Tutorial de factorización

Factor
Expresión algebraica que
multiplica a una segunda
expresión.

Factorización

Es la descomposición de una expresión
matemática (que puede ser un
número, una suma, una matriz, un
polinomio, etc.) en forma de
multiplicación.

Factor Común

 Este caso se emplea para factorizar una
expresión en la cual todos los términos
tienen algo en común( letra, número,
combinación de los dos)

Procedimiento:
1. Primero se tiene que determinar el
factor común en la expresión.
4 ab + 10ac=
El factor común seria a.
1. Luego hay que dividir todo el binomio
o polinomio dado entre dicho factor.
a(4b + 10 c)=

Ejemplos:
 5xy+8by=
y(5x + 8b)
 2xy +4xd=
2x(1 + 2d)

Factor común por
agrupación
 Resulta cuando el factor común que
aparece en una expresión es
polinomio, por lo que se necesita
agrupar los términos.

Ejemplo
 Aquí tenemos una expresión
a(x +7)+ b(x+7)
En este caso el factor común seria
(x+7) ; por lo tanto quedaría
(x+7)(a+b).
Es decir en este caso se agrupan
términos iguales.

1) 2y + 2j +3xy + 3xj =
(2y+2j)+(3xy+3xj)=
2(y+j)+3x(y+j)=
(2+3x)(y+j)
2) 5x4y + 3x2y -9xy -15xy2
5x4y -15xy2 + 3x3y -9y=
5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y)=
(x3 -3y)(5xy +3y)
3) 20ac + 15bc +4ad + 3bd =
(20ac + 4ad) + (15bc + 3bd) =
4a(5c + d) + 3b(5c + d)=
(4a + 3b)(5c + d)
4) 18a3 + 12a2 - 15a - 10 = (
18a3 + 12a2) - (15a + 10) =
6a2(3a + 2) - 5(3a + 2)=
(6a2 - 5)(3a + 2)

Diferencia de cuadrados
Se le llama diferencia de cuadrados al
binomio conformado por dos términos
a los que se les puede sacar raíz
cuadrada exacta.
La diferencia de cuadrados es igual al
producto de la suma por la diferencia
de sus bases.

Procedimiento
 Se extrae la raíz cuadrada de ambos
términos.
 Se multiplica la suma por la diferencia
de estas cantidades (el segundo
termino del binomio negativo es la raíz
del termino del binomio que es
negativo).

Ejemplos:
1. a6/36 - 49b4/100 = (a3/6 + 7b2/10)(a3/6 -
7b2/10)
2. x2nb8n - 1/169 = (xnb4n + 1/13)(xnb4n -
1/13)
3. a4nb6n - c12x /64 = (a2nb3n + c6x
/8)(a2nb3n - c6x /8)
4. (m - n)2 - (x + y)2 = (m - n + x + y)(m - n - x +
y)
5. (3x - 4)2 - (2x - 6)2 = (5x - 10)(x + 2)
6. (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2 = (5a + 4b - c)(a -
c)

Suma o diferencia de cubos
perfectos

 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el
segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el
segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el
producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplos:
 (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³
+ 6x² + 12x + 8
 (x - 4)³ = x³ + 3·x²·(-4) + 3·x·(-4)² + 2³ =
x³ - 12x² + 48x - 64

Trinomio cuadrado
perfecto
 Una expresión se denomina trinomio
cuadrado perfecto cuando consta de
tres términos donde el primero y
tercer términos son cuadrados
perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta) y positivos, y el segundo
término es el doble producto de sus
raíces cuadradas.

Procedimiento
 Se extrae la raíz cuadrada del primer
y tercer término y se separan estas
raíces por el signo del segundo
término. El binomio así formado se
eleva al cuadrado.

Ejemplos:
 01) x2 + 6x + 9
(x+3)2

02) 16x2 + 8x +1
(4x+1)2

03) y2 + 10y + 25
(y+5)2

04) 4y2 - 24y + 36
(2y+18)2

07) 25x2 + 30xy + 9y2
(5x+3y)2

Trinomio cuadrado
perfecto por adición y
sustracción
 Algunos trinomios no cumplen las
condiciones para ser trinomios
cuadrados perfectos, el primer y tercer
término tienen raíz cuadrada perfecta
pero el término de la mitad no es el
doble producto de las dos raíces.

Procedimiento:
 Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto,
extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término;
las raíces cuadradas de estos términos se multiplican
por 2, y este producto se compara con el segundo
término del trinomio dado.
 Si el 2º término del trinomio no es igual al producto
encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se
procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto,
de la siguiente manera:
 Se le suma al 2º término la diferencia que falta para
que sea igual a producto encontrado en la
comprobación del trinomio; y además para que el
trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma
diferencia a todo el trinomio.
 Por último se encuentra el resultado como en una
diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplo:
 x^4 +x^2y^2 +y^4
(x^4 +2x^2y^2 +y^4) - x^2y^2= (x^2
+ y^2)^2 – x^2y^2
(x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2)

Trinomio de la forma xˆ2
+bx+c
 Esta clase de trinomio se caracteriza
por lo siguiente:
El primer término tiene como
coeficiente 1 y la variable esta al
cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente
entero de cualquier valor y signo y la
misma variable.
El tercer término es independiente (no
contiene la variable).

Procedimiento
 Para factorar este trinomio se deben
abrir dos factores que sean binomios,
y donde el primer término de cada
binomio es la variable y el segundo
término en cada uno de los factores
(paréntesis), son dos números , uno
en cada paréntesis de tal forma que la
suma de los dos del coeficiente del
segundo término del trinomio y la
multiplicación de los dos del tercer
término del trinomi

Nota:
 Si el signo del tercer término es
negativo, entonces uno será positivo y
el otro negativo, el mayor de los dos
números llevara el signo del segundo
término del trinomio y el otro número
llevara el signo contrario.
 Si el signo del tercer término es
positivo, entonces los dos signos
serán iguales (positivos o negativos),
serán el signo del segundo término
del trinomio.

Cubo perfecto de
binomios
Para reconocer este caso las condiciones son:
 Posee cuatro términos
El primer y cuarto término son cubos
perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
 El segundo termino sea el triple del cuadrado
de la raíz cúbica del primer término
multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
 El tercer termino sea el triple del cuadrado de
la raíz cúbica del último término -multiplicado
por la raíz cúbica del primer término.
 Los signos son todos mas o también podría
ser positivo el primero y el tercero y negativo
el segundo y el cuarto

Procedimiento:
 Para factorizar un cubo perfecto se
forma un binomio y se eleva al
cubo, el primer término del binomio es
la raíz cúbica del primer término y el
segundo término es la raíz cúbica del
último término. El signo del segundo
término es mas si todos los signos del
cubo son mas y es menos si los
signos del segundo y cuarto término
del cubo son menos.

Trinomio de la forma
axˆ2+bx+c
 Este trinomio se diferencia del
trinomio cuadrado perfecto en que el
primer término puede tener coeficiente
diferente de 1.

Procedimiento:
 Se multiplica todo el trinomio por el
coeficiente del primer término, y se
divide por el mismo coeficiente. Se
factoriza el trinomio en la parte
superior del fraccionario y se
simplifica con el número que esta
como denominador.

Ejemplos:
 10m²-m-21

= ((10m)²- (10m)- 210)/10

((10m - 15 )(10m + 14 )/10

(5(2m - 3 )2(5m + 7 )/10

(2m - 3 )(5m + 7 )

 20x² + x -1

= ((20x)² + (20x) - 20)/20

= ((20x + 5)(20x - 4))/20

= 5((4x +1)4(5x-1))/20

= (4x +1)(5x-1)

Suma o diferencia de cubos
perfectos
 Su nombre lo indica, se reconoce por
ser la suma o la resta de dos cubos.
Su solución será dos factores, el
primero de ellos es un binomio
formado por las dos raíces cúbicas de
los términos dados, el segundo factor
esta formado por tres términos así: la
primera raíz al cuadrado, la primera
raíz por la segunda y la segunda raíz
al cuadrado.

By Kelyn Tobanta

Gracias !!!!

Suma o diferencia de dos
potencias iguales
 Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:
Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

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