Factorizacion

¿ QUÉ ES
FACTORIZACIÓN?
 Es una descomposición de una expresión
matemática en forma de multiplicación.
 el objetivo es simplificar una expresión o
reescribirla en términos de «bloques
fundamentales», que reciben el nombre de
factores, como por ejemplo un número en
números primos, o un polinomio en
polinomios irreducibles.

CASOS DE FACTORIZACION
1er caso • Factor común
2do caso • Factor común en grupos
3er caso • Trinomio cuadrado perfecto
4to caso • Cuatrinomio cubo perfecto
5to caso • Diferencia de cuadrados
6to caso • Sumas o restas de potencias de igual grado
7mo caso • Trinomio de segundo grado
8vo caso • Factoreo de Gauss

1ER CASO: FACTOR COMÚN

 Se escribe el factor común (F.C.) como un
coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se
colocan los coeficientes que son el resultado de
dividir cada término del polinomio por el F.C.

Ejemplo :

2DO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS

 En el polinomio no hay un Factor Común
para todos los términos, pero sí lo hay para
algunos términos entre sí. Con estos
términos que tienen factor común entre sí
es que se arman los "grupos".

Ejemplo: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo
término; y factor común "x" en el tercer y cuarto
término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b).
Luego, saco como factor común a (a + b).

3ER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 Trinomio" significa "polinomio de tres términos".
 Como en toda factorización, estamos buscando
una expresión que sea equivalente al polinomio
que nos dan, pero que sea una multiplicación
(producto). Resulta que cuando elevamos un
binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya
que un binomio al cuadrado se resuelve con la
fórmula.

 Ejemplo:

x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

x (-5)
2.(-5).x
-10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2
también es 25. Y con (-5), la verificación del doble
producto da bien. El resultado es la suma de las
bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual
a (x - 5)2.

4TO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

 Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que
tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene
de elevar al cubo un binomio con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
 Primero que nada el polinomio tiene que tener 4
términos. Después, tiene que haber términos que
puedan ser potencia tercera de algo, como
x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos
condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y
puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".

 Ejemplo:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x

Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las
bases, elevada al cubo".

5TO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS

 El polinomio tiene que tener 2 términos.

 Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo:
x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo:
-9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que
debo ver que haya un término positivo y otro negativo,
no importa el orden.

Los dos términos tienen que ser "cuadrados“.Para
reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo
lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso:
Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta
hago un resumen de las posibilidades a la hora de
identificar un "cuadrado".

 Ejemplo:

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

6x a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios
factores, y no una sola letra o número. Pero todos
deben ser cuadrados.

6TO CASO: SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE
IGUAL GRADO

 Con este Caso de pueden factorizar aquellos
polinomios que sean una suma o una resta de dos
términos que sean potencias con el mismo exponente
("igual grado").

Ejemplo:

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2
+ 9b - 27)
b 3
En las restas de potencias pares se puede dividir tanto
por la resta como por la suma de las bases.

7MO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

 Sirve para factorizar a aquellos trinomios que, son
de segundo grado (cuadrado), pero no son
"perfectos cuadrados" de ningún binomio.

Ejemplo:

2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)

En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No
hay que olvidarse de ponerlo en la factorización.

8VO CASO: FACTOREO DE GAUSS

 Para encontrar raíces, hay que buscar primero los
divisores del término independiente del polinomio y
del coeficiente principal. Por ejemplo, en el
polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término
independiente es 6, y el coeficiente principal es 2.
Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores
de 2

 Ejemplo:

x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:
| 1 0 -15 10 24
|
|
-1| -1 1 14 -24
1 -1 -14 24 | 0
Va quedando: (x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)
Ahora factorizo el cociente x3 - x2 - 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término
independiente. Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:
| 1 -1 -14 24
|
|
2| 2 2 -24
1 1 -12 | 0
Ahora va quedando: (x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)
Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar Séptimo Caso, pero sigo con Gauss. Las
posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x - 3):
| 1 1 -12
|
|
3| 3 12
1 4| 0
La factorización queda así:
(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque
k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término
independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.

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