Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinito
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El documento presenta la resolución de tres problemas sobre límites al infinito para ayudar a clarificar el método de solución. Se enfatiza la importancia de dividir el numerador y el denominador entre la variable de mayor exponente y se detallan técnicas como la multiplicación por conjugados en raíces cuadradas. Además, se menciona que la presentación fue realizada por un profesor particular y estudiante de matemáticas, con un agradecimiento a los lectores y una invitación a realizar preguntas.
Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinito
- 1. Resolviendo problemas de límites al infinito Aquí resolveré 3 problemas de encontrar el límite de una sucesión; con la finalidad de dar mayor claridad a este tipo de ejercicios. Espero les agrade la presentación. Por: Gato de Angora, profesor particular y estudiante de matemáticas en la UNAM. gatodeangora_78@hotmail.com gatodeangora@ciencias.unam.mx www.facebook.com/matematicasdelgato
- 2. ● ● En este tipo de ejercicios, el truco casi siempre es dividir numerador y denominador entre la variable de mayor exponente. Cuando se tienen raíces cuadradas, siempre conviene multiplicar por 1, por ejemplo: ( √ a+ √ b) √ a− √ b=( √ a− √ b) ( √ a+ √ b) Y posteriormente multiplicar ambas fracciones (de esta manera se eliminan algunas raíces en el numerador). En los ejercicios se verá la utilidad de este procedimiento.
- 3. (1) Encontrar : lim √ x x →∞ √ x + √ x √x x =lim √ x →∞ √ x +√ x √x x →∞ √ x + √ x lim Dividiendo entre √ x el numerador y denominador √x √x x lim √ x →∞ √ x +√ x √x lim x →∞ lim x →∞ √ √ 1 x √x + x x 1 1+ √x x =lim x →∞ =lim x →∞ = 1 √ √ x √x + x x 1 1+ √ a a Porque sabemos que √ = √b b √x x 1 =1 1+0 √ x Ya que lim √ =0 pues el denominador es mayor que el numerador x →∞ x
- 4. n n+1 − n n →∞ n+1 2 n(n) (n+1)(n+1) n −(n +1)(n+1) n n +1 lim − =lim − =lim igualando denominadores n+1 n (n+1)(n) n(n+1) n (n+1) n→∞ n→∞ n →∞ n2−(n+1)(n+1) n2 −(n2 +2n+1) −2n−1 lim =lim =lim 2 simplificando n→∞ n(n+1) n→∞ n(n+1) n →∞ n +n −2n−1 −2 1 − 2 n n2 n lim 2 =lim dividiendo entre n2 el numerador y el denominador 1 n→∞ n +n n →∞ 1+ n n2 −2 1 − 2 n n 0−0 1 lim = =0 ya que lim =0 1 1+0 n→∞ n→∞ n 1+ n (2) Encontrar : lim
- 5. (3) Encontrar : lim n−√ n+a √ n+b n→∞ (n+ √(n+a)(n+b)) n→∞ n →∞ n→∞ (n+ √(n+a)(n+b)) 2 2 2 (n+ √(n +a)(n+b)) n −(n+a)(n+b) n −(n +an+bn+ab) lim (n−√ (n+a)(n+b)) =lim =lim n→∞ (n+ √(n +a)(n+b)) n→∞ n+ √ (n+a)(n+b) n →∞ n+ √ (n+a)(n+b) −an bn ab − − −an−bn−ab n n n ...=lim =lim dividiendo entre n n →∞ n+ √ (n+a)(n+b) n→∞ n (n+a)(n+b) √ + n n ab ab −a−b− −a−b− n n ...= lim =lim ya que n=√ n2 ( pues nes natural ) n→∞ √(n+a)(n+b) n →∞ 1+ √(n+a)(n+b) 1+ n √ n2 ab ab −a−b− −a−b− n n a a lim =lim ya que √ = n→∞ √b b √(n+a)(n+b) n→∞ n2 +an+bn+ab 1+ 1+ n2 √ n2 ab ab −a−b− −a−b− n n −a−b−0 −a−b lim =lim = = 2 n→∞ n2 +an+bn+ab n→∞ 1+ 1+ a + b + ab 1+ √ 1+0+0+0 1+ 2 n n n2 n lim n−√ n+a √ n+b=lim n− √ (n+a)(n+b)= lim (n− √ (n+a)(n+b)) √ √ √ √
- 6. ● ● Si hay alguna falla es porque a veces tengo muchísima tarea y estas presentaciones las hago un poco al aventón, pero trato de no regarla. Cualquier duda la responderé con gusto =) Ah sí, ya es todo =D
- 7. ● ● Si hay alguna falla es porque a veces tengo muchísima tarea y estas presentaciones las hago un poco al aventón, pero trato de no regarla. Cualquier duda la responderé con gusto =) Ah sí, ya es todo =D