Asintotrasss
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1) El documento explica cómo calcular límites de funciones racionales e irracionales cuando el límite es indeterminado o infinito. 2) También cubre cómo calcular límites de polinomios cuando el límite es infinito y la regla para determinar el signo del infinito. 3) Finalmente, resume la regla para resolver la indeterminación ∞/∞ dividiendo el numerador y denominador por la mayor potencia.
![-1 4 0 -16 16
1 -3 0 4
2 -2 4 8 -16
2 2 -2 -4
-1 2 4 -8 0
1 -1 -2 0
2 -2 0 8
2 2 2
-1 0 4 0
1 1 0
0
de funciones irracionales: se multiplica numerador y denominador por el
0
conjugado
Ejemplos
1)
0
2
x − 2x − 1 ( x − 2 x 2 − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1)
0 x 2 − (2 x 2 − 1)
lim = lim = lim =
x→1 x −1 x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1)
− x2 +1 ( x − 1) ⋅ (− x − 1) − x −1 −2
= lim = lim = lim = = −1
x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1
( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x →1
x + 2x 2 − 1 2
2)
0
3− x +9 0 (3 − x + 9 ) ⋅ (3 + x + 9 ) ⋅ (−5 − x + 25 )
lim = lim =
x→ 0 x→ 0
− 5 + x + 25 (−5 + x + 25 ) ⋅ (−5 − x + 25 ) ⋅ (3 + x + 9 )
= lim
[9 − ( x + 9)] ⋅ (−5 − x + 25 )
= lim
− x ⋅ (−5 − x + 25 )
= lim
− 5 − x + 25
=
− 5 − 5 − 10
=
x→ 0
[25 − ( x + 25)] ⋅ (3 + x + 9) x→ 0
− x ⋅ (3 + x + 9 ) x→ 0
3+ x +9 3+3 6
Si observáis los ejercicios anteriores esta indeterminación al igual que en las
funciones racionales se termina cuando:
0
f ( x) 0 ( x − a) ⋅ ?
lim = lim
x→a g ( x) x→a ( x − a) ⋅ ?
Límites de polinomios en ∞
Sea un polinomio p(x) = anxn + an-1xn-1 + ……… + a1 x + a 0
lim p ( x) = lim(a n x n ) = ? ∞ El signo del ∞ se obtiene con la regla de los signos
x →∞ x →∞
Ejemplos
1) lim (−5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim (−5 x 4 ) = −∞ 2) lim ( −5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim ( −5 x 4 ) = −∞
x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞](https://image.slidesharecdn.com/asintotrasss-120409162057-phpapp01/85/Asintotrasss-2-320.jpg)
Asintotrasss
- 1. Resumen: Límites de funciones. Asíntotas • lim f ( x) = f (a) siempre que se pueda sustituir x = a sin problemas en la x→a expresión de f(x) • Los casos en los que no se puedan sustituir es: k≠0 cuando tengamos =∞ 0 Es indeterminado el signo del ∞ y depende de la regla de los signos. Ejemplos: 1) x +1 4 lim x →3 − = = −∞ * para ver el signo se sustituye en 2'9 x +1 x − 3 * 0− lim = ? ∞ x →3 x − 3 lim x +1 4 = = +∞ * * para ver el signo se sustituye en 3'1 x →3 + x − 3 ** 0 + x 1 2) lim = = +∞ porque el denominador es siempre + x→1 ( x − 1) 2 0 + Los casos de indeterminación que son 0 ∞ ∞-∞ , , , 0. ∞ , 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ Indeterminaciones 0 P( x) P(a) 0 ( x − a) ⋅ ? de funciones polinómicas: lim = Q ( a ) = 0 = x →a ( x − a ) ⋅ ? lim 0 x→a Q ( x) Se divide por Ruffini numerador y denominador entre x-a y se calcula el límite en la expresión simplificada. Ejemplos 0 2 x 2 + 3x + 1 0 ( x + 1) ⋅ (2 x + 1) 2x + 1 −1 1 1) lim 3 2 = lim 2 = lim 2 = = x → −1 − 4 x − 4 x + x + 1 * x → −1 ( x + 1) ⋅ ( −4 x + 1) x → −1 − 4 x + 1 −3 3 * Dividimos numerador y denominador entre x+1 por Ruffini 2 3 1 -4 -4 1 1 -1 -2 -1 -1 4 0 -1 2 1 0 -4 0 1 0 2) 0 0 4 3 3 2 3 2 − x + 4 x − 16 x + 16 ( x − 2) ⋅ (− x + 2 x + 4 x − 8) 0 − x + 2x + 4x − 8 0 lim 3 2 = lim 2 = lim = x→ 2 x − 3x + 4 * x→ 2 ( x − 2) ⋅ ( x − x − 2) x→ 2 x2 − x − 2 * ( x − 2) ⋅ ( − x 2 + 4) − x2 + 4 0 = lim = lim = =0 x → 2 ( x − 2) ⋅ ( x + 1) x→ 2 x +1 3 * Dividimos numerador y denominador entre x-2 por Ruffini
- 2. -1 4 0 -16 16 1 -3 0 4 2 -2 4 8 -16 2 2 -2 -4 -1 2 4 -8 0 1 -1 -2 0 2 -2 0 8 2 2 2 -1 0 4 0 1 1 0 0 de funciones irracionales: se multiplica numerador y denominador por el 0 conjugado Ejemplos 1) 0 2 x − 2x − 1 ( x − 2 x 2 − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) 0 x 2 − (2 x 2 − 1) lim = lim = lim = x→1 x −1 x→1 ( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1 ( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) − x2 +1 ( x − 1) ⋅ (− x − 1) − x −1 −2 = lim = lim = lim = = −1 x→1 ( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x→1 ( x − 1) ⋅ ( x + 2 x 2 − 1) x →1 x + 2x 2 − 1 2 2) 0 3− x +9 0 (3 − x + 9 ) ⋅ (3 + x + 9 ) ⋅ (−5 − x + 25 ) lim = lim = x→ 0 x→ 0 − 5 + x + 25 (−5 + x + 25 ) ⋅ (−5 − x + 25 ) ⋅ (3 + x + 9 ) = lim [9 − ( x + 9)] ⋅ (−5 − x + 25 ) = lim − x ⋅ (−5 − x + 25 ) = lim − 5 − x + 25 = − 5 − 5 − 10 = x→ 0 [25 − ( x + 25)] ⋅ (3 + x + 9) x→ 0 − x ⋅ (3 + x + 9 ) x→ 0 3+ x +9 3+3 6 Si observáis los ejercicios anteriores esta indeterminación al igual que en las funciones racionales se termina cuando: 0 f ( x) 0 ( x − a) ⋅ ? lim = lim x→a g ( x) x→a ( x − a) ⋅ ? Límites de polinomios en ∞ Sea un polinomio p(x) = anxn + an-1xn-1 + ……… + a1 x + a 0 lim p ( x) = lim(a n x n ) = ? ∞ El signo del ∞ se obtiene con la regla de los signos x →∞ x →∞ Ejemplos 1) lim (−5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim (−5 x 4 ) = −∞ 2) lim ( −5 x 4 + 2 x 3 − x + 2) = lim ( −5 x 4 ) = −∞ x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞
- 3. 3) lim (−2 x 7 + 4 x 2 + 1) = lim (−2 x 7 ) = −∞ 4) lim ( −2 x 7 + 4 x 2 + 1) = lim ( −2 x 7 ) = +∞ x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞ 5) lim ( 4 x 5 − 9 x 3 + x ) = lim ( 4 x 5 ) = +∞ 6) lim ( 4 x 5 − 9 x 3 + x ) = lim ( 4 x 5 ) = −∞ x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞ Indeterminación ∞⁄∞ de funciones racionales e irracionales Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre xp siendo p la mayor potencia de numerador y denominador. Se puede obtener la siguiente regla: an b si n = m a n x n + ..... m p ( x) lim = lim = 0 si n < m x→a q( x) x → a b x m + ..... m ∞ si n > m ( El signo del ∞ depende de la regla de los signos ) Ejemplos 4x 5 − 9x3 + x 4 4x 6 − x3 + 1 1) lim = = −2 2) lim = −∞ (en +∞ : 4x6 e s + y -2x5 es -) x → +∞ x − 2 x 5 − x 2 −2 x → +∞ − 2 x 5 − 3 x 2 − x 4 + 2x3 + x x8 + x5 − 1 3) lim =0 4) lim = +∞ (en -∞ : x8 e s + y -x3 es +) x → +∞ x 6 − 3 x 2 + 1 x → −∞ − x 3 − 3x 2 x2 −1 1 1 2 1− 2 1− 2 x −1 x 2 x x = 1− 0 = 1 5) lim = lim = lim = lim x → +∞ 9x 4 − x x → +∞ 4 9x − x x → +∞ 4 9x − x x → +∞ 1 9−0 3 2 4 9− 3 x x x Indeterminación ∞ - ∞ ∞ x2 x 3 ∞ −∞ x 2 ⋅ ( x + 1) − x 3 ⋅ ( x − 1) − x 4 + 2x3 + x 2 ∞ Tipo 1 lim ( − ) = lim = lim = −∞ x → +∞ x − 1 x +1 x → +∞ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x → +∞ x2 −1 ∞ x3 x 4 − x 3 − 2 x 2 ∞ −∞ x 3 ⋅ ( x − 1) − x 4 + x 3 + 2 x 2 2x 2 ∞ lim ( − ) = lim = lim 2 = 2 x → +∞ x + 1 x2 −1 x → +∞ x2 −1 x → +∞ x − 1 Tipo 2 ∞ −∞ ( 4 x 2 + x − 2 x) ⋅ ( 4 x 2 + x + 2 x) 4x 2 + x − 4x 2 lim ( 4 x 2 − 1 − 2 x) = lim = lim = x → +∞ x → +∞ 4x 2 + x + 2x x → +∞ 4x 2 + x + 2x ∞ x ∞ 1 1 = lim = = x → +∞ 4x 2 + x + 2x 4+2 4
- 4. Límites de funciones a trozos 3 − x x <1 4x − 4 2 1≤ x < 3 x −1 f ( x) = 1 3≤ x <6 x −3 4 x≥6 lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 1 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales: x→1 lim f ( x) = lim (3 − x) = 2 x →1− − x →1 ⇒ ∃ lim f ( x) = 2 0 4x − 4 0 ( x − 1) ⋅ 4 4 x→1 lim f ( x) = lim 2 = lim = lim = 2 x →1+ x →1+ x − 1 x →1+ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) x →1+ x + 1 lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 3 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales: x→3 4x − 4 8 lim f ( x) = lim = =1 − x →3 − x →3 x 2 − 1 8 ⇒ no ∃ lim f ( x) ( en x = 3 hay una D.I.S.I ) 1 1 x→3 lim f ( x) = lim = lim + = +∞ x → 3+ x →3 + x − 3 x →3+ 0 lim f ( x) : como a izquierda y derecha de 6 hay funciones diferentes es necesario calcular límites laterales: x→6 1 1 lim f ( x) = lim − − = x →6 x →6 x − 3 3 ⇒ no ∃ lim f ( x) ( en x = 6 hay una D.I.S.F ) x→3 lim f ( x) = lim 4 = lim 4 + + + x →6 x →6 x →3 lim f ( x) = lim 4 = 4 x → +∞ x → +∞ lim f ( x) = lim (3 − x) = −∞ x → −∞ x → +∞ Asíntotas de una función Asíntotas verticales Las posibles A.V. de una función y = f(x) se encuentran entre los x que anulan el denominador y aquellos x que son frontera del dominio de la función. Además para que x = a sea A. V se tiene que cumplir que lim f ( x) = ∞ o alguno de sus límites laterales. x→ a Asíntotas horizontales Si lim f ( x) = b ⇒ la recta y = b es A.H. en +∞ x → +∞ Si lim f ( x) = c ⇒ la recta y = c es A.H. en -∞ x → −∞ Asíntotas oblicuas Cuando una función no tiene A.H. puede tenerlas oblicuas y se calculan de la siguiente forma:
- 5. f ( x) y = mx + n es A.O. cuando ∃ m = lim y ∃ n = lim( f ( x) − mx) x →∞ x x →∞ Ejemplos: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones x 2 − 2x 1) f(x) = 2x 2 − 8 A.V. : 2x2 - 8 = 0 ⇒ x = -2 y x = 2 son posibles A.V. Para ver si lo son se calculan los siguientes límites: 0 2 x − 2x 0 x ⋅ ( x − 2) x 2 lim 2 = lim = lim = ⇒ x = 2 no es A.V. x→2 2x − 8 x → 2 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2) x → 2 2 ⋅ ( x + 2) 8 x 2 − 2x 8 lim = = ∞ ⇒ x = -2 es A.V. y para dibujar la función alrededor de la asíntota: x → −2 2 x 2 − 8 0 x −2 x − 2x 8 2 xlim− 2( x + 2) = 0 − = +∞ sustituyendo en − 2'1 → −2 lim 2 = = x → −2 2 x − 8 0 x −2 lim+ = + = −∞ sustituyendo en − 1'9 x →−2 2( x + 2) 0 A.H. : Para ver si existen se calcula el límite de la función en ±∞ x2 − 2x 1 lim = (porque el grado del numerador y denominador son iguales) x → ±∞ 2 x 2 − 8 2 ⇒ y = ½ es A.H. en +∞ y -∞ Dibujamos la función alrededor de la A.H. 100 En +∞ se sustituye en 100: f(100) = = 0’49 204 − 100 En -∞ se sustituye en -100: f(-100) = = 0’51 − 196 A.O. : no hay puesto que existen horizontales x3 − 2x 2) f(x) = x2 +1 A.V. : no existen porque x2 + 1 ≠ 0 A.H. : no existen porque lim f ( x) = ∞ x → ±∞ A.O. : y = mx + n f ( x) x3 − 2x x3 − 2x m = lim = lim ( 2 : x) = lim 3 =1 x →∞ x x →∞ x +1 x →∞ x + x x3 − 2x x 3 − 2 x − x ⋅ ( x 2 + 1) n = lim( f ( x) − mx) = lim ( 2 − x) = lim = x →∞ x →∞ x +1 x →∞ x2 +1 x3 − 2 x − x3 − x − 3x lim 2 = lim 2 = 0 (porque el grado numerador < grado denominador) x →∞ x +1 x →∞ x + 1
- 6. 3) Así y = x es A.O. Dibujo la función alrededor de la A.O. f (100) = 99'97 En +∞ se sustituye en 100: recta = 100 f (−100) = −99'97 En -∞ se sustituye en -100: recta = −100 Observación importante: toda función racional donde el grado del denominador sea una unidad menor que el grado del numerador tiene A.O. ( no tiene A.H) Otro tipo de límites Cuando se calcula un límite y aparece ∞ en el exponente siempre hay que estudiar su signo como en los siguientes casos: + ∞ si a > 1 0 si a > 1 a +∞ a −∞ 0 si 0 < a < 1 + ∞ si 0 < a <1 Ejemplos 5 − 05− −∞ ∞ 1 : 2 = 2 = 0 ( se sustituye 0 '9 en x − 1 : signo − ) 1) lim(3 x − 1) x −1 =2 = 5 x →1 + 0+ +∞ 1 : 2 = 2 = +∞ ( se sustituye 1'1 en x − 1 : signo + ) 5 − 05+ +∞ ∞ 1 : 2 = 2 = +∞ ( se sustituye 0 '9 en 1 − x : signo + ) 2) lim(3 x − 1) 1− x =2 = 5 x →1 + 0− −∞ 1 : 2 = 2 = 0 ( se sustituye 1'1 en 1 − x : signo − ) 5 ( x −1) 2 +∞ 4) lim(3 x − 1) =2 =+∞ x →1 En todos los ejemplos anteriores x = 1 es A.V. −5 ( x −1) 2 -∞ 5) lim(3 x − 1) =2 =0 x →1 − 1 −∞ +∞ 1 ∞ 2 : = 2 = +∞ ( se sustituye 1'9 en x − 2 : signo − ) x + 1 x −2 1 2 6) lim 2 = x→2 x + 2 2 + 1 +∞ 2 : = 0 ( se sustituye 2 '1 en x − 2 : signo + ) 2 Indeterminación 1∞ f ( x) 1∞ 1 Nos basamos en el siguiente resultado: lim1 + = e x →∞ f ( x)
- 7. Ejemplos x 2 − 3x 2 1) lim = 1∞ indeterminación x →∞ x − 3 x 2 1 2 − 3x 2 1 2 − 3x 2 2 − 3x 2 − ( x − 3x 3 ) 2− x x − 3x 2 1+ = ⇒ = -1= = ⇒ f (x) = f ( x) x − 3x 2 f ( x) x − 3x 2 x − 3x 2 x − 3x 2 2− x 2− x ⋅x x x −3 x 2 2 − x ⋅ ⋅x x −3 x 2 x −3 x 2 2 − x x −3 x 2 2− x x 2 − 3x 2 1 1 1 lim x − 3 x 2 = lim1 + x − 3 x 2 = lim1 + = lim 1 + = x →∞ x − 3x 2 x →∞ x − 3x 2 x →∞ x →∞ 2− x 2− x 2− x 2 x− x2 x −3 x 2 2 x −3 x 2− x 2 x− x2 1 lim = lim 1 + = e x →∞ x −3 x 2 = e⅓ x →∞ x − 3x 2 2− x x3 3x − 1 x +1 2) lim = 1 indeterminación ∞ 3x x →∞ 1 3x − 1 1 3x − 1 3x − 1 − 3x − 1 1+ = ⇒ = -1= = ⇒ f (x) = -3x f ( x) 3x f ( x) 3x 3x 3x x3 x3 1 x3 1 x3 ⋅ 3x − 1 x +1 1 x +1 1 − 3 x⋅ ⋅ −3 x x +1 1 −3 x −3 x x +1 lim = lim1 + = lim1 + = lim 1 + = x →∞ 3x x →∞ − 3x x →∞ − 3x x →∞ − 3x x3 lim 2 x→∞ −3 x +1 =e = e-∞ = 0