Sol03

3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
MEDIANTE DETERMINANTES

Página 73

REFLEXIONA Y RESUELVE

Determinantes de orden 2

■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de
coeficientes:
° 2x + 3y = 29 ° 5x – 3y = 8
a) ¢ b) ¢
£ 3x – y = 5 £ –10x + 6y = –16

° 4x + y = 17 ° 9x – 6y = 7
c) ¢ d) ¢
£ 5x + 2y = 19 £ – 6x + 4y = 11

° 18x + 24y = 6 ° 3x + 11y = 127
e) ¢ f) ¢
£ 15x + 20y = 5 £ 8x – 7y = 48

a)
2x + 3y = 29 °
3x – y = 5 £
¢ |2 –1 | = –11 ? 0
3
3
Solución: x = 4, y = 7

b)
5x – 3y = 8 °
¢
–10x + 6y = –16 £ |–10 –3| = 0
5
6
Solución: x =
8
5
3
+ l, y = l
5

c)
4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £ |4 1 | = 3 ? 0
5 2
Solución: x = 5, y = –3

d)
9x – 6y = 7 °
¢
–6x + 4y = 11 £ |–6 –6| = 0
9
4
Incompatible

e)
18x + 24y = 6 °
¢
15x + 20y = 5 £ | 18 24 | = 0
15 20
Solución: x =
1
3
4
– l, y = l
3

f)
3x + 11y = 127 °
8x – 7y = 48 £
¢ |3 11 | = –109 ? 0
8 –7
Solución: x = 13, y = 8

Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
1

Resolución de sistemas 2 Ò 2 mediante determinantes

■ Resuelve, aplicando la regla anterior, los sistemas de ecuaciones a), c) y f) del
apartado anterior.

a)
2x + 3y = 29 °
3x – y = 5 £
¢ | A| = 2
3| 3
–1 |
= –11

|
| Ax | = 29 3 = –44
5 –1 |
|
| Ay | = 2
3
29
5 |
= –77

| Ax | –44 | Ay | –77
Por tanto: x = = = 4; y = = =7
| A| –11 | A| –11

c)
4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £
| A| = 4
5| 1
2|=3

|
| Ax | = 17
19
1
2|= 15

|
| Ay | = 4
5
17
19 |
= –9

| Ax | 15 | Ay | –9
Por tanto: x = = = 5; y = = = –3
| A| 3 | A| 3

f)
3x + 11y = 127 °
8x – 7y = 48 £
¢ | A| = 3
8 | 11
–7|= –109

|
| Ax | = 127
48
11
–7
= –1 417 |
|
| Ay | = 3 127 = –872
8 48 |
| Ax | –1 417 | Ay | –872
Por tanto: x = = = 13; y = = =8
| A| –109 | A| –109

2

UNIDAD 3

Página 75
1. Calcula el valor de estos determinantes:

a) | 3 1|
4 7
b) | 1 11 |
3 33
c) |373 141 |
0 0
d) | 7 –2 |
0
0

a) 3 · 7 – 4 · 1 = 17

b) 0, porque la 2.a fila es proporcional a la 1.a.

c) 0, porque la 2.a fila solo tiene ceros.

d) 7 · (–2) = –14

2. Calcula:

a) |a d |
c
b 2
| 2
b) a3 b3
a b | c) |a b|
0 0
d) |ac bc |
a b

a) a · d – b · c

b) a 2 · b 3 – a 3 · b 2 = a 2 · b 2 (b – a)

c) 0, porque la 2.a fila solo tiene ceros.

d) a · b · c – b · a · c = 0, o también obsérvese que la 2.a fila es proporcional a la 1.a.

Página 76
1. Calcula los siguientes determinantes:

|
5 1
a) 0 3
9 6
4
6
8
| | 9 0 3
b) –1 1 0
0 2 1
|
5
a) 0
9
| 1
3
6
4
|
6 = –114
8
| 9 0
b) –1 1
0 2
3
|
0 =3
1

2. Halla el valor de estos determinantes:

|
0 4 –1
a) 1 2 1
3 0 1
| |10 47 59
b) 0 10 91
0 0 10
|
0
a) 1
3
| 4 –1
2 1 = 14
0 1
| |10 47 59
|
b) 0 10 91 = 1 000
0 0 10

3

3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:

|
3 –1 7
a) 0 0 0 = 0
1 11 4
| |
4 1
b) 2 9
7
1 =0
– 8 –2 –14
|
|7 4 1
c) 2 9 7 = 0
27 94 71
| |
45 11 10
d) 4 1 1 = 0
5 1 0
|
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).

b) La 3.a fila es proporcional a la 1.a:
(3.a = (–2) · 1.a) (propiedad 6)

c) La 3.a fila es combinación lineal de las dos primeras:
(3.a = 1.a + 10 · 2.a) (propiedad 9)

d) La 1.a fila es combinación lineal de las otras dos:
(1.a = 10 · 2.a + 3.a) (propiedad 9)

4. Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto
sin desarrollar:

| x
5
1
y
0
1
z
|
3 =1
1

|
3x 3y 3z
a) 5 0 3
1 1 1
| | 5x 5y 5z
b) 1 0 3/5
1 1 1
| |x y z
c) 2x + 5 2y 2z + 3
x+1 y+1 z+1
|
|
3x 3y 3z

1 1 1
x y z
| | |
a) 5 0 3 = 3 5 0 3 = 3 · 1 = 3
1 1 1

|
5x 5y 5z
b) 1 0 3/5 = 5 ·
1 1 1
| | |
x y z
1 5 0 3
5 1 1 1
=1·1=1

| x y z
|| |
x y z
c) 2x + 5 2y 2z + 3 = 5 0 3 = 1
x+1 y+1 z+1 1 1 1

4

UNIDAD 3

Página 79
1. Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la
matriz M.

) )
2 3 –1 5
4 6 2 7
M= 5 –1 2 6
4 1 1 5
0 0 3 4

Menores de orden dos; por ejemplo:

) )
2 3 –1 5
4 6 2 7
M= 5 –1 2
4 1 1
6
5
| 2 3 | = 0, | 2 6 | = 4
4 6 1 5
0 0 3 4

Menores de orden tres; por ejemplo:

) )|
2 3 –1 5

M=
4 6 2
5 –1 2
4 1 1
7
6
5
2 3 –1
| |
–1 2
4 6 2 = 68, 1 1
5 –1 2 0 3
6
|
5 = 21
4
0 0 3 4

2. Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43
de la matriz:

( )
0 2 4 6
2 –1 3 5
A=
1 1 2 3
4 6 5 7

|
2 3 5
|
a12 = 1 2 3 = –2; A12 = (–1) 1 + 2 · a12 = –1 · (–2) = 2
4 5 7

a33 |
0 2 6
|
= 2 –1 5 = 108; A33 = (–1) 3 + 3 · a33 = 1 · 108 = 108
4 6 7

|
0 2 6
|
a43 = 2 –1 5 = 16; A43 = (–1) 4 + 3 · a43 = –1 · 16 = –16
1 1 3

5

1. Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollán-
dolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:

| 3 7 –1
–5 2 6
9 8 4
|
Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.

Aplicando la regla de Sarrus:

| 3 7 –1
|
–5 2 6 = 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456
9 8 4

Desarrollando por la 1.a fila:

| 3 7 –1

9 8 4
| | | |
9 4 9 8 | | |
–5 2 6 = 3 2 6 – 7 –5 6 – 1 –5 2 = 3 · (–40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) =
8 4

= –120 + 518 + 58 = 456


| 3 7 –1

9 8 4
| | 9 4 | | 9 8 | | |
–5 2 6 = 5 7 –1 + 2 3 –1 – 6 3 7 = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) =
8 4

= 180 + 42 + 234 = 456


| 3 7 –1

9 8 4
| | –5 6| | –5 2 | | |
–5 2 6 = 9 7 –1 – 8 3 –1 + 4 3 7 = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 =
2 6

= 396 – 104 + 164 = 456

Desarrollando por la 1.a columna:

| 3 7 –1

9 8 4
| | | |
8 4 2 6 | | |
–5 2 6 = 3 2 6 + 5 7 –1 + 9 7 –1 = 3 · (–40) + 5 · 36 + 9 · 44 =
8 4

= –120 + 180 + 396 = 456


| 3 7 –1

9 8 4
| |9 4| | –5 6 | | |
–5 2 6 = –7 –5 6 + 2 3 –1 – 8 3 –1 = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 =
9 4

= 518 + 42 – 104 = 456

6

UNIDAD 3


| 3 7 –1
| | | | | | |
–5 2 6 = –1 –5 2 – 6 3 7 + 4 3 7 = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 =
9 8 4 9 8 9 8 –5 2

= 58 + 234 + 164 = 456

2. Calcula los siguientes determinantes:

| | | |
7 0 –3 4 3 1 –1 3
4 0 4 7 1 4 –1 4
a) b)
3 7 6 9 0 3 2 5
1 0 1 9 2 0 0 2

| | |
7 0 –3 4
a)
4
3
1
0 4 7 (1)
7 6 9
0 1 9
7 –3 4
= –7 4 4 7 = –7 · 290 = –2 030
1 1 9
|
(1) Desarrollando por la 2.a columna.

| |
3 1 –1 3
b)
1
0
2
4 –1 4 (1)
3 2 5
0 0 2
1 –1 3 3 1 –1
| | |
= –2 4 –1 4 + 2 1 4 –1 = –2 · 28 + 2 · 28 = 0
3 2 5 0 3 2
|
(1) Desarrollando por la 4.a fila.
También podríamos haber observado que la 4.a columna es igual a la suma de las
otras tres; y, por tanto, el determinante vale cero.

Página 81
1. Calcula el rango de las siguientes matrices:

( ) ( )
1 2 3 0 –1 4 4 2 1 5 3
3 –1 0 1 1 2 2 3 2 6 5
A= B=
4 1 3 1 0 6 6 5 3 12 8
7 0 3 2 1 8 12 10 6 23 16

( ) ( )
1 0 0 1 –1 2 1 0 –1
1 –1 2 1 0 5 1 –3 –7
C= D=
0 0 0 0 1 7 2 –3 –8
1 1 0 0 0 1 0 2 2

( )
1 2 3 0 –1 4
3 –1 0 1 1 2
A=
4 1 3 1 0 6
7 0 3 2 1 8

7

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: | 1 –1 | = –7 ? 0
3
2

Luego las dos primeras filas son linealmente independientes.
Observamos que la 3.a fila es la suma de las dos primeras, y que la 4.a fila es la suma
de la 2.a y la 3.a. Por tanto, ran (A) = 2.

( )
4 2 1 5 3
2 3 2 6 5
B=
6 5 3 12 8
12 10 6 23 16

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: | 4 2 | = 8 ? 0.
2 3
Luego las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la 3.a fila depende linealmente de las anteriores:

| 4
2
6
2 5
|
3 6 = 8 ? 0 8 Las 3 primeras filas son linealmente independientes.
5 12

Veamos si la 4.a fila depende linealmente de las anteriores:

| | | |
4 2 1 5 4 2 5 3
2 3 2 6 2 3 6 5
=0 y =0
6 5 3 12 6 5 12 8
12 10 6 23 12 10 23 16

Por tanto, ran (B) = 3.

( )
1 0 0 1 –1
1 –1 2 1 0
C=
0 0 0 0 1
1 1 0 0 0

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
primeras filas son linealmente independientes.
|1 –1 | = 1 ? 0.
1 0
Luego las dos

Como | 0 1 –1
| | |
2 1 0 = 0 1 = –2 ? 0, las tres primeras filas son linealmente indepen-
0 0 1 2 1

dientes.

| |
0 0 1 –1
Como
–1
0
1
2
0
0
1 0
0 1
0 0
0 1 –1

0 0 1
| |
= – 2 1 0 = 2 ? 0, entonces ran (C ) = 4.

8

UNIDAD 3

( )
2 1 0 –1
5 1 –3 –7
D=
7 2 –3 –8
1 0 2 2

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
meras filas son linealmente independientes.
2 1
5 1 | |
= –3 ? 0. Luego las dos pri-

Como | 2 1 0
|
5 1 –3 = –9 ? 0, la 1.a, 2.a y 4.a fila son linealmente independientes.
1 0 2
La 3.a fila es la suma de las dos primeras. Luego ran (D) = 3.

Página 82
1. Averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:

° 3x – 2y = 5 ° 4x + 5y = 7
§ §
a) ¢ x + 3y = –2 b) ¢ 2x – y = 0
§ §
£ 2x – y = 3 £ 7x + 11y = 4

° x + 3y – z = 1 ° x + 3y – z = 1
§ §
c) ¢ 2x + z=2 d) ¢ 2x +z=2
§ §
£ 2y – z = 0 £ 2y – z = 5

( ) ( )
a) 3x – 2y = 5 ° 3 –2 3 –2 5
§
x + 3y = –2 ¢ A= 1 3 A' = 1 3 –2
§ 2 –1 2 –1 3
2x – y = 3 £

| 3 –2 | = 11 ? 0
1 3
8 ran (A) = 2

| A' | = 0 8 ran (A' ) = 2

El sistema es compatible.

( ) ( )
b) 4x + 5y = 7 ° 4 5 4 5 7
§
2x – y = 0¢ A = 2 –1 A' = 2 –1 0
§ 7 11 7 11 4
7x + 11y = 4 £

| A' | = 147 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A) = 2
El sistema es incompatible.

9

( ) ( )
c) x + 3y – z = 1 ° 1 3 –1 1 3 –1 1
§
2x + z = 2¢ A= 2 0 1 A' = 2 0 1 2
§ 0 2 –1 0 2 –1 0
2y – z = 0 £

Calculamos el rango de A:

| 1 3 | = –6 ? 0 y | A | = 0
2 0
8 ran (A) = 2

Calculamos el rango de A' :

| 1
2
0
3
0
2
1
|
2 = 0 (pues la 1.a y la 3.a columnas son iguales) 8 ran (A' ) = 2 = ran (A)
0
El sistema es compatible.
Observación: Como la 4.a columna de A' y la 1.a son iguales, necesariamente
ran (A' ) = ran (A); es decir, el sistema es compatible.

( ) ( )
d) x + 3y – z = 1 ° 1 3 –1 1 3 –1 1
§
2x + z = 2¢ A= 2 0 1 A' = 2 0 1 2
§ 0 2 –1 0 2 –1 5
2y – z = 5 £

Sabemos que ran (A) = 2 (ver apartado c) de este ejercicio).


| 1
2
0
3
0
2
1
|
2 = –30 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A)
5

Página 83
1. Resuelve mediante la regla de Cramer:
° x – 3y + 5z = –24 ° x+ y–z=2
§ §
a) ¢ 2x – y + 4z = – 8 b) ¢ x – y + z = 8
§ §
£ x+ y = 9 £ 2x + 3y = 10

a) x – 3y + 5z = –24 °
§ 1 –3 5
|
2x – y + 4z = – 8 ¢ | A | = 2 –1 4 = – 1 ? 0
x+ y = 9£
§ 1 1 0
|
| Ax | =
| –24 –3 5
| |
1 –24 5
| 1 –3 –24
–8 –1 4 = –7; | Ay | = 2 –8 4 = –2; | Az | = 2 –1 –8 = 5
9 1 0 1 9 0 1 1 9
| |
Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5

10

UNIDAD 3

b) x + y – z = 2 °
§ 1 1 –1
x – y + z = 8 ¢ | A | = 1 –1 1 = –6
2x + 3y
§
= 10 £ 2 3 0
| |
| Ax | =
| 2 1 –1
| 1 2 –1
| 1 1 2
|
8 –1 1 = –30; | Ay | = 1 8 1 = 0; | Az | = 1 –1 8 = –18
10 3 0 2 10 0 2 3 10
| |
Por tanto: x = 5, y = 0, z = 3

2. Resuelve aplicando la regla de Cramer:

° 2x – 5y + 3z = 4 ° 3x – 4y – z = 4
§ §
a) ¢ x – 2y + z = 3 b) ¢ y+ z= 6
§ §
£ 5x + y + 7z = 11 £ 2x + 5y + 7z = –1

a) 2x – 5y + 3z = 4 °
§ 2 –5 3
x – 2y + z = 3 ¢ | A | = 1 –2 1 = 13
§
5x + y + 7z = 11 £ 5 1 7
| |
| Ax | =
| 4 –5
3 –2
11 1
3

7
| |
2 4 3

5 11 7
|
2 –5 4
1 = 65; | Ay | = 1 3 1 = 0; | Az | = 1 –2 3 = –26
5 1 11
| |
Por tanto: x = 5, y = 0, z = –2

b) 3x – 4y – z = 4 °
§ 3 –4 –1
y + z = 6¢ |A| = 0 1 1 = 0
§
2x + 5y + 7z = –1 £ 2 5 7
| |
Por tanto, ran (A) < 3.
Como hay menores de orden 2 distintos de cero, ran (A) = 2.

(
3 –4 –1 4
A' = 0 1 1 6
2 5 7 –1 ) 8 ran (A' ) = 3

Por tanto, este sistema es incompatible.

Página 84
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

° x – y + 3z = 1 ° x – y + 3z = 1
§ §
a) ¢ 3x – y + 2z = 3 b) ¢ 3x – y + 2z = 3
§ §
£ –2y + 7z = 0 £ –2y + 7z = 10

11

( ) ( )
a) x – y + 3z = 1 ° 1 –1 3 1 –1 3 1
3x – y + 2z = 3 ¢
§
§
–2y + 7z = 0 £
A = 3 –1 2
0 –2 7
A' = 3 –1
0 –2
2
7
| 3
0

Calculamos el rango de A:

| 1 –1 | = –2 ? 0 y | A | = 0
0 –2
8 ran (A) = 2


| 1 –1 1
|
3 –1 3 = 0 (la 1.a y la 3.a columnas son iguales) 8 ran (A' ) = 2
0 –2 0

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la
2.a ecuación:
z
x – y + 3z = 1 ° x – y = 1 – 3z 8 x = y + 1 – 3z = 1 + —
§ 2
¢ 7z
–2y + 7z = 0 § –2y = –7z 8 y=—
£ 2

Soluciones: x = 1 + l, y = 7l, z = 2l

( ) ( )
b) x – y + 3z = 1 ° 1 –1 3 1 –1 3 1
3x – y + 2z = 3 ¢
§
§
–2y + 7z = 10 £
A = 3 –1 2
0 –2 7
A' = 3 –1
0 –2
2
7
| 3
10

Sabemos, por el apartado a), que ran (A) = 2.


| 1 –1 1
|
3 –1 3 = 20 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A)
0 –2 10


4. Resuelve estos sistemas:
° x+y =3
§ ° 3x + 4y = 4
§ y+z=5 §
a) ¢ b) ¢ 2x + 6y = 23
§ x +z=4 §
§ £ –2x + 3y = 1
£ 5x – y + z = 6

( ) ( )
a) x + y =3 ° 1 1 0 1 1 0 3
§
y+z=5 § 0 1 1 0 1 1 5
¢ A= A' =
x +z=4 § 1 0 1 1 0 1 4
§ 5 –1 1 5 –1 1 6
5x – y + z = 6 £

12

UNIDAD 3

Como | 1
0
1
1
1
0
0

1
|
1 = 2 ? 0 8 ran (A) = 3

| A' | = 0 8 ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la
última ecuación y aplicar la regla de Cramer:

x=
| 3
5
4
1
1
0
0
1
1
| =
2
= 1; y =
| 1
0
1
3
5
4
0
1
1
| =
4
= 2; z =
| 1
0
1
1
1
0
3
5
4
| =
6
=3
2 2 2 2 2 2

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

( ) ( )
b) 3x + 4y = 4 ° 3 4 3 4 4

–2x + 3y = 1 £
§
2x + 6y = 23 ¢
§
A= 2 6
–2 3
A' = 2 6
–2 3
| 23
1

Como | A' | = –309 ? 0, entonces ran (A' ) = 3 ? ran (A).

Página 85
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
° x + 11y – 4z = 0
° 3x – 5y + z = 0 §
§ § –2x + 4y + z = 0
a) ¢ x – 2y + z = 0 b) ¢
§ § x + y – 2z = 0
£ x+ y =0 §
£ 2x – 16y + 5z = 0

a) 3x – 5y + z = 0 °
§
x – 2y + z = 0 ¢
x+ y =0£
§ |
3 –5 1
| A | = 1 –2 1 = –5 ? 0
1 1 0
|
Por tanto, ran (A) = 3 = n.° de incógnitas.
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

b) x + 11y – 4z = 0 °

| |
§ 1 11 –4
–2x + 4y + z = 0 §
¢ –2 4 1 = –18 8 ran (A) = 3 = n.° de incógnitas
x + y – 2z = 0 § 1 1 –2
§
2x – 16y + 5z = 0 £

13

2. Resuelve estos sistemas:
°x – y – z = 0 ° x + y + 5z =0
§ §
a) ¢ x + y + 3z = 0 b) ¢ 3x – y – 2t = 0
§ §
£ x – 5y – 9z = 0 £ x–y + z– t=0

a) x – y – z = 0 °
x + y + 3z = 0 ¢
§
§
x – 5y – 9z = 0 £
|1 –1 –1
|A| = 1 1 3 = 0
1 –5 –9
|
Seleccionamos el menor | 1 –1 | = 2 ? 0 8
1 1
ran (A) = 2

Podemos suprimir la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro:
x–y=z ° x = –z °
x + y = –3z ¢ y = –2z ¢
£ £
Soluciones: x = –l, y = –2l, z = l

( )
b) x + y + 5z = 0° 1 1 5 0
§
3x – y – 2t = 0 ¢ A = 3 –1 0 –2
§ 1 –1 1 –1
x – y + z – t = 0£

| 1 1 5
|
3 –1 0 = –14 ? 0 8 ran (A) = 3
1 –1 1
Para resolverlo, pasamos la t al segundo miembro:
x + y + 5z = 0 °
§
3x – y = 2t ¢
§
x–y+ z=t £

x=
|
0 1 5
2t –1 0
t –1 1
| =
–7t
=
t
–14 –14 2

y=
| 1
3
1
0 5
2t 0
t 1
| =
7t
=
–t
–14 –14 2

z=
| 1 1 0
3 –1 2t
1 –1 t
=
0
| =0
–14 –14

Soluciones: x = l, y = –l, z = 0, t = 2l

14

UNIDAD 3

Página 87
1. Discute y resuelve:
° x + y + az = 0 ° x+ y= k
§ §
a) ¢ ax – y = –1 b) ¢ kx – y = 13
§ §
£ x + 4y + 6z = 0 £ 5x + 3y = 16

( ) ( )
a) x + y + az = 0 ° 1 1 a 1 1 a 0
§
ax – y = –1 ¢ A = a –1 0 A' = a –1 0 –1
§ 1 4 6 1 4 6 0
x + 4y + 6z = 0 £
a=2
| A | = 4a 2 – 5a – 6 = 0 8 a = 5 ± √ 25 + 96 = 5 ± √ 121 = 5 ± 11 –3
8 8 8 a=—
4
• Si a = 2, queda:

(
1 1 2
A' = 2 –1 0
1 4 6
1 2 3
4 4
0
–1
0 ) | 1 –1| = –3 ? 0 8
2
1
ran (A) = 2

A

| 1 1 0
|
2 –1 –1 = 3 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A)
1 4 0
• Si a = –3/4, queda:

(1

1
1 –3/4 0
A' = –3/4 –1
4
1442443
0
6
–1
0 ) | –3/4 –1| = –1 ? 0 8
1 1
4
ran (A) = 2

A

| 1

1
1 0
|
–3/4 –1 –1 = 3 ? 0 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A)
4 0
• Si a ? 2 y a ? –3/4 8 ran (A) = ran (A' ) = n.° de incógnitas = 3, el sistema
es compatible determinado. Lo resolvemos:

x=
|
0 1 a
–1 –1 0
0 4 6
=
| 6 – 4a
; y=
1
a
1
| 0
–1
0
a
0
6
|=
a–6
;
4a 2 – 5a – 6 4a 2 – 5a – 6 4a 2 – 5a –6 4a 2 – 5a – 6

z=
1
a
1
| 1
–1
4
0
–1
0
|=
3
4a 2 – 5a –6 4a 2 – 5a – 6
6 – 4a a–6 3
Solución: x = , y= , z=
4a 2 – 5a – 6 4a 2 – 5a – 6 4a 2 – 5a – 6

15

( )
b) x + y = k ° 1 1 k
§
kx – y = 13 ¢ A' = k –1 13
§ 5 3 16
5x + 3y = 16 £ 1 3
2
A
k=2
| A' | = 3k2 – 11k + 10 = 0 8 k = 11 ± √ 121 – 120 = 11 ± 1 5
6 6 k=—
3
• Si k = 2, queda:
1 1

(
A' = 2 –1
5 3
1 3
2
2
13
16 )| 1 1
2 –1 |
= –3 ? 0 8 ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.° de incógnitas

A

3.a ecuación:

x+y=2 °
Sumando: 3x = 15 8 x = 5; y = 2 – x = 2 – 5 = –3
2x – y = 13 ¢
£
Solución: x = 5, y = –3

• Si k = 5/3, queda:
1

5 (
1 2 3
4 4
1
A' = 5/3 –1
3
5/3
13
16 )
A

| 5/3
1 1
–1|=
–8
3
? 0 8 ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.° de incógnitas

3.a ecuación:

5 °
x+y=— §
3 § 8 44 44 11
5 ¢ Sumando: 3 x = 3 8 x = 8 = 2
§
— x – y = 13 §
3
£
5 5 11 –23
y= –x= – =
3 3 2 6
11 –23
Solución: x = , y=
2 6

• Si k ? 2 y k ? 5/3 8 ran (A' ) = 3 ? ran (A), el sistema es incompatible.

16

UNIDAD 3

2. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de
ecuaciones:
° (a – 1)x + y=0
¢
£ (a – 1)x + (a + 1)y = 0

(a – 1)x + y=0 °
¢
(a – 1)x + (a + 1)y = 0 £
A= ( a–1
a–1
1
a+1 )
| A | = (a – 1) 1
1 | 1
a+1 |
= (a – 1) (a + 1 – 1) = a (a – 1) = 0
a=0
a=1


–x + y = 0 °
y = x. Sistema compatible indeterminado.
–x + y = 0 ¢
£
Soluciones: x = l, y = l


y=0°
Sistema compatible indeterminado.
2y = 0 ¢
£
Soluciones: x = l, y = 0

• Si a ? 0 y a ? 1 8 ran (A) = 2
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0

Página 88
1. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

(1 –1 –1
A = –1 0 3
–2 5 –3 ) B= ( )
2 –1
1 –2

Calculamos la inversa de la matriz A:

| A | = –1 ? 0 8 Existe A –1
1
aij ÄÄÄ8 Adj (A) ÄÄÄ8 (Adj (A))t ÄÄÄ8 (Adj (A))t
| A|

( –15
8
–3
9 –5
–5 3
2 –1 ) (
8
–15
–8
–3
–9 –5
–5 –3
–2 –1 ) ( 8
–15
–9
–5
–8 –3
–5 –2
–3 –1 ) (
8
15 8
9 5
5 3
3

1)
2 = A –1

17

Calculamos la inversa de la matriz B:
| B | = –3 ? 0 8 Existe B –1
1
aij ÄÄÄ8 Adj (B ) ÄÄÄ8 (Adj (B ))t ÄÄÄ8 (Adj (B ))t
| B|

( ) (
–2
–1
1
2
8
–2 –1
1 2 ) ( )
8
–2
–1
1
2
8 ( )
–1 –2
3 –1
1
2
= B –1

2. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A= ( )
1 4
2 7 ( )
4 –1 0
B= 0 2 1
1 5 3

Calculamos la inversa de la matriz A:

| A | = –1 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( ) (
7
4
2
1
8
7 –2
–4 1 ) (
8
7 –4
–2 1 ) (
8
7 –4
–2 1 )
= A –1

Calculamos la inversa de la matriz B:

| B | = 3 ? 0 8 Existe B –1
1
| B|

( 1
–3
–1
–1 –2
12 21
4 8 ) (
8
1 1 –2
3 12 –21
–1 –4 8 ) (
8
1 3 –1
1 12 –4
–2 –21 8 ) (8
1 3 –1
1 1 12 –4
3 –2 –21 8
= B –1
)

18

UNIDAD 3

Página 94

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

Determinantes

1 Sabiendo que | a d | = 7, justifica las siguientes igualdades, citando en cada
c
b

caso las propiedades que has aplicado:

a) | a –– d d | = 7
c
b b
b) | 3a 2d | = 42
3c
2b

c) |
d c|
d) |
a – 2c b – 2d |
b a a b
= –7 = –14

a) Propiedad 8: si a una columna de una matriz se le suma la otra columna multi-
plicada por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

b) Propiedad 5: si multiplicamos cada elemento de una columna por un número,
el determinante queda multiplicado por ese número.

c) Propiedad 3: si permutamos las dos columnas, el determinante cambia de signo.

d) Propiedad 7: si una fila es suma de dos, el determinante puede descomponerse
en suma de dos determinantes.

2 Si | m q | = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de estos determinantes?:
p
n

a) |
n q|
b) |
q n|
c) |
3q –p |
m p p m 3n –m

d) |
q 2n |
e) |
mp mq |
p 2m 1 n/m

a) |
n q|
m p
= –5
(1)

b) | q m | = |m n | = – |m n | = –(–5) = 5
p
n (1)
p q
(2) p q

c) |3n –m | = –3 | n m | = 3 |m n | = 3 · (–5) = –15
3q –p (3) q p p q
(2)

d) |q 2m | = 2 | q m | = 2 |m n | = –2 |m n | = –2 · (–5) = 10
p
2n (3)
p
n
p q
(1) p q
(2)

19

e) | mp n/m | = m · m |m n | = |m n | = –5
1
mq
1
(3) p q p q
(1) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

(2) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de
signo.

(3) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda
multiplicado por ese número.

3 Calcula el valor de estos determinantes:
1
a) 1
1
| 8 1
7 0
6 –1
| |
3 4 –6
b) 2 –1 1
5 3 –5
| |7 8 0
c) 0 –7 3
1 0 1
| d)| 0 3
–2 0
3 4
1
2
0
|
1
a) 1
1
| 8 1
7 0 =0
6 –1
| |
3 4 –6
b) 2 –1 1 = 0
5 3 –5
|
|
7 8 0
c) 0 –7 3 = –25
1 0 1
| |
0 3
d) –2 0
3 4
1
|
2 = 10
0

4 ¿Qué valor de a anula estos determinantes?:

|
3 4 –5
a) 1 –1 1
1 –1 a
| b) | a–1
0
a–1
1
a+6
2
–1
3
0
|
2
c) 0
2
| 1 1
2 2
3 a2
| d) | a+1 1
1
1
2
a
1
a
2
|
|
3 4 –5
|
a) 1 –1 1 = –3 + 5 + 4 – 5 + 3 – 4a = 4 – 4a = 0 8 a = 1
1 –1 a

b) 0
|
a–1

a–1
1 –1
|
a + 6 3 = 3(a – 1) + (a – 1) (a + 6) – 6(a – 1) = (a – 1) [3 + a + 6 – 6] =
2 0
a= 1
= (a – 1) (3 + a) = 0
a = –3

| |
2 1 1 —
a = √3
c) 0 2 2 = 4a 2 + 4 – 4 – 12 = 4a 2 – 12 = 0 8 a 2 = 3 —
2 3 a2 a = –√ 3

20

UNIDAD 3

d) | a+1 1
1
1
2
a
1

2
|
a = 4(a + 1) + a + a – 2 – a 2 (a + 1) – 2 =

= 4a + 4 + 2a – 2 – a 3 – a 2 · 2 = –a 3 – a 2 + 6a = –a (a 2 + a – 6) = 0 8
a=0

–1 ± √ 1 + 24 –1 ± 5 a= 2
a2 + a – 6 = 0 8 a = =
2 2 a = –3

5 Prueba, sin desarrollarlos, que el determinante a) es múltiplo de 3 y que el
b) es múltiplo de 5:

|
1 3 2
a) 4 7 1
8 2 5
| |
5 2 1
b) 4 7 6
6 3 9
|
☛ a) Suma la 1.a y 2.a columnas a la 3.a.

|
1 3 2

8 2 5
(1)
1 3 6

8 2 15
| |
(2)
1 3 2
a) | A | = 4 7 1 = 4 7 12 = 3 4 7 4
8 2 5
| | | 8 Es múltiplo de 3.

(1) Sumamos a la 3.a columna las otras dos.
(2) Si una columna se multiplica por un número, el determinante queda multipicado por
ese número.

b) |B|= |
5 2 1

6 3 9
(3)
5 2 1

10 10 15
| |
(2)
4 7 6 = 4 7 6 = 5 4 7 6
5 2 1

2 2 3
| | | 8 Es múltiplo de 5.

(3) Sumamos a la 3.a fila la 2.a.

Rango de una matriz

6 Estudia el rango de las siguientes matrices:

( )
1 –1 2

(
1 0 –1 2
a) 2 3 1 –2
2 4 2 1 ) b)
2 1 3
3 0 5
1 2 1

a) El rango es 3, ya que el determinante | 1 –1 2
2 1 –2 = 15 ? 0.
2 2 1
|
b) 4.a fila = 2.a fila – 1.a fila
3.a fila = 1.a fila + 2.a fila

21

( )
1 –1 2
Por tanto: ran
2 1 3
3 0 5
1 2 1
= ran
1 –1 2
2 1 3 ( )
Como | 1 –1 | = 3 ? 0 8 El rango es 2
2 1

7 Estudia el rango según el valor del parámetro:

( )
2 1 0
a) A = 1 1 –2
3 1 a ( )
a 1 0
b) B = –1 2a –2
1 –1 2

( )
2 –1 a
c) C = a 3 4
3 –1 2 ( )
1 1 1
d) D = 1 –a 1
1 1 a

| 2 1 0
|
a) | A | = 1 1 –2 = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 8 a = 2
3 1 a

• Si a = 2 8 Como | A | = 0 y
2 1
1 1 | |
= 1 ? 0 8 ran (A) = 2

• Si a ? 2 8 | A | ? 0 8 ran (A) = 3

|
a 1 0
|
b) |B|= –1 2a –2 = 4a2 – 2 + 2 – 2a = 4a2 – 2a = 2a(2a – 1) = 0
1 –1 2
a=0
a = 1/2

Observamos que | –1 0| = 2 ? 0 8 ran (B ) Ó 2
1
2

• Si a = 0 8 |B| = 0 8 ran (B ) = 2
1
• Si a = 8 |B|= 0 8 ran (B ) = 2
2
1
• Si a ? 0 y a ? 8 |B| ? 0 8 ran (B ) = 3
2

|
2 –1 a
|
c) |C| = a 3 4 = 12 – a 2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a 2 – 7a + 8 = 0 8
3 –1 2

7 ± √ 49 + 32 7 ± √ 81 7±9 a = –8
8 a= = =
–2 –2 –2 a= 1

Observamos que | –1 4 | = 10 ? 0
3
2
8 ran (C ) Ó 2

22

UNIDAD 3

Por tanto:
• Si a = 1 8 | C | = 0 8 ran (C ) = 2
• Si a = – 8 8 | C | = 0 8 ran (C ) = 2
• Si a ? 1 y a ? – 8 8 | C | ? 0 8 ran (C ) = 3

|
1 1 1
|
d) | D | = 1 –a 1 = –a2 + 1 + 1 + a – a – 1 = –a2 + 1 = 0
1 1 a
a = –1
a=1

1
• Si a = –1 8 D = 1
1 ( ) 1 1
1 1 , |D | = 0 y 1
1 –1 1 | 1
–1 |
= –2 ? 0 8 ran (D ) = 2

1 1 1

( )
• Si a = 1 8 D = 1 –1 1 , | D | = 0 y
1 1 1
1
1 | 1
–1|= –2 ? 0 8 ran (D ) = 2

• Si a ? –1 y a ? 1 8 | D | ? 0 8 ran (D ) = 3

8 Estudia el rango de estas matrices:

a) A = ( a –1 1
1 –a 2a ) b) B = ( a–2 1 a–1
a a 6 )
a) El rango de la matriz A será menor o igual que 2, porque solo tiene dos filas.
Buscamos los valores que anulan el determinante formado por las dos filas y
las dos primeras columnas:

|a
1
–1
–a |
= –a2 + 1 = 0
a=1
a = –1
• Si a ? 1 y a ? –1: ran (A ) = 2

• Si a = 1 8 A = ( 1 –1 1
1 –1 2 ) | |
8
1
1
1
2
? 0, ran (A ) = 2

• Si a = –1 8 A = ( –1 –1 1
1 1 –2 ) | |8
–1 1
1 –2
? 0, ran (A ) = 2

El rango de A es 2 para cualquier valor de a.

b) El rango de B será menor o igual que 2, porque solo tiene dos filas.

Resolvemos | a a– 2 a | = 0 8 a – 2a – a = 0 8 a – 3a = 0
1 2 2
a=0
a=3
• Si a ? 0 y a ? 3: ran (B ) = 2

• Si a = 0 8 B = ( –2 1 –1
0 0 6 ) |
8
–2 –1
0 6 |
? 0, ran (B ) = 2

• Si a = 3 8 B = ( 1 1 2
3 3 6 )
. Las dos filas son proporcionales 8 ran (B) = 1

23

Regla de Cramer

9 Resuelve aplicando la regla de Cramer:

° 3x – y = 2 ° 2x + y + z = –2
§ §
a) ¢ 2x + y + z = 0 b) ¢ x – 2y – 3z = 1
§ §
£ 3y + 2z = –1 £ –x – y + z = –3

° 3x + y – z = 0 ° x + y – z + t =1
§ §
c) ¢ x + y + z = 0 d) ¢ x – y – t =2
§ §
£ 3x + 2y – 2z = 1 £ z – t =0

( )
a) 3x – y = 2° 3 –1 0 2
§
2x + y + z = 0 ¢ A' = 2 1 1 0 8 |A| = 1 ? 0
§ 0 3 2 –1
3y + 2z = –1 £ 1 2 3
4 4
A

| | | |
2 –1 0 3 2 0
0 1 1 2 0 1
–1 3 2 –1 0 –1 2 –5
x= = = –1; y = = = –5;
1 1 1 1

| |
3 –1 2
2 1 0
0 3 –1 7
z= = =7
1 1

Solución: x = –1, y = –5, z = 7

( )
b) 2x + y + z = –2 ° 2 1 1 –2
§
x – 2y – 3z = 1 ¢ A' = 1 –2 –3 1 8 | A | = –11 ? 0
§ –1 –1 1 –3
–x – y + z = –3 £ 14243
A

| | | |
–2 1 1 2 –2 1
1 –2 –3 1 1 –3
–3 –1 1 11 –1 –3 1 –22
x= = = –1; y = = = 2;
–11 –11 –11 –11

z=
| 2 1 –2
1 –2 1
–1 –1 –3
| =
22
= –2
–11 –11

Solución: x = –1, y = 2, z = –2

24

UNIDAD 3

c) 3x + y – z = 0 °
x+ y+ z=0 ¢
§
§
3x + 2y – 2z = 1 £
3
|A| = 1
3
| 1 –1
1 1 = –6
2 –2
|
0
| Ax | = 0
1
| 1 –1
1 1 = 2;
2 –2
| |
3
| Ay | = 1
3
0 –1
0 1 = –4;
1 –2
|
3
| Az | = 1
3
| 1
1
2
0
|
0 =2
1

–1 2 –1
Por tanto: x = , y= , z=
3 3 3

( )
d) x + y – z + t = 1 ° 1 1 –1 1 1
§
x –y – t =2¢ A' = 1 –1 0 –1 2
§ 0 0 1 –1 0
z – t =0£ 1 4 4 3
4 2 4
A

Tenemos que | 1 1 –1
1 –1 0 = –2 ? 0.
0 0 1
|
x=
| 1 – t 1 –1
2 + t –1 0
t 0 1
| =
–3 – t
=
3+t
–2 –2 2

y=
| 1 1 – t –1
1 2+t 0
0 t 1
| =
1+t
=
–1 – t
–2 –2 2

z=
| 1 1 1–t
1 –1 2 + t
0 0 t
| =
–2t
=t
–2 –2

Soluciones: ( 3 + l , –1 – l , l, l
2 2
)
s10 Estudia y, cuando sea posible, resuelve:

° x – y= 6 ° x + y – z = –2
§ §
a) ¢ 4x + y = –1 b) ¢ 2x – y – 3z = –3
§ §
£ 5x + 2y = –5 £ x – 2y – 2z = 0

25

( )
a) x – y = 6 ° 1 –1 6
4x + y = –1
5x + 2y = –5
§
¢
§
A' = 4 1
5 2 –5 4 1 | |
–1 . Como 1 –1 = 5 ? 0 y | A' | = 0,
£ 123
A

tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n.° de incógnitas = 2
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de
la 3.a ecuación:
x – y = 6 ° Sumando: 5x = 5 8 x = 1 °
4x + y = –1 ¢ y = –1 – 4x = –1 – 4 = –5 ¢ Solución: x = 1, y = –5
£ £

( )
b) x + y – z = –2 ° 1 1 –1 –2
§
2x – y – 3z = –3 ¢ A' = 2 –1 –3 –3
§ 1 –2 –2 0
x – 2y – 2z = 0 £ 14243
A

Tenemos que | A | = 0 y que
1 1
2 –1 | |
= –3 ? 0 8 ran (A) = 2

Como | 1 1 –2
|
2 –1 –3 = –3 ? 0 8 ran (A' ) = 2 ? ran (A) = 2
1 –2 0

Por tanto, el sistema es incompatible.

11 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible, aplicando la regla de
Cramer:
° 3x + y – z = 0 ° x – 2y + z = –2
§ §
a) ¢ x + y + z = 0 b) ¢ –2x + y + z = –2
§ §
£ y–z=1 £ x + y – 2z = –2
° x+y = 5
° x + 2y + z = 0 §
§ § x+ z= 6
c) ¢ –x – y = 1 d) ¢
§ § y+z= 7
£ – y – z = –1 §
£ 2x + y + z = 11

( )
a) 3x + y – z = 0 ° 3 1 –1 0
x+y+z=0
y–z=1
§
¢
§
£
A' = 1 1 1
0 1 –1
1 2 3
4 4
| 0
1

A

Como |A| = –6 ? 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n.° de incógnitas = 3.
El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

26

UNIDAD 3

0 1 –1

x=
§ 0
1
1 1
1 –1
–6
§ =
2
–6
=
–1
3
3 0 –1

y=
§ 1
0
0 1
1 –1
–6
§ =
–4
–6
=
2
3
3 1 0

z=
§ 1
0
1 0
1 1
–6
§ =
2
–6
=
–1
3

–1 2 –1
3 3 3

( )
b) x – 2y + z = –2 ° 1 –2 1 –2
–2x + y + z = –2 ¢
§
§
x + y – 2z = –2 £
A' = –2 1 1
1 1 –2
14243
| –2
–2

A

Como | –2 –2 | = –3 y |A| = 0, tenemos que ran (A) = 2.
1
1

Además, | 1 –2 –2
|
–2 1 –2 = 18 ? 0. Luego ran (A' ) = 3 ? ran (A) = 2.
1 1 –2

Por tanto, el sistema es incompatible.

( )
c) x + 2y + z = 0 ° 1 2 1 0
–x – y
§
= 1 ¢ A' = –1 –1 0
§
– y – z = –1 £ 0 –1 –1 –1
14243
1 |
A

|
1 2 0
Como |A| = 0, –1 –1 1 = 0 y
0 –1 –1
1 2
–1 –1 | | | = 1 ? 0, tenemos que:
ran (A) = ran (A' ) = 2 < n.° de incógnitas. El sistema es compatible indetermi-
nado.
Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la 1.a ecuación y resolverlo
en función de y :
–x – y = 1 ° x = –1 – y °
¢ ¢ 8 x = –1 – y; y = y ; z = 1 – y
–y – z = –1 £ z = 1 – y £
Soluciones: (–1 – l, l, 1 – l)

27

( |)
d) x + y = 5 ° 1 1 0 5
§
x +z= 6 § 1 0 1 6
¢ A' =
y+z= 7 § 0 1 1 7
§ 2 1 1 11
2x + y + z = 11 £ 1 2 3
4 4
A
Tenemos que:
FILAS

| | | |
1 1 0 5 (1.ª) 1 1 0 5
1 0 1 6 (2.ª) – (1.a) 0 –1 1 1
|A'|= = =
0 1 1 7 (3.ª) 0 1 1 7
2 1 1 11 (4.ª) – 2 · (1.a) 0 –1 1 1

|
–1 1
= 1 1
–1 1
1
| |1
7 =0 y 1
1 0
1
0
1
0
|
1 = –2 ? 0
1

Luego ran (A) = ran (A' ) = n.° de incógnitas = 3.
El sistema es compatible determinado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.a ecuación:

5 1 0 5 5 0 1 1 5

x=
§ 6 0 1
7 1 1
–2
§ =
–4
–2
= 2; y =
§ 1 6 1
0 7 1
–2
§ =
–6
–2
= 3; z =
§ 1 0 6
0 1 7
–2
§ =
–8
–2
=4

Solución: x = 2, y = 3, z = 4

Página 95

Discusión de sistemas mediante determinantes
s12 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
° 7y + 5z = –7 ° mx + y – z = 1
§ §
a) ¢ 3x + 4y + mz = –1 b) ¢ x – 2y + z = 1
§ §
£ 7x + 5z = 7 £ 3x + 4y – 2z = –3
° 2x + y – z = 1 ° x+ y+ z=6
§ §
c) ¢ x – 2y + z = 3 d) ¢ 2x + 2y + mz = 6
§ §
£ 5x – 5y + 2z = m £ mx =0

( )
a) 7y + 5z = –7 ° 0 7 5 –7
§
3x + 4y + mz = –1 ¢ A' = 3 4 m –1
§ 7 0 5 7
7x + 5z = 7 £
1 2 3
4 4
A

28

UNIDAD 3

El sistema tendrá solución si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché.
Buscamos los valores que hacen | A | = 0:
0
|A| = 3
7
| 7 5
|
4 m = 49m – 245 = 0 8 m = 5
0 5

• Si m = 5 8 | 0 7 | ? 0 8 ran (A ) = 2
3 4

| 0
3
7
7 –7
|
4 –1 = –49 + 196 – 147 = 0 8 ran (A' ) = 2
0 7

El sistema es compatible indeterminado.
• Si m ? 5 8 ran (A ) = ran (A' ) = 3, el sistema es compatible determinado.

( )
b) mx + y – z = 1 ° m 1 –1 1
§
x – 2y + z = 1 ¢ A' = 1 –2 1 1
§ 3 4 –2 –3
3x + 4y – 2z = –3 £
1 2 3
4 4
A

|
m 1 –1
|
| A | = 1 –2 1 = 4m – 4 + 3 – 6 – 4m + 2 = –5
3 4 –2

Como | A | ? 0 para cualquier valor de m, ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema
es compatible determinado para todo m.

( )
c) 2x + y – z = 1 ° 2 1 –1 1
§
x – 2y + z = 3 ¢ A' = 1 –2 1 3
§ 5 –5 2 m
5x – 5y + 2z = m £
1 2 3
4 4
A

|
2 1 –1
|
| A | = 1 –2 1 = –8 + 5 + 5 – 10 + 10 – 2 = 0
5 –5 2

| 2 –2 | ? 0 8 ran (A ) = 2
1
1

| 2 1 –1
|
1 –2 3 = –4m – 5 + 15 + 10 + 30 – m = –5m + 50 = 0 8 m = 10
5 –5 m

• Si m = 10 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indetermi-
nado.
• Si m ? 10 8 ran (A ) = 2 ? ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

29

( )
d) x + y + z = 6° 1 1 1 6
§
2x + 2y + mz = 6 ¢ A' = 2 2 m 6
§ m 0 0 0
mx = 0£
1 2 3
4 4
A

|
1 1 1
|
| A | = 2 2 m = m (m – 2) = 0
m 0 0
m=0
m=2

1 1 1
• Si m = 0 8 A' = 2 2 0
0 0 0 ( 6
6
0 ) | 1 1 | ? 0 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2
2 0


1 1 1
• Si m = 2 8 A' = 2 2 2
2 0 0 ( 6
6
0 )
| 2
2
2
0|? 0; | 1
2
2
1
2
0
6
|
6 ? 0 8 ran (A ) = 2 ? ran (A' ) = 3
0


• Si m ? 0 y m ? 2 8 ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible
determinado.

s13 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a :
° 2x – ay + 4z = 0 ° x – z=0
§ §
a) ¢ x + y + 7z = 0 b) ¢ ay + 3z = 0
§ §
£ x – y + 12z = 0 £ 4x + y – az = 0
a) 2x – ay + 4z = 0 °
§
x + y + 7z = 0 ¢
§
x – y + 12z = 0 £

Los sistemas homogéneos son siempre compatibles porque ran (A ) = ran (A' ).
Pueden tener solución única o infinitas soluciones. Estudiamos el rango de A :

|
2 –a 4
|
| A | = 1 1 7 = 24 – 4 – 7a – 4 + 14 + 12a = 5a + 30 = 0 8 a = –6
1 –1 12

• Si a = – 6 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2, porque | 1 –1| ? 0.
1
1

• Si a ? – 6 8 ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado.

30

UNIDAD 3

b) x – z = 0°
§
ay + 3z = 0 ¢
§
4x + y – az = 0 £

1
|A| = 0
4
| 0 –1
|
1 3 = –a2 + 4a – 3 = 0
1 –1
a=1
a=3

1
• Si a = 1 8 A = 0
4 ( 0 –1
1 3 ,
1 –1 )| 1
0
0
1 |
? 0 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2

1
• Si a = 3 8 A = 0
4 ( 0 –1
3 3 ,
1 –1 )| 1
0
0
3 |
? 0 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2


• Si a ? 1 y a ? 3 8 ran (A ) = ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado.

s14 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas solu-
ciones?:
° 3x – 2y– 3z = 2 ° x + y + z=a–1
§ §
a) ¢ 2x+ ay – 5z = – 4 b) ¢ 2x + y + az = a
§ §
£ x + y+ 2z = 2 £ x + ay + z = 1

( )
a) 3x – 2y – 3z = 2 ° 3 –2 –3 2

x + y + 2z = 2 £
§
2x + ay – 5z = –4 ¢
§
A' = 2 a –5
1 1 2
14243
| –4
2

A

|A| = 9a + 27 = 0 8 a = –3

• Si a = –3, queda:

(
3 –2 –3
A' = 2 –3 –5
1 1 2
|
2
–4
2 )
Como | 3 –2
2 –3|= –5 y | 3 –2 2
|
2 –3 –4 = 20, entonces:
1 1 2

ran (A) = 2 ? ran (A' ) = 3 8 El sistema es incompatible.

31

• Si a = –3 8 ran (A) = ran (A' ) = 3 8 Compatible determinado.
Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas
soluciones.

( )
b) x + y + z = a – 1 ° 1 1 1 a–1
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
§
¢
§
£
A' = 2 1 a
1 a 1
1 2 3
4 4
| a
1

A

a=1
| A | = –a 2 + 3a – 2 = 0 8 a = –3 ± √ 9 – 8 = –3 ± 1
–2 –2 a=2


1
A' = 2
1 ( 1
1
1
1
1
1
|
0
1
1 ) Contradictorias. El sistema es incompatible.


(
1 1 1
A' = 2 1 2
1 2 1
1 2 3
4 4
|
1

) | |
2 . Las columnas 1.a, 3.a y 4.a son iguales, y 1 1 = –1 ? 0;
1 2 1

A
luego ran (A) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

• Si a ? 1 y a ? 2 8 ran (A) = ran (A' ) = 3 8 Compatible determinado.
Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.

Matriz inversa

15 Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el resultado:

a) ( )
4 3
1 1
b) ( ) 1 –2
3 4 ( )
2 0 1
c) 0 3 0
1 0 1 (
1 0 2
d) 2 0 –1
0 –2 0 )
a) | A | = 1 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( ) (
1
3
1
4
8
1 –1
–3 4 ) (8
1 –3
–1 4 ) (
8
1 –3
–1 4 )
= A –1

32

UNIDAD 3

b) | B | = 10 ? 0 8 Existe B –1
1
| B|

( ) ( ) ( )
4 3
–2 1
8
4 –3
2 1
8
4 2
–3 1
8
1
· ( )
4 2
10 –3 1
= B –1

c) | C | = 3 ? 0 8 Existe C –1
1
aij ÄÄÄ8 Adj (C ) ÄÄÄ8 (Adj (C ))t ÄÄÄ8 (Adj (C ))t
|C|

( 3 0 –3
0 1 0
–3 0 6 ) (
8
3 0 –3
0 1 0
–3 0 6 ) (
8
3 0 –3
0 1 0
–3 0 6 ) 8
1
3 (
3 0 –3
· 0 1 0 = C –1
–3 0 6 )
d) | D | = –10 ? 0 8 Existe D –1
1
aij ÄÄÄ8 Adj (D ) ÄÄÄ8 (Adj (D ))t ÄÄÄ8 (Adj (D ))t
| D|

( –2 0 –4
4 0 –2
0 –5 0 ) (
8
–2 0 –4
–4 0 2
0 5 0 ) (8
–2 –4 0
0 0 5
–4 2 0 ) 8
–1
10 (
–2 –4 0
· 0 0 5
–4 2 0 ) = D –1

s16 Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

a) ( ) ( )
1 2
2 1
X=
0 3
3 0
b) X ( )
–1 5
–1 4
= (1 2)

( )
a) Llamamos A =
1
2
2
1
y B= ( )
0
3
3
0
, de manera que tenemos:

A · X = B 8 X = A–1 · B
Calculamos A –1:
| A | = –3 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( ) (
1
2
2
1
8
1 –2
–2 1 ) (
8
1 –2
–2 1 ) 8
1
·
1 –2
–3 –2 1 ( ) = A –1

Calculamos A –1 · B:
1
–3
· (1 –2
–2 1 ) ( )
·
0
3
3
0
=
1
–3
· (
–6 3
3 –6 ) (
=
2 –1
–1 2 )
La solución es: X = ( ) 2 –1
–1 2

33

b) Llamamos A = ( –1 5
–1 4 ) y B = (1 2), de manera que:

X · A = B 8 X · A · A–1 = B · A–1 8 X = B · A–1

| A | = 1 ? 0 8 Existe A –1

Calculamos A –1:
1
| A|

( ) (
4 –1
5 –1
8
4 1
–5 –1 ) ( ) ( )
8
4 –5
1 –1
8
4 –5
1 –1
= A –1

Calculamos B · A –1:

(1 2) · ( )
4 –5
1 –1
= (6 –7)

La solución es: X = (6 –7)

s17 Calcula la inversa de las siguientes matrices:

( )
1 2 1
A= 0 1 0
2 0 3 ( )
2 1 0
B= 0 1 3
2 1 1

Después, resuelve estas ecuaciones:
a) AX = B b) XB = A

• Calculamos | A | = 3 – 2 = 1
Hallamos los adjuntos de los elementos de A:

A11 = | 1 0 | = 3;
0 3
A12 = – | 0 0 | = 0;
2 3
A13 = | 0 1 | = –2
2 0

= –|
0 3|
=|
2 3|
= –|
2 0|
2 1 1 1 1 2
A21 = –6; A22 = 1; A23 =4

=|
1 0|
= –|
0 0|
=|
0 1|
2 1 1 1 1 2
A31 = –1; A32 = 0; A33 =1

(
3 0 –2
Adj (A ) = –6 1 4
–1 0 1 ) 8 [Adj (A )]t =
( 3 –6 –1
0 1 0
–2 4 1 )
A –1
(3 –6 –1
= 0 1 0
–2 4 1 )
34

UNIDAD 3

Comprobación:

1
A · A –1 = 0
2 ( )( 2
1
0
1
0
3
3 –6 –1 1
0 1 0 = 0
–2 4 1 0 )( ) 0
1
0
0
0
1

• |B | = 2 + 6 – 6 = 2

B11 = | 1 3 | = –2;
1 1
B12 = – | 0 3 | = 6;
2 1
B13 = | 0 1 | = –2
2 1

= –|
1 1|
=|
2 1|
= –|
2 1|
1 0 2 0 2 1
B21 = –1; B22 = 2; B23 =0

=|
1 3|
= –|
0 3|
=|
0 1|
1 0 2 0 2 1
B31 = 3; B32 = –6; B33 =2

(
–2 6 –2
Adj (B ) = –1 2 0
3 –6 2 ) 8 [Adj (B )]t
(–2 –1 3
= 6 2 –6
–2 0 2 )
B –1 =
1
(–2 –1 3 –1
6 2 –6 = 3
2 –2 0 2 –1 )( –1/2
1
0
3/2
–3
1 )
Comprobación:
2
B · B –1 = 0
2 ( 1
1
1
0
3
1 )( –1
3
–1
–1/2
1
0
3/2

)( )
1
–3 = 0
1 0
0
1
0
0
0
1

a) AX = B 8 A –1AX = A –1B 8 X = A –1B

(
3 –6 –1
X= 0 1 0
–2 4 1 )( 2
0
2
1
1
1
0

)( 4 –4 –19
3 = 0 1 3
1 –2 3 13 )
b) XB = A 8 XBB –1 = AB –1 8 X = AB –1
1
X= 0
2 ( 2
1
0
1
0
3 )( –1
3
–1
–1/2
1
0
3/2

)(
–3 = 3
1
4

–5
3/2
1
–1
–7/2
–3
6 )
PARA RESOLVER

18 Estudia y resuelve estos sistemas homogéneos:
° 9x + 3y + 2z = 0
° x+ y– z=0 §
§ § 3x – y + z = 0
a) ¢ 12x – 3y – 2z = 0 b) ¢
§ § 8x + y + 4z = 0
£ x – 2y + z = 0 §
£ x + 2y – 2z = 0

35

( )
a) x+ y– z=0° x+ y– z=0° 1 1 –1
§ §
12x – 3y – 2z = 0 ¢ x – 2y + z = 0 ¢ A= 1 –2 1
§ § 12 –3 –2
x – 2y + z = 0 £ 12x – 3y – 2z = 0 £

Como | A | = 0 y | –2 –2 | = –3 ? 0, entonces, ran (A) = 2.
1
1

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir
de la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro:

x+ y= z °
z 1
–z –2 –z z
| | |1
1 z
–z | –2z 2z
x= = = ; y= = =
x – 2y = –z ¢
£ –3 –3 3 –3 –3 3

Soluciones: x = l , y = 2l , z = l
3 3

( )
b) 9x + 3y + 2z = 0 ° 9 3 2
§
3x – y + z = 0 § 3 –1 1
¢ A=
8x + y + 4z = 0 § 8 1 4
§ 1 2 –2
x+ 2y – 2z = 0 £

|
9 3 2
|
Como 3 –1 1 = –35 ? 0, entonces: ran (A) = 3 = n.° de incógnitas
8 1 4

19 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
° x + 3y – z = –1
° x–y=2 §
a) ¢ b) ¢ x – y – z = –1
£ 2x – y = 0 §
£ 2x + y + 3z = 5

a) x – y = 2 °
¢
2x – y = 0 £
A= ( ) 1 –1
2 –1
, X=
x
y () ()
, C=
2
0

( )() ()
1 –1
2 –1
·
x
y
=
2
0
8 A · X = C 8 A –1 · A · X = A –1 · C 8 X = A –1 · C

Calculamos A –1:
| A | = 1 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( ) (
–1
–1
2
1
8
–1 –2
1 1 ) ( ) ( )
8
–1 1
–2 1
8
–1 1
–2 1
= A –1

36

UNIDAD 3

X= ( )( ) ( )
–1 1
–2 1
·
2
0
=
–2
–4
La solución del sistema es: x = –2, y = –4

( ) () ()
b) x + 3y – z = –1 ° 1 3 –1 x –1
§
x – y – z = –1 ¢ A = 1 –1 –1 , X = y , C = –1
§ 2 1 3 z 5
2x + y + 3z = 5 £

( 1 3 –1 x
1 –1 –1 · y
2 1 3 z )() () –1
= –1
5
8 A · X = C 8 A –1 · A · X = A –1 · C 8

8 X = A –1 · C

Calculamos A –1:
| A | = –20 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( –2 5 3
10 5 –5 8
–4 0 –4 ) ( ) ( ) (
–2 –5 3
–10 5 5 8
–4 0 –4
–2 –10 –4
–5 5 0
3 5 –4
8
–2 –10 –4
1 –5 5 0
–20 3 5 –4
= A –1
)
X=
1
–20 ( )() ( )
–2 –10 –4

3 5 –4
–1
· –5 5 0 · –1 =
5
1
–20
· 0
–2

–28

2 7
La solución del sistema es: x = , y = 0, z =
5 5

20 Estudia y resuelve los siguientes sistemas:
° x+ y+ z= 2
° x – y – 2z = 2 §
§ § x – 2y – 7z = 0
a) ¢ 2x + y + 3z = 1 b) ¢
§ § y + z = –1
£ 3x + z=3 §
£ 2x + 3y = 0

( )
a) x – y – 2z = 2 ° 1 –1 –2 2
§
2x + y + 3z = 1 ¢ A' = 2 1 3 1
§ 3 0 1 3
3x + z=3£
1 2 3
4 4
A

Como | A | = 0 y
2 1
3 0 | |
= –3 ? 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, | 1 –1 2
|
2 1 1 = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A) < n.° de incógnitas.
3 0 3

37

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir
de la primera ecuación:
3–z z °
° x = —–––– = 1 – –– §
2x + y + 3z = 1 ° 2x + y = 1 – 3z § 3 3 § Hacemos z = 3l.
¢
3x + z = 3 £ 3x =3–z ¢ 7z ¢
§ y = 1 – 3z – 2x = –1 – — §
£ 3 §
£

Soluciones: x = 1 – l, y = –1 –7l, z = 3l

( )
b) x + y + z = 2 ° 1 1 1 2
§
x – 2y – 7z = 0 § 1 –2 –7 0
¢ A' =
y+ z = –1 § 0 1 1 –1
§ 2 3 0 0
2x + 3y = 0 £ 1 2 3
4 4
A
1 1 1
| |
Como 1 –2 –7 = 5 ? 0 y | A' | = 0, tenemos que:
0 1 1
ran (A) = ran (A' ) = n.° de incógnitas = 3
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de
la 4.a ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x=
| 2 1 1
0 –2 –7
–1 1 1
| =
15
= 3; y =
| 1 2 1
1 0 –7
0 –1 1
| =
–10
= –2;
5 5 5 5

z=
| 1 1 2
1 –2 0
0 1 –1
| =
5
=1
5 5

Solución: x = 3, y = –2, z = 1

s21 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m y resuél-
velos cuando sea posible:
° mx + y + z = 4 ° x+ y+ z=m–1
§ §
a) ¢ x + y + z = m b) ¢ 2x + y + mz = m
§ §
£ x – y + mz = 2 £ x + my + z = 1

° x + 2y + 3z = 0 ° x + my + z = 4
§ §
c) ¢ x + my + z = 0 d) ¢ x + 3y + z = 5
§ §
£ 2x + 3y + 4z = 2 £ mx + y + z = 4

° mx + y + z = 4
§
a) ¢ x + y + z =m
§
£ x – y + mz = 2

38

UNIDAD 3

Las matrices A y A' son:

(
m 1 1
A= 1 1 1
1 –1 m ) m 1 1
A' = 1 1 1
(
1 –1 m
4
m
2 )
Como A y A' tienen tres filas, su rango no puede ser mayor que 3.
Para estudiar el rango, buscamos en primer lugar los valores de m que anulan
el determinante de A, por ser A una matriz cuadrada:

|
m 1 1
| A | = 0 8 1 1 1 = m2 – 1 = 0
1 –1 m
| m=1
m = –1

• Si m = 1:

( )
1 1 1 4 °x + y + z = 4
§
A' = 1 1 1 1 8 ¢x + y + z = 1
1 –1 1 2 §
£x – y + z = 2
La 1.a y la 2.a ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

• Si m = –1:

( )
–1 1 1 4 ° –x + y + z = 4
§
A' = 1 1 1 –1 8 ¢ x + y + z = –1
1 –1 –1 2 §
£ x–y–z= 2
La 1.a y la 3.a ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
• Si m ? 1 y m ? –1: ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible
determinado.
Resolvemos el sistema en este caso (m ? 1 y m ? –1):

4 1 1

x=
§ m 1
2 –1
m2 – 1
1
m § =
–m 2 + 3m + 4
m2 – 1

m 4 1

y=
§ 1 m
1 2
m2 – 1
1
m § =
m 3 – 7m + 6
m2 – 1

m 1 4

z=
§ 1 1
1 –1
m2 – 1
m
2 § =
m 2 + 3m – 10
m2 – 1

39

° x+ y+ z=m–1
§
b) ¢ 2x + y + mz = m
§
£ x + my + z = 1
Las matrices A y A' son:

(
1 1 1
A= 2 1 m
1 m 1 ) (
1 1 1
A' = 2 1 m
1 m 1
m–1
m
1 )
Como A y A' tienen tres filas, su rango no puede ser mayor que 3.
Para estudiar el rango, buscamos, en primer lugar, los valores de m que
anulan el determinante de A, por ser A una matriz cuadrada:

|
1 1 1
|
| A | = 0 8 2 1 m = –m 2 + 3m – 2 = 0 8
1 m 1

–3 ± √9 – 8 m=1
8 m=
–2 m=2

• Si m = 1:
1
A= 2
1 ( 1
1
1
1
1 ,
1 ) (
1
A' = 2
1
1
1
1
1
1
1
0

1)
1 ; con | A | = 0.

Buscamos en A un menor de orden 2 distinto de 0:

| 1 1 | ? 0, luego ran (A ) = 2.
2 1
Buscamos en A' un menor de orden 3 distinto de 0. El menor que tomamos
en A es también un menor de A'. Si lo ampliamos con la 3.a fila y la 4.a
columna:

| 1
2
1
1
1
1
0
|
1 ? 0, luego ran (A' ) = 3.
1

Por ser ran (A ) ? ran (A' ), el sistema es incompatible.
(Podríamos haber observado en A' que la 1.a y la 3.a son contradictorias y,
por ello, el sistema es incompatible).

• Si m = 2:
1
A= 2
1 ( 1
1
2
1
2 ,
1 ) (
1
A' = 2
1
1
1
2
1
2
1
1

1)
2 ; con | A | = 0.

Como en el caso anterior, encontramos | 1 1 | ? 0 8 ran (A ) = 2
2 1

40

UNIDAD 3

Ampliamos ese menor con la 3.a fila y la 4.a columna:

| 1
2
1
1
1
2
1
|
2 = 0 8 ran (A' ) = 2
1
Al ser ran (A ) = ran (A' ) = 2, el sistema es compatible indeterminado.
Como tiene 3 incógnitas y el rango es 2, las soluciones dependen de un
parámetro.
Resolvemos el sistema en este caso. Eliminamos una ecuación y tomamos z
como parámetro:
x + y + z = 1° x+y=1– l °
¢ z=l ¢
2x + y + 2z = 2 £ 2x + y = 2 – 2l £
x=1–l–y
2 – 2l – 2y + y = 2 – 2l 8 y = 0
x=1–l
Las soluciones son: x = 1 – l, y = 0, z = l

• Si m ? 1 y m ? 2: | A | ? 0 y, por ello, ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema
es compatible determinado.
Resolvemos el sistema en este caso (m ? 1 y m ? 2):
m–1 1 1

x=
§ m
1
–m 2 +
1 m
m 1
3m – 2
§ =
–m 3 + 2m 2 + m – 2
–m 2 + 3m – 2

1 m–1 1

y=
§ 2
1
–m
m
1
m
1
2 + 3m – 2
§ =
m 2 – 4m + 4
–m 2 + 3m – 2

1 1 m–1

z=
§ 2 1
1 m
–m
m
1
2 + 3m – 2
§ =
–3m 2 + 4m – 2
–m 2 + 3m – 2

c) Razonando como en los casos a) y b), hacemos:
1 2
|A | = 1 m
2 3
| 3
|
1 = –2m + 2 = 0 8 m = 1
4

• Si m = 1:
1
A' = 1
2 ( 2
1
3
3
1
4
0
0
2 )
41

Como | 1
1
2
1|?0 y | 1
1
2
2
1
3
0
|
0 ? 0, entonces: ran (A ) = 2 ? ran (A' ) = 3
2


• Si m ? 1: ran (A) = ran (A') = 3 = n.° de incógnitas. El sistema es compati-
ble determinado. Lo resolvemos:
0 2 3

x=
§ 0
2
m 1
3 4
2 – 2m
§ =
4 – 6m
2 – 2m
=
3m – 2
m–1

1 0 3

y=
§ 1
2
0 1
2 4
2 – 2m
§ =
4
2 – 2m

1 2 0

z=
§ 1
2
m 0
3 2
2 – 2m
§ =
2m – 4
2 – 2m
=
m–2
1–m

d) Razonando como en los casos a) y b), tenemos:

|
1 m
|A | = 1 3
m 1
1
|
1 = m 2 – 4m + 3 = 0 8 m =
1
4 ± √16 – 12
2
m=3
m=1

• Si m = 3:
1
A' = 1
3 ( 3
3
1
1
1
1
4
5
4 ) La 1.a y la 2.a ecuación son contradictorias.


• Si m = 1:
1
A' = 1
1 ( 1
3
1
1
1
1
4
5
4 ) La 1.a y la 3.a ecuación son iguales.

Como | 1 1 | ? 0, ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.° de incógnitas.
1 3

Resolvemos el sistema para m = 1:
x + 2y + 3z = 0 °
¢ Hemos eliminado la 3.a ecuación. Tomamos z = l:
x + y + z = 0£

42

UNIDAD 3

x + 2y = –3l ° y = –2l
¢
x + y = –l £ x = l

Las soluciones son: x = l, y = –2l, z = l.

• Si m ? 1 y m ? 3: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.° de incógnitas. El sistema es
compatible determinado.
Resolvemos el sistema en este caso (m ? 1 y m ? 3):
4 m 1

x=
§
5 3
4 1
m 2 – 4m
1
1
+3
§
= 2
1–m
m – 4m + 3

1 4 1

y=
1
m §
m2 –
5
4
4m
1
1
+3
§
= 2
1–m
m – 4m + 3

1 m 4

z=
§
1 3
m 1
m 2 – 4m
5
4
+3
§
=
5m 2 – 16m + 11
m 2 – 4m + 3

s22 Discute y resuelve los siguientes sistemas homogéneos en función del
parámetro a :
° 2x – y + z = 0 ° x + y + z =0
§ §
a) ¢ x + 2y – 3z = 0 b) ¢ ax + 2z =0
§ §
£ 3x – 4y – az = 0 £ 2x – y + az =0

( )
a) 2x – y + z = 0 ° 2 –1 1
§
x + 2y – 3z = 0 ¢ A = 1 2 –3
§ 3 – 4 –a
3x – 4y – az = 0 £

Como es homogéneo, sabemos que ran (A) = ran (A' ).
| A | = –5a – 25 = 0 8 a = –5

• Si a = –5 8 Como | 2 –1 | = 5 ? 0
1 2
8 ran (A) = ran (A' ) = 2

Lo resolvemos tomando las dos primeras ecuaciones y pasando z al segun-
do miembro:
2x – y = –z ° Restamos a la 1.a ecuación el doble de la 2.a.
¢
x + 2y = 3z £ Sumamos a la 2.a ecuación el doble de la 1.a.

43

7 °
–5y = –7z 8 y = — z §
5
¢ Hacemos z = l.
z §
5x = z 8 x = —
5 £

l 7
Soluciones: x = , y = l, z = l
5 5
• Si a ? –5 8 Solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

( )
b) x + y + z = 0 ° 1 1 1
§
ax + 2z = 0 ¢ A' = a 0 2
§ 2 –1 a
2x – y + az = 0 £
Como es homogéneo, sabemos que ran (A) = ran (A' ).
a = –3
| A | = –a 2 – a + 6 = 0 8 a = 1 ± √ 1 + 24 = 1 ± 5
–2 –2 a= 2

• Si a = –3 o a = 2 8 Como |1 1 | = 2 ? 0
0 2
8 ran (A) = ran (A' ) = 2

— Lo resolvemos si a = –3:
x + y + z = 0°
§
–3x + 2z = 0 ¢
§
2x – y – 3z = 0 £
Prescindimos de la 3.a ecuación y pasamos z al segundo miembro:
2 °
x = —z §
x + y = –z ° 3
¢ ¢ Hacemos z = l.
–3x = –2z £ –5 §
3y = –5z 8 y = — z
3 £
2 –5
Soluciones: x = l, y = l, z = l
3 3
— Lo resolvemos si a = 2:
x+y+ z= 0°
§
2x + 2z = 0¢
§
2x – y + 2z = 0£
Prescindimos de la 3.a ecuación y pasamos z al segundo miembro:
x + y = –z ° y = 0 °
¢ ¢ Hacemos z = l.
2x = –2z £ x = –z £

Soluciones: x = –l, y = 0, z = l

• Si a ? –3 y a ? 2 8 ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución
trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

44

UNIDAD 3

23 Estudia, según los valores del parámetro, el rango de cada matriz:

1 3
a) A = k k
(
–1 3
3 1
3 –1
3 0 ) (
k 1 –2 0
b) B = –1 –1 k 1
1 1 1 k )
1 3
a) A = k k
–1 3( 3 1
3 –1
3 0 )
Observamos que ran (A) Ì 3.
Hallamos los valores de k que anulan el determinante formado por las tres
primeras filas y las tres primeras columnas:

| 1 3
k k
–1 3
3
|
3 = 0 8 6k – 18 = 0 8 k = 3
3

Para k = 3, | 1 3 | ? 0.
3 3

Buscamos un menor de orden 3 distinto de cero:

| 1 3 1
|
3 3 –1 ? 0 8 ran (A) = 3
–1 3 0

Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de k.

(
k 1 –2 0
b) B = –1 –1 k 1
1 1 1 k ) | k 1 –2
|
8 –1 –1 k = –k 2 + 1 = 0
1 1 1
k= 1
k = –1

• Si k = 1 8 B =
1 1 –2 0
–1 –1 1 1
1 1 1 1 ( ) | |8
1 –2 0
–1 1 1 ? 0 8 ran (B) = 3
1 1 1

–1 1 –2 0
• Si k = –1 8 B = –1 –1 –1 1
1 1 1 –1 ( ) | | –1 1 0
8 –1 –1 1 = 0 y
1 1 –1
–2
–1| |
0
1
?0 8

8 ran (B) = 2

• Si k ? –1 8 ran (B) = 3

45

s24 a) Considera la matriz A = ( 1 0 –1
2 1 1 ) y calcula el rango de las matrices

AAt y AtA.
b) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de
coeficientes es AtA.
c) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de
coeficientes es AAt.

a) A = ( 1 0 –1
2 1 1 ( )
) 8 At =
1 2
0 1
–1 1

( )( ) ( )
1 2
1 0 –1 2 1
A· At = · 0 1 = 8 ran (AA t ) = 2
2 1 1 –1 1 1 6

At · A =
( )( ) ( )
1 2

–1 1 2 1 1
5
0 1 · 1 0 –1 = 2
1
2
1
1
1
1
2
8 ran (A t A) = 2

b) Como el rango es 2, seleccionamos el menor:

|5 2| = 1 ? 0
2 1
Podemos suprimir la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro:
5x + 2y = –z °
¢ 8 x = z, y = –3z
2x + y = –z £

Soluciones: x = l, y = –3l, z = l
c) Como ran (AA t ) = 2 = n.° de incógnitas, el sistema solo tiene la solución trivial:
x = 0, y = 0

–3 1 1
s25 Dadas A = 1 –2 0
0 2 0( ) ( ) 0 2 0
y B = 1 –2 1 :
2 0 1

a) Halla A–1 y B –1.
b) Halla la matriz inversa de A · B.
c) Comprueba que (AB )–1 = B –1 · A–1.

a) | A | = 2 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( 0 0 2
–2 0 –6
2 –1 5 ) ( 8
0
2
2
0
0
1
2
6
5 ) ( 8
0
0
2
2
0
6
2
1
5 ) 8
1
2 (0
· 0
2
2
0
6
2

5 )
1 = A –1

46

UNIDAD 3

| B | = 2 ? 0 8 Existe B –1
1
| B|

( –2 –1 4
2 0 –4
2 0 –2 ) (8
–2 1 4
–2 0 4
2 0 –2 ) ( 8
–2 –2 2
1 0 0
4 4 –2 ) 8
1
2
·
( –2 –2 2
1 0 0 = B –1
4 4 –2 )
3 –8 2

( )
b) A · B = –2 6 –2 ; | A · B | = 4 ? 0 8 Existe (A · B ) –1
2 –4 2
1
aij ÄÄÄ8 Adj (AB) ÄÄÄ8 (Adj (AB))t ÄÄÄ8 (Adj (AB))t
| AB |

( 4 0 –4
–8 2 4
4 –2 2 ) ( ) ( )
8
4
8
4
0 –4
2 –4
2 2
8
4 8 4
0 2 2
–4 –4 2
8
1
4 (
4 8 4
· 0 2 2 = (AB ) –1
–4 –4 2 )
c) B –1 · A –1 =
( )( )
1
2
·
–2 –2 2

4 4 –2
0
1 0 0 · 0
2
2
0
6
2
1 = (A · B ) –1
5

1 1 0

( )
s26 Dada A = –1 1 2 , determina la matriz B que verifica B – I = AtA–1.
1 0 1

1 1
A = –1 1
1 0 ( ) ( ) 0
2 ;
1
1 –1 1
At = 1 1 0
0 2 1
Calculamos A –1:
| A | = 4 ? 0 8 Existe A –1
1
| A|

( 1 –3 –1
1 1 –1
2 2 2 ) ( ) ( ) (
8
1 3 –1
–1 1 1
2 –2 2
8
1 –1 2
3 1 –2
–1 1 2
8
1
4
1 –1 2
· 3 1 –2 = A –1
–1 1 2 )
Calculamos At · A –1:

At · A –1 =
1
4( )( ) ( )
1 –1 1 1 –1 2
· 1 1 0 · 3 1 –2 =
0 2 1 –1 1 2
1
4
–3 –1 6
· 4 0 0
5 3 –2
|B| = At · A –1 + I

B=
1
4
·
( )( ) ( )
–3 –1 6

5 3 –2
1
4 0 0 + 0
0
0
1
0
0

1 4
1 –1 6
0 = 1 · 4 4 0
5 3 2

47

s27 Discute el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible, en el caso a = 4:
° x–y =a
§ 2z = 2a + 1
¢ x + a
§
£ x – y + a (a – 1)z = 2a

x–y =a °
x + a2z = 2a + 1 §
¢
§
x – y + a (a – 1)z = 2a £

Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes:

(
1 –1
A= 1 0
0
a2
1 –1 a (a – 1) )
| A | = a(a – 1) 8 | A | = 0 8 a = 0, a = 1

• Si a ? 0 y a ? 1 8 ran (A) = 3 = ran (A' )
El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer:

| a
| Ax | = 2a + 1
2a
–1
0
–1
0
a2
a (a – 1)
|
= a · (a 2 – a – 1)

|
1
| Ay | = 1
1
a
2a + 1
2a
0
a2
a (a – 1)
|
= –a

|
1
| Az | = 1
1
–1
0
–1
a
|
2a + 1 = a
2a

a2 – a – 1 –1 1
a–1 a–1 a–1

(
1 –1 0
• Si a = 0 8 A = 1 0 0
1 –1 0 ) 8 ran (A) = 2

(1 –1 0
A' = 1 0 0
1 –1 0
0
1
0 ) 8 ran (A') = 2. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones:

x–y=0 °
x =1 ¢
£
Solución: x = 1, y = 1, z = l

48

UNIDAD 3

1 –1 0
• Si a = 1 8 A = 1 0 0
1 –1 0 ( ) 8 ran (A) = 2

(
1 –1 0
A' = 1 0 1
1 –1 0
1
3
2 ) 8 ran (A') = 3. El sistema es incompatible.

• Si a = 4, se trata de un sistema compatible determinado, resuelto en el primer
caso, con solución:
11 –1 1
x= , y= , z=
3 3 3

x 1 0
s28 Sea A = 0 1 3 .
x 1 1 ( )
a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa.
b) Calcula, si es posible, A–1 para x = 2.

a) | A | = x + 3x – 3x = x
Si x ? 0, A tiene inversa.

b) Si x = 2:
2
A= 0
2 ( ) 1
1
1
0
3
1
8 |A| = 2

A11 = | 1 3 | = –2;
1 1
A12 = – | 0 3 | = 6;
2 1
A13 = | 0 1 | = –2
2 1

= –|
1 1|
=|
2 1|
= –|
2 1|
1 0 2 0 2 1
A21 = –1; A22 = 2; A23 =0

=|
1 3|
= –|
0 3|
=|
0 1|
1 0 2 0 2 1
A31 = 3; A32 = –6; A33 =2

Adj (A) = –1 2 0
(
–2 6 –2

3 –6 2 ) 8 [Adj (A )]t =
( –2 –1 3
6 2 –6
–2 0 2 )
A –1 =
1
(
–2 –1 3

)( –1 –1/2
6 2 –6 = 3
2 –2 0 2 –1
1
0
3/2
–3
1 )
Comprobación:
2
A · A –1 = 0
2 ( )( 1
1
1
0
3
1
–1 –1/2
3
–1
1
0
3/2

)( )
1
–3 = 0
1 0
0
1
0
0
0
1

49

s29 Dadas las matrices:

A= ( –2 0 1
1 –1 5 ) ( )
3 1
B= 0 1
–1 2
C= ( )
1 2
3 4
D= ( –9 3
–8 17 )
halla la matriz X que verifica AB + CX = D.

AB + CX = D 8 CX = D – AB 8 X = C –1 · (D – AB )

• Calculamos C –1 ( | C | = –2 ? 0 8 existe C –1):
1
aij ÄÄÄ8 Adj (C ) ÄÄÄ8 (Adj (C ))t ÄÄÄ8 (Adj (C ))t
|C|

( ) (
4 3
2 1
8
4 –3
–2 1
8 ) ( 4 –2
–3 1
8) ( –2
3/2
1
–1/2 )
= C –1

• Calculamos A · B :

A·B= ( –2 0 1
1 –1 5 )
3 1

( )
· 0 1 =
–1 2
–7 0
–2 10 ( )
• Por tanto:

X= ( –2
3/2
1
–1/2 ) [(
·
–9 3
) (
–8 17
–
–7 0
–2 10 )] ( =
–2
3/2
1
–1/2 )( ) ( )
·
–2 3
–6 7
=
–2 1
0 1

s30 Halla X tal que 3AX = B, siendo:

( ) ( )
1 0 2
A= 0 1 1
1 0 1
1 0 2
B= 1 0 1
1 1 1

1 –1
3AX = B 8 X = A ·B
3

Calculamos A–1 ( | A | = –1 ? 0 8 existe A–1):

1
| A|

( 1 –1 –1
0 –1 0 8
–2 1 1 ) ( 1 1 –1
0 –1 0 8
–2 –1 1 ) ( 1 0 –2
1 –1 –1 8
–1 0 1 ) ( –1 0 2

)
–1 1 1 = A–1
1 0 –1

Por tanto:

X=
1
3 ( –1 0 2

)( ) ( ) (
1 0 2 1 2 0 1/3 2/3 0
–1 1 1 · 1 0 1 = 1 1 1 0 = 1/3 1/3 0
1 0 –1 1 1 1 3 0 –1 1 0 –1/3 1/3 )
50

UNIDAD 3

s31 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:

A= ( )
3 2
4 3
B= ( )
2 3
1 2
C= ( )
1 1
1 1
☛ Multiplica C por A –1 por la izquierda y por B –1 por la derecha.

AXB = C 8 A –1 · A · X · B · B –1 = A –1 · C · B –1 8 X = A –1 · C · B –1

Calculamos A –1 y B –1 ( | A | = 1 y | B | = 1 8 existen A –1 y B –1):

1
| A|

( ) (
3 4
2 3
8
3 –4
–2 3 ) (
8
3 –2
–4 3 ) (
8
3 –2
–4 3 )
= A –1

1
| B|

( ) (
2 1
3 2
8
2 –1
–3 2 ) (
8
2 –3
–1 2 ) (
8
2 –3
–1 2 )
= B –1

Por tanto:

X = A –1 · C · B –1 = ( 3 –2
–4 3
· )( )(
1 1
1 1
·
2 –3
–1 2
=
1 1
–1 –1
·) (
2 –3
–1 2
= )(
1 –1
–1 1 ) ( )
s32 Dada A = ( )
2 3
1 2
, halla una matriz X tal que AXA =
1 1
2 3
. ( )
☛ Multiplica dos veces por A–1, una vez por la izquierda y otra por la derecha.

Calculamos A –1 ( | A | = 1 ? 0 8 existe A –1):
1
| A|

( ) (
2 1
3 2
8
2 –1
–3 2 ) ( 8
2 –3
–1 2 ) (
8
2 –3
–1 2 )
= A –1

Por tanto:

AXA = ( )
1 1
2 3
8 A –1 AX AA –1 = A –1 ( )
1 1
2 3
A –1

(En el 1.er miembro tenemos A–1A = AA–1 = I 8 I X I = X ).

X = A –1 · ( )
1 1
2 3
· A–1 =
2 –3
–1 2
·(1 1
2 3
· )( )( )
2 –3
–1 2
=

= ( 3 5)( ) ( )
–4 –7
·
2 –3
–1 2
=
–1 –2
1 1

51

s33 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posible:

( ) ( )
–1 1 2 2 –1 0
a) 3 0 –1 X = 0 1 –2
1 2 3 3 0 –1

( ) ( )
2 –1 0 –1 1 2
b) 0 1 –2 X = 3 0 –1
3 0 –1 1 2 3

a)
( ) ( )
–1 1 2

1 2 3
1 2 3
4 4
2 –1 0
3 0 –1 X = 0 1 –2
3 0 –1
1 2 3
4 4
A B

Como | A | = 0, no existe A –1. La ecuación no tiene solución.

(
2 –1 0

3 0 –1
1 2 3
4 4
) ( )
–1 1 2
b) 0 1 –2 X = 3 0 –1
1 2 3
1 2 3
4 4
A B

Como | A | = 4 ? 0, existe A –1 y la ecuación tiene solución.

A · X = B 8 A –1 · A · X = A –1 · B 8 X = A –1 · B. Hallamos A –1:
1
| A|

( –1 6 –3
1 –2 3 8
2 –4 2 ) ( –1 – 6 –3
–1 –2 –3 8
2 4 2 ) ( –1 –1 2
–6 –2 4
–3 –3 2 ) (
8
1
4
–1 –1 2
–6 –2 4
–3 –3 2 ) = A–1

Luego:

X=
1
4 ( )( ) ( )
–1 –1 2
–6 –2 4
–3 –3 2
·
–1 1 2
3 0 –1 = 1
1 2 3 4
0 3 5
4 2 2
–4 1 3
Por tanto:

X=
1
4 ( )( )
0 3 5
4 2 2
–4 1 3
=
0 3/4
1 1/2
–1 1/4
5/4
1/2
3/4

34 Resuelve esta ecuación:

( )( ) ( ) ( )
2 0 5
1 1 –2
–1 1 1
x –3 4
y + 1 = –1
z 2 1
☛ Como AX + B = C 8 X = A –1(C – B).

52

UNIDAD 3

( )() ()
2 0 5

1 2 3
4 4
x

z
{
7
1 1 –2 · y = –2 Calculamos A –1 ( | A | = 16 ? 0 8 existe A–1):
–1 1 1 –1
{
A · X = B
1
| A|

( 3 –1 2
–5 7 2
–5 –9 2 ) (8
3 1 2
5 7 –2 8
–5 9 2 ) ( 3 5 –5
1 7 9 8
2 –2 2 ) ( 1
16
3 5 –5

)
1 7 9 = A–1
2 –2 2

Por tanto:

A · X = B 8 X = A –1· B =
1
16 ( 3 5 –5

2 –2 2 )() ( ) ( )
7
1 7 9 · –2 = 1
–1 16
16 1
–16 = –1
16 1

Luego
()()
x
y
z
=
1
–1 ; es decir: x = 1, y = –1, z = 1
1

35 Resuelve la ecuación siguiente:

( )( )( )
1 1 2 2 0 0 1 1 0
X 3 4 6 – 1 1 2 = 0 1 0
4 2 9 2 0 1 0 1 2

( ) ( ) ( )
1 1 2 2 0 0
Sea A = 3 4 6 , B = 1 1 2
4 2 9 2 0 1
1 1 0
y C = 0 1 0 . Entonces:
0 1 2

X · A – B = C 8 X · A = C + B 8 X · A · A–1 = (C + B ) · A–1 8 X = (C + B ) · A–1

( )( )( )
1 1 0
C+B= 0 1 0
0 1 2
2 0 0
+ 1 1 2
2 0 1
3 1 0
= 1 2 2
2 1 3

( )
1 1 2
A= 3 4 6
4 2 9
8 | A | = 1 ? 0 8 Existe A–1

Calculamos A–1:
1
| A|

( 24 3 –10
5 1 –2 8
–2 0 1 ) ( 24 –3 –10
–5 1 2 8
–2 0 1 ) ( 24 –5 –2
–3 1 0
–10 2 1 ) (
8
24 –5 –2

)
–3 1 0 = A–1
–10 2 1

53

Por tanto:

( )(
3 1 0
X= 1 2 2
2 1 3
24 –5 –2 69
· –3 1 0 = –2
–10 2 1 15 )( –14 –6
1 0
–3 –1 )
36 ¿Existe algún valor de a para el cual este sistema tenga infinitas soluciones?:
° 3x – 2y– 3z = 2
§
¢ 2x+ ay – 5z = – 4
§
£ x + y+ 2z = 2

( )
3x – 2y – 3z = 2 ° 3 –2 –3 2
§
2x + ay – 5z = –4 ¢ A' = 2 a –5 –4
§ 1 1 2 2
x + y + 2z = 2 £
14243
A

| A | = 9a + 27 = 0 8 a = –3

• Si a = –3, queda:

(
3 –2 –3
A' = 2 –3 –5
1 1 2
2
–4
2 )
Como | 3 –2
2 –3|= –5 y | 3 –2 2
|
2 –3 –4 = 20, entonces:
1 1 2
ran (A) = 2 ? ran (A' ) = 3 8 El sistema es incompatible.

• Si a = –3 8 ran (A) = ran (A' ) = 3 8 Compatible determinado
Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas
soluciones.

Página 97

CUESTIONES TEÓRICAS

37 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro
ecuaciones y tres incógnitas es igual a 3. ¿Qué puedes decir de su solución?

Al ser el sistema homogéneo con 3 incógnitas, tenemos que:
ran (A) = ran (A' ) = = n.° de incógnitas = 3
El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única
la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

54

UNIDAD 3

38 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el deter-
minante de la matriz de coeficientes es igual a 0.
a) ¿Puede ser compatible?
b) ¿Puede tener solución única?
c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A) = ran (A') < n.° de incógnitas.
b) No, pues al ser ran (A) < n.° de incógnitas, el sistema no puede ser compatible
determinado.
c) Sí, si es compatible, pasando al segundo miembro las incógnitas que sea necesario.

39 a) ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa?

b) ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz
inversa?
( a a2 – 2
1 a ) no tenga

a) La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga
inversa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, | A | ? 0.

| 2
|
b) a a – 2 = a 2 – a 2 + 2 = 2 ? 0 para cualquier valor de a.
1 a
Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa.

40 Sean A y B inversas una de otra. Si | A | = 4, ¿cuánto vale | B |?
Si A y B son inversas una de otra, entonces A · B = I. Así:

| A · B | = |A | · | B | = | I | = 1 8 | B | = 1 1
=
|A| 4

41 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas es igual a 1.
¿Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada?

Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango 2.

PARA PROFUNDIZAR

42 Prueba, sin desarrollar, que estos determinantes son cero:

|
–8 25 40
a) 2/5 3 –2
0 27 0
| b) | 5
a
5
b
5
c
b+c a+c a+b
|
☛ a) Hay dos líneas proporcionales. b) Suma la 3.a fila a la 2.a.

a) La 1.a y la 3.a columnas son proporcionales (la 3.a es –5 por la 1.a).

55

b) Sumamos la 3.a fila a la 2.a:

| 5
a
5
b
5
c
b+c a+c a+b
5
= a+b+c
b+c
|| 5
a+b+c
a+c
5
a+b+c =
a+b
|
= 5(a + b +c) | 1
1
1
1
1
1
b+c a+c a+b
|
= 0 (pues tiene dos filas iguales).

43 Calcula el valor de los siguientes determinantes:

| | | |
1 0 –1 2 1 –1 2 0
2 3 2 –2 2 1 3 1
a) b)
2 4 2 1 3 1 4 3
3 1 5 –3 2 1 7 0

| | | |
1 2 3 4 –1 3 2 –1
2 1 2 1 2 –2 1 3
c) d)
1 2 4 5 0 –5 10 4
3 4 1 2 7 –8 9 –2

a) Vamos a transformar en ceros los elementos de la 1.a columna, excepto el 1,
mediante operaciones que no cambien el valor del determinante:
FILAS

| | | |
1 0 –1 2 1 0 –1 2

| |
(1.ª) 3 4 –6
2 3 2 –2 (2.ª) – 2 · (1.a) 0 3 4 –6
= (3.ª) – 2 · (1.a)
= 4 4 –3 =
2 4 2 1 0 4 4 –3 (1)
(4.ª) – 3 · (1.a) 1 8 –9
3 1 5 –3 0 1 8 –9

= –108 – 192 – 12 + 24 + 144 + 72 = –72
(1) Desarrollamos por los elementos de la 1.a columna.
FILAS

| | | |
1 –1 2 0 1 –1 2 0

| |
(1.ª) 1 –1 2
2 1 3 1 (2.ª) 2 1 3 1
b) = (3.ª) – 3 · (2.a)
= –3 –2 –5 =
3 1 4 3 (1) –3 –2 –5 0 (2)
(4.ª) 2 1 7
2 1 7 0 2 1 7 0

= –14 – 6 + 10 + 8 + 5 – 21 = –18
(1) Hacemos “ceros” en la 4.a columna.
(2) Desarrollamos por la 4.a columna.

| |
1 2 3 4
2 1 2 1
c) =0
1 2 4 5
3 4 1 2

Observamos que c4 = c2 + c3 – c1. Si en un determinante hay una línea que es
combinación lineal de las demás, el determinante es igual a 0.

56

UNIDAD 3

FILAS

| | | |
–1 3 2 –1 –1 3 2 –1

| |
(1.ª) 4 5 1
2 –2 1 3 (2.ª) + 2 · (1.a) 0 4 5 1
d) = =– –5 10 4
0 –5 10 4 (3.ª) 0 –5 10 4
(4.ª) + 7 · (1.a) 13 23 9
7 –8 9 –2 0 13 23 9

Vamos a convertir en ceros los elementos de la 1.a.
Operando por columnas:
COLUMNAS

(1.ª) – 4 · (3.a)
(2.ª) – 5 · (3.a)
(3.a)
| 0 0 1
– –21 –10 4 = –
49 68 9
(1)
–21 –10
49 68
=|21 10
49 68
= 938 | | | |
(1) Desarrollamos por los elementos de la 1.a fila.

44 ¿Para qué valores de a se anula cada uno de estos determinantes?:

| |
1 1 1 2
1 2 –3 8
a)
a –1 –1 1
1 –1 1 –2

| |
1 –2 0 1
0 1 1 a
b)
1 0 –3 –1
0 1 –1 2

FILAS

| | | |
1 1 1 2 (1.ª) 1 1 1 2
1 2 –3 8 (2.ª) – 2 · (1.a) –1 0 –5 4
a) = (3.ª) + (1.a)
=
a –1 –1 1 a+1 0 0 3
1 –1 1 –2 (4.ª) + (1.a) 2 0 2 0

=–
–1
| –5 4
|
a + 1 0 3 = –[8(a + 1) – 30 + 6] = –[8a + 8 – 30 + 6] =
2 2 0

= –(8a – 16) = 0 8 a = 2
FILAS

| | | ||
1 –2 0 1 1 –2 0 1

|
(1.ª) 1 1 a
0 1 1 a (2.ª) 0 1 1 a
b) = (3.ª) – (1.a)
= 2 –3 –2 =
1 0 –3 –1 0 2 –3 –2
(4.ª) 1 –1 2
0 1 –1 2 0 1 –1 2

= a – 14 = 0 8 a = 14

57

AUTOEVALUACIÓN

1. Discute en función de a el siguiente sistema y resuélvelo si a = 3:

° x– y+ z=a
§
¢ ax + 2y – z = 3a
§
£ 2x + ay – 2z = 6

El sistema será compatible si el rango de la matriz de coeficientes, M, coincide con
el rango de la matriz ampliada, M'.

(
1 –1 1
M = a 2 –1 ;
2 a –2 ) (1 –1 1 a
M' = a 2 –1 3a
2 a –2 6 )
Estudiamos el rango de M buscando los valores de a que anulan el determinante
de M :
a = –2
|M | = –4 + a2 + 2 – 4 + a – 2a = a2 – a – 6 = 0
a=3

• Si a ? –2 y a ? 3:
ran (M ) = ran (M' ) = 3, y el sistema es compatible determinado.

• Si a = –2:

( )| |
1 –1 1
M = –2 2 –1 ;
2 –2 –2
–1 1
2 –1
= –1 ? 0 8 ran (M ) = 2

( )| |
1 –1 1 –2
M' = –2 2 –1 –6 ;
2 –2 –2 6
–1 1 –2
2 –1 –6 = 30 ? 0 8 ran (M' ) = 3
–2 –2 6

ran (M ) = 2 < ran (M' ) = 3 8 El sistema es incompatible.

• Si a = 3:

( )| |
1 –1 1
M = 3 2 –1 ;
2 3 –2
1
3
–1
2
= 5 ? 0 8 ran (M ) = 2

M' =
( )| |
1 –1 1 3
3 2 –1 9 ;
2 3 –2 6
1 –1 3
3 2 9 = 0 8 ran (M' ) = 2
2 3 6

ran (M ) = ran (M' ) = 2 < n.° de incógnitas 8 El sistema es compatible indeter-
minado.

58

UNIDAD 3

Resolvemos ahora el sistema para a = 3:
x – y + z = 3° Sabemos que el sistema es compatible indeterminado.
§
3x + 2y – z = 9 ¢ Eliminamos la 3.a ecuación, pasamos z al segundo
§ miembro y lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
2x + 3y – 2z = 6 £

x– y=3–z °
¢
3x + 2y = 9 + z £
3 – l –1 1 3–l
x=
§ 9+l 2 § = 15 – l , y = § 3 9+l § = 4l , z=l
1 –1 5 5 5
§ 3 2 §
2. Determina para qué valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha
matriz inversa para a = 2.
2
M = 2a
2 ( 1 –a
1 –1
a 1 )
La matriz tendrá inversa si su determinante es distinto de 0.
2
| M | = 2a
2
| 1
1
a
–a 1
–1 = 2 a
1 1
| | 1 –a
|
1 –1 = 2(1 – a3 – 1 + a + a – a) = 2(–a3 + a)
a 1
a=0
|M| = 0 8 –2(a3 – a) = 0 8 –2a(a2 – 1) = 0 a=1
a = –1

M tiene inversa si a ? 0, a ? 1 y a ? –1.
Para a = 2:
2
M= 4
2 ( 1 –2

)
1 –1 ; |M| = –12
2 1

M11 = 3; M12 = –6; M13 = 6
M21 = –5; M22 = 6; M23 = –2
M31 = 1; M32 = –6; M33 = –2

3
(Mij ) = –5
1 ( –6
6
–6
6
–2
–2 ) 3
8 (Mij ) t = –6
6 ( –5
6
–2
1
–6
–2 ) 8 M –1 = –
1
12
(Mij ) t

M –1 =
( –1/4
1/2
–1/2
5/12
–1/2
1/6
–1/12
1/2
1/6 )
59

Comprobación:
2
M · M –1 = 4
2 ( 1 –2 –1/4
1 –1 · 1/2
2 1 –1/2 )( 5/12
–1/2
1/6
–1/12 1
1/2 = 0
1/6 0 )( ) 0
1
0
0
0
1

3. Si | a d | = 4, calcula:
c
b

a) |
c 3d – c | | b ++ 2a a |
a 3b – a
b)
d 2c c

a) | a 3b –– a | = | a 3d | = 3 | a d | = 3 · 4 = 12
c 3d c c
3b (1)
c
b (2)

b) |
d + 2c c | | d c|
= –|
d|
b + 2a a b a (3) a b (4)
= = –4
c

(1) A la 2.a columna le sumamos la 1.a. Esto no cambia el valor del determinante.
(2) Sacamos el 3 como factor común, puesto que los elementos de la 2.a columna
son múltiplos de 3.
(3) No cambia el valor del determinante si a la 1.a columna le restamos el doble de
la 2.a.
(4) Al permutar las dos columnas, el determinante cambia de signo.

4. Halla, en cada caso, la matriz X que verifica la igualdad:
a) A –1 X A = B
b) (A + X )B = I

siendo A = ( 3 1
–2 –1 ) y B= ( 1
2
–1
1).

a) A–1 X A = B
Multiplicamos por A por la izquierda y por A–1 por la derecha:
AA–1 X AA–1 = ABA–1 8 I X I = ABA–1 8 X = ABA–1
1 3
2 1 3
2
I I
Calculamos A–1 ( | A | = –3 + 2 = –1):

A11 = –1; A12 = 2; A21 = –1; A22 = 3 8 (Aij) = ( )
–1
–1
2
3
8 (Aij) t = ( –1 –1
2 3 )
A–1 =
1
(A ) t 8 A–1 =
| A | ij
1 1
–2 –3 ( )
X= ( 3 1
–2 –1
·
1
2 )( )(
–1
1
·
1 1
–2 –3
=
5 –2
–4 1 ) (
·
1 1
–2 –3
= )(
9 11
–6 –7 ) ( )
60

UNIDAD 3

b) (A + X ) B = I 8 AB + XB = I 8 XB = I – AB
Multiplicamos por B –1 por la derecha:
XBB –1 = (I – AB )B –1 8 XI = (I – AB )B –1 8 X = (I – AB )B –1
1 3
2
I
Calculamos B –1 ( | B | = 1 + 2 = 3):

B11 = 1; B12 = –2; B21 = 1; B22 = 1 8 (Bij) = ( 1
1
–2
1 ) 8 (Bij ) t = ( )
1
–2
1
1

B –1 =
1
(B ) t 8 B –1 =
| B | ij (1/3
–2/3
1/3
1/3 )
Calculamos I – AB:

AB = ( 3 1
–2 –1)(
·
1
2 1) ( )
–1
=
5 –2
–4 1
8 I – AB = ( ) (
1
0
0
1
–
5 –2
–4 1
=
–4 2
4 0 ) ( )
X= ( –4 2
4 0
· )(
1/3
–2/3 ) (
1/3
1/3
=
–8/3 –2/3
4/3 4/3 )
5. El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con dos
incógnitas es 2. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? ¿Cuántas solucio-
nes puede tener el sistema?
La matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tiene
tres filas y dos columnas. La matriz ampliada tendrá tres filas y tres columnas, y, por
tanto, su rango puede ser 2 ó 3.
Si el rango de la matriz ampliada es 2, el sistema será compatible determinado; tendrá
solución única.
Si el rango es 3, el sistema será incompatible; no tendrá solución.

6. Discute y resuelve el siguiente sistema:
° x – y – az = 1
§
¢ –3x + 2y + 4z = a
§
£ –x + ay + z = 0

(
1 –1 –a 1
A' = –3 2 4 a
–1 a 1 0
14243
)
A
Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes:

|
1 –1 –a
|
| A | = –3 2 4 = 3a2 – 6a + 3 = 0 8 3(a – 1)2 = 0 8 a = 1
–1 a 1

61

• Si a ? 1:

ran (A) = ran (A' ) = 3, y el sistema es compatible determinado.

Para cada valor de a ? 1, tenemos un sistema con solución única.
1 –1 –a

x=
§ a 2 4
0 a 1
3(a – 1)2
§ =
–a3 – 3a + 2
3(a – 1)2

1 1 –a

y=
§ –3 a 4
–1 0 1
3(a – 1)2
§ =
–a2 + a – 1
3(a – 1)2

1 –1 1

z=
§ –3 2 a
–1 a 0
3(a – 1)2
§ =
–a2 – 2a + 2
3(a – 1)2

• Si a = 1:

(
1 –1 –1
A = –3 2 4
–1 1 1 ) 8 | –3 –1| = –1 ? 0 8 ran (A) = 2
1
2

(
1 –1 –1 1
A' = –3 2 4 1 ;
–1 1 1 0 )| 1 –1 1
|
–3 2 1 = –1 ? 0 8 ran (A' ) = 3
–1 1 0


62

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