

f es continua si x ? 1 porque son continuas las funciones que la definen.
No es continua en x = 1, porque lím f (x) = –1 ? lím f (x) = –3.
x 8 1– x 8 1+

° –2x si x < 1 No es derivable en x = 1,
f ' (x) = ¢
£ 2x si x > 1 porque no es continua.

f ' (x) = 0 8 –2x = 0, 2x = 0 8 x = 0
Signo de f ' :

f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 1

Crece en (– @, 0) « (1, + @) y decrece en (0, 1).
Máximo: (0, 0)
Representación:

1

–3

° x2 – 1 si x < 1
b) ¢ —
£ √x – 1 si x Ó 1

f es continua si x ? 1 porque son continuas las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím (x 2 – 1) = 0 °
x 8 1– x81 §
§
lím f (x) = lím √x – 1 = 0 ¢ f es continua en x = 1.
x81 + x81 + §
§
f (1) = 0 £

° 2x si x < 1 No es derivable en x = 1,
f ' (x) = §
¢— 1 si x > 1 porque no existe f ' (1+).
§ 2√—
£ x–1
f ' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
Signo de f ' :

f' < 0 f' > 0 f' > 0

0 1

50

UNIDAD 8

Crece en (0, +@) y decrece en (– @, 0).
Mínimo: (0, –1)
Representación:

1
–1 1

° 2x si x Ì 1
c) f (x) = § 2
¢—
§x si x > 1
£

f es continua si x ? 1, porque lo son las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím 2x = 2 °
x 8 1– x 8 1– §
§
2 f es continua en x = 1.
lím f (x) = lím =2 ¢
x 8 1+ x 8 1+ x §
§
f (1) = 2 £

° 2x ln 2 si x < 1
§ No es derivable en x = 1, porque
f ' (x) = ¢ 2
§–— si x > 1 f ' (1–) ? f ' (1+).
£ x2

No hay puntos en los que f ' (x) = 0.
Signo de f ' :

f' > 0 f' < 0

1

Crece en (– @, 1) y decrece en (1, +@).
Máximo: (1, 2) (no es derivable en ese punto).
Representación:

2

1

51

° e –x + 1 si x < 1
d) f (x) = ¢
£ 2x – 2 si x Ó 1

f es continua en x ? 1, porque lo son las funciones que la definen.
En x = 1:
lím f (x) = lím e –x + 1 = 1 °
x 8 1– x 8 1– § Como lím f (x) ? lím f (x),
§ x 8 1– x 8 1+
lím f (x) = lím (2x – 2) = 0 ¢
x 8 1+ x 8 1+ § f no es continua en x = 0.
§
f (1) = 0 £

° –e –x + 1 si x < 1 No existe f ' (1), porque f es
f ' (x) = ¢
£2 si x > 1 discontinua en x = 1.

No existen puntos en los que f ' (x) = 0.
Signo de f ' :

f' < 0 f' > 0

1

Decrece en (– @, 1) y crece en (1, +@).
Representación:

3

1
1

12 Representa la siguiente función:

° x 3 – 3x + 1 si x < 0
f (x) = ¢
£ (x – 1)2 si x Ó 0

Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, sus extremos re-
lativos y su curvatura.

° x 3 – 3x + 1 si x < 0
f (x) = ¢
£ (x – 1)2 si x Ó 0

• Continuidad:
Si x ? 0, f es continua por estar definida por polinomios.

52

UNIDAD 8

Si x = 0:

lím x 3 – 3x + 1 = 1 °
x 8 0– § Como lím f (x) = 1 = f (0),
§ x80
lím (x – 1)2 = 1 ¢
x 8 0+ § f es continua en x = 0.
§
f (0) = (0 – 1)2 = 1 £

° 3x 2 – 3 si x < 0 ° f ' (0–) = –3 ° Como f ' (0–) ? f ' (0+),
f ' (x) = ¢ ¢ ¢
£ 2(x – 1) si x > 0 £ f ' (0+) = –2 £ f no es derivable en x = 0.

3x 2 – 3 = 0
f ' (x) = 0
2(x – 1) = 0 8 x = 1; f (1) = 0

Signo de f ' :

f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0
–1 0 1

Crece en (– @, –1) « (1, +@). Decrece en (–1, 1).
Máximo en (–1, 3). Mínimo en (1, 0).

• Curvatura:
° 6x si x < 0 ° f '' (0–) = 0 ° f '' (0–) ? f '' (0+).
f '' (x) = ¢ ¢ ¢
£2 si x > 0 £ f '' (0+) = 2 £ Por tanto, no existe f '' (0).

Signo de f '':

f '' < 0 f '' > 0

0

Y
3

–1 1 X

53

13 Define por intervalos y representa las siguientes funciones:
a) y = (x – 2)| x | b) y = x | x – 1 | c) y = | –x 2 + 1 |
1 1
d) y = | x 2 – 4x | e) y = f) y =
|x | |x – 2|

° –x 2 + 2x si x < 0
a) y = (x – 2)| x | = ¢ 2
£ x – 2x si x Ó 0 1
La gráfica de la función está formada 1 2
por dos ramas de parábola:

° –x 2 + x si x < 1
b) y = x | x – 1 | = ¢ 2
£x – x si x Ó 1 2
1
La gráfica de la función está formada
por dos ramas de parábola: 1

° x2 – 1 si x Ì –1
§
c) y = | –x 2 + 1 | = ¢ –x 2 + 1 si –1 < x < 1 1
§ 2
£x – 1 si x Ó 1
–1 1

4
° x 2 – 4x si x < 0
§
d) y = | x 2 – 4x | = –x 2 + 4x
¢ si 0 Ì x Ì 4
§ 2
£ x – 4x si x > 4
2 4

° 1
1 § – — si x < 0
x
e) y = =¢ 2
|x | § 1
— si x > 0 1
£x
–1 1 2

° 1
1 § – — si x < 2
x–2
f) y = =
| x – 2| ¢ 1
§ — si x > 2
2
1
£x – 2
1 2

54

UNIDAD 8

14 En las funciones del ejercicio anterior, determina los máximos y los míni-
mos de los apartados a), b), c) y d) y las asíntotas en e) y f).

Máximos y mínimos
° –x 2 + 2x si x < 0 ° –2x + 2 si x < 0
a) y = (x – 2)| x | = ¢ 2 8 y' = ¢
£ x – 2x si x Ó 0 £ 2x – 2 si x > 0
No es derivable en x = 0.

–2x + 2 = 0 8 x = 1 (no vale, porque x < 0)
y' = 0
2x – 2 = 0 8 x = 1, f (1) = 1 – 2 = –1

Signo de y ':

y' > 0 y' < 0 y' > 0
Máximo: (0, 0)
0 1
Mínimo: (1, –1)

° –x 2 + x si x < 1 ° –2x + 1 si x < 1
b) y = x | x – 1 | = ¢ 2 8 y' = ¢
£x – x si x Ó 1 £ 2x – 1 si x > 1
No es derivable en x = 1.

–2x + 1 = 0 8 x = 1/2, f (1/2) = 1/4
y' = 0
2x – 1 = 0 8 x = 1/2 (no vale, x > 1)

Signo de y ':

y' > 0
1
—
y' < 0
1
y' > 0 Máximo: ( )
1 1
,
2 4
2 Mínimo: (1, 0)

° x 2 – 1 si x < –1 ° 2x si x < –1
§ §
c) y = | –x 2 + 1 | = ¢ –x 2 + 1 si –1 Ì x Ì 1 8 y ' = ¢ –2x si –1 < x < 1
§ 2 §
£ x – 1 si x > 1 £ 2x si x > 1

No es derivable en x = –1, ni en x = 1.
y ' = 0 8 2x = 0 8 x = 0
Signo de y ':
y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0
Máximo: (0, 1)
–1 0 1
Mínimos: (–1, 0) y (1, 0)

° x 2 – 4x si x < 0 ° 2x – 4 si x < 0
§ §
d) y = | x2 – 4x | = ¢ –x 2 + 4x si 0 Ì x Ì 4 8 y ' = ¢ –2x + 4 si 0 < x < 4
§ 2 §
£ x – 4x si x > 4 £ 2x – 4 si x > 4

55

No es derivable en x = 0, ni en x = 4.
° 2x – 4 = 0 8 x = 2 (no vale, x < 0)
§
y ' = 0 8 ¢ –2x + 4 = 0 8 x = 2 8 f (2) = 4
§
£ 2x – 4 = 0 8 x = 2 (no vale, x > 4)
Signo de y ':

y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0
Máximo: (2,4)
0 2 4
Mínimos: (0, 0) y (4, 0)

Asíntotas
° 1
1 §–—x
si x < 0
e) y = =
|x | ¢ 1
§— si x > 0
£x
1
• Asíntota vertical: x = 0, porque lím = +@.
x80 |x |
1
• Asíntota horizontal: y = 0, ya que lím = 0 con y > 0.
x 8 ±@ |x |
Posición:

° 1
1 §–—
x–2
si x < 2
f) y = =
| x – 2| ¢ 1
§— si x > 2
£x–2
1
• Asíntota vertical: x = 2, porque lím = +@.
x82 | x – 2|
1
• Asíntota horizontal: y = 0, porque lím = 0 con y > 0.
x 8 ±@ | x – 2|
Posición:

2

56

UNIDAD 8

PARA RESOLVER

15 Representa las siguientes funciones, estudiando:
— Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas.
— Crecimiento y extremos relativos.
4x – 12 x (x – 1)(x – 3)
a) y = b) y = c) y =
(x – 2)2 (x – 2)2 x–2
x2 x2 + 4 x2
d) y = e) y = f) y =
9 – x2 x (x – 3)2
2x 3 x4 x3
g) y = h) y = i) y =
x2 + 1 x2 –4 x+2
(x – 2)2
j) y =
x–1

a) y = 4x – 12
(x – 2) 2

• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = – @ °
x 8 2– §
lím f (x) = – @ §
x 8 2+ £
2
f' (x) = 4(x – 2) – (4x – 12) · 2(x – 2) = 4(x – 2) – 2(4x – 12) =
(x – 2) 4 (x – 2) 3

= 4x – 8 – 8x + 24 = –4x + 16
(x – 2) 3 (x – 2) 3
f' (x) = 0 8 –4x + 16 = 0 8 x = 4
Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0 f' < 0

–2 2

f (x) es decreciente en (– @, 2) « (4, +@).
es creciente en (2, 4).
tiene un máximo en (4, 1).

57

• Gráfica:

2

b) y = x
(x – 2) 2
• Asíntotas:
lím f (x) = 0; lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 0; si x 8 +@, f (x) > 0)
lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
lím f (x) = +@ §
x82 +
£
2
f' (x) = (x – 2) – x · 2(x – 2) = x – 2 – 2x = –x – 2
(x – 2) 4 (x – 2) 3 (x – 2) 3
f' (x) = 0 8 –x – 2 = 0 8 x = –2
f' < 0 f' > 0 f' < 0
Signo de f' (x):
–2 2

f (x) es decreciente en (– @, –2) « (2, +@).
es creciente en (–2, 2).

tiene un mínimo en –2, ( –1
8
. )
• Gráfica:

0,4

0,2
2

58

UNIDAD 8

(x – 1)(x – 3) x 2 – 4x + 3 1
c) y = = =x–2–
x–2 x–2 x–2
• Asíntotas:
lím f (x) = +@ °
x 8 2– §
lím f (x) = – @ §
x82 + £
(si x 8 – @, f (x) > x – 2; si x 8 +@, f (x) < x – 2)

f' (x) = 1 + 1
(x – 2)2
f' (x) = 0 8 (x – 2) 2 + 1 = 0 8 No tiene solución.
f (x) no tiene extremos relativos.
f' (x) > 0 para todo x 8 f (x) es creciente en todo su dominio.
• Gráfica:

2

2

d) y = x2
9 – x2
• Dominio: Á – {–3, 3}
• Asíntotas:
lím f (x) = –1, lím f (x) = –1
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < –1; si x 8 +@, f (x) < –1)

y = –1 es asíntota horizontal.
lím f (x) = – @ °
x 8 – 3– §
lím f (x) = +@ §
x 8 –3+
£
lím f (x) = +@ °
x 8 3– §
lím f (x) = – @ §
x 8 3+ £

59

2 2 3 3
f' (x) = 2x (9 – x ) – x · (–2x) = 18x – 2x + 2x = 18x
(9 – x 2 ) 2 (9 – x 2 ) 2 (9 – x 2 ) 2

f' (x) = 0 8 18x = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' < 0 f' < 0 f' > 0 f' > 0

-3 0 3

f (x) es decreciente en (– @, –3) « (– 3, 0).
es creciente en (0, 3) « (3, +@).
• Gráfica:

3

–3 3

x2 + 4 4
e) y = =x+
x x
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 0– §
lím f (x) = +@ §
+
x80 £
(si x 8 – @, f (x) < x; si x 8 +@, f (x) > x)

f' (x) = 1 – 4
x2
x = –2
f' (x) = 0 8 x 2 – 4 = 0
x=2
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

60

UNIDAD 8


• Gráfica:

2

2

f) y = x2
(x – 3) 2
• Asíntotas:
lím f (x) = 1; lím f (x) = 1
x 8 –@ x 8 +@
(si x 8 – @, f (x) < 1; si x 8 +@, f (x) > 1)
lím f (x) = +@ °
x 8 3– §
lím f (x) = +@ §
+
x83 £
2 2 2
f' (x) = 2x (x – 3) – x · 2(x – 3) = 2x (x – 3) – 2x =
(x – 3) 4 (x – 3) 3

2 2
= 2x – 6x – 2x = –6x
(x – 3) 3 (x – 3) 3

f' (x) = 0 8 –6x = 0 8 x = 0

Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0 f' < 0

0 3


61

• Gráfica:

1

3

g) y = 2x 3 = 2x – 2x
x2+1 x2 + 1
• Dominio: Á
• Asíntotas:
y = 2x es asíntota oblicua.
(Si x 8 – @, f (x) > 2x; si x 8 +@, f (x) < 2x).

2 2 3 4 2 4 4 2
f' (x) = 6x (x + 1) – 2x · 2x = 6x + 6x – 4x = 2x + 6x
(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2

f' (x) = 0 8 2x 2 (x 2 + 3) = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' (x) > 0 para todo x ? 0.
f (x) es creciente en todo Á.

• Gráfica:

1

1

h) y = x4
x2 – 4
• Dominio: Á – {–2, 2}

62

UNIDAD 8

• Asíntotas:
lím f (x) = +@ °
x 8 –2– §
lím f (x) = – @ §
x 8 –2+ £
lím f (x) = – @ °
x 8 2– §
lím f (x) = +@ §
x82 +
£
f (x) °
lím f (x) = +@; lím = –@ §
x 8 –@ x 8 –@ x §
f (x) §
lím f (x) = +@; lím = +@ §
x 8 +@ x 8 +@ x £

3 2 4 5 3 5 5 3
f' (x) = 4x (x – 4) – x · 2x = 4x – 16x – 2x = 2x – 16x =
(x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2 (x 2 – 4) 2

3 2
= 2x (x – 8)
(x 2 – 4) 2
x=0 –
f' (x) = 0 8 2x 3 (x 2 – 8) = 0 x = –√8
–
x = √8

Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–√8 –2 0 2 √8

f (x) es decreciente en (– @, – √8 ) « (0, 2) « (2, √8 ).
es creciente en (– √8 , –2) « (–2, 0) « ( √8 , +@).
tiene un mínimo en (– √8 , 16) y otro en ( √8 , 16).
tiene un máximo en (0, 0).

• Gráfica:

30

20

10

2 4 6

63

x3
i) y =
x+2

• Asíntotas:

lím f (x) = +@ °
x 8 –2– §
lím f (x) = – @ §
x 8 –2 +
£

f (x)
lím f (x) = +@; lím = –@ °
§
x 8 –@ x 8 –@ x §
f (x) §
lím f (x) = +@; lím = +@ §
x 8 +@ x 8 +@ x £

2 3 3 2 3 3 2
f' (x) = 3x (x + 2) – x = 3x + 6x – x = 2x + 6x
(x + 2) 2 (x + 2) 2 (x + 2) 2

x=0
f' (x) = 0 8 2x 2 (x + 3) = 0
x = –3
Signo de f' (x):

f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' > 0

–3 –2 0

f (x) es decreciente en (– @, –3).

es creciente en (–3, –2) « (–2, +@).

tiene un mínimo en (–3, 27).

tiene un punto de inflexión en (0, 0).

• Gráfica:

30
29
28
27

4
3
2
1
–4 –2 1 2 3

64

UNIDAD 8

(x – 2) 2 1
j) y = =x–3+
x–1 x–1
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím f (x) = +@ §
x81 + £

(Si x 8 – @, f (x) < x – 3; si x 8 +@, f (x) > x – 3).
2 2
f' (x) = 1 – 1 = (x – 1) – 1 = x – 2x
(x – 1) 2 (x – 1) 2 (x – 1) 2
x=0
f' (x) = 0 8 x (x – 2) = 0
x=2
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

0 1 2

f (x) es creciente en (– @, 0) « (2, +@).
es decreciente en (0, 1) « (1, 2).
tiene un máximo en (0, – 4).
• Gráfica:

1
1

s16 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para x > 0 por:
1 + x2
f (x) =
x
b) Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando sus
máximos y mínimos locales y globales, si los hay.
c) Esboza la gráfica de f.

65

a) lím f (x) = +@ 8 x = 0 es asíntota vertical.
x 8 0+
1
f (x) = x + 8 y = x es asíntota oblicua.
x
(Si x 8 +@, f (x) > x).
2
b) f' (x) = 1 – 1 = x – 1
x2 x2
x = –1 (no vale)
f' (x) = 0 8 x 2 –1 = 0
x=1
(x = –1 no vale, pues f (x) está definida solamente para x > 0).
Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0

0 1

f (x) es decreciente en (0, 1).
es creciente en (1, +@).
tiene un mínimo (local y global) en (1, 2).
no tiene un máximo.
c)

2

1

17 En las siguientes funciones se pide:
• Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto a ellas.
• Intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos.
• Representación gráfica.
1 3 – 2x
a) y = b) y =
x 2 – 2x – 3 x
2 x2
c) y = x 2 – d) y =
x x +2

1
a) y =
x2 – 2x – 3
• Dominio:
x 2 – 2x – 3 = 0 8 x = –1, x = 3. Dom = Á – {–1, 3}

66

UNIDAD 8

1
lím = +@
x8 –1– x2 – 2x – 3
x = –1. Posición
1
lím = –@
x8 –1+ x 2 – 2x – 3

1
lím = –@
x8 3– x 2 – 2x – 3
x = 3. Posición
1
lím = +@
x 8 3+ x2 – 2x – 3

1
y = 0, porque lím = 0.
x 8 ±@ x 2 – 2x – 3

Si x 8 +@, y > 0
Posición
Si x 8 –@, y > 0

–1 3

• Intervalos de crecimiento, de decrecimiento y extremos:
–2x + 2 1
y' =
(x 2 – 2x – 3)2 = 0 8 –2x + 2 = 0 8 x =1, f (1) = – 4

Signo de y ':

y' > 0 y' > 0 y' < 0 y' < 0
–1 1 3
(
Máximo: 1, –
1
4 )
Intervalos de crecimiento: (–@, –1) « (–1, 1)
Intervalos de decrecimiento: (1, 3) « (3, +@)
Y

1
–1 3 X

67

3 – 2x
b) y =
x
3 – 2x
lím = –@
x8 0– x
x = 0. Posición
3 – 2x
lím = +@
x8 0+ x

lím 3 – 2x
x 8 ±@ = –2, y = –2.
x –2

Si x 8 +@, y > –2
Posición
Si x 8 –@, y < –2

• Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
–2x – (3 – 2x) –3
y' = = 2
x2 x

Signo de y ': Es negativa en todo su dominio.

La función es decreciente en su dominio.


Y

1 X

–2

2
c) y = x 2 –
x
• Asíntota vertical:

lím
x8 0–
( x2 –
2
x)= +@
x = 0. Posición
lím
x8 0+
( x2 –
2
x)= –@

• Asíntota horizontal no tiene, porque lím
x 8 ±@
( x2 –
2
x)= +@.

68

UNIDAD 8

• Tampoco tiene asíntota oblicua, porque:

lím
x 8 ±@
f (x)
x
= lím
x 8 ±@
( x –
2
x2 )
= ±@

• Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
2 2x 3 + 2
y ' = 2x + = ; y ' = 0 8 2x 3 + 2 = 0 8 x = –1, f (–1) = 3
x 2 x2
Signo de y ':

y' < 0 y' > 0 y' > 0
–1 0 Mínimo: (–1, 3)

Intervalos de crecimiento: (–1, 0) « (0, +@)
Intervalos de decrecimiento: (–@, –1)
Y

4

2
–2
2 X
–2

x2
d) y =
x +2
• Asíntotas verticales: x = –2
x2
lím = –@
x8 –2– x +2
Posición
x2
lím = +@
x 8 –2+ x +2
x2
• Asíntota horizontal no tiene, porque lím = ±@.
x 8 ±@ x +2
x2 x+2 4
8 y=x–2+
–x 2 – 2x x–2 x+2
–2x
2x + 4
4

69

La recta y = x – 2 es una asíntota oblicua.
Si x 8 +@, y > x – 2
Posición
Si x 8 –@, y < x – 2

Y

–2
2 X

2x (x + 2) – x 2 x 2 + 4x
y' = 2 =
(x + 2) (x + 2)2

x = 0; y = 0
y ' = 0 8 x 2 + 4x = 0
x = –4; y = –8

Signo de y ':

y' > 0 y' < 0 y' < 0 y' > 0 Y
–4 –2 0

2
–2
2 X
Crece en (– @, –4) « (0, +@). –2

Decrece en (–4, –2) « (–2, 0).
Máximo: (–4, –8)
Mínimo: (0, 0)

18 Estudia y representa las funciones siguientes:
1 ex
a) y = b) y =
√x 2 + 1 x2+3
4
c) y = x + d) y = √x 2 + 1
(x – 1)2

1
a) y =
√x 2 +1
• Dominio: Á

70

UNIDAD 8

• Asíntota horizontal: y = 0
1
lím = 0 (con f (x) > 0 si x 8 ±@)
x 8 ±@ √x 2 + 1

• Crecimiento:
–2x –x
y' = = ; y ' = 0 8 –x = 0 8 x = 0, y = 1
2√x 2
+1 √x 2 + 1
y' > 0 y' < 0
0

Crece en (– @, 0) y decrece en (0, +@).
Máximo: (0, 1)
• Representación: 1

–2 –1 1 2

ex
b) y =
x2 +3
• Dominio: Á
• Asíntotas horizontales:
ex f (x)
lím 2 + 3 = +@; lím = +@ rama parabólica.
x 8 +@ x x 8 +@ x
ex
lím = 0 8 y = 0 asíntota horizontal hacia – @ (con f (x) > 0
x 8 –@ x2+3
cuando x 8 –@)
• Crecimiento:
e x (x 2 + 3) + e x · 2x e x (x 2 + 2x + 3)
y' = =
(x 2 + 3)2 (x 2 + 3)2
–2 ± √4 – 12
y ' = 0 8 x 2 + 2x + 3 = 0 8 x =
2
No tiene solución. No hay puntos singulares.
La función es creciente en su dominio. No tiene máximos ni mínimos.

2

1

–1 1 2 3

71

4
c) y = x +
(x – 1)2
x (x – 1)2 + 4 x 3 – 2x 2 + x + 4
y= =
(x – 1)2 (x – 1)2
• Asíntota vertical: x = 1

lím
x 8 1–
( x+
4
(x – 1)2 )
= +@

lím
x 8 1+
( x+
4
(x – 1)2 )
= +@

• No tiene asíntota horizontal:
4
lím x+ = ±@
x 8 +@ (x – 1)2

• Asíntota oblicua: y = x
Si x 8 +@ f (x) > x
Posición
Si x 8 –@ f (x) > x
• Crecimiento:
Puntos singulares:
8 8
y' = 1 – ; y' = 0 8 1 – = 0 8 (x – 1)3 = 8 8
(x – 1)3 (x – 1)3
8 x – 1 = 2 8 x = 3, f (3) = 4

f' > 0 f' < 0 f' > 0
Signo de f ' :
1 3

Crece en (– @, 1) « (3, +@) y decrece en (1, 3).
Mínimo: (3, 4)

4

2
1
1 3

72

UNIDAD 8

d) y = √x 2 + 1

• Dominio: Á

• No tiene asíntotas verticales, ni horizontales.

• Asíntotas oblicuas:

f (x) √x 2 + 1
m = lím = lím =1
x 8 +@ x x 8 +@ x
— —
(√x 2 + 1 – x)(√x 2 + 1 + x)
n = lím (√x 2 + 1 – x) = lím — =
x 8 +@ x 8 +@ √x 2 + 1 + x
1
= lím =0
x 8 +@ √x 2 +1+x

y = x es asíntota oblicua hacia +@.

√x 2 + 1 √(–x)2 + 1
m = lím = lím = –1
x 8 –@ x x 8 +@ –x

n = lím (√x 2 + 1 + x) = lím (√x 2 + 1 – x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

y = –x es asíntota oblicua hacia –@.


2x x
y' = = ; y ' = 0 8 x = 0, f (0) = 1
2√x 2 +1 √x 2 +1

y' < 0 y' > 0
0

Crece en (0, +@) y decrece en (–@, 0).

Mínimo: (0, 1).


1

–2 –1 1 2

73

19 Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = √4 – x 2 b) y = √x 2 – x
3 3
c) y = √x 2 d) y = √1 – x 2

a) y = √4 – x 2

• Dominio: [–2, 2]
• Asíntotas: no tiene.
–2x –x
f ' (x) = =
2√4 – x2 √4 – x 2
f ' (x) = 0 8 x = 0
Signo de f ' (x):

f' > 0 f' < 0

–2 0 2

f (x) es creciente en el intervalo (–2, 0) y decreciente en el intervalo (0, 2).
Tiene un máximo en (0, 2).
• Corta el eje X en (–2, 0) y en (2, 0).
• Gráfica:

2

–2 2

b) y = √x 2 – x

• Dominio: (– @, 0] « [1, +@)

• Asíntotas:
lím f (x) = +@
x 8 –@

f (x) √ x 2 + x = –1
lím = lím
x 8 –@ x x 8 +@ –x

74

UNIDAD 8

lím [ f (x) + x] = lím [ √x 2 + x – x] =
x 8 –@ x 8 +@
–– ––
= lím
[√x 2 + x – x] [√x 2 + x + x] =
x 8 +@ (√ x 2 + x + x)
x2 + x – x2 x 1
= lím = lím =
x 8 +@ √ x2 + x + x x 8 +@ √ x 2 + x + x 2

y = –x +
1
2
es asíntota oblicua cuando x 8 – @ ( f (x) < –x +
1
2).

lím f (x) = +@
x 8 +@

f (x) √ x2 – x = 1
lím = lím
x 8 +@ x x 8 +@ x

lím [ f (x) – x] = lím [ √x 2 – x – x] =
x 8 +@ x 8 +@
–– ––
= lím
[√x 2 – x – x] [√x 2 – x + x] =
x 8 +@ (√ x 2 – x + x)
x2 – x – x2 –x –1
= lím 2 – x + x
= lím =
x 8 +@ √ x x 8 +@ √ x 2 – x + x 2

y=x–
1
2
es asíntota oblicua cuando x 8 +@ ( f (x) < x –
1
2
. )
2x – 1
f' (x) =
2 √ x2 – x

1
f' (x) = 0 8 2x – 1 = 0 8 x =
2

1
No tiene puntos singulares (en x=
2
no está definida f (x)).

Signo de f' (x):
f' < 0 no existe f' > 0

0 1

f (x) es decreciente en (– @, 0].
es creciente en [1, +@).
• Pasa por (0, 0) y (1, 0).

75

• Gráfica:

1

1

3
c) y = √x 2 = x 2/3
• Dominio: Á
• Simetría:
3
f (–x) = √x 2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• No tiene asíntotas.
lím f (x) = lím f (x) = +@ °
§
x 8 –@ x 8 +@
§
f (x) ¢ Ramas parabólicas.
lím =0 §
x 8 +@ x §
£
2 –1/3 2
f ' (x) = x = 3
3 3 √x
No existe f ' (0) 8 f (x) no es derivable en x = 0.
f (x) es decreciente en (–@, 0) y creciente en (0, +@).

• Pasa por (0, 0).

• Gráfica:

2

1

–2 2

3
d) y = √1 – x 2

• Dominio: Á

76

UNIDAD 8

• Asíntotas:
lím f (x) = –@ °
f (x) = lím
x 8 –@ x 8 +@ §
§
f (x) f (x) ¢ Ramas parabólicas.
lím = lím =0 §
x 8 –@ x x 8 +@ x §
£
–2x
f ' (x) = 3 8 f (x) no es derivable en x = –1 ni en x = 1.
3 √(1 – x 2 )2
f ' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0
Signo de f ' (x):
f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0

–1 0 1

f (x) es creciente en (–@, 0), es decreciente en (0, +@); tiene un máximo en
(0, 1).
• Corta al eje X en (–1, 0) y en (1, 0).
• Gráfica:

1

1
–1

–2

–3

20 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

a) y = x + | x + 2 |

b) y = 2x – | x – 3 |

c) y = | x | + | x – 3 |

d) y = x | x – 1 |

a) y = x + | x + 2 |
Como | x + 2 | = 0 ï x = –2, estudiamos f a la izquierda y a la derecha de
–2 para definirla por intervalos.

77

–x – 2 x+2 ° –2 si x < –2
f (x) = ¢
x
–2
x £ 2x + 2 si x Ó –2

Y

1 X
–2

b) y = 2x – | x – 3 |
Estudiamos la función para valores menores y mayores que 3.

–x + 3 x–3 ° 2x – (–x + 3) = 3x – 3
Restamos: ¢
2x
3
2x £ 2x – (x – 3) = x + 3

° 3x – 3 si x < 3
f (x) = ¢
£ x + 3 si x Ó 3
Y

6

4

2

3 X

c) y = | x | + | x – 3 |
Como | x | = 0 en x = 0 y | x – 3 | = 0 en x = 3, estudiamos f a la izquierda
y a la derecha de esos puntos.

–x x x ° –x + (–x + 3) = –2x + 3
§
0 3 Sumamos: ¢ x + (–x + 3) = 3
–x + 3 –x + 3 x–3 §
£ x + (x – 3) = 2x – 3

° –2x + 3 si x < 0
§
f (x) = ¢ 3 si 0 Ì x Ì 3
§
£ 2x – 3 si x > 3

78

UNIDAD 8

Y

5

3

2 4 X

d) y = x | x – 1 |
Estudiamos f a la derecha y a la izquierda de x = 1.
–x + 1 x–1 ° x (–x + 1) = –x 2 + x
Multiplicamos: ¢
x
1
x £ x (x – 1) = x 2 – x

° –x 2 + x si x < 1
f (x) = ¢ 2
£ x – x si x Ó 1
• y = –x 2 + x es una parábola abierta hacia abajo:

Vértice: –2x + 1 = 0 8 x =
1
2
, f()
1
2
=
1
4
Cortes con OX: –x 2 + x = 0 8 x (–x + 1) = 0 ò x = 0, x = 1
• y = x 2 – x es una parábola abierta hacia arriba:
1
Vértice: 2x – 1 = 0 8 x = (no vale, ya que debe ser x Ó 1)
2

x = 0 (no vale)
Cortes con OX: x 2 – x = 0 8 x (x – 1) = 0
x=1

Y Y Y
y = –x2 + x y = x2 – x
1
y = x|x – 1|
1
1 X
1
1 X

1 X

21 Representa gráficamente:
1
a) y =
|x | – 2

| 2x |
b) y =
x2 + 1

79

1
a) y =
|x | – 2

° 1
§—–x – 2
si x < 0
Definimos la función por intervalos: f (x) = ¢
§— 1
si x Ó 0
£x–2
1 –1
Si x < 0, y = = :
–x – 2 x + 2

Si x < –2, f (x) 8 +@
lím f (x)
x 8 –2 Si x > –2, f (x) 8 –@

x = –2 es una asíntota vertical.

–1
lím =0
x 8 –@ x + 2

y = 0 es asíntota horizontal hacia –@ ( f (x) > 0).

Y

X
–2

1
Si x Ó 0, y = :
x –2
• Dominio: Á –{2}

Si x < 2, f (x) 8 –@
lím f (x)
x82 Si x > 2, f (x) 8 +@

1
lím =0
x 8 +@ x –2
y = 0 es asíntota horizontal hacia +@ ( f (x) > 0).

80

UNIDAD 8

Y

2 X

1
La gráfica de y = es:
|x | – 2

Y

–2 2 X

| 2x |
b) y =
x2 + 1

Definimos la función por intervalos:
° –2x
§—x2 + 1
si x < 0
f (x) = ¢
§— 2x
si x Ó 0
£ x2 + 1

–2x
Si x < 0, y = :
x2 + 1

• Dominio: Á
–2x
lím =0
x 8 –@ x2 + 1
y = 0 es asíntota horizontal hacia –@ ( y > 0).
–2(x 2 + 1) + 2x · 2x –2x 2 – 2 + 4x 2 2x 2 – 2
f ' (x) = 2 + 1)2 = 2 + 1)2 =
(x (x (x 2 + 1)2

81

2x 2 – 2 x = 1 (no vale, 1 > 0)
f ' (x) = 0 ò =0
(x 2 + 1)2 x = –1, f (–1) = 1

Signo de f ':

f' > 0 f' < 0

–1 0

Máximo en (–1, 1).

Y

1

X
–1

2x
Si x Ó 0, y = :
x2 +1

• Dominio: Á



2x
lím =0
x 8 +@ x2+1

y = 0 es asíntota horizontal hacia +@ ( y > 0).


2(x 2 + 1) – 2x · 2x –2x 2 + 2
f ' (x) = =
(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2

x = –1 (no vale, –1 < 0)
f ' (x) = 0 ò –2x 2 + 2 = 0
x = 1, f (1) = 1

Signo de f ':

f' > 0 f' < 0

0 1

Máximo en (1, 1).

82

UNIDAD 8

Y

1

1 X

| 2x |
La gráfica de y = es:
x2 + 1

Y

1

–1 1 X

s22 Considera la función f (x) = x 2 | x – 3 |:
a) Halla los puntos donde f no es derivable.
b) Calcula sus máximos y mínimos.
c) Represéntala gráficamente.

° x 2 (–x + 3) si x < 3 ° ° –x 3 + 3x 2 si x < 3
a) f (x) = ¢ 2 ¢= ¢
£ x (x – 3) si x ≥ 3 £ £ x 3 – 3x 2 si x Ó 3

Si x ? 3, tenemos que f (x) es derivable. Su derivada es:

° –3x 2 + 6x si x < 3
f' (x) = ¢
£ 3x 2 – 6x si x > 3
Por tanto:
f' (3 –) = –9 ° f' (3 –) ? f' (3 +)
¢
f' (3 +) = 9 £ f (x) no es derivable en x = 3 (Punto (3, 0)).

b) f' (x) = 0 8 –3x 2 + 6x = 0 si x < 3
x = 0 8 (0, 0)
3x (–x + 2) = 0
x = 2 8 (2, 4)
3x 2 – 6x = 0 si x > 3 8 ninguno

83

Como f (x) Ó 0 para todo x, tenemos que:
f (x) tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (3, 0), y tiene un máximo en (2, 4).

c) lím f (x) = +@; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

Uniendo todo lo anterior, llegamos a la gráfica:

4

3

2

1

1 2 3

2x 2 + 1
s23 La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de la función f (x) = .
x–k
Halla el valor de k y representa la función así obtenida.

• Hallamos k:
Si y = 2x + 6 es asíntota oblicua, tenemos que:
f (x)
lím = 2; lím [ f (x) – 2x] = 6
x 8 +@ x x 8 +@

Por tanto:
f (x) 2x 2 + 1
lím = lím 2 =2
x 8 +@ x x 8 +@ x – kx

2x 2 + 1 2x 2 + 1 – 2x 2 + 2kx
lím
x 8 +@
[ f (x) – 2x] = lím
x 8 +@
[ x–k ]
– 2x = lím
x 8 +@ x–k
=

2kx + 1
= lím = 2k = 6 8 k = 3
x 8 +@ x–k
También podríamos efectuar la división:
2x 2 + 1 x–k
–2x 2 + 2kx 2x + 2k
2kx + 1
–2kx + 2k 2
1 + 2k 2
La asíntota oblicua es y = 2x + 2k.
2x + 2k = 2x + 6 8 2k = 6 8 k = 3

84

UNIDAD 8

2x 2 + 1
Por tanto, f (x) =
x–3


• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
x 8 3– §
§ x = 3 es asíntota vertical.
¢
lím f (x) = +@ §
x83 + §
£
y = 2x + 6 es asíntota oblicua.
(Si x 8 – @, f (x) < 2x + 6; si x 8 +@, f (x) > 2x + 6)


4x (x – 3) – (2x 2 + 1) 4x 2 – 12x – 2x 2 – 1 2x 2 – 12x – 1
f' (x) = = =
(x – 3) 2 (x – 3) 2 (x – 3) 2

f' (x) = 0 8 2x 2 – 12x – 1 = 0 8

12 ± √ 144 + 8 x = 6,08, f (6,08) = 24,32
8 x=
4 x = –0,08, f (–0,08) = –0,33

Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–0,08 3 6,08

f (x) es creciente en (– @; –0,08) « (6,08; +@).

es decreciente en (–0,08; 3) « (3; 6,08).

tiene un máximo en (–0,08; –0,33).

tiene un mínimo en (6,08; 24,32).

• Gráfica:

26
25
24
23
22

3
–1 6 9 12 15
–2
–3

85

s24 Considera la función:
° 1
§— si x < 0
f (x) = ¢ x 2 + 1
§
£ –x + 1 si x Ó 0

En el intervalo (– @, 0], estudia la existencia de puntos de corte con los ejes,
si la función crece o decrece, la existencia de puntos de inflexión y si tiene
asíntotas. Dibuja la gráfica en todo Á.

° 1
§— si x < 0
f (x) = ¢ x 2 + 1
§
£ –x + 1 si x Ó 0

1
• Si x é (–@, 0), y =
x2 + 1

Si x = 0, y = –x + 1 = 1
Cortes con los ejes: x = 0, y = 1 8 (0, 1)
1
y=0 8 = 0 No tiene solución. No corta a Y.
x2 + 1
–2x –2x
y' = ; = 0 8 –2x = 0 8 x = 0, f (0) = 1
(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2

Signo de f ' (x):
f' > 0

0

La función es creciente.


—
√3
x = — (no vale)
6x 2 – 2 6x 2 – 2 2 1 3—
f '' (x) =
(x 2 + 1)3 ; (x 2 + 1)3 = 0 8 x = 3 √3
x = –—
3
Signo de f '' (x):
f '' (x) > 0 f '' (x) < 0
—
–√ 3 0
—
3

Punto de inflexión: – ( √3 3
3
,
4 ) › (– 0,58; 0,75)

86

UNIDAD 8


1

1

8
25 Dada la función f (x) = ax + b + , calcula a y b para que la gráfica de f
x
pase por el punto (–2, –6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para
esos valores de a y b, representa la función.
8 8
f (x) = ax + b + ; f' (x) = a – 2
x x

• Pasa por (–2, –6), f (–2) = –6 8 –2a + b – 4 = – 6 ° –2a + b = –2 ° a = 2
¢ ¢
• Tangente horizontal 8 f' (–2) = 0 8 a – 2 = 0 £ a=2 £ b=2

8
Para estos valores, queda: f (x) = 2x + 2 +
x
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ °
§
¢
lím f (x) = +@ §§
x 8 0+ £

8
f (x) = 2x + 2 + 8 y = 2x + 2 es asíntota oblicua.
x
(Si x 8 – @, f (x) < 2x + 2; si x 8 +@, f (x) > 2x + 2)

8 2x 2 – 8
f' (x) = 2 – 2 =
x x2
x = –2, f (–2) = –6
f' (x) = 0 8 2x 2 – 8 = 0 8 x 2 = 4
x = 2, f (2) = 10

Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0

–2 0 2

87

• Gráfica:

4
2
2 4

26 Representa las siguientes funciones:
x ln x
a) y = b) y =
ex x
c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x
2
e) y = e –x f ) y = x 2 e –x
x3
g) y = h)y = ln (x 2 – 1)
ln x
x
a) y =
ex
• Dominio: Á (ya que e x ? 0 para todo x).
• Asíntotas:
f (x)
lím f (x) = – @; lím = +@ 8 Rama parabólica
x 8 –@ x 8 –@ x
x
lím f (x) = lím =0
x 8 +@ x 8 +@ ex

y = 0 es asíntota horizontal cuando x 8 +@ ( f (x) > 0).

ex – xex e x (1 – x) 1 – x
f' (x) = 2x = =
e e 2x ex
f' (x) = 0 8 1 – x = 0 8 x = 1
f' > 0 f' < 0
Signo de f ' (x):
1

88

UNIDAD 8

f (x) es creciente en (– @, 1).
es decreciente en (1, +@).

tiene un máximo en 1, ( ) 1
e
.

• Corta a los ejes en el punto (0, 0).

• Gráfica:

1

2

ln x
b) y =
x

• Dominio: (0, +@)

• Asíntotas:
lím f (x) = – @ 8 x = 0 es asíntota vertical.
x 8 0+

ln x
lím =0
x 8 +@ x


(1/x) · x – ln x 1 – ln x
f' (x) = =
x2 x2
f' (x) = 0 8 ln x = 1 8 x = e

Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0

0 e

f (x) es creciente en (0, e).
es decreciente en (e, +@).

tiene un máximo en e, ( ) 1
e
.

89

• Corta al eje X en (1, 0).

• Gráfica:

1

2

c) y = x ln x

• Dominio: (0, +@)

• Asíntotas:
ln x
lím x ln x = lím =0
x 8 0+ x 8 0+ 1/x

f (x)
lím f (x) = +@; lím = +@ 8 Rama parabólica
x 8 +@ x 8 +@ x

1
f' (x) = ln x + x · = ln x + 1
x
1
f' (x) = 0 8 ln x = –1 8 x = e –1 =
e
Signo de f' (x):

f' < 0 f' > 0

0 1
—
e

f (x) es decreciente en 0, ( ) 1
e
.

es creciente en ( )
1
e
, +@ .

tiene un mínimo en ( )1 1
e
,– .
e

90

UNIDAD 8

• Gráfica:

1

1

d) y = (x – 1)e x
• Dominio: Á
• Asíntotas:
–x – 1
lím f (x) = lím (–x – 1)e –x = lím =0
x 8 –@ x 8 +@ x 8 +@ ex
y = 0 es asíntota horizontal cuando x 8 – @ ( f (x) < 0).
f (x)
x 8 +@ x 8 +@ x

f' (x) = e x + (x – 1)e x = e x (1 + x – 1) = x e x
f' (x) = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0

0

f (x) es decreciente en (– @, 0).
tiene un mínimo en (0, –1).
• Gráfica:

1
–1

91

2
e) y = e –x
• Dominio: Á
• Asíntotas:
lím f (x) = lím f (x) = 0
x 8 –@ x 8 +@

y = 0 es asíntota horizontal ( f (x) > 0 para todo x).
2
f' (x) = –2x e –x
f' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0

0

• Gráfica:

1

1

f) y = x 2 e –x
• Dominio: Á
• Asíntotas:
f (x)
lím f (x) = +@; lím = – @ 8 Rama parabólica
x 8 –@ x 8 –@ x

x 2 (1) 2x
lím f (x) = +@; lím x = lím x = 0
x 8 +@ x 8 +@ e x 8 +@ e


92

UNIDAD 8

x2
• Puntos singulares: y =
ex

2x e x – x 2 e x e x (2x – x 2 ) 2x – x 2
f' (x) = x = =
e ex ex

x=0
f' (x) = 0 8 2x – x 2 = 0 8 x (2 – x) = 0
x=2
Signo de f' (x):

f' < 0 f' > 0 f' < 0

0 2


tiene un máximo en 2, ( )
4
e2
.

• Gráfica:

1

2

x3
g) y =
ln x
• Dominio:
ln x = 0 8 x = 1. Además, ha de ser x > 0.
Dom = (0, 1) « (1, +@)

• Asíntotas:
lím f (x) = 0
x 8 0+

lím f (x) = – @ °
§
¢
lím f (x) = +@ § §
x 8 1+ £
f (x)
x 8 +@ x 8 +@ x

93

3x 2 ln x – x 3 · (1/x) 3x 2 ln x – x 2 x 2 (3ln x – 1)
f' (x) = 2 = 2 =
(ln x) (ln x) (ln x) 2

x = 0 (no vale)
f' (x) = 0 8 x 2 (3ln x – 1) = 0
ln x = 1/3 8 x = e 1/3
Signo de f' (x):
f' < 0 f' < 0 f' > 0
1/3
0 1 e

f (x) es decreciente en (0, 1) « (1, e 1/3).
es creciente en (e 1/3, +@).
tiene un mínimo en (e 1/3, 3e).

• Gráfica:

12
10
8
6
4
2 0,5
1 1,5 2

h) y = ln (x 2 – 1)
• Dominio: (– @, –1) « (1, +@)
• Asíntotas:
lím f (x) = – @ 8 x = –1 es asíntota vertical.
x 8 –1–

lím f (x) = – @ 8 x = 1 es asíntota vertical.
x 8 1+

f (x) °
lím f (x) = +@; lím =0 §
x 8 –@ x 8 –@ x §
f (x) §
lím f (x) = +@; lím =0 §
x 8 +@ x 8 +@ x £
2x
f' (x) = 2
x –1
f' (x) = 0 8 2x = 0 8 x = 0
No hay puntos singulares (x = 0 no pertenece al dominio).

94

UNIDAD 8

• Puntos de corte con el eje X:
x = –√2
ln (x 2 – 1) = 0 8 x 2 – 1 = 1 8 x 2 = 2 –
x = √2

Puntos: (– √2 , 0) y ( √2 , 0)
• Gráfica:

6

4

2

2 4 6

27 Estudia los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguien-
tes funciones y represéntalas gráficamente:
e x – e –x
a) y =
2

e x + e –x
b) y =
2
x –x
a) y = e – e = senh x. Esta función se denomina seno hiperbólico de x.
2
x –x
• f' (x) = e + e
2

f' (x) = 0 8 e x + e –x = 0 8 no tiene solución 8
8 no hay máximos ni mínimos
f' (x) > 0 para todo x 8 f (x) es creciente
x –x
• f'' (x) = e – e
2

f'' (x) = 0 8 e x – e –x = 0 8 e x – 1 = 0 8 e 2x – 1 = 0 8
ex
8 e 2x = 1 8 2x = 0 8 x = 0 8 y = 0

Signo de f'' (x):
f '' < 0 f '' > 0

0


95

• Gráfica:

2

2

x –x
b) y = e + e = cosh x. Esta función se denomina coseno hiperbólico de x.
2
x –x
• f' (x) = e – e
2
f' (x) = 0 8 e x – e –x = 0 8 x = 0 8 y = 1

Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0
Hay un mínimo en (0, 1).
1

x –x
• f'' (x) = e + e
2
f'' (x) = 0 8 No tiene solución. 8 No hay puntos de inflexión.

• Gráfica:

2

2

28 Halla los valores de a, b y c para los cuales la función:
ax 2 + bx + c
f (x) =
x2 – 4
tiene como asíntota horizontal la recta y = –1 y un mínimo en (0, 1).
Si y = –1 es asíntota horizontal, debe ser:
ax 2 + bx + c
lím f (x) = –1 8 lím = a = –1 8 a = –1
x 8 ±@ x 8 ±@ x2 – 4

96

UNIDAD 8

Para que tenga un mínimo en (0, 1), debe ser f ' (0) = 0 y f (0) = 1:
(2ax + b)(x 2 – 4) – 2x (ax 2 + bx + c)
f ' (x) =
(x 2 – 4)2
–4b b
f ' (0) = =0 8 – =0 8 b=0
16 4
ax 2 + bx + c c
f (0) = 1 8 =1 8 = 1 8 c = –4
x2 – 4 –4
–x 2 – 4
Por tanto: f (x) =
x2 – 4

29 Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los extremos de cada una
de las siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar su
gráfica entre las siguientes:

1 1 2 4
a) y =
sen x 2 2

b) y = x e x π π 2π
–4 –2 2 4 ––
2
–2 –2
x
c) y = sen
2
3 3 4
d) y = √x
4
1
e) y = √x 2 +1 2
π π 3π
— —
–4 –2 2 4 2 2
f ) y = sen 2 x
5 6
2 2

π 2π 3π –2 2
–2 –2

1
a) y =
sen x
• Dominio:
sen x = 0 8 x = 0 + πk; k é Z
D = Á – {πk}, k é Z

• Asíntotas:
x = πk, k é Z son asíntotas verticales.
No hay más asíntotas.

97

• Extremos:

f' (x) = – cos x
sen 2 x
x = π/2 + 2πk °
f' (x) = 0 8 cos x = 0 ¢ (k é Z)
x = 3π/2 + 2πk £
Signo de f' (x) en (0, 2π):
f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0

0 π π 3π 2π
2 2

f (x) es periódica de período 2π.

2 ( ) ( )
f (x) es decreciente en 0, π « 3π , 2π .
2

es creciente en ( ) ( )
π , π « π, 3π .
2 2

tiene un mínimo en ( ) π, 1 .
2

tiene un máximo en ( ) 3π , –1 .
2
• Gráfica 8 2

b) y = x e x

• Dominio: Á

• Asíntotas:
lím f (x) = lím –x e –x = lím – x = lím – 1 = 0
x 8 –@ x 8 +@ x 8 +@ e x x 8 +@ e x

y = 0 es asíntota horizontal cuando x 8 – @ (f (x) < 0).
f (x)
x 8 +@ x 8 +@ x

• Extremos:
f' (x) = e x + x e x = e x (1 + x)
f' (x) = 0 8 1 + x = 0 8 x = –1
Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0

–1

98

UNIDAD 8

f (x) es decreciente en (– @, –1).
es creciente en (– 1, +@).

tiene un mínimo en –1, ( –1
e
. )
• Gráfica 8 6

x
c) y = sen
2
• Dominio: Á
• Asíntotas: No tiene.
• Extremos:
1 x
f' (x) = cos
2 2
x x
f' (x) = 0 8 cos =0 8 = π + πk 8 x = π + 2πk
2 2 2

f (x) es periódica de período 4π.
Signo de f' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 π 3π 4π

f (x) es creciente en (0, π) « (3π, 4π).
es decreciente en (π, 3π).
tiene un máximo en (π, 1).
tiene un mínimo en (3π, –1).
• Gráfica 8 5
3
d) y = √x

• Dominio: Á
f (x) °
lím f (x) = – @; =0
lím §
x 8 –@ x 8 –@ x §
f (x) §
lím f (x) = +@; lím =0 §
x 8 +@ x 8 +@ x £

• Extremos:
1
f' (x) = 3 8 f (x) no es derivable en x = 0.
3 √ x2
f' (x) > 0 para todo x ? 0.
f (x) es creciente.
• Gráfica 8 1

99

e) y = √x 2 + 1

• Dominio: Á
• Simetría:
f (–x) = f (x) 8 f (x) es par: simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
lím f (x) = +@
x 8 +@

f (x) √ x2 + 1 = 1
lím = lím
x 8 +@ x x 8 +@ x
–– ––
lím [ f(x) – x] = lím [ √x 2 + 1 – x] = lím
(√x 2 + 1 – x) (√x 2 + 1 + x) =
x 8 +@ x 8 +@ x 8 +@ √x 2 + 1 + x
x2 + 1 – x2 1
= lím –– = lím –– =0
x 8 +@ √x 2 + 1 + x x 8 +@ √x 2 + 1 + x

y = x es asíntota oblicua cuando x 8 +@ ( f (x) > x).
Por simetría:
y = –x es asíntota oblicua cuando x 8 – @ ( f (x) > –x).

• Extremos:
2x x
f' (x) = =
2√x 2 +1 √x 2 +1

f' (x) = 0 8 x = 0
Signo de f' (x):
f' < 0 f' > 0

0

f (x) es decreciente en (– @, 0).
• Gráfica 8 3

f) y = sen 2 x
• Dominio: Á
• Extremos:
f' (x) = 2 sen x cos x = sen 2x

100

UNIDAD 8

f' (x) = 0 8 sen 2x = 0 8 2x = 0 + πk 8 x = π k, k é Z
2
f (x) es periódica de período π.
Signo de f' (x) en (0, π):
f' > 0 f' < 0

0 π π
2

f (x) es creciente en 0, π .
2 ( )
es decreciente en ( ) π, π .
2

tiene un máximo en
2 ( )
π, 1 .

tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (π, 0).

• Gráfica 8 4

30 Halla los puntos de corte con los ejes, los máximos, los mínimos y los pun-
tos de inflexión de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 2π],
y represéntalas:
a) y = 1 – 2cos x
b) y = 1 + 2sen x
c) y = sen x – cos x
d) y = sen x + cos x

a) y = 1 – 2cos x
• Dominio: [0, 2π] (nos la definen en este intervalo).
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = –1 8 Punto (0, –1)
1
— Con el eje X 8 y = 0 8 1 – 2cos x = 0 8 cos x = 8
2

π °
x=— §
3
¢ Puntos
5π §
x=—
( ) ( )
π
3
,0 y
5π
3
,0
3 £

• Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = 2sen x
x=0
f ' (x) = 0 8 sen x = 0 x=π
x = 2π

101

Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0

0 π 2π

f(x) es creciente en el intervalo (0, π) y es decreciente en el intervalo (π, 2π).
Tiene un máximo en (π, 3), un mínimo en (0, –1) y otro mínimo en (2π, –1).
f '' (x) = 2cos x
π
x=—
2
f '' (x) = 0 8 cos x = 0
3π
x=—
2
Signo de f '' (x):
f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

0 π 3π 2π
— —
2 2

Puntos de inflexión: ( ) ( )
π
2
,1 y
3π
2
,1

• Gráfica:

3

2

1

π π 3π 2π
— —
2 2
–1

b) y = 1 + 2sen x
• Dominio: [0, 2π] (está solo definida en este intervalo).
— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = 1 8 Punto (0, 1)
1
— Con el eje X 8 y = 0 8 1 + 2sen x = 0 8 sen x = – 8
2

7π °
x=— §
6
¢ Puntos
11π §
x=—
( ) (
7π
6
,0 y
11π
6
,0 )
6 £

102

UNIDAD 8

f ' (x) = 2cos x
π
x=—
2
f ' (x) = 0 8 cos x = 0
3π
x=—
2
Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 π 3π 2π
— —
2 2

f(x) es creciente en 0, ( ) (π
2
«
3π
2 )
, 2π y decreciente en ( π 3π
,
2 2 ).

Tiene un máximo en
π
2( )
, 3 , y un mínimo en ( 3π
2 )
, –1 .

f '' (x) = –2sen x
x=0
f '' (x) = 0 8 sen x = 0 x=π
x = 2π
Signo de f '' (x):

f '' < 0 f '' > 0

0 π 2π

Puntos de inflexión en (0, 1), (π, 1) y en (2π, 1).

• Gráfica:

3

2

1

π π 3π 2π
— —
2 2
–1

c) y = sen x – cos x

• Dominio: [0, 2π] (nos la definen en este intervalo).

— Con el eje Y 8 x = 0 8 y = –1 8 Punto (0, –1)

103

— Con el eje X 8 y = 0 8 sen x – cos x = 0

π °
x=— §
tg x = 1
4
¢ Puntos
5π §
x=—
( ) (
π
4
,0 y
5π
4
,0 )
4 £

f ' (x) = cos x + sen x
3π
x=—
4
f ' (x) = 0 8 cos x + sen x = 0 8 1 + tg x = 0
7π
x=—
4
Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 3π 7π 2π
— —
4 4

f(x) es creciente en 0, ( ) (3π
4
«
7π
4 )
, 2π y decreciente en ( 3π 7π
,
4 4 ).

Tiene un máximo en ( √)
3π
4
, 2 , y un mínimo en ( √)
7π
4
,– 2.

f '' (x) = –sen x + cos x = –(sen x – cos x) = –f (x)
Los puntos de inflexión son los puntos de corte con el eje X.

• Gráfica:

2

1

π π 3π 2π
— —
2 2
–1

d) y = sen x + cos x para 0 Ì x Ì 2π

• f ' (x) = cos x – sen x
π
x=—
4
f ' (x) = 0 8 cos x = sen x 8 tg x = 1
5π
x=—
4

104

UNIDAD 8

Signo de f ' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 π 5π 2π
— —
4 4

Hay un máximo en ( π
4 )
, √2 , y un mínimo en ( 5π
4
, –√2 .)
f '' (x) = –sen x – cos x
3π
x=—
4
f '' (x) = 0 8 sen x = –cos x 8 tg x = –1
7π
x=—
4
Signo de f '' (x):
f' > 0 f' < 0 f' > 0

0 3π 7π 2π
— —
4 4

Hay un punto de inflexión en ( )
3π
4
, 0 y otro en
7π
4 ( )
,0.

• Gráfica:

1

3π — 2π
7π
—
4 4

Página 207

CUESTIONES TEÓRICAS

31 ¿Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos
máximos y dos mínimos relativos?
En esa función, ¿puede estar uno de los mínimos más alto que el máximo?

• Si tiene dos máximos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada
tiene, al menos, cuatro raíces; es decir, f' (x) será, al menos, de grado 4.
Por tanto, f (x) será, al menos, de grado 5.

105

• Sí, podría haber un mínimo más alto que un máximo. Por ejemplo:

El mínimo de x1 está más alto que el
máximo de x0.

x0 x1

32 ¿Cuántos puntos de inflexión puede tener como máximo una función
polinómica de cuarto grado?
Si f (x) es un polinomio de cuarto grado, f' (x) será un polinomio de tercer grado y
f'' (x) será un polinomio de segundo grado.
Así, f '' (x) tendrá, a lo sumo, dos raíces.
Por tanto, f (x) tendrá, como máximo, dos puntos de inflexión.

|x|
33 Comprueba que la función f (x) = tiene dos asíntotas horizontales
x+1
distintas.
–x
° — si x < 0
§ x+1
f (x) = ¢
x
§ — si x ≥ 0
£ x+1

Por tanto:
–x
lím f (x) = lím = –1 8 y = –1 es asíntota horizontal cuando x 8 – @.
x 8 –@ x 8 –@ x+1
x
lím f (x) = lím = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal cuando x 8 +@.
x 8 +@ x 8 +@ x +1

x+1
34 La función f (x) = no está definida en x = 1 ni en x = –1; sin
x2 – 1
embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información.
x+1
f (x) = x + 1 =
x2 – 1 (x + 1)(x – 1)

lím f (x) = – @ °
x 8 1– §
lím + f (x) = +@ §
x81 £
1 1
lím f (x) = lím =–
x 8 –1 x 8 –1 x–1 2
En x = –1 hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota.

106

UNIDAD 8

35 ¿Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? ¿Y horizontales?
• Asíntotas verticales puede tener infinitas. (Como ejemplo, podemos considerar la
1
función y = , cuya gráfica está representada en el ejercicio 17, en la gráfica 2).
sen x
• Asíntotas horizontales puede tener, como máximo, dos: una cuando x 8 – @ y
otra cuando x 8 +@.

s36 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en x = 1 y que no sea
derivable en ese punto. Represéntala.
° –x + 1 si x < 1
y = |x – 1| = ¢
£ x – 1 si x Ó 1
f (1) = 0 °
¢ 8 Hay un mínimo en x = 1, en (1, 0).
f (x) > 0 para x ? 1 £

f (x) no es derivable en x = 1, pues f' (1 –) = –1 ? f' (1 +) = 1.

La gráfica es:

1

1

s37 Da un ejemplo de una función que sea derivable en x = 1 con f ' (1) = 0 y
que no tenga máximo ni mínimo en ese punto.

Por ejemplo, y = (x – 1) 3.
f' (x) = 3(x – 1) 2 8 f' (1) = 0
f' (x) > 0 para x ? 1 8 f (x) es creciente.
En x = 1 hay un punto de inflexión.
La gráfica es:

4

2

–6 –4 –2 2 4 6
–2

–4

107

s38 Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga, al
menos, un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mínimo relativo en el
punto (3, 4). Si la función fuera polinómica, ¿cuál habría de ser, como mí-
nimo, su grado?

f (x) debe tener, al menos, dos máximos y
4 dos mínimos en [0, 4], si es derivable.

3

2
Si f (x) fuera un polinomio, tendría, como
1
mínimo, grado 5 (pues f' (x) se anularía,
al menos, en cuatro puntos).
1 2 3 4

PARA PROFUNDIZAR

x+1
s39 Dada la función f (x) = , se pide:
√x 2 + 1
a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas.
b) Máximos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decreci-
miento.
c) Dibuja la gráfica de f.
a) • Dominio: Á (porque x 2 + 1 > 0 para todo x).

• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales, porque el denominador no se anula para ningún
valor de x.
Asíntotas horizontales:
x+1 –x + 1
lím = lím = –1
x 8 –@ √x 2 + 1 x 8 +@ √x 2 + 1
x+1
lím =1
x 8 +@ √x 2 + 1
y = –1 es asíntota horizontal cuando x 8 – @ ( f (x) > –1).

— 2x
√ x2 + 1 – (x + 1) · —— —
2 √ x2 + 1 x2 + 1 – x 2 – x 1–x
b) f' (x) = = =
2 + 1)
(x √(x 2 + 1)3 √(x 2 + 1)3

f' (x) = 0 8 1 – x = 0 8 x = 1

108

UNIDAD 8

Signo de f' (x):

f' > 0 f' < 0

1

tiene un máximo en (1, √2 ).
c)

1

–1

40 Determina las asíntotas de estas funciones:

√1 – x x + √x 2 + 1
a) y = b) y =
3x x

√1 – x
a) y =
3x

Dominio: (– @, 0) « (0, 1]
√1 – x Si x < 0 y 8 – @
lím = ±@
x80 3x Si x > 0 y 8 +@

√1 – x
lím =0
x 8 –@ 3x
y = 0 es asíntota horizontal hacia –@ (y < 0)

109

x + √x 2 + 1
b) y =
x

Dominio: Á – {0}

x + √x 2 + 1 Si x < 0 y 8 –@
lím = ±@
x80 x Si x > 0 y 8 +@


x + √x 2 + 1
lím =2
x 8 +@ x

y = 2 es asíntota horizontal hacia +@ (y > 2).

x + √x 2 + 1 –x + √x 2 + 1
lím = lím =1–1=0
x 8 –@ x x 8 +@ –x

y = 0 es asíntota horizontal hacia –@ (y < 0).

2

Página 207

AUTOEVALUACIÓN
1. Se considera la función f (x) = x 3 + 2x + 4. ¿Tiene máximos y/o mínimos?
¿Tiene algún punto de inflexión? Estudia su curvatura y represéntala.

f (x) = x 3 + 2x + 4
• f' (x) = 3x 2 + 2
f' (x) = 0 8 3x 2 = –2 8 no tiene solución.
f' (x) > 0 para todo x 8 f (x) es creciente.
• f'' (x) = 6x
f'' (x) = 0 8 6x = 0 8 x = 0, f (0) = 4

110

UNIDAD 8

Signo de f'' (x):

f '' < 0 f '' > 0

0


• Además, lím f (x) = – @; lím f (x) = +@
x 8 –@ x 8 +@

• Gráfica:

4

–2

2. Dibuja la gráfica de una función f de la que sabemos:
lím f (x) = +@; lím f (x) = –3; lím f (x) = – @;
x 8 +@ x 8 –@ x 8 –3

f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

Y

Tiene tangente horizontal en los puntos (–5, 0)
2 y (0, 2). En el primero tiene un máximo, y en el
segundo, un punto de inflexión.
–5 –3 X

–3

6x
3. Estudia las asíntotas y los puntos singulares de f (x) = 2 y represéntala
x +4
gráficamente.
6x
f (x) =
x2 + 4
• Dominio: Á

• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales, ya que x 2 + 4 ? 0.

111

6x
Horizontales: y = 0, ya que lím = 0.
x 8 ±@ x2 + 4

Si x 8 +@ f (x) > 0
Posición
Si x 8 – @ f (x) < 0

6(x 2 + 4) – 6x · 2x –6x 2 + 24
f ' (x) = 2 + 4)2 =
(x (x 2 + 4)2

x = –2, f (–2) = –3/2
f ' (x) = 0 8 –6x 2 + 24 = 0
x = 2, f (2) = 3/2
Signo de f ' (x):

f' < 0 f' > 0 f' < 0 ( )
Mínimo: –2, –
3
2
–2 2

( )
Máximo: 2,
3
2

Y
1

–2 –1 1 2 X

° 4 – x 2 si x < 2
4. Representa la función: f (x) = ¢
£ x – 2 si x Ó 2
Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus extremos.
° 4 – x 2 si x < 2
f (x) = ¢
£ x – 2 si x Ó 2

° –2x si x < 2
f ' (x) = ¢ No es derivable en x = 2.
£1 si x > 2

Para x < 2, la gráfica es una parábola con vértice en (0, 4).
Para x > 2, es una recta.

f ' (x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0
f (x) es creciente en (–@, 0) « (2, +@).
f (0) = 2
Es decreciente en (0, 2).
Tiene un máximo en el punto (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

112

UNIDAD 8

Representación:

Y

1
–2 1
X

x 2 – 6x + 5
5. Estudia y representa la función y =
x–3
x 2 – 6x + 5
• Asíntotas verticales: x = 3, porque lím = ±@
x83 x–3
x 2 – 6x + 5
lím = +@
x8 3– x–3
Posición
x 2 – 6x + 5
lím = –@
x 8 3+ x–3

x 2 – 6x + 5 x 2 – 6x + 5
No tiene, porque lím = +@ y lím = –@
x 8 +@ x–3 x 8 –@ x–3
• Asíntotas oblicuas:
Dividendo resto
Expresamos la función de la forma = cociente +
Divisor divisor

x 2 – 6x + 5 –4
=x–3+ 8 y = x – 3 es la asíntota oblicua.
x–3 x–3

Si x 8 +@, f (x) < x – 3
Posición
Si x 8 –@, f (x) > x – 3

Y

1 3 X

(2x – 6)(x – 3) – (x 2 – 6x + 5) x 2 – 6x + 13
y' = =
(x – 3)2 (x – 3)2

113

6 ± √–16
y ' = 0 8 x 2 – 6x + 13 = 0 8 x = (no tiene solución).
2
Signo de y ': la derivada es positiva en todo el domi- Y

3
–
nio. La función es creciente. No tiene máximos ni

x
=
mínimos.

y
Corta a los ejes en los puntos 0, – ( 5
3 )
, (1, 0) y (5, 0).
1 3 X

6. Dibuja una función continua en Á que tenga un mínimo relativo en (1, 6) y
un máximo relativo en (6, 2). Si es un polinomio, ¿cuál será, como mínimo, su
grado?
Y

6

La función tendrá, como mínimo, cuatro puntos sin-
gulares, y para ello, su grado debe ser, al menos, 5.
2

X
1 6

(x + 1)2
7. Halla los máximos y los mínimos de la función f (x) = .
ex
¿Tiene asíntotas? Haz una gráfica aproximada de esta función.

(x + 1)2 2(x + 1) · e x – (x + 1)2 · e x –x 2 + 1
f (x) = 8 f ' (x) = =
ex (e x )2 ex

Buscamos los puntos en los que se anula la derivada:

–x 2 + 1 x = –1, f (–1) = 0
f ' (x) = 0 8 = 0 8 –x 2 + 1 = 0 4
ex x = 1, f (1) = —
e

Estudiamos el signo de f ' (x):

f' < 0

–1
f' > 0

1
f' < 0 Máximo 1, ( ) 4
e
Mínimo (–1, 0)

114

UNIDAD 8

Asíntotas:

• No tiene asíntotas verticales, ya que e x ? 0.

• Horizontales:
Y
(x + 1)2
lím = 0 8 y = 0 es asíntota hacia +@.
x 8 +@ ex 2
(x + 1)2
lím = +@. No tiene asíntota hacia –@. –1 1 X
x 8 –@ ex

8. Dibuja la gráfica de f (x) = | x + 3| – x. Y

Definimos la función por intervalos:
3
(–x – 3) – x (x + 3) – x ° –2x – 3 si x < –3
f (x) = ¢
–3 £3 si x Ó –3 1
–3 1 X

x+1
9. ¿Qué gráfica corresponde a f (x) = ?
|x|

a) b)

° x+1
— si x < 0
x + 1 § –x
f (x) = =¢
|x| x+1
§ — si x > 0
£ x

x+1
lím = –1 °
§
x 8 –@ –x §
¢
x+1 §
lím =1 §
x 8 +@ x £

• Asíntota vertical: x = 0

• Asíntotas horizontales: y = –1 e y = 1

La gráfica de f es la a).

115

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