Sol01

1 SISTEMAS DE ECUACIONES.
MÉTODO DE GAUSS

Página 27

REFLEXIONA Y RESUELVE

Ecuaciones e incógnitas. Sistemas de ecuaciones

1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”?
¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?

° 2x + y = 5
¢
£ 4x + 2y = 10

■ Represéntalas gráficamente y obser-
va que se trata de la misma recta.

Se trata de la misma recta.

1

1

4x + 2y = 10

2x + y = 5

■ Escribe otro sistema de dos ecuacio-
nes con dos incógnitas en el que la
segunda ecuación sea, en esencia,
igual que la primera. Interprétalo
gráficamente.
x + y = 1°
¢ 1
3x + 3y = 3 £
1
Gráficamente son la misma recta.
x+y=1
3x + 3y = 3

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1

2. Observa las ecuaciones siguientes:
° 2x + y = 5
§
¢ x– y=1
§
£ x + 2y = 4

■ Represéntalas gráficamente y observa
que las dos primeras rectas determi- x–y=1
nan un punto (con esos dos datos se x + 2y = 4
responde a las dos preguntas: x = 2,
y = 1). Comprueba que la tercera rec-
ta también pasa por ese punto.
1 (2, 1)

1 2

2x + y = 5

■ Da otra ecuación que también sea
“consecuencia” de las dos primeras. x–y=1
x + 2y = 4
Por ejemplo:
2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Represéntala y observa que también 1 (2, 1)
pasa por x = 2, y = 1.
1 2
2 · 1.a + 3 · 2.a 8 7x – y = 13

2x + y = 5

7x – y = 13

3. Considera ahora estas ecuaciones:
° 2x + y = 5
¢
£ 2x + y = 7
Observa que lo que dice la segunda
ecuación es contradictorio con lo que
dice la primera.

■ Represéntalas y observa que se trata 1
de dos rectas paralelas, es decir, no
1 2
tienen solución común, pues las rec-
2x + y = 7
tas no se cortan en ningún punto.
2x + y = 5

2

UNIDAD 1

■ Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que in-
ventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.
Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que se
representan mediante rectas paralelas.

x + y = 1° 1
¢ Rectas paralelas:
3x + 3y = 0 £
1

x+y=1

3x + 3y = 0

Página 29
1. Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de siste-
mas:
° x+y=5 °x+y–z=5
a) ¢ b) ¢
£ 2x – y = 7 £x+y–z=7
° x+y= 5 ° z=2
¢ ¢
£ 3x – y = 12 £ x+y–z=7

° x+ y–z= 5
§ ° x + y – z = 11
c) ¢ x + y – z = 7 d) ¢
§ £ x + 2y – z = 7
£ 2x + 2y – z = 12
° z=2 ° x + y – z = 11
¢ ¢
£ x+y–z=7 £ y – z = –4

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía-
mos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El
resto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.

3

1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° 2x + y = 1 °x+ y+z=6 ° x+y+z=6 °x+y+z=6
§ § § §
a) ¢ 3x + 2y = 4 b) ¢ y–z=1 c) ¢ x + y + z = 0 d) ¢ y–z=1
§ § § §
£ x+ y=3 £ x + 2y + z = 7 £x y– z=0 £ z=1

a) 2x + y = 1 ° 8 y = 1 – 2x °
§ §
3x + 2y = 4 ¢ ¢ 1 – 2x = 3 – x 8 x = –2, y = 3 – (–2) = 5
§ §
x+ y= 3£ 8 y= 3 – x £

Veamos si cumple la 2.a ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b) x + y + z = 6 °
§ a
y – z = 1 ¢ La 3. ecuación se obtiene sumando las dos primeras;
§ podemos prescindir de ella.
x + 2y =7£

x + y = 6 – z ° x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z
¢
y=1+z£ y=1+z

Solución: x = 5 – 2l, y = 1 + l, z = l. Son tres planos que se cortan en una recta.
c) x + y + z = 6 ° Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
§
x+ y+z=0¢ El sistema es incompatible.
§ Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
x –z=0£

d) x + y + z = 6° z = 1
§
y–z= 1¢ y = 1 + z = 2
§
z= 1£ x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).

° x + 2y = 3
2. a) Resuelve este sistema: ¢
£ x– y=4
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.
d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

° –1
3 – 2y = 4 + y 8 –1 = 3y 8 y = —
a) x + 2y = 3 ° x = 3 – 2y § 3
¢ ¢
x– y=4 £ x=4+ y § 1 11
£ x=4+y=4– —=—
3 3

11 –1
Solución: x = , y=
3 3

4

UNIDAD 1

b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).

c) Por ejemplo: 2x + y = 9

d) En a) 8 Son dos rectas que se cortan en ( 11 , –1 ).
3 3

La nueva recta también pasa por ( ,
3 3 )
11 –1
En b) 8 .

La nueva recta no pasa por ( ,
3 3 )
11 –1
En c) 8 . No existe ningún punto común a

las tres rectas. Se cortan dos a dos.

Página 32
1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:
° 2x + y + 3z = 6
° 3x – 2y = 7 §
a) ¢ b) ¢ x + y + 3z = 7
£ x – 2y = 5 §
£ 5x + y – z = 4
° 2x + + 3z – 2t = 6 ° 2x + 3y + 3z = 0
§ §
c) ¢ x + y + 3z– 2t = 7 d) ¢ x + 3y – z = 7
§ §
£ 5x + y – 3z + t = 4 £ 4x + 3y + 3z = 4

° x= 7 °
—
a) 3x =7 § 3 § 7 –4
Solución: x = , y=
x – 2y = 5 ¢ x–5 –4 ¢ 3 3
§ y= ——— = — §
£ 2 3 £

b) 2x = 6 ° 2x = 6° x=3
§ §
x + y + 3z = 7 ¢ 5x – z = 4¢ z = 5x – 4 = 11
§ §
5x – z = 4 £ x + y + 3z = 7 £ y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29

Solución: x = 3, y = –29, z = 11

c) 2x – 2t = 6 ° 2x = 6 + 2t ° x=3+t
§ §
x + y + 3z = 7¢ 5x – z=4–t ¢ z = 5x – 4 + t = 11 + 6t
§ §
5x – z+ t = 4£ x + y + 3z = 7 £ y = 7 – x – 3z = –29 – 19t

Soluciones: x = 3 + l, y = –29 – 19l, z = 11 + 6l, t = l

° x=1
d) 2x + 3z = 0 ° 4x =4 §§ –2x –2
§
x + 3y – z = 7 ¢ 2x + 3z = 0 § z = —— = —
¢ 3 3
§ §
7 – x + z 16
4x =4£ x + 3y – z = 7 §
§ y = ———— = —
3 9
£
16 –2
Solución: x = 1, y = , z=
9 3

5

2. ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:

° z+ t=3
° 2y + z = 1 §
§ ° x+y+z=7 °x + y + z = 3 § y + 3z – 2t = 4
a) ¢ 2y + 2z = 1 b) ¢ c) ¢ d) ¢
§ £ 2x + y – z = 4 £ x–y–z=2 § 2z + 2t = 2
£ x + 2y + 2z = 1 §
£ x + y – z + 2t = 5

1
a) 2y + z = 1 ° 2y = 1° y = —
§
§ 2
2y =1¢ 2y + z = 1 §
¢ z = 1 – 2y = 0
§
x + 2y + 2z = 1 £ x + 2y + z = 1 §
§ x = 1 – 2y – z = 0
£
1
Solución: x = 0, y = , z=0
2

° z
b) x + y + z = 7 ° 2x =4+z§ x=2+— 2
¢ ¢
2x –z=4£ x+y=7–z§ 3z
y = 7–z–x= 5 – —
£ 2
Soluciones: x = 2 + l, y = 5 – 3l, z = 2l

c) x + y + z = 3 ° x =2+y° x=2+y
¢ ¢ z = 3 – y – 2 – y = 1 – 2y
x–y =2£ x+z=3–y£

Soluciones: x = 2 + l, y = l, z = 1 – 2l

d) z+ t = 3 ° 2z = 2° z = 1
§ §
y + 3z – 2t = 4 § z+ t = 3§ t = 3 – z = 2
¢ ¢
2z = 2 § y + 3z – 2t = 4 § y = 4 – 3z + 2t = 5
§ §
x – z + 2t = 5 £ x – z + 2t = 5 £ x = 5 + z – 2t = 2
Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

Página 33
3. Transforma en escalonados y resuelve:
° 2x – 3y = 21 ° 5x – 4y = 23
a) ¢ b) ¢
£ 3x + y = 4 £ 3x + 2y = 27

a) 2x – 3y = 21 ° 2x – 3y = 21 ° x = 3 °
(1.ª) §
¢ ¢ 21 – 2x
3x + y = 4 £ 3 · (2.ª) + (1.ª) 11x = 33 £ y = — = –5 ¢§
–3 £
Solución: x = 3, y = –5

6

UNIDAD 1

b) 5x – 4y = 23 ° 5x – 4y = 23 ° x = 7 °
(1.ª) §
¢ ¢ –23 + 5x
3x + 2y = 27 £ 2 · (2.ª) + (1.ª) 11x = 77 £ y = — = 3 ¢ §
4 £
Solución: x = 7, y = 3

4. Transforma en escalonados y resuelve:
° x – y + 3z = – 4
§
a) ¢ x + y + z = 2
§
£ x + 2y – z = 6

° x+y+z= 6
§
b) ¢ x – y – z = – 4
§
£ 3x + y + z = 8

a) x – y + 3z = –4 ° (1.ª)
x – y + 3z = –4 ° (1.ª)
x – y + 3z = –4 °
§ § §
x+ y+ z= 2¢ (2.ª) – (1.ª) 2y – 2z = 6 ¢ (2.ª) : 2 y– z= 3¢
§ (3.ª) – (1.ª) § (3.ª) §
x + 2y – z = 6 £ 3y – 4z = 10 £ 3y – 4z = 10 £

(1.ª)
x – y + 3z = –4 ° z = –1 °
§ §
(2.ª) y– z= 3 ¢ y=3+z=2 ¢
(3.ª) – 3 · (2.a) § §
–z = 1 £ x = –4 + y – 3z = 1 £

Solución: x = 1, y = 2, z = –1

b) x + y + z = 6 ° (1.ª)
x + y + z = 6°
§ § (1.ª) x + y + z = 6°
x – y – z = –4 ¢ (2.ª) – (1.ª) –2y – 2z = –10 ¢ ¢
(2.ª) : (–2) y + z = 5£
§ (3.ª) – 3 · (1.ª) §
3x + y + z = 8 £ –2y – 2z = –10 £

(Podemos prescindir de la 3.a, pues es igual que la 2.a).

x+y=6–z ° x=6–z–y=6–z–5+z=1
¢
y=5–z £ y=5–z

Soluciones: x = 1, y = 5 – l, z = l

Página 36
1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

° x+ y+ z=2 ° 3x – 4y + 2z = 1 ° x – 2y = –3
§ § §
a) ¢ 3x – 2y – z = 4 b) ¢ –2x – 3y + z = 2 c) ¢ –2x + 3y + z = 4
§ § §
£ –2x + y + 2z = 2 £ 5x – y + z = 5 £ 2x + y – 5z = 4

7

( ) ( )
a) x + y + z = 2° 1 1 1 2 (1.ª) 1 1 1 2
§
3x – 2y – z = 4 ¢ 3 –2 –1 4 8 (2.ª) – 3 · (1.a) 0 –5 –4 –2 8
§ –2 1 2 2 (3.ª) + 2 · (1.a) 0 3 4 6
–2x + y + 2z = 2 £

°
x + y + z = 2° z = 3
8
(1.ª)
(2.ª) · (–1)
(3.ª) · 5 + (2.a) · 3 ( 1 1 1
0 5 4
0 0 8
2
2
24 ) 8
§
§
2 – 4z
5y + 4z = 2 ¢ y = ——— = –2
5
2z = 24 £ x = 2 – y – z = 1
§
§
¢
§
§
£

Solución: x = 1, y = –2, z = 3

( ) ( )
b) 3x – 4y + 2z = 1 ° 3 –4 2 1 –7 –2 0 –9
§ (1.ª) – 2 · (3.a)
–2x – 3y + z = 2 ¢ –2 –3 1 2 8 (2.ª) – (3.a) –7 –2 0 –3
§ 5 –1 1 5 (3.ª) 5 –1 1 5
5x – y + z = 5 £

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

( ) ( )
c) x – 2y = –3 ° 1 –2 0 –3 (1.ª) 1 –2 0 –3
§
–2x + 3y + z = 4 ¢ –2 3 1 4 8 (2.ª) + 2 · (1.a) 0 –1 1 –2 8
§ 2 1 –5 4 (3.ª) – 2 · (1.a) 0 5 –5 10
2x + y – 5z = 4 £

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 5 · (2.a) ( 1 –2 0
0 –1 1
0 0 0
–3
–2
0 ) 8
x – 2y = –3 ° x = –3 + 2y
¢
–y + z = –2 £ z = –2 + y

Soluciones: x = –3 + 2l, y = l, z = –2 + l

2. Resuelve mediante el método de Gauss:

° 2x – y + w=0 ° 2x – y + w= 9
° x – y + 2z = 2 § §
§ § x – 2y + z =0 § x – 2y + z = 11
a) ¢ –x + 3y + z = 3 b) ¢ c) ¢
§ § 5x – y + z + w = 0 § 5x – y + z + w = 24
£ x + y + 5z = 7 § §
£ 5x – 2y – z + 2w = 0 £ 5x – 2y – z + 2w = 0

( ) ( )
a) x – y + 2z = 2 ° 1 –1 2 2 (1.ª) 1 –1 2 2
§
–x + 3y + z = 3 ¢ –1 3 1 3 8 (2.ª) + (1.a) 0 2 3 5 8
§ 1 1 5 7 (3.ª) – (1.a) 0 2 3 5
x + y + 5z = 7 £

x – y + 2z = 2 ° x – y = 2 – 2z ° x = 2 – 2z + y
§
8 ¢ 5 – 3z 5 3z
2y + 3z = 5 £ 2y = 5 – 3z ¢ y = ——— = — – —
§ 2 2 2
£
5 3z 9 7z
x = 2 – 2z + – = –
2 2 2 2

9 5
Soluciones: x = –7l, y = – 3l, z = 2l
2 2

8

UNIDAD 1

( )
b) 2x – y + w =0 ° 2 –1 0 1 0
§ (1.ª)
x – 2y + z =0 § 1 –2 1 0 0 (2.ª)
¢ 8
5x – y + z + w =0 § 5 –1 1 1 0 (3.ª) – (1.ª)
§ 5 –2 –1 2 0 (4.ª) – 2 · (1.a)
5x – 2y – z + 2w =0 £

( ) ( )
2 –1 0 1 0 (1.ª) 2 –1 0 1 0
1 –2 1 0 0 (2.ª) 1 –2 1 0 0
8 8
3 0 1 0 0 (3.ª) + (4.ª) 4 0 0 0 0
1 0 –1 0 0 (4.ª) 1 0 –1 0 0

2x – y + w = 0° x = 0
§
x – 2y + z = 0§ z = 0
8 ¢
4x = 0§ y = 0
§
x –z = 0£ w = 0

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

( )
c) 2x – y + w= 9 ° 2 –1 0 1 9
§ (1.ª)
x – 2y + z = 11 § 1 –2 1 0 11 (2.ª)
¢ 8
5x – y + z + w = 24 § 5 –1 1 1 24 (3.ª) – (1.ª)
§ 5 –2 –1 2 0 (4.ª) – 2 · (1.a)
5x – 2y – z + 2w = 0 £

( ) ( )
2 –1 0 1 9 (1.ª) 2 –1 0 1 9
1 –2 1 0 11 (2.ª) 1 –2 1 0 11
8 8
3 0 1 0 15 (3.ª) + (4.ª) 4 0 0 0 –3
1 0 –1 0 –18 (4.ª) 1 0 –1 0 –18

2x – y +w= 9 °
§
x – 2y + z = 11 §
8 ¢
4x = –3 §
§
x –z = –18 £
–3 69
x= ; z = x + 18 =
4 4

x + z – 11 11
y= =
2 4

53
w = 9 – 2x + y =
4

–3 11 69 53
Solución: x = , y= , z= , w=
4 4 4 4

9

1. Discute, en función del parámetro k, estos sistemas de ecuaciones:

° 4x + 2y =k ° 4x + 2y =k
§ §
a) ¢ x + y – z = 2 b) ¢ x + y – z = 2
§ §
£ kx + y + z = 1 £ kx + y + z = 0

( ) ( )
a) 4x + 2y =k° 4 2 0 k (1.ª) 4 2 0 k
§
x + y–z=2¢ 1 1 –1 2 8 (2.ª) 1 1 –1 2 8
§ k 1 1 1 (3.ª) + (2.a) k+1 2 0 3
kx + y + z = 1 £

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a) ( 4 2 0
1 1 –1
k–3 0 0
k
2
3–k )
• Si k = 3, queda:

( 4 2 0
1 1 –1
0 0 0
k
2
0 ) 8
x+ y–z=2° x–z=2–y °
4x + 2y
¢
= 3 £ 4x
¢ 8
= 3 – 2y £

3 – 2y 3 y
8 x= = –
4 4 2

3 – 2y –5 + 2y –5 y
z=x–2+y= –2+y= = +
4 4 4 2
Sistema compatible indeterminado.
3 –5
Soluciones: x = – l, y = 2l, z = +l
4 4

• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x+ y – z = 2 °
§
4x + 2y =k ¢
§
(k – 3)x = (3 – k) £

3–k
x= = –1
k–3
k – 4x k+4 k
y= = =2+
2 2 2
k k
z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +
2 2

k k
Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 +
2 2

10

UNIDAD 1

( ) ( )
b) 4x + 2y =k° 4 2 0 k (1.ª) 4 2 0 k
§
x + y–z=2¢ 1 1 –1 2 8 (2.ª) 1 1 –1 2 8
§ k 1 1 0 (3.ª) + (2.a) k+1 2 0 2
kx + y + z = 0 £

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a) ( 4 2 0
1 1 –1
k–3 0 0
k
2
2–k )
• Si k = 3, queda:

( 4 2 0
1 1 –1
0 0 0
3
2
–1 ) El sistema es incompatible.

• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x+ y – z = 2 °
§
4x + 2y =k ¢
§
(k – 3)x = (2 – k) £

2–k
x=
k–3

k – 4x 2
y= = k +k–8
2 2k – 6

2–k 2 2
z=x+y–2= + k + k – 8 – 2 = k – 5k + 8
k–3 2(k – 3) 2k – 6

2–k 2 2
Solución: x = , y = k + k – 8 , z = k – 5k + 8
k–3 2k – 6 2k – 6

2. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k:

° kx + y – z = 8 °x+ y+ z=1
§ §
a) ¢ x + y + z = 0 b) ¢ y + kz = 1
§ §
£ 2x +z=k £ x + 2y =k

( ) ( )
a) kx + y – z = 8 ° k 1 –1 8 k – 1 0 –2 8
§ (1.ª) – (2.a)
x + y + z = 0¢ 1 1 1 0 8 (2.ª) 1 1 1 0 8
§ 2 0 1 k (3.ª) 2 0 1 k
2x +z=k£

8
(1.ª) + 2 · (3.a)
(2.ª)
(3.ª) ( k+3 0
1
2
1
0
0
1
1
8 + 2k

k
0
)
11

• Si k = –3, queda:

( 0 0 0
1 1 1
2 0 1
2
0
–3 ) Sistema incompatible.

• Si k ? –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
(k + 3)x = 8 + 2k °
§
x+y+z=0 ¢
§
2x +z=k £
8 + 2k
x=
k+3
2
z = k – 2x = k – k – 16
k+3
2
y = –x – z = –k – k + 8
k+3
8 + 2k 2 2
Solución: x = , y = –k – k + 8 , z = k – k – 16
k+3 k+3 k+3

( ) ( )
b) x + y + z = 1 ° 1 1 1 1 (1.ª) 1 1 1 1
§
y + kz = 1 ¢ 0 1 k 1 8 (2.ª) 0 1 k 1 8
§ 1 2 0 k (3.ª) – (1.a) 0 1 –1 k–1
x + 2y = k£

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.a) (1 1
0 1
1
k
0 0 –1 – k
1
1
k–2 )
• Si k = –1, queda:

( 1 1 1
0 1 –1
0 0 0
1
1
–3 ) Sistema incompatible.

• Si k ? –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x+y + z=1 °
§
y + kz = 1 ¢
§
(–1 – k)z = k – 2 £

k–2 2–k
z= =
–1 – k 1+k

y+k (1 + k ) = 1
2–
k
2 2
8 y = 1 – 2k – k = 1 + k – 2k + k = 1 – k + k
1+k 1+k 1+k
2

2 2–k 2 2
x=1–y–z=1–1–k+k – = 1 + k – 1 + k – k – 2 + k = –2 + 3k – k
1+k 1+k 1+k 1+k

2 2 2–k
Solución: x = –2 + 3k – k , y = 1 – k + k , z =
1+k 1+k 1+k

12

UNIDAD 1

Página 42

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Resolución e interpretación geométrica de sistemas lineales
1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° –x + 2y = 0 ° x + 2y = 5
§ §
a) ¢ 2x + y = –5 b) ¢ 3x – y = 1
§ §
£ (3/2)x – 3y = 0 £ 2x + 4y = 0

a)
( –1 2 0
2 1 –5
3/2 –3 0 ) 8
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a)
(2/3) · (3.ª) ( –1 2 0
0 5 –5
1 –2 0 ) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª) ( –1 2 0
0 5 –5
0 0 0 )
–x + 2y = 0 ° x = 2y = –2 °
¢ ¢
5y = –5 £ y = –1 £

Solución: (–2, –1)
Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).

b) ° x + 2y = 5
§
¢ 3x – y = 1
§
£ 2x + 4y = 0

Si dividimos la 3.a ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1.a ecuación es
x + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
La 1.a y la 3.a ecuación representan dos rectas paralelas; la 2.a las corta.

2 Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos geo-
métricamente:

° 3x + y = 2
§ ° x + 2y = –1
§ x– y=1 §
a) ¢ b) ¢ 2x – y = 3
§ 5x – y = 4 §
§ £ 5x + y = 8
£ 2x + 2y = 1

Los resolvemos por el método de Gauss:

( ) ( )
a) 3 1 2 (1.ª) – 3 · (2.ª) 0 4 –1
1 –1 1 (2.ª) 1 –1 1
8
5 –1 4 (3.ª) – 5 · (2.ª) 0 4 –1
2 2 1 (4.ª) – 2 · (2.a) 0 4 –1

13

Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera.
Quedaría:
–1
4y = –1 8 y =
4
1 3
x–y=1 8 x=1+y=1– =
4 4

Solución: ( 3 , –1 )
4 4

El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( 3 , –1 ).
4 4

(
b) 1 2
2 –1
5 1
–1
3
8
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
( 1 2
0 –5
0 –9
–1
5
13
)
–13
De la 2.a ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.a ecuación, obtenemos y = .
9
Luego el sistema es incompatible.
El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún
punto común a las tres.

3 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° x+y–z=2 ° 2x + y + z = 3
§ §
a) ¢ 2x + y + z = 2 b) ¢ x – y + z = 1
§ §
£ x–y+z=0 £ 3x + y + z = 4

a) ° x + y – z = 2
§
¢ 2x +z=2
§
£ x–y =0

Lo resolvemos por el método de Gauss:

( 1 1 –1
2 0 1
1 –1 0
2
2
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª)
( 1 1 –1
0 –2 3
0 –2 1
2
–2
–2
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
( 1 1 –1
0 –2 3
0 0 –2
2
–2
0
)
x + y – z = 2° x + y – z = 2° x + y = 2° x = 2 – y = 1 °
§ § § §
–2y + 3z = –2 ¢ –2y + 3z = –2 ¢ –2y = –2 ¢ y = 1 ¢
§ § § §
–2z = 0 £ z = 0£ z = 0£ z = 0 £
Solución: (1, 1, 0)
Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 1, 0).

14

UNIDAD 1

b) ° 2x + y =3
§
¢ x–y+z=1
§
£ 3x +z=4

Observamos que la 3.a ecuación es la suma de la 1.a y la 2.a: podemos prescin-
dir de ella.

2x + y = 3 ° 2x = 3 – y °
¢ ¢ 8
x – y + z = 1£ x + z = 1 + y £

° 3–y
§x = — 2
8 ¢
§ z = 1 + y – x = 1 + y – — = – — + 3y
3–y 1
—
£ 2 2 2

y
Hacemos l = .
2

Solución: x = ( 3
2
1
– l, y = 2l, z = – + 3l
2 )
Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan en una recta que pasa por

( 3
2
, 0, – )
1
2
con dirección (–1, 2, 3).

4 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:

° x+y–z=5 ° 2x + y – z = 1
§ §
a) ¢ x – y + z = 3 b) ¢ 2x + y – z = 3
§ §
£ 2x – y + z = 0 £ y–z=0

a) x + y – z = 5 ° ° y–z=5
§ §
x – y + z = 3¢ 8 ¢ – y + z = 3
§ §
2x = 0£ £x =0

La 2.a ecuación contradice la opuesta de la 1.a. No tiene solución.

Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan dos a dos.

b) ° 2x + y – z = 1
§
¢ 2x + y – z = 3
§
£ y–z=0

La 1.a y la 2.a ecuación son contradictorias. No tiene solución.

Geométricamente, se trata de dos planos paralelos que son cortados por un ter-
cero.

15

5 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:
° x + 2y – z = 3 ° –x + 3y + 6z = 3
a) ¢ b) ¢
£ 2x + 4y – 2z = 1 £ (2/3)x – 2y – 4z = 2

a) x + 2y – z = 3 °
¢ Si dividimos la 2.a ecuación entre 2, obtenemos:
2x + 4y – 2z = 1 £
1
x + 2y – z = , que contradice la 1.a.
2
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
b) –x + 3y + 6z = 3 ° 2
¢ Si multiplicamos por – la 1.a ecuación, obtenemos:
(2/3)x – 2y – 4z = 2 £ 3
2
x – 2y – 4z = –2, que contradice la 2.a ecuación.
3
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

Sistemas escalonados
6 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-
nados:
° –y+ z=1
° 2x – y = 7 §
a) ¢ b) ¢ 9z = 2
£ 23y = – 69 §
£ 3x – y + z = 3
° –2x + y – z = 0 ° 2x – 3y + z = 0
§ §
c) ¢ x + y – z = 9 d) ¢ 3x – y =0
§ §
£ x–y–z=2 £ 2y =1

a) 2x – y = 7 ° y = –3 °
§
¢ 7+y
23y = –69 £ x = — = 2 ¢
§
2 £
Solución: (2, –3)

b) –y+ z=1°
§
9z = 2 ¢ z = 2 y=z–1=
–7
x=
3+y–z
=
2
§ 9 9 3 3
3x – y + z = 3 £

Solución: ( 2 , –7 , 2 )
3 9 9

c) –2x = 0°
§
x + y – z = 9¢ x = 0 z = x – 2 = –2 y=9+z–x=7
§
x – z = 2£

Solución: (0, 7, –2)

16

UNIDAD 1

d) 2x – 3y + z = 0 °
§ 1 y 1 7
3x – y =0¢ y= x= = z = –2x + 3y =
§ 2 3 6 6
2y =1£

Solución: (1, 1, 7)
6 2 6

7 Resuelve los siguientes sistemas:

°x–y+z=2 ° 2x + y + z = 4
a) ¢ b) ¢
£ y+z=5 £ y+z=2

°x + y – z + t = 4 °x+y–t+z=2
§ §
c) ¢ y+z– t=3 d) ¢ y–t+z=4
§ §
£ z + 2t = 1 £ y+t–z=1

a) x – y + z = 2 ° y = 5
¢
y = 5£ x = 2 – z + y = 7 – z

Soluciones: (7 – l, 5, l)

y=2–z
b) 2x + y + z = 4 ° 2x + y = 4 – z °
¢ ¢ 4–z–y 4–z–2+z
y + z = 2£ y = 2 – z £ x = —— = —— = 1
2 2
Soluciones: (1, 2 – l, l)

c) x + y – z + t = 4 ° x + y – z = 4 – t °
§ §
y + z – t = 3¢ y + z = 3 + t¢
§ §
z + 2t = 1 £ z = 1 – 2t £

z = 1 – 2t y = 3 + t – z = 2 + 3t x = 4 – t + z – y = 3 – 6t
Soluciones: (3 – 6l, 2 + 3l, 1 – 2l, l)

d) x + y – t = 2° y = 4 – z
§
y + z = 4 ¢ t = 1 – y + z = 1 – (4 – z) + z = –3 + 2z
§
y + t – z = 1 £ x = 2 – y + t = 2 – (4 – z) – 3 + 2z = –5 + 3z

Soluciones: (–5 + 3l, 4 – l, l, –3 + 2l)

8 Transforma en escalonados y resuelve los sistemas siguientes:

° 3x – 2y = 5 ° x + 2y = 1
§ §
a) ¢ x + y = 0 b) ¢ x + y = 0
§ §
£ x– y=2 £ 2x + y = 3

17

( ) ( )
a) 3x – 2y = 5 ° 3 –2 5 (2.ª) 1 1 0
§
x + y = 0¢ 1 1 0 8 (1.ª) 3 –2 5 8
§ 1 –1 2 (3.ª) 1 –1 2
x – y = 2£

8
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) – (1.a) ( 1 1
0 –5
0 –2
0
5
2 ) 8
(1.ª)
(2.ª) : 5
(3.ª) : 2 ( 1 1
0 –1
0 –1
0
1
1 ) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.a) ( 1 1
0 –1
0 0
0
1
0 ) 8
x + y = 0°
¢ y = –1
–y = 1 £
x = –y = 1


( ) ( )
b) x + 2y = 1° 1 2 1 (1.ª) 1 2 1
§
x+ y= 0¢ 1 1 0 8 (2.ª) – (1.a) 0 –1 –1
§ 2 1 3 (3.ª) – 2 · (1.a) 0 –3 1
2x + y = 3£

La 2.a y 3.a filas son contradictorias. No tiene solución.

9 Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:
° – y +z = 1
° 2x – y = 7 §
a) ¢ b) ¢ x – 2y – z = 2
£ 5x + 3y = –10 §
£ 3x – y + z = 3

a) 2x – y = 7 ° 2 –1
¢
5x + 3y = –10 £ 5 3 ( 7
–10
8 ) (1.ª)
(2.ª) + 3 · (1.ª) ( 11 –1 11 ) 8
2
0
7

2x – y = 7 °
8 ¢ x=1 y = 2x – 7 = –5
11x = 11 £

( )
b) –y + z = 1 °

3x – y + z = 3 £
§
x – 2y – z = 2 ¢
§ ( 0 –1 1
1 –2 –1
3 –1 1
1
2
3
) 8
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
1 –2 –1
0 –1 1
3 –1 1
2
1
3
8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
( 1 –2 –1
0 –1 1
0 5 4
2
1 8
–3
) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 5 · (2.ª)
( 1 –2 –1
0 –1 1
0 0 9
)
2
1 8
2

x – 2y – z = 2 °
§ 2 –7 2
8 –y + z = 1 ¢ z= y=z–1= x = 2 + 2y + z =
§ 9 9 3
9z = 2 £

Solución: ( 2 , –7 , 2 )
3 9 9

18

UNIDAD 1

Método de Gauss
s10 Resuelve aplicando el método de Gauss:
°x+y = 1 ° x+ y+ z=0
§ §
a) ¢ y + z = –2 b) ¢ x + 3y + 2z = 0
§ §
£x +z=3 £ 2x + 4y + 3z = 0

° x+ y– z=1 ° 3x + 4y – z = 3
§ §
c) ¢ 3x + 2y + z = 1 d) ¢ 6x – 6y + 2z = –16
§ §
£ 5x + 3y + 3z = 1 £ x – y + 2z = – 6

( ) ( )
a) x + y = 1 ° 1 1 0 1 (1.ª) 1 1 0 1
§
y + z = –2 ¢ 0 1 1 –2 8 (2.ª) 0 1 1 –2 8
§ 1 0 1 3 (3.ª) – (1.ª) 0 –1 1 2
x +z= 3 £

( )
(1.ª) 1 1 0 1 x+y = 1°
§
8 (2.ª) 0 1 1 –2 8 y + z = –2 ¢
(3.ª) + (2.ª) 0 0 2 0 §
2z = 0 £

z=0 y = –2 – z = –2 x=1–y=3
Solución: (3, –2, 0)

( ) ( )
b) x + y + z = 0 ° 1 1 1 0 (1.ª) 1 1 1 0
§
x + 3y + 2z = 0 ¢ 1 3 2 0 8 (2.ª) – (1.ª) 0 2 1 0 8
§ 2 4 3 0 (3.ª) – 2 · (1.ª) 0 2 1 0
2x + 4y + 3z = 0 £

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª) ( 1 1 1
0 2 1
0 0 0
0
0
0 ) 8
x + y + z = 0°
¢ y=–
2y + z = 0 £
z
2
x = –y – z = –
z
2

l l
(
Soluciones: – , – , l
2 2 )

( ) ( )
c) x + y – z = 1 ° 1 1 –1 1 (1.ª) 1 1 –1 1
§
3x + 2y + z = 1 ¢ 3 2 1 1 8 (2.ª) – 3 · (1.ª) 0 –1 4 –2 8
§ 5 3 3 1 (3.ª) – 5 · (1.ª) 0 –2 8 –4
5x + 3y + 3z = 1 £

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª) ( 1 1 –1
0 –1 4
0 0 0
1
–2
0 ) 8
x + y – z = 1°
¢
–y + 4z = –2 £

y = 4z + 2
x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3z
z=l

Soluciones: (–1 – 3l, 2 + 4l, l)

19

( )
d) 3x + 4y – z = 3 °

x – y + 2z = – 6 £
§
6x – 6y + 2z = –16 ¢
§ ( 3 4 –1
6 –6 2
1 –1 2
3
–16
–6
) 8
(3.ª)
(2.ª) : 2
(1.ª)
1 –1 2
3 –3 1
3 4 –1
–6
–8
3
8

8
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.a)
( 1 –1 2
0 0 –5
0 7 –7
–6
10
21
) 8
(1.ª)
(2.ª) : (–5)
(3.ª) : 7
( 1 –1 2
0 0 1
0 1 –1
–6
–2
3
) 8

x – y + 2z = –6 °
§ y=3+z=3–2=1
8 z = –2 ¢
§ x = –6 + y – 2z = –6 + 1 + 4 = –1
y– z= 3£

Solución: (–1, 1, –2)

s11 Resuelve aplicando el método de Gauss:
° 2x + 5y = 16 ° 3x + 2y + z = 1
§ §
a) ¢ x + 3y – 2z = –2 b) ¢ 5x + 3y + 3z = 3
§ §
£ x + z= 4 £ x+ y+ z=0

( )
a) 2x + 5y = 16 °

x + z= 4£
§
x + 3y – 2z = –2 ¢
§ ( 2 5 0
1 3 –2
1 0 1
16
–2
4
) 8
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (3.a)
(3.ª)
2 5 0
3 3 0
1 0 1
16
6
4
8

8
(1.ª)
(2.ª) : 3
(3.ª)
( 2 5 0
1 1 0
1 0 1
16
2
4
) 8
(1.ª) – 5 · (2.a)
(2.ª)
(3.ª)
( –3 0 0
1 1 0
1 0 1
6
2
4
) 8

–3x = 6 ° x = –2
§
8 x+y =2¢ y=2–x=4
§
x +z=4£ z=4–x=6

Solución: (–2, 4, 6)

( )
b) 3x + 2y + z = 1 °

x + y + z = 0£
§
5x + 3y + 3z = 3 ¢
§ (3 2 1
5 3 3
1 1 1
1
3
0
) 8
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
1 1 1
5 3 3
3 2 1
0
3
1
8

8
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.a)
( 1 1 1
0 –2 –2
0 –1 –2
0
3
1
) 8
(1.ª)
(2.ª)
–2 · (3.ª) + (2.a)
( 1 1 1
0 –2 –2
0 0 2
0
3
1
) 8

x + y + z = 0°
§ 1 3 + 2z 3
8 –2y – 2z = 3 ¢ z= y= = –2 x = –y – z =
§ 2 –2 2
2z = 1 £

Solución: ( 3 , –2, 1 )
2 2

20

UNIDAD 1

s12 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

° x + 2y + z = 9
§ ° x + 2y + z = 3
a) ¢ x – y – z = –10 b) ¢
§ £ 2x – y + z = – 1
£ 2x – y + z = 5

° –x + 2y – z = 1 ° 2x – 3y + z = 0
§ §
c) ¢ 2x – 4y + 2z = 3 d) ¢ 3x – y =0
§ §
£ x+ y+ z=2 £ 4x + y – z = 0

( )
a) x + 2y + z = 9 ° 1 2 1
§
x – y – z = –10 ¢ 1 –1 –1
§
2x – y + z = 5 £ 2 –1 1
( 9
–10 8
5
) (1.ª)
–(2.ª) + (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
1 2 1
0 3 2
0 –5 –1
9
19 8
–13

( )
(1.ª) 1 2 1 9 x + 2y + z = 9 °
§
8 (2.ª) 0 3 2 19 8 3y + 2z = 19 ¢
(2.ª) + 2 · (3.ª) 0 –7 0 –7 §
–7y = –7 £

19 – 3y
y=1 z= =8 x = 9 – 2y – z = –1
2


b) x + 2y + z = 3 ° 1 2 1
¢
2x – y + z = –1 £ 2 –1 1 ( 3
–1 )8 (1.ª)
–(2.ª) + 2 · (1.ª) (1
0
2 1
5 1
3
7)8

° 7 z
§ y=—–—
x + 2y = 3 – z § 5 5
8
5y = 7 – z ¢ 14 2z 1 3z
§ x = 3 – z – 2y = 3 – z – — + — = — – —
§ 5 5 5 5
£

Si hacemos z = 5l, las soluciones son: ( 1 – 3l,
5
7
5
– l, 5l )

( )
c) –x + 2y – z = 1 °
2x – 4y + 2z = 3
x+ y+ z=2
§
¢
§
£
( –1 2 –1
2 –4 2
1 1 1
1
3
2
) 8
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
1 1 1
2 –4 2
–1 2 –1
2
3
1
8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) + (1.ª)
( 1 1 1
0 –6 0
0 3 0
2
–1
3
) 8
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (3.a)
(3.ª)
( 1 1 1
0 0 0
0 3 0
2
5
3
)
La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5

El sistema es incompatible.

21

d) 2x – 3y + z = 0 °
3x – y =0
4x + y – z = 0
§
¢
§
£
( 2 –3 1
3 –1 0
4 1 –1
0
0
0
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.a)
( 2 –3 1
3 –1 0
6 –2 0
0
0
0
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.a)
( 2 –3 1
3 –1 0
0 0 0
0
0
0
) 8
2x – 3y + z = 0 °
3x – y =0£
¢

y = 3x
z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x
x=l

Soluciones: (l, 3l, 7l)

Página 43
s13 Estudia y resuelve por el método de Gauss:

° –x + y + 3z = –2 ° y + z = –1
§ §
a) ¢ 4x + 2y – z = 5 b) ¢ x – y = 1
§ §
£ 2x + 4y – 7z = 1 £ x + 2y + 3z = –2

° 5x + 2y + 3z = 4 ° x – y + 3z – 14t = 0
§ §
c) ¢ 2x + 2y + z = 3 d) ¢ 2x – 2y + 3z + t = 0
§ §
£ x – 2y + 2z = –3 £ 3x – 3y + 5z + 6t = 0

a) –x + y + 3z = –2 °
4x + 2y – z = 5 ¢
§
§
2x + 4y – 7z = 1 £
( –1 1 3
4 2 –1
2 4 –7
–2
5
1
) 8
(1.ª)
(2.ª) + 4 · (1.a)
(3.ª) + 2 · (1.a)
( –1 1 3
0 6 11
0 6 –1
–2
–3
–3
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a)
( –1 1 3
0 6 11
0 0 –12
–2
–3
0
) 8 Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos:

–x + y + 3z = –2 °
§ 1 3
6y + 11z = –3 ¢ y=– x = y + 3z + 2 =
§ 2 2
z= 0£

Solución: ( 3 , – 1 , 0)
2 2

22

UNIDAD 1

b) y + z = –1 °
x– y = 1¢
§
§
x + 2y + 3z = –2 £
( 0 1 1
1 –1 0
1 2 3
–1
1
–2
) 8
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
( 1 –1 0
0 1 1
1 2 3
1
–1
–2
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a)
( 1 –1 0
0 1 1
0 3 3
1
–1
–3
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.a)
( 1 –1 0
0 1 1
0 0 0
1
–1
0
)
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
° x=1+y
x–y = 1§
¢ z = –1 – y
y + z = –1 §
£ y=l
Soluciones: (1 + l, l, –1 – l)

c) 5x + 2y + 3z = 4 °
2x + 2y + z = 3 ¢
§
§
x – 2y + 2z = –3 £
( 5 2 3
2 2 1
1 –2 2
4
3
–3
) 8
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
( 1 –2 2
2 2 1
5 2 3
–3
3
4
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 5 · (1.a)
( 1 –2 2
0 6 –3
0 12 –7
–3
9
19
) 8
(1.ª)
(2.ª) : 3
(3.ª) – 2 · (2.a)
( 1 –2 2
0 2 –1
0 0 –1
–3
3
1
)
Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:
x – 2y + 2z = –3 ° z = –1
§
2y – z = 3 ¢ y = 1
§
–z = 1 £ x = –3 + 2y – 2z = 1

Solución: (1, 1, –1)

d) x – y + 3z – 14t = 0 ° 1 –1 3 –14 0
§
2x – 2y + 3z + t = 0 ¢ 2 –2 3 1 0 8
§
3x – 3y + 5z + 6t = 0 £ 3 –3 5 6 0
( )
8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.a)
( 1 –1 3 –14 0
0 0 –3 29 0 8
0 0 –4 48 0
) (1.ª)
(2.ª)
–4 · (2.a) + 3 · (3.a)
( 1 –1 3 –14 0
0 0 –3 29 0
0 0 0 28 0
)
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
t=0
x – y + 3z – 14t = 0 °
§ z=0
–3z + 29t = 0 ¢
§ x=y
28t = 0 £
y=l

Soluciones: (l, l, 0, 0)

23

14 Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:
°x+y+z=3 ° x+y+z=3
§ §
a) ¢ x + y – z = 3 b) ¢ 2x – y + z = 2
§ §
£ z=0 £ x –y+z=1

a) x + y + z = 3° x + y = 3°
§ §
x+y–z= 3 ¢ x + y = 3 ¢ Compatible indeterminado.
§ §
z= 0£ z = 0£

b) x + y + z = 3 ° 1 1 1
2x – y + z = 2
x –y+z=1
§
(
¢ 2 –1 1
§ 1 –1 1
£
3
2
1
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª)
( 1 1 1
0 –3 –1
0 –2 0
3
–4
–2
) 8

8 Compatible determinado.

s15 Estudia y resuelve por el método de Gauss:
° x+ y+ z= 2 ° 2x – 3y + z = 0
§ §
a) ¢ 2x + 3y + 5z = 11 b) ¢ x + 2y – z = 0
§ §
£ x – 5y + 6z = 29 £ 4x + y – z = 0
a) x + y + z = 2 °
2x + 3y + 5z = 11
x – 5y + 6z = 29
§
¢
§
£
( 1 1 1
2 3 5
1 –5 6
2
11
29
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª)
( 1 1 1
0 1 3
0 –6 5
2
7
27
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 6 · (2.ª)
( 1 1 1
0 1 3
0 0 23
2
7
69
) 8

x + y + z = 2° z = 3 °
§ §
8 y + 3z = 7 ¢ y = 7 – 3z = –2 ¢
§ §
23z = 69 £ x = 2 – y – z = 1 £
El sistema es compatible determinado, con solución (1, –2, 3).
b) 2x – 3y + z = 0 °

4x + y – z = 0 £
§
x + 2y – z = 0 ¢
§ ( 2 –3 1
1 2 –1
4 1 –1
0
0
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) + (1.ª)
( 2 –3
3 –1
6 –2
1
0
0
0
0
0
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
( 2 –3
3 –1
0 0
1
0
0
0
0
0
) 8 Sistema compatible indeterminado.

° y = 3x
2x – 3y + z = 0 §
Lo resolvemos: ¢ z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x
3x – y = 0§
£ x=l
Soluciones: (l, 3l, 7l)

24

UNIDAD 1

Discusión de sistemas de ecuaciones

16 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

° x + 2y = 3 ° x – 2y + z = 3
§ §
a) ¢ x + 2y = 1 b) ¢ y + 2z = 0
§ §
£ x + 2y = m – 2 £ 3y + 7z = m

° x+ y– z=1 ° x–y+z=0
§ §
c) ¢ –2y + 8z = 3 d) ¢ 3x – y + z = 0
§ §
£ mz = 1 £ (m – 5)z = 0

( ) ( )
a) x + 2y = 3 ° 1 2 3 (1.ª) 1 2 3
§
x + 2y = 1 ¢ 0 1 1 8 (2.ª) 0 1 1
§ 0 2 m–2 (3.ª) – 2 · (2.ª) 0 0 m–4
x + 2y = m – 2 £

• Si m = 4 8 Sistema compatible determinado.
• Si m ? 4 8 Sistema incompatible.

( ) ( )
b) x – 2y + z = 3 ° 1 –2 1 3 (1.ª) 1 –2 1 3
§
y + 2z = 0 ¢ 0 1 2 0 8 (2.ª) 0 1 2 0
§ 0 3 7 m (3.ª) – 3 · (1.ª) 0 0 1 m
3y + 7z = m £

Sistema compatible determinado para todo m.

( )
c) x + y – z = 1° 1 1 –1 1
§
–2y + 8z = 3 ¢ 0 –2 8 3
§ 0 0 m 1
mz = 1 £

• Si m = 0 8 Sistema incompatible.
• Si m ? 0 8 Sistema compatible determinado.

( )
d) x – y + z = 0 ° 1 –1 0 0
§
3x – y + z = 0 ¢ 3 0 1 0
§ 0 0 m–5 0
(m – 5)z = 0 £

• Si m = 5 8 Sistema compatible indeterminado.
• Si m ? 5 8 Sistema compatible determinado con solución (0, 0, 0).

s17 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

° 2x – y = 4 ° 2x + y – z = 1
§ §
a) ¢ –x + y/2 = –2 b) ¢ x – 2y + z = 3
§ §
£ x + ky = 2 £ 5x – 5y + 2z = m

25

( ) ( )
a) 2x – y = 4 ° 2 –1 4 (1.ª) 2 –1 4
§
–x + y/2 = –2 ¢ –1 1/2 –2 8 2 · (2.ª) + (1.a) 0 0 0
§ 1 k 2 2 · (3.ª) – (1.ª) 0 2k + 1 0
x + ky = 2 £
1
• Si k = – 8 Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
2
° y = 2x –4
2x – y = 4 8 ¢
£x = l
Soluciones: (l, 2l – 4)
1
• Si k ? – 8 Sistema compatible determinado.
2

2x – y=4° y=0
¢
(2k + 1)y = 0 £ x = 2

Solución: (2, 0)
b) 2x + y – z = 1 °
x – 2y + z = 3
5x – 5y + 2z = m
§
¢
§
£
( 2 1 –1
1 –2 1
5 –5 2
1
3
m
) 8
(2.ª)
(1.a)
(3.ª)
( 1 –2 1
2 1 –1
5 –5 2
3
1
m
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
(1 –2 1
0 5 –3
0 5 –3
3
–5
m – 15
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
( 1 –2 1
0 5 –3
0 0 0
3
–5
m – 10
)
• Si m = 10 8 Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
° –5 + 3z 3z
x – 2y + z = 3 § y = ——— = –1 + —
5 5
¢
5y – 3z = –5 § 6z z
£ x = 3 + 2y – z = 3 – 2 + — – z = 1 + —
5 5
Hacemos z = 5l.
Soluciones: (1 + l, –1 + 3l, 5l)
• Si m ? 10 8 Incompatible.

s18 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo
hacen compatible:
° x – y – 2z = 2
° x + 2y = 3 §
§ § 2x + y + 3z = 1
a) ¢ 2x – y = 1 b) ¢
§ § 3x + z=3
£ 4x + 3y = m §
£ x + 2y + 5z = m

26

UNIDAD 1

a) x + 2y = 3 °
2x – y = 1 ¢
§
§
4x + 3y = m £
( 1 2
2 –1
4 3
3
1
m
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 4 · (1.ª)
( 1 2
0 –5
0 –5
3
–5
m – 12
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) : (–5)
(3.ª) – (2.ª)
( 1 2
0 1
0 0
3
1
m–7
)
• Si m = 7 8 Sistema compatible determinado.
x + 2y = 3 °
¢ x = 3 – 2y = 1
y = 1£
Solución: (1, 1)
• Si m ? 7 8 Sistema incompatible.

b) x – y – 2z = 2

( )
° 1 –1 –2 2
§
2x + y + 3z = 1 § 2 1 3 1
¢ 8
3x + z=3 § 3 0 1 3
§ 1 2 5 m
x + 2y + 5z = m £

( ) ( )
(1.ª) 1 –1 –2 2 (1.ª) 1 –1 –2 2
(2.ª) – 2 · (1.a) 0 3 7 –3 (2.ª) 0 3 7 –3
8 8
(3.ª) – 3 · (1.ª) 0 3 7 –3 (3.ª) – (2.ª) 0 0 0 0
(4.ª) – (1.a) 0 3 7 m–2 (4.ª) – (2.ª) 0 0 0 m+1

• Si m = –1 8 Sistema compatible indeterminado.

° –3 – 7z 7z
§
x – y – 2z = 2 § y = ——— = –1 – —
3 3
¢
3y + 7z = –3 § 7z z
§ x = 2 + y + 2z = 2 – 1 – — + 2z = 1 – —
3 3
£

Haciendo z = 3l:
Soluciones: (1 – l, –1 – 7l, 3l)

• Si m ? –1 8 Sistema incompatible.

PARA RESOLVER

s19 Discute estos sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

° 2x – 3y + z = 0 ° 3x + 2y – z = 1
§ §
a) ¢ x – ky – 3z = 0 b) ¢ x – z=1
§ §
£ 5x + 2y – z = 0 £ 2x + 2y + kz = 0

27

( )
a) 2x – 3y + z = 0 ° 2 –3 1 0
§
x – ky – 3z = 0 ¢ 1 –k –3 0 8
§ 5 2 –1 0
5x + 2y – z = 0 £

8
(1.ª)
2 · (2.ª) – (1.a)
2 · (3.ª) – 5 · (1.a) ( 2 –3
0 –2k + 3
0 19
1
–7
–7
0
0
0 ) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – (3.a)
(3.ª) ( 2
0
0
–3
–2k – 16 0
19
1

–7
0
0
0 ) 8 –2k – 16 = 0 8 k = –8

• Si k ? – 8: el sistema es compatible determinado; como es un sistema ho-
mogéneo, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

• Si k = – 8: el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 2.a ecua-
ción y lo resolvemos en función de z = l:

2x – 3y = –z ° 1 7
¢ 8 Solución: x = l; y = l, z = l
19y = 7z £ 19 19

b) 3x + 2y – z = 1 °
§
x – z = 1 ¢ 8 Cambiamos el orden de las dos primeras ecuaciones:
§
2x + 2y + kz = 0 £

( 1
3
2
0 –1
2 –1
2 k
1
1
0 ) 8
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.a) ( 1
0
0
0
2
–1
2
2 k+2
1
–2
–2 ) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.a) ( 1
0
0
0 –1
2 2
0 k
1
–2
0 ) 8 k=0

• Si k ? 0: el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:

x– z = 1° z = 0 °
§ §
2y + 2z = –2 ¢ y = –1 ¢
§ §
kz = 0 £ x = 1 £

• Si k = 0: el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3.a ecua-
ción para resolverlo:
x– z = 1° x = 1 + z
¢
2y + 2z = –2 £ y = –1 – z

Solución: (1 + l, –1 – l, l)

28

UNIDAD 1

s20 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:
° x–y– z=k ° x+ y– z=0
§ §
a) ¢ x – y + 2z = 1 b) ¢ x + 3y + z = 0
§ §
£ 2x + y + kz = 0 £ 3x + ay + 4z = 0
° x – 2y + z = 1 ° 3x + 2y + az = 1
§ §
c) ¢ mx + y – z = 1 d) ¢ 5x + 3y + 3z = 2
§ §
£ 3x + 4y – 2z = –3 £ x+ y– z=1

( ) ( )
a) x – y – z = k ° 1 –1 –1 k (1.ª) 1 –1 –1 k
§
x – y + 2z = 1 ¢ 1 –1 2 1 8 (2.ª) – (1.ª) 0 0 3 1–k
§ 2 1 k 0 (3.ª) – 2 · (1.ª) 0 3 k+2 –2k
2x + y + kz = 0 £
Sistema compatible determinado para todo k.

( ) ( )
b) x + y – z = 0 ° 1 1 –1 0 (1.ª) 1 1 –1 0
§
x + 3y + z = 0 ¢ 1 3 1 0 8 (2.ª) – (1.a) 0 2 2 0 8
§ 3 a 4 0 (3.ª) – 3 · (1.ª) 0 a–3 7 0
3x + ay + 4z = 0 £

8
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª) ( 1 1
0 1
–1
1
0 a–3 7
0
0
0 ) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 7 · (2.ª) ( 1
0
1
1
–1

0 a – 10 0
1
0
0
0 )
• Si a = 10 8 Sistema compatible indeterminado.
• Si a ? 10 8 Sistema compatible determinado.
c) x – 2y + z = 1 °
mx + y – z = 1 ¢
§
§
3x + 4y – 2z = –3 £
( 1 –2 1
m 1 –1
3 4 –2
1
1
–3
) 8
(1.ª)
(3.ª)
(2.ª)
( 1 –2 1
3 4 –2
m 1 –1
1
–3
1
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a)
(3.ª) + (1.a)
( 1
5
–2 1
0 0
m + 1 –1 0
1
–1
2
)
Compatible determinado para todo m.

( ) ( )
d) 3x + 2y + az = 1 ° 3 2 a 1 (3.ª) 1 1 –1 1
§
5x + 3y + 3z = 2 ¢ 5 3 3 2 8 (2.ª) 5 3 3 2 8
§ 1 1 –1 1 (1.ª) 3 2 a 1
x + y – z = 1£

8
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª) ( 1 1
0 –2
–1
8
0 –1 a + 3
1
–3 8
–2 ) (1.ª)
(2.ª)
–2 · (3.ª) + (2.ª) ( 1 1
0 –2
–1
8
0 0 2 – 2a
1
–3
1 )
2 – 2a = 0 8 a = 1
• Si a = 1 8 Sistema incompatible.
• Si a ? 1 8 Sistema compatible determinado.

29

s21 Discute y resuelve en función del parámetro:
° –x + my + z = 2 ° x+ y+ z=0
§ §
a) ¢ 2x – y + 2z = 0 b) ¢ 3x + 2y + az = 5
§ §
£ –x – 3z = –2 £ 2x + y + z = 3
a) –x + my + z = 2 °
2x – y + 2z = 0 ¢
–x
§
§
– 3z = –2 £
( –1 m 1
2 –1 2
–1 0 –3
2
0
–2
) 8
–(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
( 1 0 3
2 –1 2
–1 m 1
2
0
2
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) + (1.a)
( 1 0 3
0 –1 –4
0 m 4
2
–4
4
) 8
(1.ª)
–(2.ª)
(3.ª) + (2.a)
( 1
0
0
1
3
4
0 m–1 0
2
4
0
)
• Si m = 1 8 Sistema compatible indeterminado.
° x = 2 – 3z °
x + 3z = 2 § §
¢ y = 4 – 4z ¢
y + 4z = 4 § §
£ z=l £
Soluciones: (2 – 3l, 4 – 4l, l)
• Si m ? 1 8 Sistema compatible determinado.
x + 3z = 2 ° y = 0 °
§ §
y + 4z = 4 ¢ z = 1 ¢
§ §
(m – 1)y = 0 £ x = 2 – 3z = –1 £


b) x + y + z = 0 °
§
3x + 2y + az = 5 ¢
2x + y + z = 3 £
§ ( 1 1 1
3 2 a
2 1 1
0
5
3
) 8
(1.ª)
(3.ª)
(2.ª)
( 1 1 1
2 1 1
3 2 a
0
3
5
) 8

8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
( 1 1
0 –1 –1
1

0 –1 a – 3
0
3
5
) 8
(1.ª)
–(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
( 1
0
0
1
1
1
1
0 a–2
0
–3
2
)
• Si a = 2 8 Sistema incompatible.
• Si a ? 2 8 Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:
x+y+ z = 0°
§
y+ z = –3 ¢ 8 z = 2 ; y = –3 – z = –3 – 2 = 4 – 3a
§ a–2 a–2 a–2
(a – 2)z = 2 £

–4 + 3a 2 3a – 6
x = –y – z = – =
a–2 a–2 a–2

Solución: ( 3a –– 26 , 4a––3a , a 2 2 )
a 2 –

30

UNIDAD 1

s22 Discute los siguientes sistemas según los valores de a e interprétalos geo-
métricamente:

° x– y = 1
° ax – y = 1 §
a) ¢ b) ¢ 2x + 3y – 5z = –16
£ x – ay = 2a – 1 §
£ x + ay – z = 0

a) ax – y = 1 ° a –1
¢
1
x – ay = 2a – 1 £ 1 –a 2a – 1
8( ) (1.ª)
(2.ª) · a – (1.ª) (a
0
–1 1
1 – a2 2a2 – a – 1 )
a?0

• Si a ? 1, queda:

(1
0
–1
0
1
0 ) Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.
• Si a = –1, queda:

( –1
0
–1
0
1
2 ) Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

• Si a ? 1 y a ? –1 8 Sistema compatible determinado. Son dos rectas se-
cantes.

b) x – y = 1 ° 1 –1 0

( ) ( )
1 (1.ª) 1 –1 0 1
§
2x + 3y – 5z = –16 ¢ 2 3 –5 –16 8 (2.ª) – 2 · (1.a) 0 5 –5 –18 8
§
x + ay – z = 0 £ 1 a –1 0 (3.ª) – (1.a) 0 a + 1 –1 –1

( )
(1.ª) 1 –1 0 1
8 (2.ª) 0 5 –5 –18
5 · (3.ª) – (2.a) 0 5a 0 13

• Si a ? 0 8 Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan
en un punto.

• Si a = 0 8 Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero no
hay ningún punto común a los tres.

23 A, B y C son tres amigos. A le dice a B: si te doy la tercera parte de mi dine-
ro, los tres tendremos la misma cantidad.

Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres tienen 60 €.

Llamamos: x 8 dinero que tiene A

y 8 dinero que tiene B

z 8 dinero que tiene C

31

Con los datos planteamos el siguiente sistema:

x 2x ° x °
y+—=— § y–—=0 § –x + 3y = 0°
3 3 § 3 §
§ § §
2x ¢ 2 ¢ 2x – 3z = 0 ¢
—=z § —x – z = 0 § §
3 § 3 § x + y + z = 60 £
§ §
x + y + z = 60 £ x + y + z = 60 £

Solución: x = 30, y = 10, z = 20
A tiene 30 €; B, 10 €, y C, 20 €.

s24 Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, de 9,80 €/kg; el B, de
8,75 €/kg, y el C, de 9,50 €/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de
10,5 kg a 9,40 €/kg.
¿Cuántos kilos de cada tipo debe mezclar si tiene que poner del tipo C el do-
ble de lo que ponga del A y del B?

Llamamos: x 8 cantidad de A
y 8 la de B
z 8 la de C
Planteamos el sistema:
x + y + z = 10,5 °
§
z = 2(x + y ) ¢
§
9,8x + 8,75y + 9,5z = 10,5 · 9,4 = 98,7 £

Solución: x = 1,5; y = 2; z = 7
Debe mezclar 1,5 kg de A, 2 kg de B y 7 kg de C.

s25 Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que si al número
dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia
es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.
☛ Si x es la cifra de las unidades; y, la de las decenas, y z, la de las centenas, el nú-
mero será x + 10y + 100z.

Llamamos: x 8 cifra de las unidades
y 8 la de las decenas
z 8 la de las centenas
z y x 8 n.° = x + 10y + 100z
Tenemos que:
x+y+z=9 °
§ x+y+z=9 °
x + 10y + 100z – (z + 10y + 100x) = 198 § §
¢ –99x + 99z = 198 ¢
x+z § §
y = —— § 2y = x + z £
2 £

32

UNIDAD 1

x + y + z = 9°
–x + z = 2¢
§
§
x – 2y + z = 0 £
( 1 1 1
–1 0 1
1 –2 1
9
2
0
) 8
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
( –1 0 1
1 1 1
1 –2 1
2
9
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)

( –1 0 1 2
0 1 2 11
0 –2 2 2
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) : 2
( –1 0 1
0 1 2
0 –1 1
2
11
1
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
( –1 0 1
0 1 2
0 0 3
2
11
12
)
–x + z= 2° z=4 °
§ §
y + 2z = 11 ¢ y = 11 – 2z = 11 – 8 = 3 ¢
§ §
3z = 12 £ x = z – 2 = 2 £

Solución: El número es el 432.

Página 44
s26 Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A al
4% de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al 6%, ganando 1 050 € de in-
tereses. El otro invierte la misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al 4%,
ganando 950 €.
Determina las cantidades A, B y C.

A+ B+ C = 20 000 ° A + B + C = 20 000 °
§ §
0,04A + 0,05B + 0,06C = 1 050 ¢ 4A + 5B + 6C = 105 000 ¢
§ §
0,05A + 0,06B + 0,04C = 950 £ 5A + 6B + 4C = 95 000 £

( 1 1 1
4 5 6
5 6 4
20 000
105 000
95 000
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 4 · (1.a)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
( 1 1 1
0 1 2
0 1 –1
20 000
25 000
–5 000
) 8
(1.ª)
(2.ª)
–(3.ª) + (2.ª)

A + B + C = 20 000 ° C = 10 000

( 1 1 1
0 1 2
0 0 3
20 000
25 000
30 000
) 8
§
B + 2C = 25 000 ¢ B = 5 000
§
3C = 30 000 £ A = 5 000

Solución: A = 5 000 €; B = 5 000 €; C = 10 000 €

s27 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de
6 384 €. El precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias de-
fectuosas con descuentos del 30% y del 40%.
Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad que el
de copias en buen estado, ¿a cuántas copias se les aplicó el 30% de des-
cuento?

Llamamos x al n.° de copias vendidas al precio original, 12 €; y al n.° de copias
vendidas con un 30% de descuento, 0,7 · 12 = 8,4 €; y z al n.° de copias vendi-
das con un 40% de descuento, 0,6 · 12 = 7,2 €.

33

Así:
x + y + z = 600 ° x + y + z = 600
§ °
12x + 8,4y + 7,2z = 6 384 § §
¢ 12x + 8,4y + 7,2z = 6 384 ¢
x § §
y+z=— § x – 2y – 2z = 0 £
2 £

( 1 1 1 600
12 8,4 7,2 6 384
1 –2 –2 0
) 8
(1.ª)
–(2.ª) + 12 · (1.a)
–(3.ª) + (1.ª)
( 1 1 1
0 3,6 4,8
0 3 3
600
816
600
) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) : 3

( 1 1 1
0 3,6 4,8
0 1 1
600
816
200
) 8
(1.ª)
(3.ª)
(3.ª) – 3,6 · (3.ª)
( 1 1 1 600
0 1 1 200
0 0 1,2 96
)
x+y+ z = 600 ° z = 80
§
y+ z = 200 ¢ y = 120
§
1,2z = 96 £ x = 400

Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

28 Para fabricar collares con 50, 75 y 85 perlas, se utilizan en total 17 500
perlas y 240 cierres.
a) ¿Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se desean tantos
collares de tamaño mediano como la media aritmética del número de
collares grandes y pequeños?
b) Sin la condición anterior, ¿es posible fabricar el mismo número de colla-
res de cada tamaño?
a) Sean: x 8 número de collares de 50 perlas
y 8 número de collares de 75 perlas
z 8 número de collares de 85 perlas
° 50x + 75y + 85z = 17 500 8 10x + 15y + 17z = 3 500
§
§ x + y + z = 240
¢ x+z
§
§y = — 8 x – 2y + z = 0
£ 2
Colocamos las ecuaciones y resolvemos por el método de Gauss:

( )
x + y + z = 240 ° 1 1 1 240
§
x – 2y + z = 0¢ 1 –2 1 0 8
§ 10 15 17 3 500
10x + 15y + 17z = 3 500 £

8
(1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – 10 · (1.ª) ( 1 1
0 –3
0 5
1
0
7
240
–240
1 100 )
34

UNIDAD 1

–3y = –240 8 y = 80 °
§
5y + 7z = 1 100 8 400 + 7z = 1 100 8 z = 100 ¢
§
x + y + z = 240 8 x + 80 + 100 = 240 8 x = 60 £

Se fabricarán 60 collares pequeños, 80 medianos y 100 grandes.
250
b) 10x + 15y + 17z = 3 500 ° 10x + 15x + 17x = 3 500 8 42x = 3 500 8 x =
§ 3
§
x + y + z = 240 ¢ 3x = 240 8 x = 80
§
x=y=z §
£
250
Como ? 80, no es posible fabricar el mismo número de collares de cada
3
tamaño.

29 Nos cobran 200 € por dos chaquetas y una blusa. Si compramos una chaque-
ta y un pantalón y devolvemos la blusa, nos cobran 100 €. ¿Cuánto nos co-
brarán por cinco chaquetas, un pantalón y una blusa?
☛ Expresa el precio de los pantalones y las blusas en función del de las chaquetas.
Llamamos:
x 8 precio de una chaqueta
y 8 precio de una blusa
z 8 precio de un pantalón

2x + y = 200 ° y = 200 – 2x (1)
¢
x + z – y = 100 £ z = 100 – x + y (2)

Sustituyendo (1) en (2), z = 100 – x + 200 – 2x 8 z = 300 – 3x
En la tercera visita a la tienda nos cobrarían:
5x + z + y = 5x + 300 – 3x + 200 – 2x = 500 euros

s30 Se utilizan tres ingredientes, A, B y C, en la elaboración de tres tipos de
pizzas, P1, P2 y P3. La P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; la P2
se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C; y la P 3 se
elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta es de 4,80 €
por la P1, 4,10 € por la P2 y 4,90 € por la P3. Si el beneficio es de 1,60 € en
cada una, ¿cuánto cuesta cada unidad de A, B y C?
Construimos una tabla en la que agrupamos los datos:

A B C PRECIO DE VENTA BENEFICIO COSTE = PRECIO DE VENTA – BENEFICIO
P1 1 2 2 4,80 1,60 3,2
P2 2 1 1 4,10 1,60 2,5
P3 2 1 2 4,90 1,60 3,3

35

Llamamos:
x 8 coste de una unidad de A
y 8 coste de una unidad de B
z 8 coste de una unidad de C
° x + 2y + 2z = 3,2
§
¢ 2x + y + z = 2,5
§
£ 2x + y + 2z = 3,3

Resolvemos por el método de Gauss:

( 1
2
2
2
1
1
2
1
2
3,2
2,5
3,3 ) (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª) ( 1 2 2
0 –3 –3
0 –3 –2
3,2
–3,9
–3,1 ) (1.ª)
–1/3 · (2.ª)
(3.ª)

( 1 2 2
0 1 1
0 –3 –2
3,2
1,3
–3,1 ) (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 3 · (2.a) ( 1
0
0
2
1
0
2
1
1
3,2
1,3
0,8 )
Así:
z = 0,8 €
y + z = 1,3 8 y + 0,8 = 1,3 8 y = 0,5 €
x + 2y + 2z = 3,2 8 x + 1 + 1,6 = 3,2 8 x = 0,6 €
La unidad de A cuesta 0,6 €; la unidad de B, 0,5 €, y la unidad de C, 0,8 €.

s31 Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000 €
en tres empresas: A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m
veces el invertido en C, y los beneficios fueron el 5% en A, el 10% en B y el
20% en C.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en
cada empresa.

b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado y resuélvelo
para m = 5.

a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Plantea-
mos el sistema:
x+ y+ z = 60 000 ° x+ y+ z = 60 000 °
§ §
x+ y = mz ¢ x+ y – mz = 0¢
§ §
0,05x + 0,1y + 0,2z = 6 000 £ 0,05x + 0,1y + 0,2z = 6 000 £

b)
( 1
1
1
1 –m
1

0,05 0,1 0,2
60 000
0
6 000 ) 8
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 0,05 · (1.ª) ( 1 1 1
0 0 –m – 1
0 0,05 0,15
60 000
–60 000
3 000 )
36

UNIDAD 1

• Si m = –1: El sistema es incompatible.
• Si m ? –1: El sistema es compatible determinado.
Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.
• Si m = 5, solución: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.

s32 Las edades de un hijo, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condi-
ciones: La suma de las edades del padre, del hijo y el doble de la del abuelo
es 182 años.
El doble de la edad del hijo más la del abuelo es 100 años, y la del padre es
a veces la de su hijo.
a) Halla sus edades suponiendo que a = 2.
b) ¿Es posible que a = 3?
c) Si a = 3 y en la primera condición la suma es 200, ¿qué ocurre con el pro-
blema?
Sean x, y, z las edades del hijo, del padre y del abuelo.
Planteamos el sistema:
x + y + 2z = 182 °
§
2x + z = 100 ¢
§
y = ax £

a) Si a = 2: solución: x = 18, y = 36, y = 64
El hijo tiene 18 años; el padre, 36 años, y el abuelo, 64 años.
b) Si a = 3: el sistema es incompatible. Por tanto, no es posible que a = 3.

x + y + 2z = 200 °
§ 4x + 2z = 200 °
c) 2x + z = 100 ¢ 8 ¢
§ 2x + z = 100 £
y = 3x £

El sistema es compatible indeterminado, hay infinitas soluciones.

CUESTIONES TEÓRICAS

s33 ¿Es posible convertir este sistema en compatible indeterminado cambiando
un signo?
°x + y + z = 1
§
¢x – y + z = 1
§
£x + y – z = 1

Sí. Si cambiamos la 2.a ecuación por x + y + z = 1, o bien, si cambiamos la 3.a
ecuación por x + y + z = 1, el sistema resultante será compatible indeterminado

37

s34 Define cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justi-
fica si son equivalentes o no los siguientes sistemas:
°x = 2
°x + y + z = 2 §
¢ ¢y = 1
£x + y – z = 4 §
£ z = –1
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las soluciones
del 1.er sistema lo son también del 2.°, y al revés.
Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1.° es compatible indeter-
minado (tiene infinitas soluciones) y el 2.° es determinado (solo tiene una solución).

35 Si tenemos un sistema compatible indeterminado de dos ecuaciones linea-
les con dos incógnitas, ¿se puede conseguir un sistema incompatible aña-
diendo una tercera ecuación?
Sí. Por ejemplo:
° x + 2y = 3 °
§ ¢ Compatible indeterminado
Incompatible ¢ 2x + 4y = 6 £
§
£ x + 2y = 1

36 Si a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas incompatible le agrega-
mos otra ecuación, ¿podríamos lograr que fuera compatible indeterminado?
¿Y determinado? Justifica las respuestas.
No. Si el sistema es incompatible, las dos ecuaciones iniciales son contradictorias.
Añadiendo otra ecuación, no podemos cambiar este hecho; el sistema seguirá
siendo incompatible.

s37 Sean S y S' dos sistemas equivalentes con solución única que tienen igua-
les los términos independientes. ¿Podemos asegurar que tienen iguales los
coeficientes de las incógnitas?
No. Por ejemplo, los sistemas:

°x + y = 3 ° 2x – y = 3
S: ¢ S': ¢
£x – y = 1 £ 2x – 3y = 1

son equivalentes, con solución única (2, 1), tienen iguales los términos indepen-
dientes, pero no los coeficientes de las incógnitas.

38 Encuentra razonadamente un valor de a para el cual el siguiente sistema
es incompatible:
° x+y+ 2z = 0
§
§ (a – 1)x =1
¢
§ x + 3z = 2
§
£ (a – 2)z = 0
¿Puede ser compatible indeterminado para el valor a = 2?

38

UNIDAD 1

x+y+ 2z = 0 °
§
(a – 1)x = 1 §
¢
x + 3z = 2 §
§
(a – 2)z = 0 £
• Si a = 1, la 2.a ecuación es 0x = 1. El sistema es incompatible.
• Si a = 2, la 4.a ecuación es trivial, el sistema es compatible determinado. Luego
no puede ser compatible indeterminado.

Página 45

PARA PROFUNDIZAR

s39 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro a y resuélvelos
en el caso en que sean compatibles indeterminados:
° x+ y+ z=a–1 ° ax + y – z = 0
§ §
a) ¢ 2x + y + az = a b) ¢ 2x + ay =2
§ §
£ x + ay + z = 1 £ –x +z=1

a) x + y + z = a – 1°
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
§
¢
§
£
( 1 1 1
2 1 a
1 a 1
a–1
a
1
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)

( 1
0
1
–1
0 a–1
1
a–2
0
a–1
–a + 2
2–a
)
• Si a = 1, queda:

( 1 1 1
0 –1 –1
0 0 0
0
1
1
) 8 Sistema incompatible.


( 1 1 1
0 –1 0
0 1 0
1
0
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) + (3.ª)
(3.ª)
( 1 1 1
0 0 0
0 1 0
1
0
0
) 8

8 Sistema compatible indeterminado.
Lo resolvemos en este caso:
x + y + z = 1° x + z=1 8 x=1–z°
§ §
y = 0¢ y =0 ¢
§ §
£ z=l £
Soluciones: (1 – l, 0, l)
• Si a ? 1 y a ? 2 8 Sistema compatible determinado.

39

b) ax + y – z = 0 ° a 1 –1
2x + ay
–x
=2
+z=1
§
(
¢ 2 a 0
§ –1 0 1
£
)
0
2 8
1
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
( –1 0 1
2 a 0
a 1 –1
)
1
2 8
0
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)

( –1
2
0 1
a 0
a–1 1 0
1
2 8
1
) (1.ª)
(2.ª)
–a · (3.ª) + (2.ª)
( –1
2
–a 2 + a + 2
0
a
0
1
0
0
1
2
2–a
)
a?0

–1 ± √ 1 + 8 –1 ± 3 a = –1
–a 2 + a + 2 = 0 8 a = =
–2 –2 a= 2


( –1 0 1
2 –1 0
0 0 0
1
2
3


° z=1+x

( –1 0 1
2 2 0
0 0 0
1
2
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª)
( –1 0 1
1 1 0
0 0 0
1
1
0
) –x
x+y
+ z = 1§
¢ y=1–x
= 1§
£ x=l
Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: (l, 1 – l, 1 + l)

• Si a ? –1 y a ? 2 8 Sistema compatible determinado.

s40 Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el
siguiente sistema sea incompatible:

° x + y + 2z = 0
§
§ ax + y + 2z = 1
¢
§ x + 3z = 2
§
£ 2x + az = 3

x + y + 2z = 0°

( ) ( )
§ 1 1 2 0 (1.ª) 1 1 2 0
ax + y + 2z = 1§ a 1 2 1 (2.ª) – (1.a) a–1 0 0 1
¢ 8 8
x + 3z = 2§ 1 0 3 2 (3.ª) 1 0 3 2
§ 2 0 a 3 (4.ª) 2 0 a 3
2x + az = 3£

( )
(1.ª) 1 1 2 0
(2.ª) a–1 0 0 1
Si a = 1 o a = 6, el sistema es incom-
(3.ª) 1 0 3 2
(4.ª) – 2 · (3.a) patible.
0 0 a–6 –1

40

UNIDAD 1

41 Resuelve el siguiente sistema:
° x + y + z + t + w = 17
§
§ x+y+z + w = 16
§
¢ x+y + t + w = 15
§
§ x + z + t + w = 14
§ y + z + t + w = 14
£
☛ Si sumas las cinco igualdades, obtendrás otra con la que se te pueden simplifi-
car mucho los cálculos.

x+y+z+t + w = 17 °
§
x+y+z + w = 16 §
§
x+y +t + w = 15 ¢
§
x +z+t + w = 14 §
y+z+t + w = 14 §
£
Sumando las cinco igualdades, obtenemos:
4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, es decir:
4(x + y + z + t + w) = 76, o bien:
x + y + z + t + w = 19

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 8 w=2
(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 8 t=3
(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 8 z=4
(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 8 y=5
(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 8 x=5

42 Una cuadrilla de cinco jardineros debía podar una plantación trabajando de
lunes a viernes. Cada día, cuatro podaban y el otro les ayudaba. Cada jardi-
nero podó el mismo número de árboles cada día.
Los resultados de la poda fueron: lunes, 35 árboles podados; martes, 36;
miércoles, 38; jueves, 39, y el viernes no sabemos si fueron 36 ó 38.
Calcula cuántos árboles diarios podó cada uno, sabiendo que fueron núme-
ros enteros y que ninguno podó los cinco días.
Llamamos:
w = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el lunes.
t = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el martes.
z = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el miércoles.
y = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el jueves.
x = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el viernes.

41

x+y+z+t = 35 °
§
x+y+z + w = 36 §
§
x+y +t+ w = 38 ¢
§
x +z+t+ w = 39 §
y+z+t+ w =k §
£
Sumando las cinco igualdades, obtenemos:
4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, es decir:
4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bien:
k
x + y + z + t + w = 37 +
4
Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debe
ser múltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 ó 38, tenemos que ha de ser
k = 36 (pues 38 no es múltiplo de 4).

Resolvemos el sistema, ahora que sabemos que k = 36:

La suma de las cinco igualdades dará lugar a:
36
x + y +z + t + w = 37 + = 37 + 9 = 46
4

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 8 w = 11
(x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 8 t = 10
(x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 8 z=8
(x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 8 y=7
(y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 8 x = 10
Así, el jardinero que descansa el lunes poda 11 árboles; el que descansa el martes,
10; el que descansa el miércoles, 8; el que descansa el jueves, 7, y el que descan-
sa el viernes, 10.

Página 45
AUTOEVALUACIÓN
1. Resuelve e interpreta geométricamente los sistemas siguientes:
° 2x + 6y = 0
§ ° 2x – y =5
a) ¢ 3x – 2y = 11 b) ¢
§ £ y–z=3
£ –x + 3y = 0

a) 2x + 6y = 0 °
§ (1.ª) 2x + 6y = 0 Sumando la 1.a fila
3x – 2y = 11 ¢
§ 3 · (2.ª) 9x – 6y = 33 con 3 veces la 2.a
–x + 3y = 0 £
11x = 33 8 x = 3 8 y = –1

42

UNIDAD 1

Comprobamos en la 3.a ecuación:
–3 + 3(–1) ? 0
El sistema es incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.

° 5 l
b) 2x – y =5° § 2x = 5 + l 8 x = — + —
2 2
¢ Hacemos y = l: ¢
y–z=3£ §z = l – 3
£
El sistema es compatible indeterminado.

Solución: ( 5 l
+ , l, –3 + l
2 2 )
Representa dos planos que se cortan en una recta.

2. Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema:
° 5x + 10y + 50z = 950
§
§y = z + 9
¢
y
§— = — x
§
£ 3 4

Resolución
Ordenamos y simplificamos la 1.a ecuación:

( )
x + 2y + 10z = 190 ° 1 2 10 190
§
y – z = 9¢ 0 1 –1 9 8
§ –3 4 0 0
–3x + 4y = 0£

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 3 · (1.ª) ( 1 2 10
0 1 –1
0 10 30
190
9
570 ) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) : 10 ( 1
0
0
2 10
1 –1
1 3
190
9
57 ) 8

( )
(1.ª) 1 2 10 190 x + 2y + 10z = 190 °
§
8 (2.ª) 0 1 –1 9 8 y – z = 9¢ 8
(3.ª) – (2.a) 0 0 4 48 §
4z = 48 £
° z = 12
§
8 ¢ y = 9 + 12 = 21
§
£ x = 190 – 42 – 120 = 28
Solución: x = 28, y = 21, z = 12
Comprobación:
5 · 28 + 10 · 21 + 50 · 12 = 950
21 = 12 + 9
21 28
=
3 7

43

3. Una compañía tiene tres camiones (P, Q y R), en los que caben exactamente
un cierto número de contenedores de tres tipos (A, B y C), de acuerdo con la
siguiente tabla:
A B C
P 5 3 4
Q 2 5 5
R 4 3 6

Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo
C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes los efectúan to-
talmente llenos?
Sean x, y, z el número de viajes que hacen los camiones P, Q y R, respectiva-
mente.

( ) ( )
° 5x + 2y + 4z = 45 5 2 4 45 (1.ª) 5 2 4 45
§
¢ 3x + 5y + 3z = 44 8 3 5 3 44 5 · (2.ª) – 3 · (1.a) 0 19 3 85
§ 4 5 6 58 5 · (3.ª) – 4 · (1.ª) 0 17 14 110
£ 4x + 5y + 6z = 58

( )
(1.ª) 5 2 4 45 ° 5x + 2y + 4z = 45
§
(2.ª) 0 19 3 85 8 ¢ 19y + 3z = 85
19 · (3.ª) – 17 · (2.ª) 0 0 215 645 §
£ 215z = 645

Resolvemos este sistema escalonado:
z=3
85 – 3z 85 – 9
y= = =4
19 19

45 – 2y – 4z 45 – 8 – 12
x= = =5
5 5

Por tanto, el camión P debe hacer 5 viajes, el camión Q debe hacer 4 viajes y el ca-
mión R debe hacer 3 viajes.

° 3x – 2y + z = 5
4. Sean las ecuaciones: ¢
£ 2x – 3y + z = – 4

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.
b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado.
Justifica en cada caso el procedimiento seguido.
a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma:
a (3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k, con k ? 5a – 4b.

44

UNIDAD 1

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda:
3x – 2y + z = 1
Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.

b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:

3x – 2y + z = 5 ° 3x + z = 5° x = 9 °
§ § §
2x – 3y + z = –4 ¢ 2x + z = –4 ¢ y = 0 ¢ Compatible determinado
§ § §
y = 0£ y = 0 £ z = –22 £

5. Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
° x+ 2y + 3z = 1
§
¢ x+ ay + 3z = 2
§
£ 2x + (2 + a) y + 6z = 3

a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.
b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible de-
terminado.
c) Resuelve el sistema para a = 0.
x+ 2y + 3z = 1 °
x+
§
ay + 3z = 2 ¢
§
2x + (2 + a)y + 6z = 3 £
( 1
1
2
a
3
3
2 (2 + a) 6
1
2
3
) 8
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
( 1 2 3
0 a–2 0
0 a–2 0
1
1
1
) 8

8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
( 1 2 3
0 a–2 0
0 0 0
1
1
0
)
a) Si a = 2, la 2.a ecuación no tiene solución: 0y = 1. El sistema es incompatible.

b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado,
porque la 3.a ecuación se puede suprimir (0x + 0y + 0z = 0) y el sistema queda con
dos ecuaciones y tres incógnitas.

c) Si a = 0, queda:

° y = – 1/2
x + 2y + 3z = 1 §
¢ x – 1 + 3z = 1 8 x = 2 – 3z
–2y =1§
£ z=l

(
Soluciones: 2 – 3l, –
1
2
,l )

45

6. Discute este sistema según los valores de a. Interprétalo geométricamente:
° ax + y + z – 4 = 0
§
¢ x+ y+z+1=0
§
£ x – ay + z – 1 = 0

ax + y + z – 4 = 0 ° ax + y + z = 4 °
x+ y+z+1=0
x – ay + z – 1 = 0
§
§
§
¢ x + y + z = –1 ¢
§
£ x – ay + z = 1 £
( a 1 1
1 1 1
1 –a 1
4
–1
1
) 8
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)

( 1 1 1
a 1 1
1 –a 1
–1

1
4
) 8
(1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – (1.ª)
( 1
a–1
0
1
0
1
0
–a – 1 0
–1
5
2
)

( 1 1 1
0 0 0
0 –2 0
–1

2
5

Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

( 1 1 1
–2 0 0
0 0 0
–1
)
5 8 Sistema incompatible.
2
Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.
• Si a ? 1 y a ? –1 8 Sistema compatible determinado. Son tres planos que se
cortan en un punto.

46

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