Sucesiones
- 1. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A VICEDECANATURA DE CIENCIAS PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO Guía de trabajo Sucesiones y series INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO Cálculo Integral 2009-II Institución Universitaria adscrita a la Alcaldía de Medellín ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. COMPETENCIA Comprender y aplicar el concepto de serie numérica para modelar y dar la solución a problemas en distintos contextos INDICADOR DE LOGRO Analizar la convergencia o divergencia de una sucesión de números reales. NOTA Asegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas. CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en orden definido: , donde es el primer término, es el segundo, es el n-ésimo término. Notación: La sucesión también se denotará por o Ejemplo 1. Algunas sucesiones se pueden definir mediante una fórmula para el n- ésimo término, así se tienen: a. , donde, y la sucesión es b. , donde, y la sucesión es Ejemplo 2. Algunas sucesiones no tienen una ecuación definitoria sencilla. Tal es el caso de la sucesión de Fibonacci , dada de manera recurrente por: . Cada término es la suma de los anteriores. Los primeros términos son: 1/2
- 2. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A Definición: Una sucesión tiene límite L y se escribe =L o cuando . Si para existe un entero correspondiente N tal que siempre que n>N. Si el límite existe se dice que la sucesión converge (o que es convergente). Si no es así, se dice que la sucesión diverge (o que es divergente). Teorema Si y , donde n es un entero, entonces Nota: Si , entonces la sucesión es divergente. Ejemplo 3 La sucesión es divergente ya que . Propiedades de las sucesiones convergentes Sean y sucesiones convergentes y c una constante, entonces 1. 2. 3. 4. , si El teorema del emparedado también se puede adaptar para sucesiones en la siguiente forma. Teorema Si , para n y entonces . Otro hecho de utilidad respecto a los límites de las sucesiones se establece en el teorema siguiente. Teorema Si entonces Ejemplos a. Determine Dividamos el numerador y el denominador por la potencia más alta de n y utilicemos las leyes de los límites b. Calcule Note que el denominador y numerador y denominador se van par infinito conforme . La regla de L´Hospital no se puede aplicar en forma directa. Sin embargo podemos aplicarla a la función relacionada y obtener: Por lo tanto tenemos c. Determine si la sucesión converge o diverge. 2/2
- 3. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A Si escribimos los términos de la sucesión tendremos , ya que los términos de la sucesión oscilan entre -1 y 1 infinidad de veces, no se aproxima a ningún número; como consecuencia el no existe; es decir, la sucesión diverge. d. Evalúe en caso de que exista Aplicando un teorema visto antes tenemos Por tanto, El siguiente teorema establece un criterio para las sucesiones llamadas geométricas Teorema La sucesión converge si y diverge para los demás valores de r. Ejemplo 4 a. La sucesión , diverge ya que >1 b. En cambio converge a cero, ya que Definición Una sucesión se llama creciente si par todo n>1, en otras palabras Se llama decreciente si para todo n>1. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Ejemplo 5 La sucesión es decreciente por que Definición Una sucesión está acotada por arriba si existe un número M tal que para todo n>1. Y está acotada por abajo si existe un número m tal que para todo n>1. Si está acotada por arriba y por abajo se dice que está acotada. Y se tiene el siguiente teorema. Teorema toda sucesión acotada y monótona es convergente EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Haga una lista de los 5 primeros términos a. b. c. 2. Determine si la sucesión converge o diverge a. b. c. 3/2
- 4. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. 3. Determine si la sucesión es creciente , decreciente o no a. b. c. d. 4. Demuestre que la sucesión definida por Satisface que que es decreciente. Deduzca que la sucesión es decreciente y determine su límite. 5. Halle el límite de la sucesión BIBLIOGRAFÍA DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992. HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1998. LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003. PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992. 4/2
- 5. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994. STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 1999 http://www.branchingnature.org/Sucesiones_Series_Dario_Sanchez.pdf http://apuntes.rincondelvago.com/sucesiones-y-series-numericas.html http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=8468 http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_seq_series.html http://library.thinkquest.org/C0110248/algebra/apgpintro.htm http://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html 5/2